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一道环球城市数学竞赛题的推广




解法探究

2014年2月

一道环球城市数学竞赛题的推广
⑩广州大学计算机教育软件研究所刘凤鸣朱华伟

1 983环球城市数学竞赛秋季赛第一题:

也有这种性质,并进一步思考:连接重心得到的正多边形 与原正多边形的面积比为多少? 命题2:已知正n边形A4:…A。和

平面上一点P(不与

题目考虑正方形ABCD中的一点M,证明:三角形 ABM,BCM,CDM和DAM的中线交点构成一个正方形. 证明:如图1,设E,F,G,H分别是AABM,ABCM,

点A。,A:,…,A厘合).求证:APA4 2,△以4 3,…,△烈4。
的重心也构成一个正n边形. 证明:如图3,设G。,G2,…,Ga为APA lA:,△PA4 3,…,

△C删和ADAM的重心,P,Q,R,S分别是AB,BC,CD,
DA边的中点,显然,四边形加R|s是正方形.
ME M}? MG MH —Z




△烈4。的重心,点M.,鸩,…,瞩为AlA 2,A4,,…,A4。的
中点.

MP—MQ—MR—Ms一3 所以四边形EFGH是四边形 P?RS的位似图形,位似中心是点
,’

M,位似比为÷.故四边形EFGH


囊藤
图1

‘×。



粥1粥2
PMl PM2

PG。2 PM,3

又因为n边形M。尬…坛

为正n边形,所以,边形G。G: …G沩正n边形肘。鸩…坛的
位似图形,位似中心是点
,、

是正方形. 评注:通过观察发现,当点M不在正方形ABCD内时.
这个结论仍然成立.证明的方法同上.

下面我们来讨论对于正三角形这一结论是否成立. 如果成立的话,重心所构成的正三角形与原三角形是相 似的,它们的面积比又等于多少呢? 命题1:已知正三角形ABC和平面上一点肘(不与点 A,B,C重合),那么三角形ABM,BCM和CAM的重心构成 一个正三角形. 证明:如图2,设点0,P,Q分 别是三角形ABM,BCM和CAM的 重心,点X,l,,Z分另0是A曰,日C和

P,位似比为÷.故孔边形


G.G:…G。为正n边形.

图3

那么止凡边#flGiG2…G。-'5tn边彤A 4 2…A。的回积义 有什么联系呢?设正n边形A4:…A。的面积为S,正凡边形

G.G:…G。的面积为.s。,正n边形M,鸩…%的面积为%

以边的中点.



篪嫡


z么…… ….∑Y

7。 \
图2

由文献2可得剽sin警]j
又正n边形G,G:…G。是正凡边形M。M2…尥关于点P的

位似图形,位似比为号,所以妾=詈,

易知恶了1
由于AOpQ是AXYZ关于点肘的位似图形,位似比为
. 。 .

故妻=*n警]2.
参考文献:

寺,因此素詈=二? 3 9 5^YYZ
综上所述,当盟:土.
5出船9

1.中国数学奥林一克委员会.环球城市数学竞赛问题 l?丫斟孤手哭杯P_2兄妥贝等.孙冰城巾双字苋赉I口J趣 与解答第1册[M]?北京:开明出版社,2004? 2.包恩萍.正n边形中关于面积的一个数列通项[J]. 读写算(教育教学研究),2011(16).■

我们不妨对原题进行推广,看看其他正多边形是否

毒蔓:韵睡。中。7毒jI=-?高中版
万方数据


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