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2012年北京市高考数学试卷(理科)


2012 年北京市高考数学试卷(理科)

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2012 年北京市高考数学试卷(理科)
一、选择题共 8 小题.每小题 5 分.共 40 分.在每小题列出的四个选项中,选出符合胜目要求的一项. 1. 分) (5 (2012?北京)已知集合 A={x∈R|3x+2>0﹜,B={x∈R|(x

+1) (x﹣3)>0﹜,则 A∩ B=( A.(﹣∞,﹣1) B. C. D.(3,+∞) (﹣1, ) ﹙ ,3﹚ )

2. 分) (5 (2012?北京)设不等式组 原点的距离大于 2 的概率是( ) A. B.

,表示的平面区域为 D,在区域 D 内随机取一个点,则此点到坐标

C.

D.

3. 分) (5 (2012?北京)设 a,b∈R.“a=O”是“复数 a+bi 是纯虚数”的( ) A.充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 4. 分) (5 (2012?北京)执行如图所示的程序框图,输出的 S 值为( )

A.2

B.4

C.8

D.16 )

5. 分) (5 (2012?北京)如图,∠ ACB=90°,CD⊥ 于点 D,以 BD 为直径的圆与 BC 交于点 E.则( AB

A.CE?CB=AD?DB

B.CE?CB=AD?AB

C.AD?AB=CD2

D.CE?EB=CD2

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www.jyeoo.com 6. 分) (5 (2012?北京)从 0、2 中选一个数字.从 1、3、5 中选两个数字,组成无重复数字的三位数.其中奇数的 个数为( ) A.24 B.18 C.12 D.6 7. 分) (5 (2012?北京)某三棱锥的三视图如图所示,该三棱锥的表面积是( )

A.28+6

B.30+6

C.56+12

D.60+12

8. 分) (5 (2012?北京)某棵果树前 n 年的总产量 Sn 与 n 之间的关系如图所示.从目前记录的结果看,前 m 年的 年平均产量最高,则 m 的值为( )

A.5

B.7

C.9

D.11

二.填空题共 6 小题.每小题 5 分.共 30 分. 9. 分) (5 (2012?北京) 直线 (t 为参数) 与曲线 (α 为参数) 的交点个数为 _________ .

10. 分) (5 (2012?北京)已知﹛an﹜是等差数列,sn 为其前 n 项和.若 a1= ,s2=a3,则 a2=

_________ .

11. 分) (5 (2012?北京)在△ ABC 中,若 a=2,b+c=7,cosB=﹣ ,则 b= _________ .

12. 分) (5 (2012?北京) 在直角坐标系 xOy 中. 直线 l 过抛物线 y =4x 的焦点 F. 且与该抛物线相交于 A、 两点. B 其 中点 A 在 x 轴上方.若直线 l 的倾斜角为 60°.则△ OAF 的面积为 _________ .

2

13. 分) (5 (2012?北京)己知正方形 ABCD 的边长为 1,点 E 是 AB 边上的动点.则
x

的值为

_________ .

14. 分) (5 (2012?北京)已知 f(x)=m(x﹣2m) (x+m+3) ,g(x)=2 ﹣2,若同时满足条件: ① ?x∈R,f(x)<0 或 g(x)<0; ② ?x∈(﹣∞,﹣4) ,f(x)g(x)<0. 则 m 的取值范围是 _________ .

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www.jyeoo.com 三、解答题公 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程. 15. (13 分) (2012?北京)已知函数 f(x)= (1)求 f(x)的定义域及最小正周期; (2)求 f(x)的单调递增区间. 16. (14 分) (2012?北京) 如图 1, Rt△ 在 ABC 中, C=90°, ∠ BC=3, AC=6, E 分别是 AC, 上的点, DE∥ D, AB 且 BC, DE=2,将△ ADE 沿 DE 折起到△ 1DE 的位置,使 A1C⊥ A CD,如图 2. (1)求证:A1C⊥ 平面 BCDE; (2)若 M 是 A1D 的中点,求 CM 与平面 A1BE 所成角的大小; (3)线段 BC 上是否存在点 P,使平面 A1DP 与平面 A1BE 垂直?说明理由. .

17. (13 分) (2012?北京)近年来,某市为促进生活垃圾的分类处理,将生活垃圾分为厨余垃圾、可回收物和其他 垃圾三类, 并分别设置了相应的垃圾箱, 为调查居民生活垃圾分类投放情况, 先随机抽取了该市三类垃圾箱总计 1000 吨生活垃圾,数据统计如下(单位:吨) ; “厨余垃圾”箱 “可回收物”箱 “其他垃圾”箱 400 100 100 厨余垃圾 30 240 30 可回收物 20 20 60 其他垃圾 (1)试估计厨余垃圾投放正确的概率; (2)试估计生活垃圾投放错误的概率; (3) 假设厨余垃圾在“厨余垃圾”箱、 “可回收物”箱、 “其他垃圾”箱的投放量分别为 a, c, b, 其中 a>0, a+b+c=600. 当 2 2 数据 a,b,c 的方差 s 最大时,写出 a,b,c 的值(结论不要求证明) ,并求此时 s 的值. (求:S = [
2

+

+…+

],其中 为数据 x1,x2,…,xn 的平均数)

18. (13 分) (2012?北京)已知函数 f(x)=ax +1(a>0) ,g(x)=x +bx (1)若曲线 y=f(x)与曲线 y=g(x)在它们的交点(1,c)处具有公共切线,求 a、b 的值; 2 (2)当 a =4b 时,求函数 f(x)+g(x)的单调区间,并求其在区间(﹣∞,﹣1)上的最大值. 19. (14 分) (2012?北京)已知曲线 C: (5﹣m)x +(m﹣2)y =8(m∈R) (1)若曲线 C 是焦点在 x 轴点上的椭圆,求 m 的取值范围; (2)设 m=4,曲线 c 与 y 轴的交点为 A,B(点 A 位于点 B 的上方) ,直线 y=kx+4 与曲线 c 交于不同的两点 M、 N,直线 y=1 与直线 BM 交于点 G.求证:A,G,N 三点共线. 20. (13 分) (2012?北京)设 A 是由 m×n 个实数组成的 m 行 n 列的数表,满足:每个数的绝对值不大于 1,且所有 数的和为零, s m, 为所有这样的数表构成的集合. 记 ( n) 对于 A∈S (m, , r(A) A 的第ⅰ n) 记 i 为 行各数之和 (1≤ⅰ , ≤m) Cj(A)为 A 的第 j 列各数之和(1≤j≤n) ;记 K(A)为|r1(A)|,|R2(A)|,…,|Rm(A)|,|C1(A)|,|C2(A) |,…,|Cn(A)|中的最小值. (1)如表 A,求 K(A)的值;
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2 2

2

3

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www.jyeoo.com 1 1 ﹣0.8 0.1 ﹣0.3 ﹣1 (2)设数表 A∈S(2,3)形如 1 1 c a b ﹣1 求 K(A)的最大值; (3)给定正整数 t,对于所有的 A∈S(2,2t+1) ,求 K(A)的最大值.

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2012 年北京市高考数学试卷(理科)
参考答案与试题解析
一、选择题共 8 小题.每小题 5 分.共 40 分.在每小题列出的四个选项中,选出符合胜目要求的一项. 1. 分) (5 (2012?北京)已知集合 A={x∈R|3x+2>0﹜,B={x∈R|(x+1) (x﹣3)>0﹜,则 A∩ B=( A.(﹣∞,﹣1) B. C. D.(3,+∞) (﹣1, ) ﹙ ,3﹚



考点: 专题: 分析: 解答:

一元二次不等式的解法;交集及其运算. 计算题. 求出集合 B,然后直接求解 A∩ B. 解:因为 B={x∈R|(x+1) (x﹣3)>0﹜={x|x<﹣1 或 x>3},
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又集合 A={x∈R|3x+2>0﹜={x|x 所以 A∩ B={x|x

},

}∩ {x|x<﹣1 或 x>3}={x|x>3},

故选 D. 点评: 本题考查一元二次不等式的解法,交集及其运算,考查计算能力.

2. 分) (5 (2012?北京)设不等式组 原点的距离大于 2 的概率是( ) A. B.

,表示的平面区域为 D,在区域 D 内随机取一个点,则此点到坐标

C.

D.

考点: 二元一次不等式(组)与平面区域;几何概型. 专题: 计算题. 分析: 本题属于几何概型,利用“测度”求概率,本例的测度即为区域的面积,故只要求出题中两个区域:由不等式 组表示的区域 和到原点的距离大于 2 的点构成的区域的面积后再求它们的比值即可. 解答: 解:其构成的区域 D 如图所示的边长为 2 的正方形,面积为 S1=4, 满足到原点的距离大于 2 所表示的平面区域是以原点为圆心,以 2 为半径的圆外部,
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面积为

=4﹣π,

∴ 在区域 D 内随机取一个点,则此点到坐标原点的距离大于 2 的概率 P= 故选 D.

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点评: 本题考查几何概型,几何概型的概率的值是通过长度、面积、和体积、的比值得到,本题是通过两个图形 的面积之比得到概率的值. 3. 分) (5 (2012?北京)设 a,b∈R.“a=O”是“复数 a+bi 是纯虚数”的( ) A.充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 考点: 专题: 分析: 解答: 复数的基本概念;必要条件、充分条件与充要条件的判断. 常规题型. 利用前后两者的因果关系,即可判断充要条件. 解:因为 a,b∈R.“a=O”时“复数 a+bi 不一定是纯虚数”. “复数 a+bi 是纯虚数”则“a=0”一定成立. 所以 a,b∈R.“a=O”是“复数 a+bi 是纯虚数”的必要而不充分条件. 故选 B. 点评: 本题考查复数的基本概念,必要条件、充分条件与充要条件的判断,考查基本知识的掌握程度.
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4. 分) (5 (2012?北京)执行如图所示的程序框图,输出的 S 值为(



A.2

B.4

C.8
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D.16

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www.jyeoo.com 考点: 专题: 分析: 解答: 循环结构. 计算题. 列出循环过程中 S 与 K 的数值,不满足判断框的条件即可结束循环. 解:第 1 次判断后 S=1,K=1, 第 2 次判断后 S=2,K=2, 第 3 次判断后 S=8,K=3, 第 4 次判断后 3<3,不满足判断框的条件,结束循环,输出结果:8. 故选 C. 点评: 本题考查循环框图的应用,注意判断框的条件的应用,考查计算能力.
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5. 分) (5 (2012?北京)如图,∠ ACB=90°,CD⊥ 于点 D,以 BD 为直径的圆与 BC 交于点 E.则( AB



A.CE?CB=AD?DB

B.CE?CB=AD?AB

C.AD?AB=CD2

D.CE?EB=CD2

考点: 与圆有关的比例线段. 专题: 计算题. 分析: 连接 DE,以 BD 为直径的圆与 BC 交于点 E,DE⊥ BE,由∠ ACB=90°,CD⊥ 于点 D,△ AB ACD∽CBD,由 △ 此利用三角形相似和切割线定理,能够推导出 CE?CB=AD?BD. 解答: 解:连接 DE, ∵ BD 为直径的圆与 BC 交于点 E, 以 ∴ BE, DE⊥ ∵ACB=90°,CD⊥ 于点 D, ∠ AB ∴ACD∽CBD, △ △
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2



∴ =AD?BD. CD 2 ∵ =CE?CB, CD ∴ CE?CB=AD?BD, 故选 A.

点评: 本题考查与圆有关的比例线段的应用,是基础题.解题时要认真审题,仔细解答,注意三角形相似和切割 线定理的灵活运用. 6. 分) (5 (2012?北京)从 0、2 中选一个数字.从 1、3、5 中选两个数字,组成无重复数字的三位数.其中奇数的 个数为( ) A.24 B.18 C.12 D.6

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www.jyeoo.com 考点: 计数原理的应用. 专题: 计算题. 分析: 分类讨论:从 0、2 中选一个数字 0,则 0 只能排在十位;从 0、2 中选一个数字 0,则 2 排在十位或百位, 由此可得结论. 解答: 解:从 0、2 中选一个数字 0,则 0 只能排在十位,从 1、3、5 中选两个数字排在个位与百位,共有 =6
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种; 从 0、2 中选一个数字 0,则 2 排在十位,从 1、3、5 中选两个数字排在个位与百位,共有 百位,从 1、3、5 中选两个数字排在个位与十位,共有 故共有 3 =18 种 =6 种; =6 种;2 排在

故选 B. 点评: 本题考查计数原理的运用,考查分类讨论的数学思想,正确分类是关键. 7. 分) (5 (2012?北京)某三棱锥的三视图如图所示,该三棱锥的表面积是( )

A.28+6 考点: 专题: 分析: 解答:

B.30+6

C.56+12

D.60+12

由三视图求面积、体积. 计算题. 通过三视图复原的几何体的形状,利用三视图的数据求出几何体的表面积即可. 解:三视图复原的几何体是底面为直角边长为 4 和 5 的三角形, 一个侧面垂直底面的等腰三角形,高为 4,底边长为 5,如图
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所以 S 底= =

=10,S 后= =6

,S 右= . .

=10,S 左

几何体的表面积为:S=S 底+S 后+S 右+S 左=30+6 故选 B.

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www.jyeoo.com 点评: 本题考查三视图与几何体的关系,注意表面积的求法,考查空间想象能力计算能力. 8. 分) (5 (2012?北京)某棵果树前 n 年的总产量 Sn 与 n 之间的关系如图所示.从目前记录的结果看,前 m 年的 年平均产量最高,则 m 的值为( )

A.5

B.7

C.9

D.11

考点: 函数的图象与图象变化;函数的表示方法. 专题: 图表型. 分析: 由已知中图象表示某棵果树前 n 年的总产量 S 与 n 之间的关系,可分析出平均产量的几何意义为原点与该 点边线的斜率,结合图象可得答案. 解答: 解:若果树前 n 年的总产量 S 与 n 在图中对应 P(S,n)点 则前 n 年的年平均产量即为直线 OP 的斜率 由图易得当 n=9 时,直线 OP 的斜率最大 即前 9 年的年平均产量最高, 故选 C 点评: 本题以函数的图象与图象变化为载体考查了斜率的几何意义,其中正确分析出平均产量的几何意义是解答 本题的关键.
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二.填空题共 6 小题.每小题 5 分.共 30 分. 9. 分) (5 (2012?北京)直线 (t 为参数)与曲线 (α 为参数)的交点个数为 2 .

考点: 圆的参数方程;直线与圆的位置关系;直线的参数方程. 专题: 计算题. 分析: 将参数方程化为普通方程,利用圆心到直线的距离与半径比较,即可得到结论. 解答: 解:直线 (t 为参数)化为普通方程为 x+y﹣1=0
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曲线

(α 为参数)化为普通方程为 x +y =9

2

2

∵ 圆心(0,0)到直线 x+y﹣1=0 的距离为 d= ∴ 直线与圆有两个交点 故答案为:2 点评: 本题考查参数方程与普通方程的互化,考查直线与圆的位置关系,属于基础题.

10. 分) (5 (2012?北京)已知﹛an﹜是等差数列,sn 为其前 n 项和.若 a1= ,s2=a3,则 a2=

1 .

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www.jyeoo.com 考点: 等差数列的前 n 项和;等差数列的通项公式. 专题: 计算题. 分析: 由﹛an﹜是等差数列,a1= ,S2=a3,知 =
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,解得 d= ,由此能求出 a2.

解答:

解:∵ n﹜是等差数列,a1= ,S2=a3, ﹛a ∴ = ,

解得 d= , a2= =1.

故答案为:1. 点评: 本题考查等差数列的性质和应用,是基础题.解题时要认真审题,仔细解答.

11. 分) (5 (2012?北京)在△ ABC 中,若 a=2,b+c=7,cosB=﹣ ,则 b= 4 .

考点: 解三角形. 专题: 计算题. 分析: 根据 a=2,b+c=7,cosB=﹣ ,利用余弦定理可得
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即可求得 b 的值. 解答: 解:由题意,∵ a=2,b+c=7,cosB=﹣ , ∴ ∴ b=4 故答案为:4 点评: 本题考查余弦定理的运用,解题的关键是构建关于 b 的方程,属于基础题. 12. 分) (5 (2012?北京) 在直角坐标系 xOy 中. 直线 l 过抛物线 y =4x 的焦点 F. 且与该抛物线相交于 A、 两点. B 其 中点 A 在 x 轴上方.若直线 l 的倾斜角为 60°.则△ OAF 的面积为 . 考点: 专题: 分析: 解答: 直线与圆锥曲线的综合问题;直线的倾斜角;抛物线的简单性质. 综合题. 确定直线 l 的方程,代入抛物线方程,确定 A 的坐标,从而可求△ OAF 的面积.
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2

解:抛物线 y =4x 的焦点 F 的坐标为(1,0) ∵ 直线 l 过 F,倾斜角为 60° ∴ 直线 l 的方程为: 代入抛物线方程,化简可得 ∴ y=2 ,或 y=﹣ ,即

2

∵ 在 x 轴上方 A ∴OAF 的面积为 △ =

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www.jyeoo.com 故答案为: 点评: 本题考查抛物线的性质,考查直线与抛物线的位置关系,确定 A 的坐标是解题的关键.

13. 分) (5 (2012?北京)己知正方形 ABCD 的边长为 1,点 E 是 AB 边上的动点.则

的值为 1 .

考点: 平面向量数量积的运算. 专题: 计算题. 分析: 直接利用向量转化,求出数量积即可. 解答: 解:因为 = =
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=

=1.

故答案为:1

点评: 本题考查平面向量数量积的应用,考查计算能力. 14. 分) (5 (2012?北京)已知 f(x)=m(x﹣2m) (x+m+3) ,g(x)=2 ﹣2,若同时满足条件: ① ?x∈R,f(x)<0 或 g(x)<0; ② ?x∈(﹣∞,﹣4) ,f(x)g(x)<0. 则 m 的取值范围是 (﹣4,﹣2) . 考点: 全称命题;二次函数的性质;指数函数综合题. 专题: 计算题. x 分析: ① 由于 g(x)=2 ﹣2≥0 时,x≥1,根据题意有 f(x)=m(x﹣2m) (x+m+3)<0 在 x>1 时成立,根据二次 函数的性质可求 x ② 由于 x∈(﹣∞,﹣4) ,f(x)g(x)<0,而 g(x)=2 ﹣2>0,则 f(x)=m(x﹣2m) (x+m+3)<0 在 x∈(﹣∞,﹣4)时成立,结合二次函数的性质可求 解答: 解:对于①g(x)=2x﹣2,当 x<1 时,g(x)<0, ∵ 又∵?x∈R,f(x)<0 或 g(x)<0 ① ∴ f(x)=m(x﹣2m) (x+m+3)<0 在 x≥1 时恒成立 则由二次函数的性质可知开口只能向下,且二次函数与 x 轴交点都在(1,0)的左面
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x



∴ ﹣4<m<0 即① 成立的范围为﹣4<m<0 又∵x∈(﹣∞,﹣4) ② ,f(x)g(x)<0 x ∴ 此时 g(x)=2 ﹣2<0 恒成立 ∴ f(x)=m(x﹣2m) (x+m+3)>0 在 x∈(﹣∞,﹣4)有成立的可能,则只要﹣4 比 x1,x2 中的较小的根 大即可 (i)当﹣1<m<0 时,﹣m﹣3<﹣4 不立 (ii)当 m=﹣1 时,有 2 等根,不成立 (iii)当﹣4<m<﹣1 时,2m<﹣4 即 m<﹣2 成立
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www.jyeoo.com 综上可得①成立时﹣4<m<﹣2 ② 故答案为: (﹣4,﹣2)

点评: 本题主要考查了全称命题与特称命题的成立,指数函数与二次函数性质的应用是解答本题的关键 三、解答题公 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程. 15. (13 分) (2012?北京)已知函数 f(x)= (1)求 f(x)的定义域及最小正周期; (2)求 f(x)的单调递增区间. 考点: 三角函数中的恒等变换应用;三角函数的周期性及其求法;复合三角函数的单调性. 专题: 计算题. 分析: 通过二倍角与两角差的正弦函数,化简函数的表达式, (1)直接求出函数的定义域和最小正周期. (2)利用正弦函数的单调增区间,集合函数的定义域求出函数的单调增区间即可. 解答: 解:
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=sin2x﹣1﹣cos2x=

sin(2x﹣

)﹣1 k∈Z,{x|x≠kπ,k∈Z}

(1)原函数的定义域为{x|x≠kπ,k∈Z},最小正周期为 π. (2)由 解得 原函数的单调递增区间为 ,k∈Z, ,k∈Z,又{x|x≠kπ,k∈Z}, ,k∈Z, ,k∈Z

点评: 本题考查三角函数中的恒等变换应用,三角函数的周期性及其求法,复合三角函数的单调性,注意函数的 定义域在单调增区间的应用,考查计算能力. 16. (14 分) (2012?北京) 如图 1, Rt△ 在 ABC 中, C=90°, ∠ BC=3, AC=6, E 分别是 AC, 上的点, DE∥ D, AB 且 BC, DE=2,将△ ADE 沿 DE 折起到△ 1DE 的位置,使 A1C⊥ A CD,如图 2. (1)求证:A1C⊥ 平面 BCDE; (2)若 M 是 A1D 的中点,求 CM 与平面 A1BE 所成角的大小; (3)线段 BC 上是否存在点 P,使平面 A1DP 与平面 A1BE 垂直?说明理由.

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考点: 向量语言表述面面的垂直、平行关系;直线与平面垂直的判定;用空间向量求直线与平面的夹角. 专题: 综合题. 分析: (1)证明 A1C⊥ 平面 BCDE,因为 A1C⊥ CD,只需证明 A1C⊥ DE,即证明 DE⊥ 平面 A1CD; (2)建立空间直角坐标系,用坐标表示点与向量,求出平面 A1BE 法向量 ,

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=(﹣

1,0, ) ,利用向量的夹角公式,即可求得 CM 与平面 A1BE 所成角的大小; (3)设线段 BC 上存在点 P,设 P 点坐标为(0,a,0) ,则 a∈[0,3],求出平面 A1DP 法向量为

假设平面 A1DP 与平面 A1BE 垂直,则

,可求得 0<a<3,从而可得结论.

解答: (1)证明:∵ DE,A1D⊥ CD⊥ DE,CD∩ 1D=D, A ∴ 平面 A1CD, DE⊥ 又∵ 1C?平面 A1CD,∴ 1C⊥ A A DE 又 A1C⊥ CD,CD∩ DE=D ∴ 1C⊥ A 平面 BCDE (2)解:如图建系 C﹣xyz,则 D(﹣2,0,0) 1(0,0,2 ,A ∴ 设平面 A1BE 法向量为 ,

) ,B(0,3,0) ,E(﹣2,2,0)







∴ 又∵ M(﹣1,0, ∴ ∴ 与平面 A1BE 所成角的大小 45° CM (3)解:设线段 BC 上存在点 P,设 P 点坐标为(0,a,0) ,则 a∈[0,3] ∴ 设平面 A1DP 法向量为 , ) ,∴ =(﹣1,0, )

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∴ 假设平面 A1DP 与平面 A1BE 垂直,则 ∴ 3a+12+3a=0,6a=﹣12,a=﹣2 ∵ 0<a<3 ∴ 不存在线段 BC 上存在点 P,使平面 A1DP 与平面 A1BE 垂直 ,

点评: 本题考查线面垂直,考查线面角,考查面面垂直,既有传统方法,又有向量知识的运用,要加以体会. 17. (13 分) (2012?北京)近年来,某市为促进生活垃圾的分类处理,将生活垃圾分为厨余垃圾、可回收物和其他 垃圾三类, 并分别设置了相应的垃圾箱, 为调查居民生活垃圾分类投放情况, 先随机抽取了该市三类垃圾箱总计 1000 吨生活垃圾,数据统计如下(单位:吨) ; “厨余垃圾”箱 “可回收物”箱 “其他垃圾”箱 400 100 100 厨余垃圾 30 240 30 可回收物 20 20 60 其他垃圾 (1)试估计厨余垃圾投放正确的概率; (2)试估计生活垃圾投放错误的概率; (3) 假设厨余垃圾在“厨余垃圾”箱、 “可回收物”箱、 “其他垃圾”箱的投放量分别为 a, c, b, 其中 a>0, a+b+c=600. 当 2 2 数据 a,b,c 的方差 s 最大时,写出 a,b,c 的值(结论不要求证明) ,并求此时 s 的值. (求:S = [
2

+

+…+

],其中 为数据 x1,x2,…,xn 的平均数)

考点: 模拟方法估计概率;极差、方差与标准差. 专题: 应用题. 分析: (1)厨余垃圾 600 吨,投放到“厨余垃圾”箱 400 吨,故可求厨余垃圾投放正确的概率; (2)生活垃圾投放错误有 200+60+20+20=300,故可求生活垃圾投放错误的概率; (3)计算方差可得
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= a=600,b=0,c=0 时,有 s =80000. 解答:
2

,因此有当

解: 由题意可知: (1) 厨余垃圾 600 吨, 投放到“厨余垃圾”箱 400 吨, 故厨余垃圾投放正确的概率为 (2)由题意可知:生活垃圾投放错误有 200+60+20+20=300,故生活垃圾投放错误的概率为 (3)由题意可知:∵ a+b+c=600,∴ a,b,c 的平均数为 200
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; ;

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www.jyeoo.com ∴
2 2 2 2 2 2 2

=
2



∵ (a+b+c) =a +b +c +2ab+2bc+2ac≥a +b +c ,因此有当 a=600,b=0,c=0 时,有 s =80000. 点评: 本题考查概率知识的运用,考查学生的阅读能力,属于中档题. 18. (13 分) (2012?北京)已知函数 f(x)=ax +1(a>0) ,g(x)=x +bx (1)若曲线 y=f(x)与曲线 y=g(x)在它们的交点(1,c)处具有公共切线,求 a、b 的值; (2)当 a =4b 时,求函数 f(x)+g(x)的单调区间,并求其在区间(﹣∞,﹣1)上的最大值. 考点: 利用导数求闭区间上函数的最值;利用导数研究函数的单调性;利用导数研究曲线上某点切线方程. 专题: 综合题. 分析: (1)根据曲线 y=f(x)与曲线 y=g(x)在它们的交点(1,c)处具有公共切线,可知切点处的函数值相 等,切点处的斜率相等,故可求 a、b 的值;
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2

3

2

(2)根据 a =4b,构建函数

2

,求导函数,利用导数的正负,

可确定函数的单调区间,进而分类讨论,确定函数在区间(﹣∞,﹣1)上的最大值.
2 3 2 解答: 解: (1)f(x)=ax +1(a>0) ,则 f'(x)=2ax,k1=2a,g(x)=x +bx,则 f'(x)=3x +b,k2=3+b, 由(1,c)为公共切点,可得:2a=3+b ① 又 f(1)=a+1,g(1)=1+b,

∴ a+1=1+b,即 a=b,代入① 式可得: (2)由题设 a =4b,设 则 ∵ a>0,∴ x h′ (x) h(x) , (﹣∞,﹣ ) ﹣ + 极大值
2



,令 h'(x)=0,解得:





﹣ 极小值 单调递减,在 ;

+ )上单调递增

∴ 原函数在(﹣∞,﹣ )单调递增,在 ① 若 ② 若 ③ 若 ,即 a≤2 时,最大值为 ,即 2<a<6 时,最大值为 时,即 a≥6 时,最大值为 .

综上所述:当 a∈(0,2]时,最大值为

;当 a∈(2,+∞)时,最大值为



点评: 本题考查导数知识的运用,考查导数的几何意义,考查函数的单调性与最值,解题的关键是正确求出导函 数. 19. (14 分) (2012?北京)已知曲线 C: (5﹣m)x +(m﹣2)y =8(m∈R) (1)若曲线 C 是焦点在 x 轴点上的椭圆,求 m 的取值范围; (2)设 m=4,曲线 c 与 y 轴的交点为 A,B(点 A 位于点 B 的上方) ,直线 y=kx+4 与曲线 c 交于不同的两点 M、 N,直线 y=1 与直线 BM 交于点 G.求证:A,G,N 三点共线.
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2 2

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www.jyeoo.com 考点: 直线与圆锥曲线的综合问题;向量在几何中的应用;椭圆的标准方程. 专题: 综合题. 分析: (1)原曲线方程,化为标准方程,利用曲线 C 是焦点在 x 轴点上的椭圆可得不等式组,即可求得 m 的取 值范围;
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(2)由已知直线代入椭圆方程化简得: (2k +1)x +16kx+24=0,△ =32(2k ﹣3) ,解得:

2

2

2

,设 N(xN,

kxN+4) ,M(xM,kxM+4) ,G(xG,1) ,MB 方程为:

,则

,从而可得

, 理,可以证明. 解答:

=(xN,kxN+2) ,欲证 A,G,N 三点共线,只需证



共线,利用韦达定

(1)解:原曲线方程可化简得:

由题意,曲线 C 是焦点在 x 轴点上的椭圆可得:

,解得:

(2)证明:由已知直线代入椭圆方程化简得: (2k +1)x +16kx+24=0,△ =32(2k ﹣3)>0,解得: 由韦达定理得: ① , ,②

2

2

2

设 N(xN,kxN+4) ,M(xM,kxM+4) ,G(xG,1) ,MB 方程为:

,则







=(xN,kxN+2) ,

欲证 A,G,N 三点共线,只需证 即



共线

成立,化简得: (3k+k)xMxN=﹣6(xM+xN)

将①代入可得等式成立,则 A,G,N 三点共线得证. ② 点评: 本题考查椭圆的标准方程,考查直线与椭圆的位置关系,考查三点共线,解题的关键是直线与椭圆方程联 立,利用韦达定理进行求解. 20. (13 分) (2012?北京)设 A 是由 m×n 个实数组成的 m 行 n 列的数表,满足:每个数的绝对值不大于 1,且所有 数的和为零, s m, 为所有这样的数表构成的集合. 记 ( n) 对于 A∈S (m, , r(A) A 的第ⅰ n) 记 i 为 行各数之和 (1≤ⅰ , ≤m) Cj(A)为 A 的第 j 列各数之和(1≤j≤n) ;记 K(A)为|r1(A)|,|R2(A)|,…,|Rm(A)|,|C1(A)|,|C2(A) |,…,|Cn(A)|中的最小值. (1)如表 A,求 K(A)的值;
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www.jyeoo.com 1 1 ﹣0.8 0.1 ﹣0.3 ﹣1 (2)设数表 A∈S(2,3)形如 1 1 c a b ﹣1 求 K(A)的最大值; (3)给定正整数 t,对于所有的 A∈S(2,2t+1) ,求 K(A)的最大值. 考点: 进行简单的演绎推理;进行简单的合情推理. 专题: 计算题;新定义. 分析: (1)根据 ri(A) j(A) ,C ,定义求出 r1(A) 2(A) 1(A) 2(A) 3(A) ,r ,c ,c ,c ,再根据 K(A)为|r1(A) |,|R2(A)|,|R3(A)|,|C1(A)|,|C2(A)|,|C3(A)|中的最小值,即可求出所求. (2)先用反证法证明 k(A)≤1,然后证明 k(A)=1 存在即可;
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(3)首先构造满足

的 A={ai,j}(i=1,2,j=1,2,…,2t+1) ,然后证明

是最大值即可.

解答: 解: (1)由题意可知 r1(A)=1.2,r2(A)=﹣1.2,c1(A)=1.1,c2(A)=0.7,c3(A)=﹣1.8 ∴ K(A)=0.7 (2)先用反证法证明 k(A)≤1: 若 k(A)>1 则|c1(A)|=|a+1|=a+1>1,∴ a>0 同理可知 b>0,∴ a+b>0 由题目所有数和为 0 即 a+b+c=﹣1 ∴ c=﹣1﹣a﹣b<﹣1 与题目条件矛盾 ∴ k(A)≤1. 易知当 a=b=0 时,k(A)=1 存在 ∴ k(A)的最大值为 1 (3)k(A)的最大值为 首先构造满足 . 的 A={ai,j}(i=1,2,j=1,2,…,2t+1) : ,



经计算知,A 中每个元素的绝对值都小于 1,所有元素之和为 0,且





. 下面证明 是最大值.若不然,则存在一个数表 A∈S(2,2t+1) ,使得 .

由 k(A)的定义知 A 的每一列两个数之和的绝对值都不小于 x,而两个绝对值不超过 1 的数的和,其绝对 值不超过 2,故 A 的每一列两个数之和的绝对值都在区间[x,2]中.由于 x>1,故 A 的每一列两个数符号
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www.jyeoo.com 均与列和的符号相同,且绝对值均不小于 x﹣1. 设 A 中有 g 列的列和为正,有 h 列的列和为负,由对称性不妨设 g<h,则 g≤t,h≥t+1.另外,由对称性不 妨设 A 的第一行行和为正,第二行行和为负. 考虑 A 的第一行,由前面结论知 A 的第一行有不超过 t 个正数和不少于 t+1 个负数,每个正数的绝对值不 超过 1(即每个正数均不超过 1) ,每个负数的绝对值不小于 x﹣1(即每个负数均不超过 1﹣x) .因此|r1(A) |=r1(A)≤t?1+(t+1) (1﹣x)=2t+1﹣(t+1)x=x+(2t+1﹣(t+2)x)<x, 故 A 的第一行行和的绝对值小于 x,与假设矛盾.因此 k(A)的最大值为 .

点评: 本题主要考查了进行简单的演绎推理,以及新定义的理解和反证法的应用,同时考查了分析问题的能力, 属于难题.

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www.jyeoo.com 参与本试卷答题和审题的老师有:邢新丽;zlzhan;lcb001;qiss;翔宇老师;minqi5(排名不分先后)
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