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函数竞赛题


初中数学竞赛专项训练
(函 数)
一、选择题: 1、如果一条直线 L 经过不同的三点 A(a,b) ,B(b,a) ,C(a-b,b-a) ,那么直线 L 经过 ( ) A. 二、四象限 B. 一、二、三象限 C. 二、三、四象限 C. 一、三、四象限 2、当 | x |? 4 时,函数 y ?| x ? 1 | ? | x ? 2 | ? | x ? 3 |

的最大值与最小值之差是( A. 4
2 2



B. 6

C. 16

D. 20 ( )

3、对 ab ? 0,a ? b ,二次函数 y ? ( x ? a)(x ? b) 的最小值为 A. (

a?b 2 ) 2

B. ? (

a?b 2 ) 2

C. (

a?b 2 ) 2

D. ? (

a?b 2 ) 2

4、若直线 y ? ax ? b(ab ? 0) 不经过第三象限,那么抛物线 y ? ax2 ? bx 的顶点在 ( ) B. 第二象限

A. 第一象限

C. 第三象限

D. 第四象限 ( ) y
1 0 1

5、二次函数 y ? ax2 ? bx ? c 的图象一部分如图 6-1 ,则 a 的取值范围是 A. ? 1 ? a ? 0 C. -1<a<0 6、若函 数 y ? B. a>-1 D. a≤-1 图 6-1

1 2 ( x ? 100 x ? 196 ? | x 2 ? 100 x ? 196 |) , 2

x

则当自变量 x 取 1,2,3,……,100 这 100 个自然数时,函数值的和是 A. 540 B. 390 C. 194 D. 197





2 7、 已知函数 f ( x) ?| 8 ? 2x ? x | 和 y ? kx ? k (k 为常数) , 则不论 k 为何常数, 这两个函数图象只有 (



个交点 A. 1

B. 2

C. 3

D. 4

2 8、二次函数 y ? ? x 2 ? 6 x ? 7 ,当 x 取值为 t ? x ? t ? 2 时, y最大值 ? ?(t ? 3) ? 2 ,则 t 的取值范围是

A. t=0
2

B. 0≤t≤3
2 2

C. t≥3
2

( ) D. 以上都不对

9、两抛物线 y ? x ? 2ax ? b 和 y ? x ? 2cx ? b 与 x 轴交于同一点(非原点) ,且 a、b、c 为正数,a ≠c,则以 a、b、c 为边的三角形一定是 A. 等腰直角三角形 B. 直角三角形 C. 等腰三角形 ( D. 等腰或直角三角形
2 2



10、当 n=1,2,3,……,2003,2004 时,二次函数 y ? (n ? n) x ? (2n ? 1) x ? 1 的图象 与 x 轴所截得 的线段长度之和为 A. ( B. )

2002 2003

2003 2004

C.

2004 2005

D.

2005 2006

二、填空

1、已知二次函数 y ? ax2 ? bx ? c 图象如图 6-2 所示,则下列式子: ab,ac,a+b+c,a-b+c,2a+b,2a-b 中,其值为正的式子共有__个。 2、已知函数 y ?

y · 1 图 6-2

0

x

1 2 13 x ? 在 0 ? a ? x ? b 时,有 2a ? y ? 2b ,则(a,b)=___ 2 2

3、若第一象限内的整点(a,b)位于抛物线 y ? 19x 2 ? 98x 上, 则 m+n 的最小值为_____ 4、如果当 m 取不等于 0 和 1 的任意实数时,抛物线 y ?

m ?1 2 2 m?3 x ? x? 在平面直角坐标系上都过 m m m

两个定点,那么这两个定点间的距离为_______ 5、已知抛物线 y ? x 2 ? (k ? 1) x ? 1 与 x 轴两个交点 A、B 不全在原点的左侧,抛物线顶点为 C,要使△ ABC 恰为等边三角形,那么 k 的值为_______ 6、已知 f ( x) ? x ? (m ? 1) x ? (2m ? 1)( m ?
2

1 m ?1 ) 在 x 轴上的两截距都大于 2,则函数值 f ( ) 的符 2 4m ? 2

号为_______ 7、设 x 为实数,则函数 y ?

3 x 2 ? 6 x ? 5 的最小值是______ 1 2 x ? x ?1 2
1

8、 已知函数 f ( x) ?

, 则 f (1) ? f (3) ? ... f (2k ? 1) ? ... ? f (999 )

3

x ? 2x ? 1 ?
2

3

x 2 ? 1 ? 3 x 2 ? 2x ? 1

的值为________
2 9、函数 y ? (cos? ) x ? 4(sin? ) x ? 6 对任意实数 x 都有 y ? 0 ,且θ 是三角形的内角,则θ 的取值范围

是_________

三、解答题 1、已知 x,y,z 为三个非负有理数,且 满足 3x ? 2 y ? z ? 5,x ? y ? z ? 2 ,若 s ? 2 x ? y ? z ,求 s 的 最大值与最小值的和。

2 2、设 a、b、c 是三角形的三边长,二次函数 y ? (a ? b) x ? 2cx ? (a ? b) 在 x ? ?

1 a 时,取得最小值 ? , 2 2

求这个三角形三个内角的度数。

3、二次函数 y ? ax2 ? bx ? c(a ? 0) 的图象如图 6-3 所示: ①判断 a、b、c 及 b ? 4ac 的符号
2

y A B

②若 | OA |?| OB | ,求证 ac ? b ? 1 ? 0

O

C

x

图 6-3

4、设二次函数 y ? x 2 ? px ? q 的图象经过点(2,-1) , 且与 x 轴交于不同的两点 (x2,0) ,M 为二次函数图象的顶点,求使△AMB 面积最小时的二次函数的解析式。

A(x1,0) B

5、已知二次函数 y ? 4 x 2 ? (3k ? 8) x ? 6(k ? 1) 2 的图象与 x 轴交于 A、B 两点(A 在 B 左边) ,且点 A、B 到原点距离之比为 3∶2。 ①求 k 值。 ②若点 P 在 y 轴上,∠PAB=α ,∠PBA=β 。求证:α <β

参考答案
一、选择题 1、A。设 L 的方程为 y ? kx ? t ,则有:

?b ? ka ? t       ① ? ?a ? kb ? t       ② ①-②得 (b ? a) ? k (a ? b) ?b ? a ? k (a ? b) ? t   ③ ?

? a ? b   ? k ? ?1,代入③得 t ?0 ? L方程为y ? ? x,经过二、四象限

(?4 ? x ? 1) ?6 ? 3x   ?4 ? x   (1 ? x ? 2) ? 2、C。因为 ? 4 ? x ? 4 ,所以 y ? ? (2 ? x ? 3) ? x   ? (3 ? x ? 4) ?3x ? 6  
所以当 x ? ?4 时, y 取最大值 18,当 x ? 2 时, y 取最小值 2。 3、D。

? y ? x 2 ? (a ? b) x ? ab ? ( x ?    ? (x ?

a?b 2 a?b 2 ) ? ab ? ( ) 2 2

a?b 2 a ?b 2 ) ?( ) 2 2 a?b a ?b 2 ?当x ? 时,y min ? ?( ) 2 2
4、A。∵直线 y ? ax ? b(ab ? 0) 不经过第三象限,∴ a ? 0,b ? 0。 ∴抛物线
4ac ? b 2 在第一象限。 y ? ax2 ? bx 的 顶点 (? b , ) 2a 4a

5、C。显然 a ? 0 ,因为二次函数图象过点 (1,0)和(0,1) ,且当 x ? ?1 时, y ? 0 , 所以可设 y ? a( x ? 1)(x ? k )(k ? 0),将( 0, 1 )坐标代入,得 ak ? ?1,所以

y ? ax2 ? (a ? 1) x ? 1 ,将 x ? ?1 代入,可知 a ? (1 ? a) ? 1 ? 0 ,解得 a ? ?1 ,故-1
<a<0。 6、B。? x ? 100x ? 196 ? ( x ? 2)(x ? 98)
2

2, …, ?当2 ? x ? 98时, | x 2 ? 1 0x0 ? 1 9 |? 6 ?( x 2 ? 1 0x0 ? 1 9) , 6当自变量 x 取 2, 98 时函数值为 0,而当 x 取 1,99,100 时, | x ? 100x ? 196|? x ? 100x ? 196,所
2 2

数学竞赛专项训练参考答案(1)-5

以,所求和为(1-2) (1-98)+(99-2) (99-98)+(100-2) (100-98)=97+97+196=390。 7、B。由于 y ? k ( x ? 1) 图点恒过点(-1,0) ,所以不论 k 为何常数,这两个函数图象有两 个交点。 8、C。 y ? ? x 2 ? 6x ? 7 ? ?( x ? 3) 2 ? 2 ,当 t ? 3 ? t ? 2 时,即 1 ? t ? 3 时,

y最大值 ? f (3) ? 2 ,与 y最大值 ? ?(t ? 3) 2 ? 2 矛盾。当 3 ? t ? 2 时,即 t ? 1 时,

y最大值 ? f (t ? 2) ? ?(t ? 1) 2 ? 2,与y最大值 ? ?(t ? 3) 2 ? 2 矛盾。当 3 ? t,即t ? 3
时, y最大值 ? f (t ) ? ?(t ? 3) 2 ? 2 与题设相等,故 t 的取值范围 t≥3。 9、B。设两抛物线交于 x 轴( x0 ,0) ( x0 ≠0) ,则有:
2 2 ? ? x0 ? 2ax0 ? b ? 0  ① 2 , ①+②得 2x0 ? 2(a ? c) x0 ? 0 , ∵ x0 ? 0 , ? 2 2 ? ? x0 ? 2cx0 ? b ? 0  ②



x0 ? ?(a ? c) 。①-②得 2(a ? c) x0 ? 2b 2 ? 0 ,
b2 ∴ x0 ? c?a
形。
2 2 10、 C。解方程 (n ? n) x ? (2n ? 1) x ? 1 ? 0 ,得 x1 ?

b2 ? ?(a ? c),b 2 ? a 2 ? c 2 ,即 a 2 ? b 2 ? c 2 ,所以为直角三角 ∴ c?a
1 1 ,x 2 ? , n ?1 n

1 1 ? n n ?1 1 1 1 1 1 1 2004 ? ) ? 1? ? ∴ d1 ? d 2 ? ... ? d 2004 ? (1 ? ) ? ( ? ) ? ... ? ( 2 2 3 2004 2005 2005 2005
∴ d n ?| x1 ? x 2 |?

二、填空题

? 1、2 个。显然 a ? 0,c ? 0,b ? 0,a ? b ? c ? 0,

b ? 1, 2a 2a ? b ? 0, 2a ? b ? 0 所以 ab ? 0,ac ? 0,a ? b ? c ? 0,

1 13 ? 2a ? ? b 2 ? ? ?a ? 1 ? 2 2 2、 (1,3) 。若 b ? 0 ,则有 ? ,解得 ? ,若 b ? 0 与题设矛盾。 1 13 b ? 3 2 ? ?2b ? ? a ? ? 2 2 ?
7, ? 可知当 n 取 3、102。由 m ? (19n ? 98)n 知,存在整数 k,使 k ? 19 n ? 98 ,取 n ? 6,
最小值 6 时,k 取最小正整数 16,故 m ? n ? nk ? n ? 6 ? 17 ? 102 。
数学竞赛专项训练参考答案(1)-6

4、 4 5 。取 m ? 取m ?

1 ,得抛物线 y ? ? x 2 ? 4x ? 5 ① ; 2

1 ,得 抛物线 y ? ?3x 2 ? 8x ? 11 ② , 4
2

联立①②,得 x ? 2 x ? 3 ? 0 ,求出 x1 ? 1 ,x2 ? 3 ,相应地,得 y1 ? 0,y2 ? 8 ,即

, 0)N(3, 8) 两个定点的坐标分别为 M (?1 ,从而两定点 M 1 N 之间的距离为
MN ? (3 ? 1) 2 ? (8 ? 0) 2 ? 4 5 。
5、-5 。由题意 A、B 在原点的右侧,且 | x1 ? x 2 |? ∴ 6、 f (

( x1 ? x 2 ) 2 ? 4 x1 x 2 ? (k ? 1) 2 ? 4

3 k ?1 2 (k ? 1) 2 ? 4 ?| 1 ? ( ) | ,解得 k ? ?5 。 2 2

m ?1 ) ? 0 。设 x 2 ? (m ? 1) x ? (2m ? 1) ? 0 ,两根为 x1 , x2 ,则 x1 >2, x2 >2, 4m ? 2

∵ x1 ? x2 ? m ? 1 ,x1 ? x2 ? 2m ? 1, ∴

x ? x2 1 1 m ?1 1 1 ? 1 ? ( ? )? ?2 4m ? 2 2 x1 x2 2 x1 x2 2
m ?1 )?0 4m ? 2

∴ f(

7、4。设 y ?

3x 2 ? 6 x ? 5 ,去分母,整理得 ( y ? 6) x 2 ? (2 y ? 12) x ? 2 y ? 10 ? 0 ,当 1 2 x ? x ?1 2

y ? 6 ? 0 时,由 x 为实 数,得 ? ? (2 y ? 12) 2 ? 4( y ? 6)(2 y ? 10) ? 0 ,即

y 2 ? 10y ? 24 ? 0 ,解得 4 ? y ? 6( y ? 6) ,而 x ? ?1 时, y ? 4 ,故分式的最小值
为 4。 8、5。∵ f ( x) ?
3

x ?1 ? 3 x ?1 1 3 ? ( x ? 1 ? 3 x ? 1) ( x ? 1) ? ( x ? 1) 2

1 ? f (1) ? f (3) ? ... ? f (999) ? [(3 2 ? 0) ? (3 4 ? 3 2 ) ? ... ? (3 1000 ? 3 998)] 2 1 ? ? 10 ? 5 2
9、 0? ? ? ? 60 ? 。由题意得 ?

?cos? ? 0
2 ?? ? 16sin ? ? 24 cos? ? 0

数学竞赛专项训练参考答案(1)-7

即?

?cos? ? 0 ?2(1 ? cos ? ) ? 3 cos? ? 0
2

解得 cos ? ?

1 ,又因为 0? ? ? ? 180 ? 2

所以 0? ? ? ? 60 ?

?3 x ? 2 y ? z ? 5 ? 三、1、∵ ? x ? y ? z ? 2 ?2 x ? y ? z ? s ?

? ?x ? s ? 2 ? ∴? 15 ? 4s ?y ? 3 ? 3? s ? z? ? 3 ?

? ?s ? 2 ? 0 又 x 、 y 、z 是非负数,∴ ? ?15 ? 4 s ?0 ? ? 3 ?3 ? s ?0 ? ? 3

解得 2 ? s ? 3 ,故 s 的最大值为 3,最小值

为 2,最大值与最小值和为 5。

1 ? c ?         ① ? ?a ? b 2 2、由题意得 ? 由①得 a ? b ? 2c ,代入②得 2 ? ( a ? b )( a ? b ) ? c a ? ? ?  ② ? a?b 2 ?
a ? 2b ? c ? 0 ,所以 a ? b ? c ,故三个内角度数均为 60°。
3、① a ? 0,b ? 0,c ? 0,b ? 4ac ? 0
2

②因为 | OA |?| OB | ,且 | OB |?| c |? ?c ,所以 ax ? bx ? c ? 0 有一根 x ? c ,从而
2

ac2 ? bc ? c ? 0 ,又因为 c ? 0 ,所以 ac ? b ? 1 ? 0 。
4、∵ ? 1 ? 2 ? 2 p ? q
2

∴ 2 p ? q ? ?5

∵ x1 , x2 为 x 2 ? px ? q ? 0 两根,∴ x1 ? x2 ? ? p ∴ | AB |?| x1 ? x 2 |?

x1 x2 ? q ,
p 4q ? p 2 , ) 2 4
3

( x1 ? x 2 ) 2 ? 4 x1 x 2 ?

p 2 ? 4q ,又 M (?

∴ S ?AMB ?

1 4q ? p 2 1 4q ? p 2 1 2 | AB | ? | |? | x1 ? x2 | ? | |? ( p ? 4q) 2 , 要使 S ?AMB 2 4 2 4 8
2

为最小,只需使 p ? 4q 最小。∵

p 2 ? 4q ? p 2 ? 8 p ? 20 ? ( p ? 4) 2 ? 4

2 2 ∵当 p ? ?4 时, p ? 4q 取最小值 4,此时 q ? 3 ,故所求的二次函数为 y ? x ? 4 x ? 3 。

数学竞赛专项训练参考答案(1)-8

2k ? 8 ? ? 3t ? 2t ? ? ? 4 5、设 A(-3t,0) ,B(2t,0) ,则有 ? 解得 k ? 2 或 k ? 8 ,经 2 ? 6 ( k ? 1 ) ?? 3t ? 2t ? (t ? 0) ? 4 ? 检验 k ? 2 符合题意。
②∵ tan ?PAB ?

PO PO , tan ?PBA ? ,AO>BO AO BO

∴ tan ?PAB ? tan ?PBA ∴ ?PAB ? ?PBA ,即α <β 。

数学竞赛专项训练参考答案(1)-9


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