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2007年辽宁省沈阳市高中二年级数学竞赛试题


2007 年辽宁省沈阳市高中二年级数学竞赛试题
一.选择题(本题满分 30 分,每小题 5 分) 1.设圆 C 的方程为 x2 ? y 2 ? 2x ? 2 y ? 2 ? 0 ,直线 l 的方程为 (m ? 1) x ? my ? 1 ? 0 ,圆 C 被 直线 l 截得的弦长等于 (A) 4
2 2

(B) 2 2
2

/>
(C) 2

(D) 与 m 有关

[答] ( A )

2. sin A ? sin B ? sin C ? 0 且 sin A ? 2sin B sin C ,则 ?ABC 是 (A) 钝角三角形 (C) 等腰直角三角形 3. f ( x ) 的定义域为 (??, a) 结论正确的是 (A) M ? CR N (C) M (B) CR M (D) CR M (B) 锐角三角形 (D) 等边三角形 [答] ( C )

(a, ??) , f ( x) ? 0 的解集为 M , f ( x) ? 0 的解集为 N ,下列

CR N ? ? CR N ? R
[答] ( D )

N?R

4.已知 a, b, c 为三条不同的直线,且 a ? 平面 M , b ? 平面 N , M (1) 若 a 与 b 是异面直线,则 c 至少与 a 、 b 中的一条相交; (2) 若 a 不垂直于 c ,则 a 与 b 一定不垂直; (3) 若 a ∥ b ,则必有 a ∥ c ; (4) 若 a ? b , a ? c ,则必有 M ? N . 其中正确的命题的个数是 (A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3

N ? c.

[答] ( C )

2 1 , m ] 时 f ( x ? t ) ? x 恒成立,则实数 m 5.已知函数 f ( x) ? x ? 2 x ? 1 ,若存在实数 t ,当 x ? [

的最大值为 (A) 2 (B) 3 (C) 4 (D) 5 [答] ( C )

x 2 6.命题 p :关于 x 的不等式 4e ? x ? 2 x ? m ? 0 对于一切实数 x 均成立,命题 q : m ? 3 ,

则 p 是 q 成立的 (A) 充分而不必要条件 (B) 必要而不充分条件 (C) 充分必要条件 (D) 既不充分也不必要条件 二.填空题(本题满分 30 分,每小题 5 分) [答] ( B )

? OC ?0 . 则 7 , 正 三 棱 锥 P ? A B C外 接 球 的 球 心 为 O , 半 径 为 1 , 且 O A? O B

VP? A B C?

3 4

.

log 2 (2lg a ? x) 100 ? 2log x 2 有唯一解, 则a ? . log 2 x 9.一城市的汽车牌照是由 0 到 9 的 10 个数字和除 I 、 O 外的 24 个字母组成的 5 位号码,要
8. 设a ? 0, 若关于 x 的方程 1 ?

求后三位必须是数字,前两位可以数字或字母,字母前面不能有数字,数字不能全为 0 .那么, 915399 这个城市最多可以发放的牌照数是 .(以数字作答) 10 .已知关于的方程 x2 ? 2 px ? (q2 ? 2) ? 0 ( p, q ? R )无实根,则 p ? q 的取值范围是

(?2, 2)

.

11.袋中有 3m(m ? N * ) 个球,其中有彩色球 m 个.甲、乙、丙三人按甲、乙、丙、甲、乙、 丙、 的顺序依次从袋中取球,每次取后都放回,规定先取出彩色球者为获胜.则甲、乙、丙获 9:6:4 胜的概率比为 .(以整数比作答)

O 为 ?ABC 的内心, 12. 在 ?ABC 中, 若 AB ? 2 ,AC ? 3 ,BC ? 4 , 且 AO ? ? AB ? ? BC ,
则 ??? ?

7 9 AB : AC ? BE : EC )
13. (本小题满分 20 分)

. ( 提 示 : 在 ?ABC 中 , 角 A 的 平 分 线 与 BC 交 于 E , 则

三.解答题(本题共 4 道小题,满分 90 分) 如图,在 ?ABC 中, AB ? AC , D 是 ?ABC 外接圆 AC 上的一点, AE ? BD 于 E ,求证:

BE ? CD ? DE .
证明:延长 BD 到 F 使 AF ? AC .连结 AF 、 CF 、 CD ,则有 ?AFB ? ?ABF , ?AFC ? ?ACF . D 在 ?ABC 的外接圆上, ? ?ACD ? ?ABD , 从而 ?AFD ? ?ACD , ??DCF ? ?DFC , ? DF ? CD . AE ? BF , AB ? AF ,

A

F D
E B

C

? BE ? EF ? ED ? DF ? ED ? CD .
14.(本小题满分 20 分) 函数

f ( x) ? log2[ax2 ? (a ? 2) x ? 2(a ? 2)] 在区间 [a ? 2, 2(a ? 2)] 上恒有定义,求实数 a 的取值范
围.
2 解 : 设 g ( x) ? ax ? (a ? 2) x ? 2(a ? 2) , 则 f ( x)? l o [ x? 2g a
2

a ( ?

2x ? )

2 a ?( 在 区 2 )间 ]

[a ? 2, 2(a ? 2)] 上恒有定义即 g ( x) ? 0 在 [a ? 2, 2(a ? 2)] 上恒成立.
当 a ? 0 时, g ( x) ? 2 x ? 4 ? 0 于 [2, 4] 上恒成立. 当 a ? 0 时, g ( x) 的对称轴 ?

a?2 ? 0 , g ( x) 在 [a ? 2, 2(a ? 2)] 上单调增加,所以, 2a

g (a ? 2) ? (a ? 2)(a2 ? 3a ? 4) ? 0 ,
由 a ? 2 ? 0 , a ? 3a ? 4 ? 0 ,所以 a ? (0, ??) .
2

当 a ? 0 时, g ( x) ? 0 于 [a ? 2, 2(a ? 2)] 上恒成立,则 ?
2

? g (a ? 2) ? 0 , ? g[2(a ? 2)] ? 0

由 g (a ? 2) ? (a ? 2)(a2 ? 3a ? 4) ? 0 , a ? 3a ? 4 ? 0 ,得

a ? 2 ? 0 ,即 a ? ?2 ;
由 g[2(a ? 2)] ? (a ? 2)(2a2 ? 5a ? 3) ? 0 ,得 2a ? 5a ? 3 ? 0 ,
2

3 3 或 a ? ?1 ,所以, ?2 ? a ? ? 或 ?1 ? a ? 0 . 2 2 3 ( ? 2, ? ) ? ( ? 1, ? ?) 综上, a ? . 2
解得 a ? ? 15.(本小题满分 25 分) 椭圆 C :

x2 y 2 ? ? 1 ( a ? b ? 0 )的左、右焦点分别为 F1 、 F2 ,右 a 2 b2

2 3 顶点为 A , P 为椭圆 C 上任意一点.已知 PF 1 ? PF 2 的最大值为 ,最小值为 .
(1) 求椭圆 C 的方程; (2) 若直线 l :y ? kx ? m 与椭圆 C 相交于 M 、N 两点 ( M 、N 不是左右顶点) , 且以 MN 为直径的圆过点 A .求证:直线 l 过定点,并求出该定点的坐标. 解:(1)

P 是椭圆上任一点,? | PF1 | ? | PF2 |? 2a 且 a ? c ?| PF1 |? a ? c ,

y ? PF1 ? PF2 ?| PF1 | | PF2 | cos ?F1PF2
1 ? [| PF1 |2 ? | PF2 |2 ?4c 2 ] 2 1 ? [| PF1 |2 ?(| 2a ? | PF1 |) 2 ? 4c 2 ] 2

? (| PF1 | ?a)2 ? a2 ? 2c2 .
2 2 2 2 当 | PF1 |? a 时, y 有最小值 a ? 2c ;当 | PF2 |? a ? c 或 a ? c 时, y 有最大值 a ? c .

? a2 ? c2 ? 3 , ?? 2 2 a ? 2 c ? 2 ?

?a 2 ? 4 , ? 2 c ? 1 ?

b2 ? a 2 ? c 2 ? 3.

? 椭圆方程为

x2 y 2 ? ? 1. 4 3

(2) 设 M ( x1 , y1 ) , N ( x2 , y2 ) ,将 y ? kx ? m 代入椭圆方程得

(4k 2 ? 3) x2 ? 8kmx ? 4m2 ?12 ? 0 .

? x1 ? x2 ?

?8km 4m2 ? 12 , x x ? . 1 2 4k 2 ? 3 4k 2 ? 3

y1 ? kx1 ? m , y2 ? kx2 ? m , y1 y2 ? k 2 x1x2 ? (km ? 2)( x1 ? x2 ) ? m2 ,
MN 为直径的圆过点 A ? AM ? AN ? 0 ,?7m2 ? 16km ? 4k 2 ? 0 ,

2 ? m ? ? k 或 m ? ?2k 都满足 ? ? 0 , 7
若 m ? ?2k 直线 l 恒过定点 (2, 0) 不合题意舍去, 若m ? ?

2 2 2 k 直线 l : y ? k(x ? ) 恒过定点 ( ,0) . 7 7 7
25 分 ) 已 知 数 列

16 . ( 本 小 题 满 分

?an ?

中 a1 ? 1 , . 关 于 x 的 方 程

x2 ? an?1 sin(cos x) ? (2an ? 1)sin1 ? 0 有唯一解.
(1) 求数列 ?an ? 的通项公式; (2) 设 bn ? nan ,求数列 ?bn ? 的前 n 项和 s n ; (3) 设 cn ? [1 ?

1 ]n ,求证: cn ? 3 . log 2 (an ? 1)

解:(1) 设 f ( x) ? x2 ? an?1 sin(cos x) ? (2an ? 1)sin1 ,显然 f ( x ) 是偶函数.

? 关于 x 的方程 x2 ? an?1 sin(cos x) ? (2an ? 1)sin1 ? 0 有唯一解, ? x ? 0 是方程 x2 ? an?1 sin(cos x) ? (2an ? 1)sin1 ? 0 的唯一解, ? 02 ? an?1 sin(cos0) ? (2an ?1)sin1 ? 0 ,即 an?1 ? 2an ? 1 .

? an?1 ? 1 ? 2(an ? 1) ,? an ?1 ? 2n-1 (a1 ?1) ? 2n ,? an ? 2n ?1.(n ? N * ) .
(2) sn ? 1? (21 ?1) ? 2 ? (22 ?1) ? ...... ? n ? (2n ?1)

? 1? 21 ? 2 ? 22 ? ...... ? n ? 2n ? (1 ? 2 ? ... ? n)
n( n ? 1 ) ? . 2 2 1 n 1 1 1 1 n 1 n (3) cn ? (1 ? ) ? 1 ? cn ? ...... ? cn ( ) ? 2 ? ? ..... ? n n n 2! n! 1 n ?1 1 1 < 2 ? 1 ? ..... ? n -1 < 2 ? 1 ? ( ) < 3 . 2 2 2 ? (n - ? 1 )n ?1 ? 2


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