当前位置:首页 >> 高考 >> 2013年高考理科数学江苏卷试题与答案word解析版

2013年高考理科数学江苏卷试题与答案word解析版


2013 年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学(江苏卷) 数学Ⅰ试题
一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共计 70 分.请把答案填写在答题卡相应位置上. ......... 1.(2013 江苏,1)函数 y ? 3sin ? 2 x ?
2

? ?

π? ? 的最小正周期为__________. 4?

2.(2013 江苏,2)设 z=(2-i) (i 为虚数单位),则复数 z 的模为__________. 3.(2013 江苏,3)双曲线

x2 y 2 ? =1 的两条渐近线的方程为__________. 16 9

4.(2013 江苏,4)集合{-1,0,1}共有__________个子集. 5.(2013 江苏,5)下图是一个算法的流程图,则输出的 n 的值是__________. 6.(2013 江苏,6)抽样统计甲、乙两位射击运动员的 5 次训练成绩(单位:环), 结果如下: 运动员 第1次 第2次 第3次 第4次 第5次 甲 87 91 90 89 93 乙 89 90 91 88 92 则成绩较为稳定(方差较小)的那位运动员成绩的方差为__________. 7.(2013 江苏,7)现有某类病毒记作 XmYn,其中正整数 m,n(m≤7,n≤9)可以任意选取,则 m,n 都 取到奇数的概率为__________. 8.(2013 江苏,8)如图,在三棱柱 A1B1C1-ABC 中,D,E,F 分别是 AB,AC,AA1 的中点,设三棱锥 F -ADE 的体积为 V1,三棱柱 A1B1C1-ABC 的体积为 V2,则 V1∶V2=__________.

9.(2013 江苏,9)抛物线 y=x 在 x=1 处的切线与两坐标轴围成三角形区域为 D(包含三角形内部和 边界).若点 P(x,y)是区域 D 内的任意一点,则 x+2y 的取值范围是__________. 10.(2013 江苏,10)设 D , E 分别是△ ABC 的边 AB , BC 上的点, AD=

2

???? ??? ? ???? DE ? ?1 AB ? ?2 AC (λ 1,λ 2 为实数),则 λ 1+λ 2 的值为__________.

1 2 AB , BE = BC .若 2 3
2

11.(2013 江苏,11)已知 f(x)是定义在 R 上的奇函数,当 x>0 时,f(x)=x -4x,则不等式 f(x)> x 的解集用区间表示为__________.

x2 y 2 ? =1 (a>0,b>0),右 a 2 b2 焦点为 F, 右准线为 l, 短轴的一个端点为 B.设原点到直线 BF 的距离为 d1, 到 l 的距离为 d2.若 d 2 ? 6d1 , F
12.(2013 江苏,12)在平面直角坐标系 xOy 中,椭圆 C 的标准方程为 则椭圆 C 的离心率为__________. 13.(2013 江苏,13)在平面直角坐标系 xOy 中,设定点 A(a,a),P 是函数 y ?

1 (x>0)图象上一动 x

点.若点 P,A 之间的最短距离为 2 2 ,则满足条件的实数 a 的所有值为__________. 14.(2013 江苏,14)在正项等比数列{an}中, a5 ? 最大正整数 n 的值为__________.
2013 江苏数学(文理合卷) 第1页

1 ,a6+a7=3.则满足 a1+a2+…+an>a1a2…an 的 2

二、解答题:本大题共 6 小题,共计 90 分.请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文字说明、证明 ....... 过程或演算步骤. 15.(2013 江苏,15)(本小题满分 14 分)已知 a=(cos α ,sin α ),b=(cos β ,sin β ),0<β <α <π . (1)若|a-b|= 2 ,求证:a⊥b; (2)设 c=(0,1),若 a-b=c,求 α ,β 的值.

16.(2013 江苏,16)(本小题满分 14 分)如图,在三棱锥 S-ABC 中,平面 SAB⊥平面 SBC,AB⊥BC,AS= AB.过 A 作 AF⊥SB,垂足为 F,点 E,G 分别是棱 SA,SC 的中点. 求证:(1)平面 EFG∥平面 ABC; (2)BC⊥SA.

2013

江苏数学(文理合卷)

第2页

17.(2013 江苏,17)(本小题满分 14 分)如图,在平面直角坐标系 xOy 中,点 A(0,3),直线 l:y=2x-4. 设圆 C 的半径为 1,圆心在 l 上. (1)若圆心 C 也在直线 y=x-1 上,过点 A 作圆 C 的切线,求切线的方程; (2)若圆 C 上存在点 M,使 MA=2MO,求圆心 C 的横坐标 a 的取值范围.

18.(2013 江苏,18)(本小题满分 16 分) 如图,游客从某旅游景区的景点 A 处下山至 C 处有两种路径.一种是从 A 沿直线步行到 C,另一种是先从 A 沿索道乘缆车到 B,然后从 B 沿直线步行到 C. 现有甲、乙两位游客从 A 处下山,甲沿 AC 匀速步行,速度为 50 m/min,在甲出发 2 min 后,乙从 A 乘缆 车到 B,在 B 处停留 1 min 后,再从 B 匀速步行到 C.假设缆车匀速直线运动的速度为 130 m/min,山路 AC 长为 1 260 m,经测量,cos A=

12 3 ,cos C= . 13 5

(1)求索道 AB 的长; (2)问乙出发多少分钟后,乙在缆车上与甲的距离最短? (3)为使两位游客在 C 处互相等待的时间不超过 3 分钟,乙步行的速度应控制在什么范围内?

2013

江苏数学(文理合卷)

第3页

19. (2013 江苏, 19)(本小题满分 16 分)设{an}是首项为 a, 公差为 d 的等差数列(d≠0), n 是其前 n 项和. S 记

bn ?

nS n * ,n∈N ,其中 c 为实数. 2 n ?c
2 *

(1)若 c=0,且 b1,b2,b4 成等比数列,证明:Snk=n Sk(k,n∈N ); (2)若{bn}是等差数列,证明:c=0.

20.(2013 江苏,20)(本小题满分 16 分)设函数 f(x)=ln x-ax,g(x)=e -ax,其中 a 为实数. (1)若 f(x)在(1,+∞)上是单调减函数,且 g(x)在(1,+∞)上有最小值,求 a 的取值范围; (2)若 g(x)在(-1,+∞)上是单调增函数,试求 f(x)的零点个数,并证明你的结论.

x

2013

江苏数学(文理合卷)

第4页

数学Ⅱ(附加题) 【选做题】本题包括 A、B、C、D 四小题,请选定其中两小题,并在相应的答题区域内作答.若多做,则 ...................... 按作答的前两小题评分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 21.(2013 江苏,21)A.[选修 4-1:几何证明选讲](本小题满分 10 分) 如图,AB 和 BC 分别与圆 O 相切于点 D,C,AC 经过圆心 O,且 BC=2OC.

B.[选修 4-2:矩阵与变换](本小题满分 10 分)已知矩阵 A= ?

? ?1 0 ? ?1 2 ? -1 ,B= ? ? ? ,求矩阵 A B. ?0 2 ? ?0 6 ?

C.[选修 4-4:坐标系与参数方程](本小题满分 10 分)在平面直角坐标系 xOy 中,直线 l 的参数方程为

? x ? 2 tan 2 ? ? x ? t ? 1, (t 为参数),曲线 C 的参数方程为 ? (θ 为参数).试求直线 l 和曲线 C 的普通方程, ? y ? 2 tan ? ? y ? 2t ?
并求出它们的公共点的坐标.

D.[选修 4-5:不等式选讲](本小题满分 10 分)已知 a≥b>0,求证:2a -b ≥2ab -a b.

3

3

2

2

2013

江苏数学(文理合卷)

第5页

【必做题】第 22 题、第 23 题,每题 10 分,共计 20 分.请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文字 ...... 说明、证明过程或演算步骤. 22.(2013 江苏,22)(本小题满分 10 分)如图,在直三棱柱 A1B1C1-ABC 中,AB⊥AC,AB=AC=2,A1A=4, 点 D 是 BC 的中点. (1)求异面直线 A1B 与 C1D 所成角的余弦值; (2)求平面 ADC1 与平面 ABA1 所成二面角的正弦值.

23.(2013 江苏,23)(本小题满分 10 分)设数列{an}:1,-2,-2,3,3,3,-4,-4,-4,-4,…,

??? ???? ?k个 ? ? k ? 1?k k ? k ? 1? * k-1 k ?1 …, (k∈N )时, n=(-1) k.记 Sn=a1+a2+…+an(n a ?n? (?1) k ,?, (?1) k ?1 k , 即当 2 2
∈N ).对于 l∈N ,定义集合 Pl={n|Sn 是 an 的整数倍,n∈N ,且 1≤n≤l}. (1)求集合 P11 中元素的个数; (2)求集合 P2 000 中元素的个数.
* * *

2013

江苏数学(文理合卷)

第6页

2013 年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学(江苏卷) 数学Ⅰ试题
一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共计 70 分.请把答案填写在答题卡相应位置上. ......... 1.答案:π 解析:函数 y ? 3sin ? 2 x ? 2.答案:5
2 2 解析:|z|=|(2-i) |=|4-4i+i |=|3-4i|= 3 ? ??4 ? ? 5 =5.
2 2

? ?

π? 2π ? π. ? 的最小正周期 T ? 4? 2

3.答案: y ? ?

3 x 4
3 x. 4

解析:由题意可知所求双曲线的渐近线方程为 y ? ?

4.答案:8 3 解析:由于集合{-1,0,1}有 3 个元素,故其子集个数为 2 =8. 5.答案:3 解析:第一次循环后:a←8,n←2; 第二次循环后:a←26,n←3; 由于 26>20,跳出循环, 输出 n=3. 6.答案:2 解析:由题中数据可得 x甲 =90 , x乙 =90 . 于是 s甲 =
2

2

1 1 2 2 2 2 2 2 2 [(87-90) +(91-90) +(90-90) +(89-90) +(93-90) ]=4, s乙 = [(89-90) +(90 5 5
2 2 2

-90) +(91-90) +(88-90) +(92-90) ]=2, 由 s甲 >s乙 ,可知乙运动员成绩稳定.故应填 2. 7.答案:
2 2

20 63

解析:由题意知 m 的可能取值为 1,2,3,…,7;n 的可能取值为 1,2,3,…,9.由于是任取 m,n:若 m=1 时,n 可取 1,2,3,…,9,共 9 种情况;同理 m 取 2,3,…,7 时,n 也各有 9 种情况,故 m,n 的取值情 况共有 7×9=63 种.若 m,n 都取奇数,则 m 的取值为 1,3,5,7,n 的取值为 1,3,5,7,9,因此满足条件的 情形有 4×5=20 种.故所求概率为

20 . 63

8.答案:1∶24 解析:由题意可知点 F 到面 ABC 的距离与点 A1 到面 ABC 的距离之比为 1∶2,S△ADE∶S△ABC=1∶4.

1 AF ? S?AED 因此 V1∶V2= 3 =1∶24. 2 AF ? S?ABC
9.答案: ? ?2, ? 2

? ?

1? ?
2

解析:由题意可知抛物线 y=x 在 x=1 处的切线方程为 y=2x-1.该切线与两坐标轴围成的区域如图中阴 影部分所示:

2013

江苏数学(文理合卷)

第7页

当直线 x+2y=0 平移到过点 A ?

1 ?1 ? ,0 ? 时,x+2y 取得最大值 . 2 ?2 ?
? ? 1? ?

当直线 x+2y=0 平移到过点 B(0,-1)时,x+2y 取得最小值-2. 因此所求的 x+2y 的取值范围为 ? ?2, ? . 2

1 10.答案: 2
解析:由题意作图如图.

? ? ? ? 1 ??? 2 ??? 1 ??? 2 ???? ??? AB ? BC ? AB ? ( AC ? AB) 2 3 2 3 ? ??? ? ???? 1 ??? 2 ???? 1 2 ? ? AB ? AC ? ?1 AB ? ?2 AC ,∴λ 1= ? ,λ 2= . 6 3 6 3 1 故 λ 1+λ 2= . 2
∵在△ABC 中, DE ? DB ? BE ?

????

??? ??? ? ?

11.答案:(-5,0)∪(5,+∞)

? x 2 ? 4 x, x ? 0, ? 2 解析:∵函数 f(x)为奇函数,且 x>0 时,f(x)=x -4x,则 f(x)= ?0, x ? 0, ∴原不等式等价于 ?? x 2 ? 4 x, x ? 0, ?
? x ? 0, ? x ? 0, 或? 2 ? 2 ? x ? 4 x ? x, ? ? x ? 4 x ? x ,
由此可解得 x>5 或-5<x<0. 故应填(-5,0)∪(5,+∞). 12.答案:

3 3

解析:设椭圆 C 的半焦距为 c,由题意可设直线 BF 的方程为

x y ? =1 ,即 bx+cy-bc=0.于是可知 c b

d1 ?

bc b2 ? c2

?

bc a2 a 2 ? c2 b2 ?c ? ? . , d2 ? a c c c

b2 6bc 2 ? ,即 ab ? 6c . c a 1 2 2 2 4 4 2 2 ∴a (a -c )=6c .∴6e +e -1=0.∴e = . 3
∵ d 2 ? 6d1 ,∴
2013 江苏数学(文理合卷) 第8页

∴e ?

3 . 3

13.答案:-1, 10 解析:设 P 点的坐标为 ? x,
2

? ?

1? ? ,则 x?

1? 1 ?1 ? ? 2 1 ? ? 2 2 2 2 |PA| = ( x ? a ) ? ? ? a ? = ? x ? 2 ? ? 2a ? x ? ? =2a .令 t ? x ? ? 2 ,则|PA| =t -2at+2a -2 x x ? x? x ? ? ? ?
2

2

=(t-a) +a -2(t≥2). 结合题意可知 2 2 2 (1)当 a≤2,t=2 时,|PA| 取得最小值.此时(2-a) +a -2=8,解得 a=-1,a=3(舍去). (2)当 a>2,t=a 时,|PA| 取得最小值.此时 a -2=8,解得 a= 10 ,a= ? 10 (舍去).故满足条件
2 2

2

2

的实数 a 的所有值为 10 ,-1. 14.答案:12 2 n-6 解析:设正项等比数列{an}的公比为 q,则由 ? ,a6+a7=a5(q+q )=3 可得 q=2,于是 an=2 ,

1 (1 ? 2n ) 1 则 a1+a2+…+an= 32 ? 2n?5 ? . 1? 2 32 1 ∵ a5 ? ,q=2, 2 2 ∴a6=1,a1a11=a2a10=…= a6 =1.
∴a1a2…a11=1.当 n 取 12 时,a1+a2+…+a12=2 - +…+a13=2 -
8 7

1 6 >a1a2…a11a12=a12=2 成立;当 n 取 13 时,a1+a2 32

1 6 7 13 <a1a2…a11a12a13=a12a13=2 ·2 =2 .当 n>13 时,随着 n 增大 a1+a2+…+an 将恒小于 32

a1a2…an.因此所求 n 的最大值为 12.
二、解答题:本大题共 6 小题,共计 90 分.请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文字说明、证明 ....... 过程或演算步骤. 2 2 2 2 15. (1)证明:由题意得|a-b| =2,即(a-b) =a -2a·b+b =2. 2 2 2 2 又因为 a =b =|a| =|b| =1, 所以 2-2a·b=2,即 a·b=0. 故 a⊥b. (2)解:因为 a+b=(cos α +cos β ,sin α +sin β )=(0,1),所以 ?

?cos ? ? cos ? ? 0, ?sin ? ? sin ? ? 1,

由此得 cos α =cos(π -β ).由 0<β <π ,得 0<π -β <π ,又 0<α <π ,故 α =π -β .代入 sin α +sin β =1,得 sin α =sin β =

1 5π π ,而 α >β ,所以 ? ? ,? ? . 2 6 6

16.证明:(1)因为 AS=AB,AF⊥SB,垂足为 F,所以 F 是 SB 的中点.又因为 E 是 SA 的中点,所以 EF∥ AB. 因为 EF 平面 ABC,AB ? 平面 ABC, 所以 EF∥平面 ABC. 同理 EG∥平面 ABC.又 EF∩EG=E, 所以平面 EFG∥平面 ABC. (2)因为平面 SAB⊥平面 SBC,且交线为 SB,又 AF ? 平面 SAB,AF⊥SB,所以 AF⊥平面 SBC.因为 BC ? 平面 SBC,所以 AF⊥BC. 又因为 AB⊥BC,AF∩AB=A,AF,AB ? 平面 SAB,所以 BC⊥平面 SAB. 因为 SA ? 平面 SAB,所以 BC⊥SA. 17.解:(1)由题设,圆心 C 是直线 y=2x-4 和 y=x-1 的交点,解得点 C(3,2),于是切线的斜率必存在.
2013 江苏数学(文理合卷) 第9页

设过 A(0,3)的圆 C 的切线方程为 y=kx+3, 由题意,

| 3k ? 1| k ?1
2

=1,解得 k=0 或 ?

3 , 4

故所求切线方程为 y=3 或 3x+4y-12=0. 2 2 (2)因为圆心在直线 y=2x-4 上,所以圆 C 的方程为(x-a) +[y-2(a-2)] =1. 设点 M(x,y),因为 MA=2MO,
2 2 2 2 所以 x ? ? y ? 3? =2 x ? y ,化简得 x +y +2y-3=0,即 x +(y+1) =4,所以点 M 在以 D(0,-1)
2 2 2 2

为圆心,2 为半径的圆上. 由题意,点 M(x,y)在圆 C 上,所以圆 C 与圆 D 有公共点,则|2-1|≤CD≤2+1, 即1 ?
2 2

a 2 ? ? 2a ? 3?2 ? 3 .

由 5a -12a+8≥0,得 a∈R; 由 5a -12a≤0,得 0≤a≤

12 . 5

? 12 ? . ? 5? ? 12 3 5 4 18.解:(1)在△ABC 中,因为 cos A= ,cos C= ,所以 sin A= ,sin C= . 13 5 13 5 5 3 12 4 63 从而 sin B=sin[π -(A+C)]=sin(A+C)=sin Acos C+cos Asin C= ? ? ? ? . 13 5 13 5 65 AB AC AC 1260 4 由正弦定理 ,得 AB ? ? ? sin C ? ? =1 040(m). 63 5 sin C sin B sin B 65
所以点 C 的横坐标 a 的取值范围为 ?0, 所以索道 AB 的长为 1 040 m. (2)假设乙出发 t min 后,甲、乙两游客距离为 d,此时,甲行走了(100+50t) m,乙距离 A 处 130t m, 所以由余弦定理得 d =(100+50t) +(130t) -2×130t×(100+50t)× 因 0≤t≤
2 2 2

12 2 =200(37t -70t+50), 13

35 1040 ,即 0≤t≤8,故当 t ? (min)时,甲、乙两游客距离最短. 37 130 BC AC AC 1260 5 (3)由正弦定理 ,得 BC= ? ? sin A ? ? =500(m). 63 13 sin A sin B sin B 65
乙从 B 出发时,甲已走了 50×(2+8+1)=550(m),还需走 710 m 才能到达 C.

500 710 1250 625 ,所以为使两位游客在 ? ? 3 ,解得 ?v? v 50 43 14 ?1250 625 ? C 处互相等待的时间不超过 3 min,乙步行的速度应控制在 ? (单位:m/min)范围内. , ? 43 14 ? ? n(n ? 1) 19.证明:由题设, Sn ? na ? d. 2 S n ?1 (1)由 c=0,得 bn ? n ? a ? d .又因为 b1,b2,b4 成等比数列,所以 b2 2 =b1b4, n 2 2 d? 3 ? ? ? 2 即 ? a ? ? =a ? a ? d ? ,化简得 d -2ad=0.因为 d≠0,所以 d=2a. 2? 2 ? ? ?
设乙步行的速度为 v m/min,由题意得 ?3 ? 因此,对于所有的 m∈N ,有 Sm=m a. * 2 2 2 2 从而对于所有的 k,n∈N ,有 Snk=(nk) a=n k a=n Sk. (2)设数列{bn}的公差是 d1,则 bn=b1+(n-1)d1,即
2013
* 2

nSn * =b1+(n-1)d1,n∈N ,代入 Sn 的表达式,整 n2 ? c
第 10 页

江苏数学(文理合卷)

理得,对于所有的 n∈N ,有 ? d1 ?
*

? ?

1 ? 3 ? 1 ? d ? n ? ? b1 ? d1 ? a ? d ? n 2 ? cd1n =c(d1-b1). 2 ? 2 ? ?

令 A= d1 ?

1 1 d ,B=b1-d1-a+ d ,D=c(d1-b1),则对于所有的 n∈N*,有 An3+Bn2+cd1n=D.(*) 2 2

在(*)式中分别取 n=1,2,3,4,得 A+B+cd1=8A+4B+2cd1=27A+9B+3cd1=64A+16B+4cd1,

?7 A ? 3B ? cd1 ? 0, ① ? 从而有 ?19 A ? 5 B ? cd1 ? 0, ② ? 21A ? 5 B ? cd ? 0, ③ 1 ?
由②,③得 A=0,cd1=-5B,代入方程①,得 B=0,从而 cd1=0.

1 1 d =0,b1-d1-a+ d =0,cd1=0. 2 2 1 若 d1=0,则由 d1 ? d =0,得 d=0,与题设矛盾,所以 d1≠0. 2
即 d1 ? 又因为 cd1=0,所以 c=0. 20.解:(1)令 f′(x)=
-1 -1

1 1 ? ax <0,考虑到 f(x)的定义域为(0,+∞),故 a>0,进而解得 x>a ?a ? x x
-1

,即 f(x)在(a ,+∞)上是单调减函数.同理,f(x)在(0,a )上是单调增函数.由于 f(x)在(1,+∞) -1 -1 x 上是单调减函数,故(1,+∞) ? (a ,+∞),从而 a ≤1,即 a≥1.令 g′(x)=e -a=0, x=ln a. 得 当 x<ln a 时,g′(x)<0;当 x>ln a 时,g′(x)>0.又 g(x)在(1,+∞)上有最小值,所以 ln a>1,即 a>e. 综上,有 a∈(e,+∞). x x (2)当 a≤0 时,g(x)必为单调增函数;当 a>0 时,令 g′(x)=e -a>0,解得 a<e ,即 x>ln a. -1 因为 g(x)在(-1,+∞)上是单调增函数,类似(1)有 ln a≤-1,即 0<a≤e . -1 结合上述两种情况,有 a≤e . ①当 a=0 时,由 f(1)=0 以及 f′(x)=
a a

1 >0,得 f(x)存在唯一的零点; x
a

②当 a<0 时,由于 f(e )=a-ae =a(1-e )<0,f(1)=-a>0,且函数 f(x)在[e 1]上的图象不间断, a, 所以 f(x)在(e 1)上存在零点.

a,

1 -a>0,故 f(x)在(0,+∞)上是单调增函数,所以 f(x)只有一个零点. x 1 -1 -1 -1 -1 ③当 0<a≤e 时, f′(x)= -a=0, 令 解得 x=a .当 0<x<a 时, ′(x)>0, x>a 时, ′(x) f 当 f x
另外,当 x>0 时,f′(x)= <0,所以,x=a 是 f(x)的最大值点,且最大值为 f(a )=-ln a-1. -1 当-ln a-1=0,即 a=e 时,f(x)有一个零点 x=e. -1 当-ln a-1>0,即 0<a<e 时,f(x)有两个零点. -1 -1 -1 -1 -1 -1 实际上,对于 0<a<e ,由于 f(e )=-1-ae <0,f(a )>0,且函数 f(x)在[e ,a ]上的图象不 -1 -1 间断,所以 f(x)在(e ,a )上存在零点. 另外,当 x∈(0,a )时,f′(x)=
-1 -1 -1

1 -1 -1 -a>0,故 f(x)在(0,a )上是单调增函数,所以 f(x)在(0,a ) x

上只有一个零点. -1 a-1 -2 a-1 下面考虑 f(x)在(a ,+∞)上的情况.先证 f(e )=a(a -e )<0. x 2 x 2 x x 为此,我们要证明:当 x>e 时,e >x .设 h(x)=e -x ,则 h′(x)=e -2x,再设 l(x)=h′(x)=e -2x, x 则 l′(x)=e -2. x 当 x>1 时,′(x)=e -2>e-2>0, l 所以 l(x)=h′(x)在(1, +∞)上是单调增函数. 故当 x>2 时,′(x) h x 2 =e -2x>h′(2)=e -4>0, 从而 h(x)在(2,+∞)上是单调增函数,进而当 x>e 时, h(x)=ex-x2>h(e)=ee-e2>0.即当 x>e 时,ex>x2. -1 -1 a-1 -1 a-1 -2 a-1 -1 -1 当 0<a<e ,即 a >e 时,f(e )=a -ae =a(a -e )<0,又 f(a )>0,且函数 f(x)在[a ,
2013 江苏数学(文理合卷) 第 11 页

e

a-1

]上的图象不间断,所以 f(x)在(a ,e
-1

-1

a-1

)上存在零点.又当 x>a 时,f′(x)=
-1

-1

1 -a<0,故 f(x) x

在(a ,+∞)上是单调减函数,所以 f(x)在(a ,+∞)上只有一个零点. -1 综合①,②,③,当 a≤0 或 a=e 时,f(x)的零点个数为 1, -1 当 0<a<e 时,f(x)的零点个数为 2. 数学Ⅱ(附加题) 【选做题】本题包括 A、B、C、D 四小题,请选定其中两小题,并在相应的答题区域内作答.若多做,则 ...................... 按作答的前两小题评分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 21.证明:连结 OD.因为 AB 和 BC 分别与圆 O 相切于点 D,C,

所以∠ADO=∠ACB=90°. 又因为∠A=∠A,所以 Rt△ADO∽Rt△ACB. 所以

BC AC . ? OD AD
?a b ? ? ?10 ? ? a b ? ?1 0 ? ??a ? b ? , ? 则 =? , ? 即 ? ?? ? ? ? ?c d ? ? 02 ? ?c d ? ? 0 1? ? 2c 2 d ?

又 BC=2OC=2OD,故 AC=2AD. B. [选修 4-2: 矩阵与变换]解: 设矩阵 A 的逆矩阵为 ? =?

?1 ?0

0? , 1? ?

? ?1 0 ? 1 -1 故 a=-1,b=0,c=0, d ? ,从而 A 的逆矩阵为 A = ? 1?, ?0 ? 2 ? 2? ? ?1 0 ? ?1 2 ? ? ?1 ? 2 ? -1 所以 A B= ? = . 1? ? ?0 ? ?0 6 ? ?0 3? ? ? ? ? 2?
C.解:因为直线 l 的参数方程为?
?x=t+1, ? ? ?y=2t

(t 为参数),由 x=t+1 得 t=x-1,代入 y=2t,得到直

线 l 的普通方程为 2x-y-2=0. 2 同理得到曲线 C 的普通方程为 y =2x. 联立方程组 ?

? y ? 2? x ? 1?, ?1 ? 解得公共点的坐标为(2,2), ? , ?1 ? . 2 ?2 ? ? y ? 2 x,
3 3 2 2 2 2 2 2 2 2

D.证明:2a -b -(2ab -a b)=2a(a -b )+b(a -b )=(a -b )(2a+b)=(a-b)(a+b)(2a+b). 因为 a≥b>0,所以 a-b≥0,a+b>0,2a+b>0, 3 3 2 2 从而(a-b)(a+b)(2a+b)≥0,即 2a -b ≥2ab -a b. 【必做题】第 22 题、第 23 题,每题 10 分,共计 20 分.请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文字 ...... 说明、证明过程或演算步骤. 22. 解:(1)以 A 为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系 A-xyz,

2013

江苏数学(文理合卷)

第 12 页

则 A(0,0,0),B(2,0,0),C(0,2,0),D(1,1,0),A1(0,0,4),C1(0,2,4), 所以 A1 B =(2,0,-4), C1 D =(1,-1,-4).

????

???? ?

???? ???? ? ???? ???? ? A1 B ? C1 D 因为 cos〈 A1 B , C1 D 〉= ???? ???? ? A1 B C1 D


18 3 10 ? , 10 20 ? 18

3 10 . 10 ???? ? ???? ? ???? ???? AC (2)设平面 ADC1 的法向量为 n1=(x,,), y z 因为 AD =(1,1,0), 1 =(0,2,4), 所以 n1· AD =0,1· AC1 n
所以异面直线 A1B 与 C1D 所成角的余弦值为 =0,即 x+y=0 且 y+2z=0,取 z=1,得 x=2,y=-2,所以,n1=(2,-2,1)是平面 ADC1 的一个法向 量.取平面 AA1B 的一个法向量为 n2=(0,1,0),设平面 ADC1 与平面 ABA1 所成二面角的大小为 θ . 由|cos θ |=

n1 ? n2 2 2 5 ? ? ,得 sin θ = . | n1 || n2 | 3 9? 1 3

因此,平面 ADC1 与平面 ABA1 所成二面角的正弦值为

5 . 3

23.解:(1)由数列{an}的定义得 a1=1,a2=-2,a3=-2,a4=3,a5=3,a6=3,a7=-4,a8=-4,a9 =-4,a10=-4,a11=5,所以 S1=1,S2=-1,S3=-3,S4=0,S5=3,S6=6,S7=2,S8=-2,S9=-6, S10=-10,S11=-5,从而 S1=a1,S4=0×a4,S5=a5,S6=2a6,S11=-a11,所以集合 P11 中元素的个数为 5. * (2)先证:Si(2i+1)=-i(2i+1)(i∈N ). 事实上,①当 i=1 时,Si(2i+1)=S3=-3,-i(2i+1)=-3,故原等式成立; 2 2 ②假设 i=m 时成立,即 Sm(2m+1)=-m(2m+1),则 i=m+1 时,S(m+1)(2m+3)=Sm(2m+1)+(2m+1) -(2m+2) =- m(2m+1)-4m-3=-(2m2+5m+3)=-(m+1)(2m+3). 2 2 综合①②可得 Si(2i+1)=-i(2i+1). 于是 S(i+1)(2i+1)=Si(2i+1)+(2i+1) =-i(2i+1)+(2i+1) =(2i+1)(i +1). 由上可知 Si(2i+1)是 2i+1 的倍数,而 ai(2i+1)+j=2i+1(j=1,2,…,2i+1),所以 Si(2i+1)+j=Si(2i+1)+j(2i +1)是 ai(2i+1)+j(j=1,2,…,2i+1)的倍数.又 S(i+1)(2i+1)=(i+1)(2i+1)不是 2i+2 的倍数,而 a(i+1)(2i +1)+j=-(2i+2)(j=1,2,…,2i+2),所以 S(i+1)(2i+1)+j=S(i+1)(2i+1)-j(2i+2)=(2i+1)(i+1)-j(2i +2)不是 a(i+1)(2i+1)+j(j=1,2,…,2i+2)的倍数,故当 l=i(2i+1)时,集合 Pl 中元素的个数为 1+3+… 2 2 +(2i-1)=i ,于是,当 l=i(2i+1)+j(1≤j≤2i+1)时,集合 Pl 中元素的个数为 i +j. 2 又 2 000=31×(2×31+1)+47,故集合 P2 000 中元素的个数为 31 +47=1 008.

2013

江苏数学(文理合卷)

第 13 页


赞助商链接
更多相关文档:

2013年高考理科数学江苏卷试题与答案word解析版

2013年高考理科数学江苏卷试题与答案word解析版_高考_高中教育_教育专区。2013 年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学(江苏卷) 数学Ⅰ试题一、填空题:本大题共 ...

2013年高考理科数学江苏卷试题与答案word解析版

2013年高考理科数学江苏卷试题与答案word解析版_高考_高中教育_教育专区。2013 年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学(江苏卷) 数学Ⅰ试题一、填空题:本大题共 ...

2013年高考江苏数学试题及答案(word解析版)

2013年高考江苏数学试题答案(word解析版)_高考_高中教育_教育专区。2013年高考江苏数学试题答案解析,公式全部mathtype编辑,格式工整。...

2013年高考理科数学天津卷试题与答案word解析版

2013年高考理科数学天津卷试题与答案word解析版_高考_高中教育_教育专区。2013 年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学理工农医类 (天津卷) 第Ⅰ卷一、选择题:在...

2013年高考理科数学全国新课标卷1试题与答案word解析版

2013年高考理科数学全国新课标卷1试题与答案word解析版_高考_高中教育_教育专区。2013 年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学理工农医类 (全国新课标卷 I) 第Ⅰ...

2013年高考理科数学山东卷试题与答案word解析版[1]

2013年高考理科数学山东卷试题与答案word解析版[1]_数学_高中教育_教育专区。2013...2013 山东理科数学 第4页 21.(2013 山东,理 21)(本小题满分 13 分)设...

2013年江苏省高考数学试卷及答案(Word解析版)

2013年江苏省高考数学试卷答案(Word解析版) - 2013 年普通高等学校统一考试试题(江苏卷) 一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共计 70 分。请把...

2013年高考理科数学四川卷试题与答案word解析版

2013年高考理科数学四川卷试题与答案word解析版_高考_高中教育_教育专区。2013 年...2013年高考理科数学江苏... 2013年高考理科数学全国... 2013年高考理科数学湖南...

2013年高考理科数学浙江卷试题与答案word解析版

2013年高考理科数学浙江卷试题与答案word解析版_高考_高中教育_教育专区。2013 年...2013 浙江理科数学 第7页 2 3 6 ,故选 D. ? 2 2 10. 答案:A 非选择...

2013年高考理科数学全国大纲卷试题与答案word解析版

2013年高考理科数学全国大纲卷试题与答案word解析版_高考_高中教育_教育专区。2013...2013年高考理科数学江苏... 2013年高考理科数学湖南... 2013年高考理科数学重庆...

更多相关标签:
网站地图

文档资料共享网 nexoncn.com copyright ©right 2010-2020。
文档资料共享网内容来自网络,如有侵犯请联系客服。email:zhit325@126.com