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2014年高考难点:放缩法证明“数列+不等式”问题的两条途径


放缩法证明“数列+不等式”问题的两条途径 数列与不等式的综合问题常常出现在高考的压轴题中, 是历年命题的热点, 解决这类问 题常常用到放缩法。用放缩法解决“数列+不等式”问题通常有两条途径:一是先放缩再求 和,二是先求和再放缩。 1、 先放缩再求和 例 1 已知不等式 1 1 1 1 ? ? ? ? ? [log 2 n], 其中 n 为不大于 2 的整数,[log2 n] 表

示不 2 3 n 2 超 过 l o2 n g 的 最 大 整 数 。 设 数 列 ?an ? 的 各 项 为 正 且 满 足 a1 ? b(b ? 0), an ? nan?1 2b , n ? 3,4,5? (n ? 2,3,4?) ,证明: an ? 2 ? b[log2 n] n ? an?1 nan?1 1 1 1 得: ? ? a n a n ?1 n n ? an?1 (n ? 2) 分析:由条件 a n ? ? 1 1 1 ? ? a n a n ?1 n 1 a n?1 …… ? 1 an?2 ? 1 n ?1 1 1 1 ? ? a 2 a1 2 以上各式两边分别相加得: 1 1 1 1 1 ? ? ? ??? a n a1 n n ? 1 2 ? 1 1 1 1 1 ? ? ? ??? an b n n ? 1 2 ? = 1 1 ? [l og 2 n] b 2 (n ? 3) 2 ? b[log2 n] 2b ? an ? 2b 2 ? b[log2 n] (n ? 3) 本题由题设条件直接进行放缩,然后求和,命题即得以证明。 例 2 已知数列 {an } 的前 n 项和 S n 满足: S n ? 2an ? (?1) n , n ? 1 (1)写出数列 {an } 的前三项 a1 , a2 , a3 ; (2)求数列 {an } 的通项公式; (3)证明:对任意的整数 m ? 4 ,有 1 1 1 7 ? ??? ? a 4 a5 am 8 分析:⑴由递推公式易求:a1=1,a2=0,a3=2; ⑵由已知得: an ? Sn ? Sn?1 ? 2an ? (?1)n ? 2an ?1 ? (?1)n?1 (n>1) 化简得: an ? 2an?1 ? 2(?1)n?1 an a 1 a a 1 2 2 ? ?2 n?n ? 2 , n n ? ? ?2[ n?n ? ] n ?1 ?1 3 3 (?1) (?1) (?1) (?1) 故数列{ an 2 2 ? }是以 ? a1 ? 为首项, 公比为 ? 2 的等比数列. n 3 3 (?1) ∴ an ? 故 an 2 1 ? ? (? )(?2) n?1 n 3 3 (?1) 2 n?2 [2 ? (?1) n ] 3 ∴数列{ an }的通项公式为: an ? 2 n?2 [2 ? (?1) n ] . 3 ⑶观察要证的不等式,左边很复杂,先要设法对左边的项进行适当的放缩,使之能 够求和。而左边= 1 1 ? ? a4 a5 ? 1 3 1 1 ? [ 2 ? 3 ? am 2 2 ? 1 2 ? 1 ? 2 m? 2 1 ] ,如果我们把 ? (?1)m 上式中的分母中的 ? 1 去掉,就可利用等比数列的前 n 项公式求和,由于-1 与 1 交错出现, 容易想到将式中两项两项地合并起来一起进行放缩,尝试知: 1 1 1 1 ? 3 ? 2 ? 3 , 2 ?1 2 ?1 2 2 2 1 1 1 1 1

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