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2014届高考数学一轮复习 第6章 第3节《二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题》名师首选练习题 新人教A版


第六章
一、选择题

第三节

二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题

?x+y≤1, ? 1.设变量 x,y 满足?x-y≤1, ?x≥0, ?
A.1,-1 C.1,-2

则 x+2y 的最大值和最小值分别为

(

)


B.2,-2 D.2,-1

2.已知向量 a=(x+z,3),b=(2,y-z),且 a⊥b,若 x,y 满足不等式|x|+|y|≤1, 则 z 的取值范围为 A.[-2,2] C.[-3,2] B.[-2,3] D.[-3,3] ( )

?0≤x≤2, ? 3. 已知不等式组?x+y-2≥0 ?kx-y+2≥0 ?
A.1 C.1 或-3 B.-3 D.0

, 所表示 的平面区域的面积为 4, k 的值为( 则

)

4.已知 O 是坐标原点,点 A(-1,1).若点 M(x,y)为平面区域

?x+y≥2, ? ?x≤1, ?y≤2 ?
( ) A.[-1,0] C.[0,2]

上 的 一 个 动 点 , 则 OA · OM 的 取 值 范 围 是

??? ?

???? ?

B. [0,1] D.[-1,2]

?x-y+6≥0 ? 5.已知实数 x,y 满足?x+y≥0 ?x≤3 ?
3a-3, 则实数 a 的取值范围为 A.a≥1 C.-1≤a≤1

,若 z=ax+y 的最大值为 3a+9,最小值为

( B.a≤-1 D.a≥1 或 a≥-1

)

1

? ?3≤2x+y≤9, 6.若变量 x,y 满足约束条件? ? ?6≤x-y≤9,

则 z = x + 2y 的 最 小 值 为

( A.-8 C.0 二、填空题

) B.-6 D.12

?x≥1 ? 7.在平面直角坐标系中,不等式组 ?y≤2 ?x-y≤0 ?
________.

表示的平面区域的外接圆的方程为

?x-4y≤-3 ? 8.已知变量 x,y 满足?3x+5y≤25 ?x≥1 ?
应的点有无数个,则 a 的值为________.

,设 z=ax+y(a>0),若当 z 取得最大值时对

?x-y+1≥0 ? 9.已知实数 x、y 满足不等式组?x+y-1≥0 ?y≥3x-3 ?
三、解答题

,则 z=

y-1 的最大值为________. x+1

10.已知?ABCD 的三个顶点为 A(-1,2),B(3,4),C(4,-2),点(x,y)在?ABCD 的内 部,求 z=2x-5y 的取值范围.

?y≥0, ?y≤x, 11.由约束条件? y≤2-x, ?t≤x≤t+1? ?
求 f(t)的表达式.

所确定的平面区域的面积 S=f(t),试 0<t<1?

2

12.制定投资计划时,不仅要考虑可能获得的盈利,而且要考虑可能出现的亏损.某投 资人打算投资甲、乙两个项目,根据预测,甲、乙两个项目可能的最大盈利率分别为 100% 和 50%,可能的最大亏损率分别为 30%和 10%,投资人计划投资金额不超过 10 万元,要求确 保可能的资金亏损不超过 1.8 万元, 请你给投资人设计一投资方案, 使得投资人获得的利润 最大.

详解答案

一、选择题 1.解析:画出可行域如图,分析图可知直线 u=x+2y 经过点 A、C 时分别对应 u 的最 大值和最小值.

答案:B 2.解析:因为 a⊥b,所以 a·b=0,所以 2x+3y=z,不等式|x|+|y|≤1 可转化为

?x+y≤1 ? ?x-y≤1 ? ?-x+y≤1 ?-x-y≤1 ?
?

x≥0,y≥0? x≥0,y<0?
?

x<0,y≥0? x<0,y<0?

,由图可得其对应的可行域为边长为 2,以点

(1,0),(-1,0),(0,1),(0,-1)为顶点的正方形,结合图象可知当直线 2x+3y=z 过点 (0,-1)时 z 有最小值-3,当过点(0,1)时 z 有最大值 3.所以 z 的取值范围为[-3,3]. 答案:D

3

3.解析:由题意知不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分所示,由阴影部分的面 1 积为 ×|BC|×|OC|=4? |BC|=4,则 B(2,4),即直线 kx-y+2=0 过点(2,4),代入可求 2 得 k=1.

答案:A 4.解析:平面区域如图中阴影部分所示的△BDN,N(0,2),D(1,1), 设点 M(x,y),因点 A(-1,1),则 z= OA · OM =- x+y,由图可 知;当目标函数 z=-x+y 过点 D 时,zmin=-1+ 1=0;当目标函数 z =- x +y 过点 N 时, zmax=0+2=2,故 z 的取值范围为[0,2],即

??? ?

???? ?

??? ? ???? ? OA · OM 的取值范围为[0,2].
答案:C 5.解析:作出 x,y 满足的可行域,如图阴影部分所示,则

z 在点 A 处取得最大值,在点 C 处取得最小值.又 kBC=-1,kAB
=1, ∴-1≤-a≤1,即-1≤a≤1. 答案:C
? ?3≤2x+y≤9 6.解析:根据? ?6≤x-y≤9 ?

得可行域如图中阴影部分所示:

根据 z=x+2y 得 y=- + ,平移直线 y=- 得过 M 点时取得最小值. 2 2 2
?x-y=9 ? 根据? ? ?2x+y=3

x z

x

得?

?x=4 ? ? ?y=-5

,则 zmin=4+ 2×(-5)=-6.

答案:B 二、填空题
4

7.解析:不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示.易知△

ABC 为等腰直角三角形,A(2,2),B(1,1),C (1,2),因此△ABC 的外接
3 3 ? 圆的圆心为( , ),半径为 2 2 2-1?
2

+? 2

2-1?

2



2 .所以所求外接 2

3 2 3 2 1 圆的方程为(x- ) +(y- ) = . 2 2 2 3 2 3 2 1 答案:(x- ) +(y- ) = 2 2 2 8.解析:因为当 z 取得最大值时对 应的点有无数个,由可行域可知 :目标函数所对应 的直线与直线 3x+5y=25 平行, 3 3 即-a=- ,所以 a= . 5 5 3 答案: 5 9.解析:作出实数 x、y 满足的可行域,易知在点(2,3)处,z 取 得最大值. 3-1 2 ∴zmax= = . 2+1 3 答案 : 2 3

三、解答题 10.解:由题可知,平行四边形 ABCD 的点 D 的坐标为(0,-4),点(x,y) 在平行四边形内部,如图,所以在 D(0,-4)处目标函数 z=2x-5y 取得最大值 为 20,在点 B(3,4)处目标函数 z=2x-5y 取得最小值为-14,由题知点(x,y) 在平行四边形内部,所以端点取不到,故 z=2x-5y 的取值范围是(-14,20). 11.解:由约束条件所确定的平面区域是五边形 ABCEP,如图所示,其面积 S=f(t)=S
△OPD

-S△AOB-S△ECD, 1 而 S△OPD= ×1×2=1. 2

S△OAB= t2,S△ECD= (1-t)2,
1 2 1 1 2 2 所以 S=f(t)=1- t - (1-t) =-t +t+ . 2 2 2

1 2

1 2

5

12.解:设投资人分别用 x 万元、y 万元投资甲、乙两个项目,z 代表盈利金额,则有

z=x+0.5y,

?x+y≤10, ?0.3x+0.1y≤1.8, 由题意知? x≥0, ?y≥0. ?
目标函数 z=x+0.5y. 上述不等式组表示的平面区域如图所示,阴影部分(含边界)即可行域. 作直线 l0:x+0.5y=0,并作平行于直线 l0 的一组直线 x+0.5y=z,

z∈R,与可行域相交,其中有一条直线经过可行域上的 M 点,且与直线 x
+0.5y=0 的距离最大, 这里 M 点是直线 x+y=10 与 0.3x+0.1y=1.8 的 交点,解方程组?
?x+y=10, ? ? ?0.3x+0.1y=1.8.

得 x=4,y=6,此时 z=4+0.5×6=7(万元). ∴当 x=4,y=6 时 z 取得最大值. ∴投资人用 4 万元投资甲项目,6 万元投资乙项目,才能在确保亏损不超过 1.8 万元的 前提下,使可能的盈利最大.

6


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