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湖北省孝感高级中学2014-2015学年高二数学下学期期末考试试题 理


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孝感高中 2014—2015 学年度高二下学期期末考试 数学试题(理科)
考试时间:120 分钟 分值:150 分 一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分. 在每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合的) 1.复数 i 2015 ( i 为虚数单位)的共轭

复数 是( .... A. 1 B. ? 1 ) C. i D. ?i

2 2.已知集合 A ? x y ? log 2 x ? 3 x ? 10 , B ? x ? 2 ? x ? 5 则 (CR A) ? B 等于(

?

?

??

?

?

)

A.?x | ?2 ? x ? 2? 3.下列命题中错误 的是( ..

B.?x | ?5 ? x ? ?2? )

C.?x | ?2 ? x ? 5?

D.?x | ?5 ? x ? 5?

A. ?x ? R, ( x ? 3)( x ? 7) ? ( x ? 4)( x ? 6) B. ?x ? R, x ? 2 ? x ? 3 ? 5 C. ?x ? R , 若 a ? b, 则 ax D. ?x ? R,
2

? bx 2
2

x ?3
2

x2 ? 2

?2
2 ) 2
正视图

2
侧视图

4.一个几何体的三视图如图所示,则这个几何体的体积是( A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

5.已知 x ? 0, y ? 0 ,且 x ?

2 2 ? 3 ,则 ? y 的最小值是( y x
C. 2 2 D. 3

2 )
俯视图 图

A. 1

B.

8 3

2 , 则 P(?3 ? ? ? 3) ? ( 6.已知随机变量 ? ~ N (0, ? ), 若 P(? ? 3) ? 0.023



A.0.477

B.0.628

C.0.954

D.0.977

1

文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com 7.函数 y ?

x 的图象大致为( ln x



A.
3

B. ) C. ? 45

C.

D.

8. (1 ? x )10 的展开式中 x 的系数为 ( A. ?120 B. 120

D. 45

9.第 29 届北京奥运会上,中国健儿取得了 51 金、21 银、28 铜的好成绩,位居金牌榜榜首, 由此许多人认为中国进入了世界体育强国之列, 也有许多人持反对意见, 有网友为此进行了 调查,在参加调查的 2548 名男性中有 1560 名持反对意见,2452 名女性中有 1200 名持反对 意见, 在运用这些数据说明性别对判断“中国进入了世界体育强国之列”是否有关系时, 用 什么方法最有说服力 ( A.平均数与方差 ) B.回归直线方程 C.独立性检验 D.概率

10.正四棱锥 S ? ABCD 底面边长为 2,高为 1, E 是边 BC 的中点,动点 P 在四棱锥表面上 运动,并且总保持 PE ? AC ? 0 ,则动点 P 的轨迹的周长是 ( A. 1 ? 2 B. 2 ? 3 C. 2 2 D. 2 3

??? ? ??? ?

)

11. 双曲线

x2 y2 ? ? 1?a ? 0, b ? 0 ?与抛物线 y 2 ? 2 px( p ? 0) 相交于 A, B 两点, 公共弦 AB 恰 a2 b2
) D. 2 ? 2

好过它们的公共焦点 F ,则双曲线 C 的离心率为( A. 2 B. 1? 2 C. 2 2

12.已知函数 f ( x) ? ?

1 3 x ? x2 ? ( m2 ? 1) x, ( x ? R, m ? 0) ,若 f ( x) 有三个互不相同的零点 3


0, x1 , x2 , 且 x1 ? x2 , 若对任意 x ?? x1 , x2 ? , f ( x) ? f (1) 成立, 则实数 m 的取值范围是 (
A. ? ,

?1 3? ?2 3 ? ? ? ?

B. ? 0,

? ? ?

3? ? 3 ? ?

C. ?

?1 ? ,1 ? ?2 ?

D. ?

? 3 ? ? 3 ,1? ? ? ?
2

文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. 把答案填在题中横线上) 13. 在正方体 ABCD ? A1B1C1D1 中,E , F 分别是线段 C1 D1 , A1 B1 上的点且 C1 E ? A1 F ? 则直线 BE 与 DF 所成角的余弦值是 .

1 A1 B1 , 3

14.某年孝感高中校园歌手大赛后,甲、乙、丙、丁四名同学猜测他们之中谁能获奖. 甲说:“如果我能获奖,那么乙也能获奖.”乙说:“如果我能获奖,那么丙也能获奖.” 丙说:“如果丁没获奖,那么我也不能获奖.”实际上,他们之中只有一个人没有获奖,并 且甲、乙、丙说的话都是真的.那么没能获奖的同学是_____________. 15. 如图所示, 直线 y ? kx 分抛物线 y ? x ? x 与 x 轴所围
2

成图形为面积相等的两部分,则实数 k 的值 为 .

16.如果对任意一个三角形,只要它的三边 a, b, c 都在函数

f ( x) 的定义域内,就有 f (a), f (b), f (c) 也是某个三角形的三边长,则称 f ( x) 为“和美
型函数”.现有下列函数: ① f ( x) ?

x;
x

② g ( x) ? sin x, x ? (0, ? ) ;

③ ? ( x) ? 2 ; ④ h( x) ? ln x, x ? [2, ??) . 其中是“和美型函数”的函数序号为

. (写出所有正确的序号)

三、解答题(解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 17 . (本小题满分 12 分)已知
2 p : x 2 ? mx ? 1 ? 0 有两个不相等 的负实数 根, q : 方程 4 x + (4m - 2) x + 1 = 0 无实数根. ... ... (Ⅰ)若 p 为真,求实数 m 的取值范围;

(Ⅱ)若 p 或 q 为真, p 且 q 为假,求实数 m 的取值范围. 18. (本小题满分 12 分)三棱锥被平行于底面 ABC 的平面所截得的几何体如图所示,截面为

A1 B1C1 ,?BAC ? 90? ,A1 A ^ 平面 ABC ,A1 A =

3 , AB =

2 ,AC = 2 ,AC 1 1 = 1,
A1 B1 A B D
3

BD 1 = . DC 2
(Ⅰ)证明: BC ? 平面 A1 AD ; (Ⅱ)求二面角 A - CC1 - B 的余弦值.

C1

C

文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com 19. (本小题满分 12 分)某地区因干旱缺水,政府向市民宣传节约用水,并进行广泛动员. 三 个月后,统计部门在一个小区随机抽取了 100 户家庭,分别调查了他们在政府动员前后三个月 的月平均用水量(单位:吨) ,将所得数据分组,画出频率分布直方图(如图所示).

(Ⅰ) 已知该小区共有居民 10000 户, 在政府进行节水动员前平均每月用水量是 8.96×10 吨,请估计该小区在政府动员后比动员前平均每月节约用水多少吨.

4

(Ⅱ)为了解动员前后市民的节水情况,媒体计划在上述家庭中,从政府动员前月均用水 量在 ?12,16? 范围内的家庭中选出 5 户作为采访对象,其中在 ?14,16? 内的抽到 x 户,求 x 的分布 列和期望.

20. (本小题满分 12 分)如图所示,已知椭圆 E :

x2 y2 ? ? 1 (a ? b ? 0) 的长轴长是短轴长 a2 b2

的两倍,且过点 C ? 2,1? ,点 C 关于原点 O 的对称点为点 D . (Ⅰ)求椭圆 E 的方程; (Ⅱ)点 P 在椭圆 E 上,直线 CP 和 DP 的斜率都存 在且不为 0 ,试问直线 CP 和 DP 的斜率之积是否为定 值?若是,求此定值;若不是,请说明理由; (Ⅲ)平行于 CD 的直线 l 交椭圆 E 于 M、N 两点, 求 ?CMN 的面积的最大值,并求此时直线 l 的方程.

x

4

文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com 21. (本小题满分 12 分)已知函数 f ( x) ? ax ? 象在点 ?1, f (1) ? 处的切线方程为 y ? x ? 1 . (Ⅰ)若 a ? 1,求函数 f ( x) 的解析式; (Ⅱ)若 f ( x) ? g ( x) 在 ?1,?? ? 上恒成立,求实数 a 的取值范围; (Ⅲ)证明: 1 ?

b ? c(a ? 0), g ( x) ? ln x ,其中函数 f ( x) 的图 x

1 1 1 n ( n ? 1) . ? ? ? ? ? ln(n ? 1) ? 2 3 n 2(n ? 1)

请考生在第 22、23、24 题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分. 作答时请 写清题号. 22. (本小题满分 10 分)如图所示,已知半圆的直径 AB ? 6cm ,CD 是半圆上长为 2cm 的弦, 问:当弦 CD 在半圆上滑动时, AC 和 BD 延长线的夹角是定值吗?若是,试求出这个定 角的正弦值;若不是,请说明理由.

5

文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com 23. (本小题满分 10 分)在直角坐标系 xOy 中,曲线 C 的参数方程为 ?

?x ? 2 ? t (t 为参数) ,以 ? y ? t ?1

该直角坐标系的原点为极点, x 轴的正半轴为极轴的极坐标系下,曲线 P 的方程为

? 2 ? 4? cos? ? 3 ? 0 .
(Ⅰ)求曲线 C 和曲线 P 的普坐标方程; (Ⅱ)设曲线 C 和曲线 P 的交点为 A、B,求 AB .

24. (本小题满分 10 分)设函数 f ? x ? ? x ? 1 ? x ? 5 . (Ⅰ)解关于 x 的不等式 f ? x ? ? 10 ; (Ⅱ)若 f ? x ? ?

4 ? 2 对任意的实数 x 恒成立,求实数 t 的取值范围. t

6

文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com 孝感高中 2014—2015 学年度高二下学期期末考试 数学试题(理科)参考答案

一.选择题 1~5 CADDB 二.填空题

6~10 CDACB

11~12 BA

1 13. 19
三.解答题

3

14. 甲

15.

4 ? 1 16. ①④ 2

?? ? m2 ? 4 ? 0 17. 解: (Ⅰ)由题意知: ? ? ?m? 0
(Ⅱ)若 q 为真, ? ? ?4m ? 2? ?16 ? 0
2

?m ? 2

??

1 3 ?m? 2 2

? p 或 q 为真, p 且 q 为假 ? p, q 必为一真一假
①当 p 为真 q 为假时, ?

m?2 1 3 m ? ? 或m ? ? 2 2 ? ? ?

?m ? 2

②当 p 为假 q 为真时, ? 1

? ? m?2 3 ? ?m? ? 2 ? 2

??

1 3 ?m? 2 2

综上可知: m ? ? ?

? 1 3? , ? ? ?2,??? ? 2 2?

18. (Ⅰ)以 AB、AC、AA1 分别为 x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系 则 A(0, 0,, 0) B( 2, 0,, 0) C(0, 2,, 0) A1 (0, 0,3),C1(01 , ,3) ,

? BD : DC = 1: 2 , \ BD =

? 1 ??? BC . 3 骣 ? ???? ???? 骣 2 2 2 ÷ 2 2 2 ÷ ??? ÷ ÷ . \ AD = ? , BC = (- 2, 2 ,, 0) AA1 = (0, 0,3) . , , 0 ,, 0 \ D 点坐标为 ? ? ? ÷ ÷ ? ? ? ? 桫3 3 ÷ 桫3 3 ÷ ??? ? ???? ??? ? ???? ? BC?AA1 = 0 , BC ?AD = 0 , \ BC ^ AA1 , BC ^ AD ,又 A1 A ? AD = A ,
7

??? ?

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\ BC ^ 平面 A1 AD
(Ⅱ)? BA ^ 平面 ACC1 A1 ,取 m = AB = ( 2, 0, 0) 为平面 ACC1 A1 的法向量, 设平面 BCC1 B1 的法向量为 n = (l,m,n) ,则 BC ? n = 0, CC1 ?n = 0 .

??? ?

??? ?

???? ?

ì ? - 2l + 2m = 0, \ ? \ l= í ? ? ? - m + 3n = 0,

2m,n =

3 m ,如图,可取 m = 1,则 n = 3

骣 3 ? ÷ 2, 1, ÷ ? ÷, ? ? 3÷ 桫

2? cos < m,n > =

2

0? 1 0?

3 3
2

骣3÷ ÷ ( 2) 2 + 02 + 02 ? ( 2) 2 + 12 + ? ? ÷ ? ? 桫3 ÷

=

15 。 5

19.(Ⅰ)根据直方图估计该小区在政府动员后平均每户居民的月均用水量为 (1×0.015+3×0.030+5×0.105+7×0.200+9×0.120+11×0.030)×2=6.88(吨). 于是可估计该小区在政府动员后比动员前平均每月可节约用水: 8.96×10 -6.88×10 =2.08×10 (吨). (Ⅱ)由动员前的直方图计算得月平均用水量在[12,14)范围内的家庭有 6 户,在[14,16)范围 内的有 3 户,因此 X 的可能取值有 0,1,2,3,
4 4 4

P( x ? 0) ?

5 C6 1 ? 5 C9 21

,

P( x ? 1) ?

1 4 C3 C6 5 ? 5 C9 14

,

P( x ? 2) ?

3 C32C6 10 ? 5 C9 21

,

3 2 C3 C6 5 P( x ? 3) ? ? 5 C9 42

所以 X 的分布列为 X P 0 1 2 3

所以 E ( X ) ? 0 ?

1 5 10 5 5 ? 1? ? 2 ? ? 3 ? ? 21 14 21 42 3

20. (Ⅰ)? 2a ? 2 ? 2b,? a ? 2b.
8

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? 椭圆 E 过点 C ?2,1? ,
?

22 1 ? 2 ? 1,? b ? 2 , a ? 2 2 , 2 4b b
x2 y2 ? ?1。 8 2

? 椭圆 E 的方程为

(Ⅱ)依题意,得 D 点的坐标为 ?? 2,?1? ,且点 D 在椭圆 E 上,直线 CP 和 DP 的斜率 kcp 和 k DP 均存在,设 P ? x, y ? ,则 kCP ?

y ?1 y ?1 , k DP ? , x?2 x?2

? kCP ? k DP ?

y ?1 y ?1 y 2 ?1 ? ? 。 x ? 2 x ? 2 x2 ? 4
x2 y2 y 2 ?1 1 ? ? 1 ,? x 2 ? 8 ? 4 y 2 , kCP ? k DP ? 2 ?? , 8 2 x ?4 4

又? 点 P 在椭圆 E 上,?

1 ? 直线 CP 和 DP 的斜率之积为定值 ? 。 4 1 (Ⅲ)? 直线 CD 的斜率为 ,CD 平行于直线 l , 2 1 ? 设直线 l 的方程为 y ? x ? t , 2 1 ? ? y ? 2 x?t 2 2 由? 2 ,消去 y 整理,得 x ? 2tx ? 2t ? 4 ? 0 2 ?x ? y ?1 2 ?8
?? ? 4t 2 ? 4 2t 2 ? 4 ? 4 4 ? t 2 ? 0 ? x1 ? x2 ? ?2t 则? ? x1 ? x2 ? 2t 2 ? 4 ?
? MN ?

设 M ?x1 , y1 ?, N ?x2 , y2 ? ,

?

? ?

?

?x1 ? x2 ?2 ? ? y1 ? y2 ?2
t

?1? ? 1 ? ? ? ? x1 ? x2 = 5 ? 4 ? t 2 ?? 2 ? t ? 2?, ?2?

2

点 C 到直线 MN 的距离为 d ?

1 1? 4

?

2t 5

,

9

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? S ?CMN ?

2t 1 1 4 2 2 2 MN ? d ? 5 ? 4 ? t2 ? = t ? 4 ? t ? t 4 ? t ? ? 2. 2 2 2 5
2

?

?

2 2 当且仅当 t ? 4 ? t , t ? 2 时取等号

? S ?CMN 的面积最大值为 2,此时直线 l 的方程为 y ?

1 x? 2。 2

' 21. (Ⅰ) f ? x ? ? a ?

?b?0 ? f ?1? ? a ? b ? c ? 0 b ,则有 ? ,解得 ? 2 x ?c ? ?1 ? f ' ?1? ? a ? b ? 1

? f ( x) ? x ? 1
(Ⅱ) 由 (Ⅰ) 知 f ? x ? ? ax ?

a ?1 a ?1 ? 1 ? 2a , ? 1 ? 2a ? ln x, 令 ? ? x ? ? f ? x ? ? g ( x ) ? ax ? x x
2

1? a ? ? a ? x ? 1? ? x ? ? a ? 1 1 ax ? x ? ? a ? 1? a ? ? ? , x ? ?1,??? ,则 ? ?1? ? 0, ? ' ? x ? ? a ? 2 ? ? x x x2 x2
(i)当 0 ? a ? 若1 ? x ?

1 1? a 时, ?1。 2 a

1? a ' ,则 ? ? x ? ? 0 , ? ? x ? 是减函数,所以 ? ? x ? ? ? ?1? ? 0 ,即 f ? x ? ? g ( x). a

故 f ? x ? ? g ( x) 在 ?1,?? ?上不恒成立. (ii)当 a ?

1 1? a 时, ?1。 2 a

若 x ? 1 ,则 ? ' ? x ? ? 0, ? ? x ? 是增函数,所以 ? ? x ? ? ? ?1? ? 0 ,即 f ? x ? ? g ( x), 故当 x ? 1 时, f ? x ? ? g ( x) . 综上所述,所求 a 的取值范围为 ? ,?? ? 。 (Ⅲ)解法一:由(Ⅱ)知当 a ?

?1 ?2

? ?

1 时,有 f ? x ? ? g ( x) ? x ? 1? 。 2
10

文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com 令a ?

1? 1? 1 , 有 f ? x ? ? ? x ? ? ? ln x 2? x? 2
1? 1? ? x ? ? ? ln x 。 2? x?
令x?

且当 x ? 1 时,

k ?1 ,有 k

ln

k ?1 1 k ?1 k 1? 1 1 ? ? ( ? ) ? ?(1 ? ) ? (1 ? ) k 2 k k ?1 2 ? k k ?1 ? ?

1?1 1 ? ? ln(k ? 1) ? ln k ? ? ? ?, k ? 1,2,3,.....,n , 2 ? k k ?1?
将上述 n 个不等式依次相加,得

ln?n ? 1? ?

1 ?1 1 1? 1 ? ? ? ?? ? ? ? , 2 ?2 3 n ? 2?n ? 1?
1 1 1 n ? ? ? ? ? ln?n ? 1? ? 2 3 n 2?n ? 1?
1 ? 1, 不等式成立. 4

整理得 1 ?

解法二:用数学归纳法证明. ①当 n ? 1 时,左边 ? 1 ,右边 ? ln 2 ? ②假设当 n ? k 时,不等式成立,就是

1?

1 1 1 k ? ? ? ? ? ln?k ? 1? ? 2 3 k 2?k ? 1?
k ?2 1 1 1 1 k 1 ? ln?k ? 1? ? ? ?? ? ? ? ln?k ? 1? ? ? 2?k ? 1? 2 3 k k ?1 2?k ? 1? k ? 1

那么 1 ?

由(Ⅱ)知,当 a ? 令a ?

1 时,有 f ?x ? ? ln x?x ? 1? 。 2

1? 1? 1 , 有 f ?x ? ? ? x ? ? ? ln x?x ? 1? 。 2? x? 2
k?2 1 ? k ? 2 k ?1 ? k ?2 ,得 ? ? ? ln?k ? 2? ? ln?k ? 1?. ? ? ln k ?1 2 ? k ?1 k ? 2 ? k ?1

令x?

? ln?k ? 1? ?

k ?2 k ?1 ? ln?k ? 2? ? . 2?k ? 1? 2(k ? 2)
11

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1 1 1 1 k ?1 。 ? ln?k ? 2? ? ? 1? ? ?? ? ? 2 3 k k ?1 2?k ? 2?
这就是说,当 n ? k ? 1 时,不等式也成立 根据①和②,可知不等式对任何 n ? N 都成立。 22. 是定值.理由如下,如图所示,连接 BC.
?

︵ ∵CD 为定长,虽 CD 滑动,但CD的度数不变 ∴∠P=∠ACB-∠PBC=90°-∠PBC,为定值. ∵∠PCD=∠PBA ∴△PCD∽△PBA

∴∠PBC 为定值,

PC CD 2 1 ∴ = = = . PB BA 6 3

在 Rt△PBC 中,cos∠P=

PC 1 = PB 3

∴sin∠P=

1 2 2 1 ? ( )2 ? 3 3

23.(I)由题意知曲线 C 的普通方程为: x ? y ? 1 ? 0 曲线 P 的普通方程为: x ? y ? 4 x ? 3 ? 0
2 2

? ?x ? 2? ? y 2 ? 1
2

(II)曲线 P 的圆心 ?2,0? 到直线 C : x ? y ? 1 ? 0 的距离 d ?

2 2

? AB ? 2 r 2 ? d 2 ? 2
24. (I) x ? 1 ? x ? 5 ? 10 ①当 x ? ?1 时, ? 2 x ? 4 ? 10 ,? x ? ?3 ②当 ? 1 ? x ? 5 时, 6 ? 10 ,不成立。 ③当 x ? 5 时, 2 x ? 4 ? 10,? x ? 7 综上可知: x ? ?? ?,?3?? ?7,???
12

? x ? ?3

?x ? 7

文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com (II)? f ?x? ? x ?1 ? x ? 5 ? x ?1 ? x ? 5 ? 6

4 1 ? ? 2 ? 6,? ? 1 t t

?t ? ?? ?,0? ? ?1,???

13


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