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【创新设】内蒙古大学附中2014版高考数学一轮复习 不等式单元能力提升训练


内蒙古大学附中 2014 版《创新设》高考数学一轮复习单元能力提升 训练:不等式
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.满分 150 分.考试时间 120 分钟. 第Ⅰ卷(选择题 共 60 分) 一、选择题 (本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的)

a ? b ,则

下列不等式成立的是( 1.若 a、b是任意实数,且

)

A. a ? b
2

2

b ?1 B. a

C. lg( a ? b) ? 0

1 1 ( ) a ? ( )b 3 D. 3

【答案】D

?y ? x ? 2.设变量 x , y 满足约束条件 ? x ? y ? 2 ,则目标函数 z ? 2 x ? y 的最小值为( ? y ? 3x ? 6 ?
A. 2 【答案】B B. 3 C. 4 D. 9

)

3.当 x>1 时,不等式 x ? A.(-∞,2] C.[3,+∞) 【答案】D

1 ? a 恒成立,则实数 a 的取值范围是( x ?1
B.[2,+∞) D.(-∞,3]

)

4.设 a , b ,c, d ? R ,且 a ? b, A. a ? c ? b ? d C. ac ? bd

c ? d , 则下列结论中正确的是( B. a ? d ? b ? c a b D. ? d c
)

)

【答案】B 5.已知 a, b, c ? R ,且 c ? 0 ,则下列命题正确的是(

a b ? c c 1 1 C.如果 a ? b ,那么 ? a b
A. 如果 a ? b ,那么 【答案】D

B. 如果 ac ? bc ,那么 a ? b D.如果 ac 2 ? bc 2 ,那么 a ? b

6.设 a ? 0, ?1 ? b ? 0 ,则 a, ab, ab2 三者的大小关系是(
2 2 A. a ? ab ? ab B. a ? ab ? ab

) D. ab ? a ? ab
2

2 C. a ? ab ? ab

【答案】C 7.已知 a, b, c, d ? R ,三个命题① 若ab > 0, bc - ad > 0, 则 a c d b > 0 ;②

1

若bc - ad > 0,

c a

-

d b

> 0则ab > 0 ;③ 若ab > 0,

c a

-

d b

> 0,则bc - ad > 0 ;

正确命题的个数是( A.0 【答案】D

) B.1

C.2

D.3

8.不等式 (a ? 2) x 2 ? 2(a ? 2) x ? 4 ? 0 对于 x ? R 恒成立,那么 a 的取值范围是( A. (?2,2) B. (?2,2] C. (??,2] ) B. b2 ? 4ac ? 0
2 D. b ? 4ac 符号不定

)

D. (??,?2)

【答案】B 9.已知 a ? b ? c ,且 a ? b ? c ? 0 ,则( A. b2 ? 4ac ? 0
2 C. b ? 4ac ? 0

【答案】A 10.设 a, b ? R ,若 a ? | b |? 0 ,则下列不等式中正确的是( A. b ? a ? 0 【答案】D 11.已知 a , b 为非零实数,且 a ? b ,则下列命题成立的是( A. a 2 ? b2 【答案】C 12.不等式| B. a 2 b ? ab2 C. 2a ? 2b ? 0 ) D. B. a ? b ? 0
3 3

) D. b ? a ? 0

C. a ? b ? 0
2 2

1 1 ? a b

x-1 |>1 的解集是( x
B.{x|x<

)

A.{x|x>1}

1 } 2 1 } 2

C.{x| 【答案】D

1 <x<1} 2

D.{x|x<0,或 0<x<

第Ⅱ卷(非选择题 共 90 分) 二、填空题 (本大题共 4 个小题,每小题 5 分,共 20 分,把正确答案填在题中横线上)

? x? y?3 y ?1 ? 13.已知实数 x , y 满足 ? x ? y ? ?1 ,则 z ? 的最小值是 x ?2 x ? y ? 3 ?
【答案】1 14.在 R 上定义运算 ? : x ? y ? (1 ? x) y ,若不等式 ( x ? a) ? ( x ? a) ? 1 对任意实数 x 都

2

成立,则 a 的取值范围是____________。 【答案】 ? ?

? 1 3? , ? ? 2 2?
? 1 2

15.若 (a ? 1) 【答案】

? (3 ? 2a) 2 ,则实数 a 的取值范围是

?

1



2 3 ?a? 3 2

16.若 x2 ? 2 x ? 3 ? a 在 x ? [0, 2] 上恒成立,则实数 a 的取值范围为____________. 【答案】 a ? ?4 三、解答题 (本大题共 6 个小题,共 70 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 17.解关于 x 的不等式 ax2 ? 2(a ? 1) x ? 4 ? 0 【答案】当 a ? 0 时,原不等式化为 x ? 2 ; 当 a ? 0 时,原不等式化为 (ax ? 2)(x ? 2) ? 0 解得: x1 ? 当 ①

2 , x2 ? 2 , a

2 ? 2 ,即 a ? 1 时,不等式①的解为 x ? 2 , a 2 2 当 ? 2 时,即 0 ? a ? 1 时,不等式①的解为 x ? 2 或 x ? ; a a 2 2 当 ? 2 时,即 a ? 1 时,不等式①的解为 x ? 或 x ? 2 ; a a 2 当 a ? 0 时,不等式①的解为 ? x ? 2 ; a 2 综上可得:当 a ? 0 时,解集为 {x | ? x ? 2} ;当 a ? 0 时,解集为 {x | x ? 2} ; a 2 当 0 ? a ? 1 时,解集为 {x | x ? 2 或 x ? } ;当 a ? 1 时,解集为 {x | x ? 2} ;当 a ? 1 时, a 2 解集为 {x | x ? 或 x ? 2} ; a

R上的 单调 18.已知f ( x)是定义在 函数, ..

对任意的实数 m, n总有: f (m ? n) ? f (m) ? f (n); 且x ? 0时, 0 ? f ( x) ? 1 .
(1)证明:f(0)=1 且 x<0 时 f(x)>1; (2)

当f (4) ?

1 1 时,求使 f ( x 2 ? 1) ? f(a - 2x) ? 对任意实数 x恒成立的参数 a的取值范围 . 16 4

【答案】(1)在 f(m+n)=f(m)·f(n)中,取 m>0,n=0,有 f(m)=f(m)·f(0) , ∵x>0 时 0<f(x)<1 ∴f(0)=1 又设 m=x<0,n=–x>0 则 0<f(–x)<1 ∴f(m+n)= f(0)= f(x)·f(–x)=1

3

∴f(x)=

1 >1, 即 x<0 时,f(x)>1 f (? x)

(2)? f ( x)是定义域 R上的单调函数,又 f (0) ? 1 ? f (4) ? ∴f(x)是定义域 R 上的单调递减函数.

1 16

1 1 , 且由(1 )可知 f ( x) ? 0, 所以 f (2) ? . 16 4 1 于是原不等式变为 f [( x 2 ? 1) ? (a ? 2x )] ? ,即 f ( x 2 - 1 ? a - 2x ) ? f (2), 4 f (4) ? f 2 (2) ?

? f (x)是定义域R上的单调递减函数,可 得,x 2 - 1 ? a - 2x ? 2对任意实数 x恒成立, 即x 2 - 2x ? a - 3 ? 0对任意实数 x恒成立 ? ? ? 4 ? 4(a ? 3) ? 0,? a ? 4
19. 某营养师要求为某个儿童预订午餐和晚餐.已知一个单位的午餐含 12 个单位的碳水化合 物, 6 个单位的蛋白质和 6 个单位的维生素 C;一个单位的晚餐含 8 个单位的碳水化合物, 6 个单位的蛋白质和 10 个单位的维生素 C.另外,该儿童这两餐需要的营养中至少要含 64 个单位的碳水化合物和 42 个单位的蛋白质和 54 个单位的维生素 C.如果一个单位的午 餐、晚餐的费用分别是 2.5 元和 4 元,那么要满足上述的营养要求,并且花费最少,应 当为该儿童分别预订多少个单位的午餐和晚餐?

【答案】设为该儿童分别预订 x 个单位的午餐和 y 个单位的晚餐,设费用为 z ,则

z ? 2.5x ? 4 y ,由题意知:

?12 x ? 8 y ? 64 ?6 x ? 6 y ? 42 ? ? ?6 x ? 10 y ? 54 ?x ? 0 ? ? ?y ? 0

?3 x ? 2 y ? 16 ?x ? y ? 7 ? ? 即 ?3 x ? 5 y ? 27 ?x ? 0 ? ? ?y ? 0

画出可行域如图:

4

5 z 5 z x ? ,这是斜率为 ? ,随 z 变化的一族平行直线, 是直线在 y 8 4 8 4 z 轴上的截距,当截距 最小时, z 最小,由图知当目标函数过点 A ,即直线 x ? y ? 7 与 4
变换目标函数: y ? ?

3x ? 5 y ? 27 的交点 (4,3) 时, z 取到最小值,即要满足营养要求,并且花费最少,应当为
该儿童分别预订 4 个单位的午餐和 3 个单位的晚餐 20.某市近郊有一块大约 500m×500m 的接近正方形的荒地,地方政府准备在此建一个综合 性休闲广场,首先要建设如图所示的一个矩形场地,其中总面积为 3000 平方米,其中 阴影部分为通道, 通道宽度为 2 米, 中间的三个矩形区域将铺设塑胶地面作为运动场地 (其中两个小场地形状相同) ,塑胶运动场地占地面积为 S 平方米。

(1)分别用 x 表示 y 和 S 的函数关系式,并给出定义域; (2)怎样设计能使 S 取得最大值,并求出最大值。 【答案】 (1)由已知 xy ? 3000,? y ?
3000 ,其定义域是 ? 6,500 ? . x

S ? ? x ? 4? a ? ? x ? 6? a ? ? 2x ? 10? a ,
? 2a ? 6 ? y,? a ? y 1500 ?3? ?3, 2 x ? 1500 ? ? 15000 ? ? S ? ? 2 x ? 10 ? ? ? ? 3 ? ? 3030 ? ? ? 6 x ? ,其定义域是 ? 6,500 ? . ? x ? ? x ?

5

15000 ? 15000 ? ? 6 x ? ? 3030 ? 2 6 x ? ? 3030 ? 2 ? 300 ? 2430 , (2) S ? 3030 ? ? x ? x ?

当且仅当

15000 ? 6 x ,即 x ? 50 ? ? 6,500? 时,上述不等式等号成立, x

此时, x ? 50, y ? 60, Smax ? 2430 . 答:设计 x ? 50m, y ? 60m 时,运动场地面积最大,最大值为 2430 平方米. 21.设 f ( x) 是定义在 R 上的函数,若 f (0) ? 2008 ,且对任意 x ? R ,满足

) =. f ( x ? 2) ? f ( x) ? 3 ? 2x , f ( x ? 6) ? f ( x) ? 63 ? 2x ,则 f (2008 【答案】 ? 22008 ? 2007 [解法一] 由题设条件知 f ( x ? 2) ? f ( x) ? ?( f ( x ? 4) ? f ( x ? 2)) ? ( f ( x ? 6) ? f ( x ? 4)) ? ( f ( x ? 6) ? f ( x)) ? ?3 ? 2x?2 ? 3 ? 2 x?4 ? 63 ? 2 x ? 3 ? 2 x , 因此有 f ( x ? 2) ? f ( x) ? 3 ? 2x ,故 f (2008) ? f (2008) ? f (2006) ? f (2006) ? f (2004) ? ? ? f (2) ? f (0) ? f (0) ? 3 ? (22006 ? 22004 ? ?? 22 ? 1) ? f (0)

41003?1 ? 1 ? f (0) 4 ?1 ? 22008 ? 2007 . [解法二] 令 g ( x) ? f ( x) ? 2x ,则 ? 3?

g ( x ? 2) ? g ( x) ? f ( x ? 2) ? f ( x) ? 2x?2 ? 2x ? 3 ? 2x ? 3 ? 2x ? 0 , g ( x ? 6) ? g ( x) ? f ( x ? 6) ? f ( x) ? 2x?6 ? 2x ? 63 ? 2x ? 63 ? 2x ? 0 , 即 g ( x ? 2) ? g ( x), g ( x ? 6) ? g ( x) , 故 g ( x) ? g ( x ? 6) ? g ( x ? 4) ? g ( x ? 2) ? g ( x) , 得 g ( x) 是周期为 2 的周期函数, 所以 f (2008) ? g (2008) ? 22008 ? g (0) ? 22008 ? 22008 ? 2007 .
22. a, b, c ? R ? ,求证: 【答案】左端变形
a b c 3 ? ? ? b?c c ?a a ?b 2

a b c ?1? ?1? ?1 b?c c?a a ?b 1 1 1 ? ? ), b?c c?a a?b

? (a ? b ? c)(

∴只需证此式 ?
证明?

9 即可。…4 分 2

a b c a b c ? ? ?3? ( ? 1) ? ( ? 1) ? ( ? 1) b?c c?a C ?b b?c a?c c?b 1 1 1 ? (a ? b ? c)( ? ? ) b?c c?a a?b 1 1 1 1 1 9 ? [(b ? c) ? (c ? a ) ? (a ? b)]( ? ? ) ? (1 ? 1 ? 1) 2 ? 2 b?c c?a a?b 2 2

?

a b c 9 3 ? ? ? ? 3 ? …10 分 b?c a ?c a ?b 2 2

注:柯西不等式: a 、 b ? R ? ,则 a ? b ? 2 ab

6

推论: (a ? b)( ? ) ? 4 ? (1 ? 1)2
1 1 1 (a ? b ? c)( ? ? ) ? 9 ? (1 ? 1 ? 1)2 a b c

1 a

1 b

其中 a 、 b ? R ? 其中 a 、 b 、 c ? R ?

7


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