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求函数定义域和值域方法对应法则归纳1


<一>求函数定义域、值域方法和典型题归纳 一、基础知识整合 1.函数的定义:设集合 A 和 B 是非空数集,按照某一确定的对应关系 f,使得集合 A 中 任意一个数 x,在集合 B 中都有唯一确定的数 f(x)与之对应。 则称 f:为 A 到 B 的一个函 数。 2.由定义可知:确定一个函数的主要因素是①确定的对应关系(f),②集合 A 的取值范 围。由这两个条件就决定了 f(x)的取值范围③{y|y=f(x),x∈A}。 3.定义域:由于定义域是决定函数的重要因素,所以必须明白定义域指的是: (1)自变量放在一起构成的集合,成为定义域。 (2)数学表示:注意一定是用集合表示的范围才能是定义域,特殊的一个个的数时用 “列举法” ;一般表示范围时用集合的“描述法”或“区间”来表示。 4.值域:是由定义域和对应关系(f)共同作用的结果,是个被动变量,所以求值域时 一定注意求的是定义域范围内的函数值的范围。 (1)明白值域是在定义域 A 内求出函数值构成的集合:{y|y=f(x),x∈A}。 (2)明白定义中集合 B 是包括值域,但是值域不一定为集合 B。 5.函数的三种表示方法——解析法、图象法、列表法 6.分段函数是一个函数而非几个函数. 分段函数的定义域是各段上“定义域”的并集,其值域是各段上“值域”的并集. 分段函数的图象应分段来作,特别注意各段的自变量取区间端点处时函数的取值情况, 以决定这些点的实虚情况.w 二、求函数定义域 (一)求函数定义域的情形和方法总结 1 已知函数解析式时:只需要使得函数表达式中的所有式子有意义。 (1)常见要是满足有意义的情况简总: ①表达式中出现分式时:分母一定满足不为 0; ②表达式中出现根号时:开奇次方时,根号下可以为任意实数;开偶次方时,根号下 满足大于或等于 0(非负数) 。 ③表达式中出现指数时:当指数为 0 时,底数一定不能为 0. ④根号与分式结合,根号开偶次方在分母上时:根号下大于 0. ⑤表达式中出现指数函数形式时:底数和指数都含有 x,必须满足指数底数大于 0 且 不等于 1.(0<底数<1;底数>1) ⑥表达式中出现对数函数形式时:自变量只出现在真数上时,只需满足真数上所有式 子大于 0,且式子本身有意义即可;自变量同时出现在底数和真数上时,要同时满足真 数大于 0,底数要大于 0 且不等于 1.(

f ( x) ? log x ( x2 ?1) )

注: (1)出现任何情形都是要注意,让所有的式子同时有意义,及最后求的是所有式子 1

解集的交集。 ( 2 )求定义域时,尽量不要对函数解析式进行变形,以免发生变化。 ( 形如:

f ( x) ?

x2 ) x

例:已知函数解析式,求定义域的典型题 1.求下列函数的定义域

1 1 x2 ?1 0 (1) f ( x) ? x ? 4 ? ;(2) f ( x) ? ( x ? 1) ? ;(3) f ( x) ? ; x?3 x ?1 x ? 2 ?3
2.抽象函数(没有解析式的函数) 解题的方法精髓是“换元法” ,根据换元的思想,我们进行将括号为整体的换元思 路解题,所以关键在于求括号整体的取值范围。总结为: (1)给出了定义域就是给出了所给式子中 x 的取值范围; (2)求抽象函数的定义域个关键在于求 f(x)的取值范围,及括号的取值范围。 例 (1)若函数 f(x)的定义域为(-2,6) ,求 (2)若数 (3)若数

1 f ( x ? 1) 的定义域。 2

f ( x ? 1)的定义域为[-1,2],求函数 f ( x) 的定义域。

f ( x)的定义域为[0,2],求函数 g ( x ) ?

f (2 x) 的定义域 x ?1

(4)已知 f(x+1)的定义域为[-1,1],求 f(2x-1)的定义域 ? x | ?

? ?

1 3? ?x? ? 2 2?

3.与函数定义域有关的问题题(恒成立问题) ①若函数

f ( x) ?

x?4 的定义域为 R,求实数 m 的取值范围。 x ? (2m ? 1) x ? m 2
2

②函数 ③函数

y ? kx2 ? 2kx ? k ? 6 的定义域为 R,求 k 的取值范围。 f ( x) ? mx2 ? 6mx ? m ? 8 的定义域为 R,求 m 的取值范围。

二、求函数值域 (一)求函数值域方法和情形总结 1.直接观察法(利用函数图象) 一般用于给出图象或是常见的函数的情形,根据图象来看出 y 值的取值范围。 2

2.配方法 适用于二次函数型或是可以化解成二次函数型的函数,此时注意对称轴的位置,在 定义域范围内(以 a<0 为例) ,此时对称轴的地方为最大值,定义域为内端点离对称轴 最远的端点处有最小值;对称轴在定义域的两边则根据单调性来求值域。总结为三个要 点: (1)含参数的二次型函数,首先判断是否为二次型,即讨论 a; (2)a 不为 0 时, 讨论开口方向; (3)注意区间,即讨论对称轴。 例 1:求 3.分式型 (1)分离常量法:应用于分式型的函数,并且是自变量 x 的次数为 1,或是可以看作整 体为 1 的函数。具体操作:先将分母搬到分子的位子上去,观察与原分子的区别,不够 什么就给什么,化为 例 2: 求f

f ( x) ? x2 ? 4x ? 6在[1,5]上的值域.

y ?a?

d 。 bx ? c

( x) ?

5x ? 1 的值域. 4x ? 2

3.换元法 通过换元将一个复杂的问题简单化更便于求函数值域,一般函数特征是函数解析式 中含有根号形式,以及可将问题转换为我们熟悉的函数形式等问题。而换元法其主要是 让我们明白一种动态的方法来学习的一种思路,注重换元思维的培养,并不是专一的去 解答某类问题, 应该多加平时练习。 注: 换元的时候应及时确定换元后的元的取值范围。 例 3:求函数 解:令 t

f ( x) ? 2x ? x ?1 的值域

? x ?1, t ? 0, 则x ? t 2 ? 1,带入原函数解析式中得

1 15 y ? 2(t 2 ? 1) ? t ? 2t 2 ? t ? 2 ? 2(t ? )2 ? 4 8 因为, t ? 0
所以,函数的值域为

?15 ? y ? ? , ?? ? . ?8 ?

跟踪练习:求下列函数的域 (1) (3)

y ? 2sin 2 x ? 3cos x ?1

(2)

y ? 2 x ? 1 ? x ?1

(令 t= sin x ? cos x ) y ? sin x ? cos x ? sin x cos x ,

3

<二>函 数 解 析 式 的求 法

一、
例1 设

待定系数法:在已知函数解析式的构造时,可用待定系数法.

f ( x) 是一次函数,且 f [ f ( x)] ? 4 x ? 3 ,求 f ( x) .

解:设

f ( x) ? ax ? b (a ? 0) ,则 f [ f ( x)] ? af ( x) ? b ? a(ax ? b) ? b ? a2 x ? ab ? b
a2 ? 4 , ?ab ? b ? 3

?? ?

??

?a ? 2

?a ? ?2 .  或   ? b ? 1 b ? 3 ? ?

? f ( x) ? 2x ? 1  或   f ( x) ? ?2x ? 3 .

二、

配凑法: 已知复合函数

f [ g ( x)] 的表达式, 求 f ( x ) 的解析式, f [ g ( x)] 的

表达式容易配成 g ( x ) 的运算形式时, 常用配凑法. 但要注意所求函数 定义域不是原复合函数的定义域,而是 g ( x ) 的值域.

f ( x) 的

1 1 f ( x ? ) ? x 2 ? 2 ( x ? 0) ,求 f ( x) 的解析式. x x 1 1 2 1 ? f ( x ? ) ? ( x ? ) ? 2 , x ? ? 2 , ? f ( x) ? x 2 ? 2 ( x ? 2) . 解: x x x
例2 已知 三、 换元法: 已知复合函数

f [ g ( x)] 的表达式时, 还可以用换元法求 f ( x ) 的解析式. 与

配凑法一样,要注意所换元的定义域的变化. 例3 已知

f ( x ? 1) ? x ? 2 x ,求 f ( x ? 1) .


解:令 t

? x ? 1 ,则 t ? 1 , x ? (t ? 1) 2

? f ( x ? 1) ? x ? 2 x , ? f (t ) ? (t ? 1) 2 ? 2(t ? 1) ? t 2 ? 1,
? f ( x) ? x 2 ? 1
( x ? 0) .
四、构造方程组法:若已知的函数关系较为抽象简约,则可以对变量进行置换,设法构 造方程组,通过解方程组求得函数解析式. 例4 设

( x ? 1)



? f ( x ? 1) ? ( x ? 1) 2 ? 1 ? x 2 ? 2x

1 f ( x)满足 f ( x) ? 2 f ( ) ? x, 求 f ( x) . x
4



1 ? f ( x) ? 2 f ( ) ? x ① x 1 1 1 显然 x ? 0, 将 x 换成 ,得: f ( ) ? 2 f ( x) ? x x x x 2 解① ②联立的方程组,得: f ( x) ? ? ? . 3 3x
五.判段函数为同一函数的方法:定义域和对应法则



例:与 y=|x|为相等函数的是________.(填序号) ? x>0? ?x 3 ①y=( x)2;②y= x2;③y=? ;④y= x3 ?-x ? x<0?

5


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