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浙江省五校2011届高三第一次联考数学理


浙江省五校 2010—2011 学年度高三第一次联考

数学试题(理科)
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.共 150 分,考试时间为 120 分钟.请考生 按规定用笔将所有试题的答案涂、写在答题纸上. 参考公式: 如果事件 A, B 互斥,那么 P ( A + B ) = P ( A) + P ( B ) 如果事件 A, B 相互

独立,那么 P ( A ? B ) = P ( A) ? P ( B ) 如果事件 A 在一次试验中发生的概率为 p ,那么 n 次独立重复试验中事件 A 恰好发生 k 次的概率

Pn (k ) = Cnk p k (1 ? p )n ? k (k = 0,1, 2,? , n)

第Ⅰ卷(共 50 分)
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有一个选项是符 合要求的. 1.已知复数 z = A.0

2i ,则 z ? z 的值为 1? i
B. 2
2

( C. 2
x



D. ?2 ( )

2.已知集合 A = {x y = lg(4 ? x )} , B = { y y = 3 , x > 0} 时, A ∩ B = A. {x x > ?2} C. {x 1 ≤ x ≤ 2} B. {x 1 < x < 2} D. ?

3.已知 p, q 为两个命题,则“ p 是真命题”是“ p ∨ q 是真命题”的 A.充分不必要条件 C.充分必要条件 B.必要不充分条件 D.既不充分又不必要条件





4.已知等比数列 {an } 中, a1 = 1 ,且 2a2 ,3a3 , 4a4 成等差数列,则 a3 等于 A. 0 B.





1 4

C. 1

D. 或1

1 4

5.位于直角坐标原点的一个质点 P 按下列规则移动:质点每次移动一个单位,移动的方向向左或向右, 并且向左移动的概率为

2 1 ,向右移动的概率为 ,则质点 P 移动五次后位于点 (1, 0) 的概率是 3 3
( )

A.

4 243 40 C. 243

8 243 80 D. 243
B.

6.已知 ?ABC 中, sin B = A. A > C > B C. B > C > A

2 3 , tan C = ,则 5 4





B. A > B > C D. C > B > A

7. 已知 f ( x ) 是定义在 R 上且以 3 为周期的奇函数, x ∈ (0, ) 时, f ( x) = ln( x 2 ? x + 1) , 当 则函数 f ( x) 在区间 [0, 6] 上的零点个数是 A. 3 B.5 C.7 D.9 ( )

3 2

8.若函数 y = f ( x) 图像上的任意一点 P 的坐标 ( x, y ) 满足条件 x 2 > y 2 ,则称函数 f ( x) 具有性质 S ,那 么下列函数中具有性质 S 的是 A. f ( x) = e x ? 1 C. f ( x) = sin x B. f ( x) = ln( x + 1) D. f ( x) = tan x ( )

A O C
) D. ?1 < x + y < 0 , (
12

9.如右图所示, A, B, C 是圆 O 上的三点, CO 的延长线与 线段 AB 交于圆内一点 D ,若 OC = xOA + yOB ,则( A. 0 < x + y < 1 10 . 已 B. x + y > 1 知 C. x + y < ?1

D B

( x + 2)9 = a0 + a1 x + a2 x 2 + ? + a9 x 9



(a1 + 3a3 + 5a5 + 7 a7 + 9a9 ) 2 ? (2a2 + 4a4 + 6a6 + 8a8 ) 2 的值为
A. 3
9



B. 3

10

C. 3

11

D. 3

第 II 卷(共 100 分)
二、填空题:本大题共 7 小题,每小题 4 分,共 28 分. 11.某算法的程序框图如右图所示,输出结果为 . 12.函数 f ( x ) = (sin x + cos x ) ? 2sin x 的单调递增区间
2 2

开始

x = 2010 x >1 x = x ?1
是 否

y = 2x

为 13.设 x +



1 1 = 2 cos A 成立,可得 x 2 + 2 = 2 cos 2 A , x x 1 1 x3 + 3 = 2 cos 3 A,? , 由此推得 x n + n (n ∈ N * ) = x x



14.设 a, b, c 为三个非零向量,且 a + b + c = 0, a = 2, b ? c = 2 , 则 b + c 的最大值是 . .

15.关于 x 的方程 x3 ? px + 2 = 0 有三个不同实数解,则实数 p 的取值范围为
*

16 . 已 知 数 列 {an } 中 , a1 = 1, a2 = 3 , 对 任 意 n ∈ N , an + 2 ≤ an + 3 ? 2 , an +1 ≥ 2an + 1 都 成 立 , 则
n

a11 ? a10 =



17.三对夫妇去上海世博会参观,在中国馆前拍照留念,6 人排成一排,若每位女士的旁边不能是其他女 士的丈夫,则不同的排法种数为 .

三、解答题:本大题共 5 小题,共 72 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 18.已知向量 m = (2, ?1), n = (sin

A , cos( B + C )) , 2

A, B, C 为 ?ABC 的内角,其所对的边为 a, b, c
(1)若 A =

2π ,求 n ; (2)当 m ? n 取得最大值时,求角 A 的大小; 3 3 时,求 b 2 + c 2 的取值范围.

(3)在(2)成立的条件下,当 a =

19.某旅游公司为四个旅行团提供 A, B, C , D 四条旅游路线,每个旅行团任选其中一条, (1)四个旅行团选择的旅行路线各不相同的概率; (2)设旅行团选择旅游线路的总数为随机变量 ξ ,求 ξ 的分布列及数学期望.

20.数列 {an } 的前 n 项和为 Sn , a1 = 1 , an +1 = 2 S n + 1 ,等差数列 {bn } 满足 b3 = 3, b5 = 9 , (1)分别求数列 {an } , {bn } 的通项公式; (2)若对任意的 n ∈ N , ( S n + ) ? k ≥ bn 恒成立,求实数 k 的取值范围.
*

1 2

21.已知函数 f ( x ) = ln( x + 1), g ( x ) = e x ? 1 , (1)若 F ( x) = f ( x) + px ,求 F ( x ) 的单调区间; (2)对于任意的 x2 > x1 > 0 ,比较 f ( x2 ) ? f ( x1 ) 与 g ( x2 ? x1 ) 的大小,并说明理由.

22.已知定义域为 (0, +∞ ) 的函数 f ( x ) 满足: (1)对任意 x ∈ (0, +∞ ) ,恒有 f (10 x ) = 10 f ( x) ; (2)当 x ∈ (1,10] 时, f ( x ) = x ? lg x (I)求 f (100) , f (

1 ) 的值; 100
k k +1

(II)记区间 I k = (10 ,10

] ,其中 k ∈ Z ,当 x ∈ I k 时,求 f ( x) 的解析式;

(III)当 x ∈ I k ( k = 0,1, 2,3,? )时, f ( x) 的取值构成区间 Dk ,定义区间 (a, b] 的区间长度为 b ? a , 设区间 Dk 在区间 I k 上的补集的区间长度为 ak ,求证:

lg a0 lg a1 lg a2 lg an 10 + + +? + < . a0 a1 a2 an 81

参考答案

一、选择题 题号 选项 1 C 2 B 12. [ ? 3 A 4 D 5 C 6 A 7 D 8 C 9 C 10 D

二、填空题 11.2; 15. p > 3 ; 三、解答题 18. (1) A =

3π π + kπ , + kπ ](k ∈ Z ) ; 13. 2 cos nA ; 8 8
17.60.

14. 2 2 ;

16.1024;

3 1 3 1 2π 时, n = ( , ),∴ n = + = 1 ;---------------4 分 3 2 2 4 4
A A A ? cos( B + C ) = ?2 sin 2 + 2 sin + 1 ,-------------6 分 2 2 2

(2) m ? n = 2sin 当 sin

A 1 π = ,即 A = 时, m ? n 取得最大值;--------------------8 分 2 2 3

(3)由

a b c 3 = = = = 2,∴ b = 2 sin B, c = 2 sin C ,----------------10 分 sin A sinB sin C sin π 3

b 2 + c 2 = 4sin 2 B + 4 sin 2 C = 4 + 2sin(2 B ? ) ,---------------12 分 6 2π 1 π ∵0 < B < ,∴? < sin(2 B ? ) ≤ 1,∴ 3 < b 2 + c 2 ≤ 6 .-------------------14 分 3 2 6
19. (1)记事件 A :四个旅行团选择的旅行路线各不相同, P ( A) = (2)
4 A4 3 = ;----------6 分 4 4 32

π

ξ
P

1

2

3

4

1 64

21 64

9 16

3 32

-----------------7 分

C42 1 C ( 2 + C4 ) A22 1 C4 1 21 A2 P(ξ = 1) = 4 = , P (ξ = 2) = = , 4 4 64 4 64
2 4 3 3 4 C4 C42 A3 9 A4 3 = , P(ξ = 4) = 4 = ,------------------11 分 P(ξ = 3) = 4 4 16 4 32

Eξ = 1×

1 21 9 3 175 + 2 × + 3× + 4 × = .----------------14 分 64 64 16 32 64

20. (1)由 an +1 = 2 S n + 1 ----①得 an = 2 S n ?1 + 1 ----②,

① ? ②得 an +1 ? an = 2( S n ? S n ?1 ) ,∴ an +1 = 3an ,∴ an = 3

n ?1

;----------------3 分

b5 ? b3 = 2d = 6,∴ d = 3,∴ bn = 3 + (n ? 3) × 3 = 3n ? 6 ; -----------------6 分
(2) S n =

a1 (1 ? q n ) 1 ? 3n 3n ? 1 = = , -------------8 分 1? q 1? 3 2

∴(

3n ? 1 1 3n ? 6 * + )k ≥ 3n ? 6 对 n ∈ N * 恒成立, 即∴ k ≥ 对 n ∈ N 恒成立,--------10 分 n 2 2 3

令 cn =

3n ? 6 3n ? 6 3n ? 9 ?2n + 7 , cn ? cn ?1 = ? n ?1 = , n 3 3n 3 3n

当 n ≤ 3 时, cn > cn ?1 ,当 n ≥ 4 时, cn < cn ?1 ,--------------12 分

∴ (cn ) max = c3 =

2 2 , k ≥ .----------14 分 9 9

21. (1) F ( x ) = f ( x ) + px = ln( x + 1) + px ,∴ F ′( x ) = ①当 p = 0 时, F ′( x ) > 0 在 (?1, +∞) 上恒成立,

1 px + p + 1 +p= ,-----------2 分 x +1 x +1

∴ F ( x) 的递增区间为 (?1, +∞) ;---------3 分
②当 p > 0 时, F ( x ) 的递增区间为 (?1, +∞) ;--------------6 分 ③当 p < 0 时, F ( x ) 的递增区间为 ( ?1, ?1 ?

1 ), p

递减区间为 ( ?1 ?

1 , +∞) ;------------8 分 p

(2)令 G ( x ) = g ( x ) ? f ( x ) = e x ? 1 ? ln( x + 1)( x > ?1) ,

∴ G ′( x) = e x ?

1 ex x + ex ?1 = , x +1 x +1

令 H ( x ) = e x x + e x ? 1( x > ?1) , H ′( x) = e x ( x + 2) > 0 在 (?1, +∞) 上恒成立,

∴ 当 x > 0 时, H ( x) > H (0) = 0 成立,∴ G ′( x) > 0 在 x > 0 上恒成立, ∴ G ( x) 在 (0, +∞ ) 上单调递增,∴ 当 x > 0 时, G ( x) > G (0) = 0 恒成立, ∴ 当 x > 0 时, g ( x) ? f ( x) > 0 恒成立, ∴ 对于任意的 x2 > x1 > 0 时, g ( x2 ? x1 ) > f ( x2 ? x1 ) ,---------------12 分

又 x2 ? x1 + 1 ?

x2 + 1 x1 ( x2 ? x1 ) = >0, x1 + 1 x1 + 1 x2 + 1 = ln( x2 + 1) ? ln( x1 + 1) , x1 + 1

∴ ln( x2 ? x1 + 1) > ln

∴ f ( x2 ? x1 ) > f ( x2 ) ? f ( x1 ) ,即 g ( x2 ? x1 ) > f ( x2 ) ? f ( x1 ) .--------------15 分
22. (1) f (100) = 10 f (10) = 10i9 = 90 ,

1 1 f (10) = 10 f (1) = 100 f ( ) = 1000 f ( ) 10 100

1 9 f( )= -------------4 分 100 1000
(2) x ∈ I k 且 k ∈ N 则 f ( x ) = 10 f (

x x x ? ? x ) = ? = 10k f ( k ) = 10 k ? k ? lg k ? 10 10 10 ? ? 10

= x ? 10 k lg x + k i10k -----------6 分 x x ∈ I k 且 k ∈ Z , k < 0 时 由 f ( x) = 10 f ( ) 10 1 x 得 f ( x) = f (10 x) = ? = 10 k f ( k ) 10 10
即 故

f ( x) = x ? 10 k lg x + k i10 k x ∈ Ik 且 k ∈ Z

-------------8 分 -------------9 分

有 f ( x ) = x ? 10 k lg x + k i10 k
' k

(3) x ∈ I k 且 k ∈ N 时, f ( x ) = 1 ? 10

1 > 0 故 Dk = (10k ,9i10k ? ? x ln10


Dk 在区间 I k 上的补集为 ( 9i10k ,10k +1 ? ?
T=

ak = 10k --------------12 分

lg a0 lg a1 lg a2 lg an 1 2 n + + +?+ = + 2 +? + n a0 a1 a2 an 10 10 10 9 1 1 n 1? 1 ? n T = + ? + n ? n +1 = ?1 ? n ? ? n +1 10 10 10 10 9 ? 10 ? 10

T 1 2 n = 2 + 3 + ? + n +1 10 10 10 10 9 1 T< 10 9 ∴ T=

lg a0 lg a1 lg a2 lg an 10 + + +? + < . -------------15 分 a0 a1 a2 an 81


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