当前位置:首页 >> 数学 >> 三角函数图象和性质(总结的很全面

三角函数图象和性质(总结的很全面


三角函数专题辅导 课程安排
项目 专题辅导一 专题辅导二 内容 三角函数的基本性质及解题思路 三角函数的图像性质及解题思路 课时安排 5 课时 12 课时 4 课时 专题辅导三 形如 y ? A sin(? x ? ? ) 函数的基本性质 及解题思路

专题辅导四 专题辅导五 专题辅导六

综合训练 结业考察 数学函数学习方法及二

轮复习方 法探讨

6 课时 2 课时 2 课时

制作者:程国辉

1

专题辅导一 三角函数的基本性质及解题思路
课时:4-5 学时 学习目标: 1. 掌握常用公式的变换。 2. 明确一般三角函数化简求值的思路。 第一部分 三角函数公式 1 、两角和与差的三角函数: cos( α + β )=cos α · cos β -sin α · sin β cos( α - β )=cos α · cos β +sin α · sin β sin( α ± β )=sin α · cos β ± cos α · sin β tan( α + β )=(tan α +tan β )/(1-tan α · tan β ) tan( α - β )=(tan α -tan β )/(1+tan α · tan β 2 、倍角公式: sin(2 α )=2sin α · cos α =2/(tan α +cot α ) cos(2 α )=(cos α )^2-(sin α )^2=2(cos α )^2-1=1-2(sin α )^2 tan(2 α )=2tan α /(1-tan^2 α ) cot(2 α )=(cot^2 α -1)/(2cot α ) 3、两角和与差的正弦、余弦、正切公式及倍角公式:
令? ? ? sin ?? ? ? ? ? sin ? cos ? ? cos ? sin ? ??? ? sin 2? ? 2sin ? cos ?
令? ? ? cos ?? ? ? ? ? cos ? cos ? ? sin ? sin ? ??? ? cos 2? ? cos 2 ? ? sin 2 ?

       ?                   ? 2 cos 2 ? ? 1 ? 1 ? 2sin 2 ? tan ? ? tan ? 1+cos2?         ? cos 2 ?= 1 ? tan ? tan ? 2 1 ? cos2?        ?                sin 2 ?= 2 2 tan ?     tan 2? ? 1 ? tan 2 ?   tan ?? ? ? ? ?
4、同角三角函数的基本关系式: (1)平方关系: sin ? ? cos ? ? 1,1 ? tan ? ? sec ? ,1 ? cot ? ? csc ? (2)倒数关系:sin ? csc ? =1,cos ? sec ? =1,tan ? cot ? =1,
2 2 2 2 2 2

(3)商数关系: tan ? ?

sin ? cos ? , cot ? ? cos ? sin ?

第二部分:三角函数的化简、计算、证明的恒等变形的基本思路:
一角二名三结构 首先观察角与角之间的关系,注意角的一些常用变式,角的变换是三角函数变换的核心!第二看函
2

数名称之间的关系,通常“切化弦” ;第三观察代数式的结构特点。 基本的技巧有: (1)巧变角(已知角与特殊角的变换、已知角与目标角的变换、角与其倍角的变换、两角与其和差 角的变换. 如 ? ? (? ? ? ) ? ? ? (? ? ? ) ? ? , 2? ? (? ? ? ) ? (? ? ? ) , 2? ? ( ? ? ? ) ? (? ? ? ) ,

? ? ? ? 2?
如:

? ??
2



???
2

? ??

?

?
2

? ?? ? ?
? 2 ?

等) 。

2 ? 1 ? 3 , tan( ? ? ) ? ,那么 tan(? ? ) 的值是_____/// 5 4 4 4 22 ? ? 1 ? 2 490 2、 0 ? ? ? ? ? ? ? ,且 cos( ? ? ) ? ? , sin( ? ? ) ? ,求 cos( ? ? ? ) /// 2 2 9 2 3 729 3 3、已知 ? , ? 为锐角, sin ? ? x,cos ? ? y , cos(? ? ? ) ? ? ,则 y 与 x 的函数关系为 5 3 4 3 ______/// y ? ? 1 ? x 2 ? x( ? x ? 1) 5 5 5
1、已知 tan(? ? ? ) ? (2)三角函数名互化(切割化弦),如 1、求值 sin 50 (1 ? 3 tan10 ) ///1
? ?

2、已知

sin ? cos ? 2 1 ? 1, tan(? ? ? ) ? ? ,求 tan( ? ? 2? ) 的值/// 1 ? cos 2? 3 8

(3)公式变形使用( tan ? ? tan ? ? tan ?? ? ? ??1 ? tan ? tan ? ? 。如 1、A、B 为锐角,且满足 tan A tan B ? tan A ? tan B ? 1 ,则 cos( A ? B) =_____/// ? 2、 ?ABC , tan A ? tan B ? 3 ? 3 tan Atan B , sin Acos A ?

2 2

3 , ____三角形///等边 4

(4)三角函数次数的降升(降幂公式: cos ? ?
2

1 ? cos 2? 1 ? cos 2? 2 , sin ? ? 与升幂公式: 2 2

1 ? cos 2? ? 2cos2 ? , 1 ? cos 2? ? 2sin 2 ? )。如
1 1 1 1 ? ? ? cos 2? 为_____/// sin 2 2 2 2 2 5 2 2、 f ( x ) ? 5 sin x cos x ? 5 3 cos x ? 3( x ? R ) 递增区间______ 2 ? 5? [ k? ? ,k? ? ]( k ? Z ) 12 12
1、若 ? ? ( ? , ? ) ,化简

3 2

(5)式子结构的转化(对角、函数名、式子结构化同)。如 1、 tan ? (cos ? ? sin ? ) ?

sin ? ? tan ? cot ? ? csc ?

/// sin ?

2、求证:

1 ? sin ? 1 ? 2sin 2

?
2

?

1 ? tan 1 ? tan

?

?

2;

2
3

2 cos 4 x ? 2 cos 2 x ?
3、化简:

2 tan( ? x) sin 2 ( ? x) 4 4
2

?

?

1 2

///

1 cos 2 x 2

。 ? tan ? ? sin ? ? ? 等) 4 2

(6)常值变换主要指“1”的变换( 1 ? sin x ? cos x ? sec x ? tan x ? tan x ? cot x
2 2 2

如已知 tan ? ? 2 ,求 sin ? ? sin ? cos ? ? 3cos ?
2 2

(答:

3 ) 5

(7)正余弦“三兄妹— sin x ? cos x、 。如 sin x cos x ”的内存联系――“知一求二” 1、若 sin x ? cos x ? t ,则 sin x cos x ? __

t 2 ?1 ),特别提醒:这里 t ? [? 2, 2] ; 2 4? 7 2、若 ? ? (0, ? ),sin ? ? cos ? ? 1 ,求 tan ? 的值。 /// ? 2 3 2 sin 2? ? 2sin ? ? ? 3、已知 ? k ( ? ? ? ) ,试用 k 表示 sin ? ? cos ? 的值/// 1 ? k 1 ? tan ? 4 2
(答: ? (8) 、辅助角公式中辅助角的确定: a sin x ? b cos x ? b 的符号确定, ? 角的值由 tan ? ?

a 2 ? b 2 sin ? x ? ? ? (其中 ? 角所在的象限由 a,

b 确定)在求最值、化简时起着重要作用。如 a (1)若方程 sin x ? 3 cos x ? c 有实数解,则 c 的取值范围是___________. ///[-2,2] 3 (2)当函数 y ? 2 cos x ? 3 sin x 取得最大值时, tan x 的值是______/// ? 2 (3)如果 f ? x ? ? sin ? x ? ? ? ? 2 cos( x ? ? ) 是奇函数,则 tan ? = ///-2

4

专题辅导二 三角函数的图像性质及解题思路
课时:10 课时 学习目标: 1 会求三角函数的定义域 2 会求三角函数的值域 3 会求三角函数的周期 :定义法,公式法,图像法。如 y ? sin x 与 y ? cos x 的周期是 ? . 4 会判断三角函数奇偶性 5 会求三角函数单调区间 6 对 y ? A sin(? x ? ? )( A ? 0, ? ? 0) 函数的要求 (1)五点法作简图 (2)会写 y ? sin x 变为 y ? A sin(? x ? ? )( A ? 0, ? ? 0) 的步骤 (3)会求 y ? A sin(? x ? ? ) 的解析式 (4)知道 y ? A cos(? x ? ? ) , y ? A tan(? x ? ? ) 的简单性质 7 知道三角函数图像的对称中心,对称轴 8 能解决以三角函数为模型的应用问题 (一) 、知识要点梳理 1、正弦函数和余弦函数的图象:正弦函数 y ? sin x 和余弦函数 y ? cos x 图象的作图方法:五点法:先取 横坐标分别为 0,

?
2

,? ,

3? , 2? 的五点,再用光滑的曲线把这五点连接起来,就得到正弦曲线和余弦曲线 2

在一个周期内的图象。

y=sinx
-4? -7? -3? 2 -5? 2 -2? -3? -? 2 -

y
? 2

1 o -1
y
? 2 ?

3? 2 2? 5? 2 3?

7? 2 4?

x

y=cosx
-3? -4? -7? 2 -5? 2 -? -2? -3? 2 -

? 2

1 o -1
y

? ? 2

3? 2 2? 5? 2

3?

7? 2

4?

x

y=tanx

-

3? 2

-?

-

? 2

o

? 2

?

3? 2

x

5

2、正弦函数 y ? sin x( x ? R) 、余弦函数 y ? cos x( x ? R) 的性质: (1)定义域:都是 R。 ( 2 ) 值 域 : 都 是 ? ?1 , 1 ? , 对 y ? s i nx , 当 x ? 2 k? ?

?

3? ? k? Z ? 时, y 取最小值- 1 ;对 y ? cos x ,当 x ? 2 k? ? k ? Z? 时, y 取最大值 1 ,当 2 x ? 2 k? ? ? ? k ? Z ? 时, y 取最小值-1。如 x?2k ? ?
(1)若函数 y ? a ? b sin(3x ?

2

?

k? Z ? 时, y 取最大值 1;当

?

3 1 ) 的最大值为 ,最小值为 ? ,则 a ? __, b ? _ 2 2 6 1 ; a ? , b ? 1 或 b ? ?1 ) 2

(2)函数 f ( x) ? sin x ? 3 cos x ( x ? [?

? ?

(3)若 2? ? ? ? ? ,则 y ? cos ? ? 6 sin ? 的最大值和最小值分别是___、___///7,-5 (4)函数 f ( x) ? 2cos x sin( x ? ) ? 3 sin x ? sin x cos x 的最小值是_____,此时 x =__________
2

, ] )的值域是____/// [-1, 2] 2 2

?

3

(答:2; k? ? (5)己知 sin ? cos ? ?

?
12

; (k ? Z ) )

1 1 ,求 t ? sin ? cos? 的变化范围/// [0, ] 2 2 2 2 2 2 (6) sin ? ? 2 sin ? ? 2 cos? ,求 y ? sin ? ? sin ? 的最值/// y max ? 1 , y min ? 2 2 ? 2 )
特别提醒:在解含有正余弦函数的问题时,你深入挖掘正余弦函数的有界性了吗? 3、正弦、余弦、正切函数的图像和性质

y ? sin x
定义域 值域 周期性 奇偶性 R
[?1,?1]

y ? cos x
R
[?1,?1]

1 ? ? ? x | x ? R且x ? k? ? ? , k ? Z ? 2 ? ?

y ? tan x

R

2?

2?

?

奇函数
[?

偶函数
[?2k ? 1? ?, 2k? ]

奇函数 ;上为增函数 上为减函数 增函数( k ? Z )

?
2

? 2k? ,

?
2

上为增函数;

? 2k? ]

[ 2k? ,

? ? ? ? ? ? ? k? , ? k? ? 上 为 2 ? 2 ?

?2k ? 1?? ]

单调性

[

? 2 k? , 2 上 为 减 函 数 3? ? 2 k? ] 2

?

( k ?Z )

( k ?Z ) 4、周期性:① y ? sin x , y ? cos x 的最小正周期都是 2 ? ; ② f ( x) ? A sin(? x ? ? ) 和 f ( x) ? A cos(? x ? ? ) 的最小正周期都是 T ? 如
6

2? 。 |? |

,则 f (1) ? f (2) ? f (3) ? ? ? f (2003) =___///—1/2 3 4 (2) 函数 f ( x) ? cos x ?2sin x cos x ? sin 4 x 的最小正周期为____/// ? (1)若 f ( x) ? sin (3) 设函数 f ( x) ? 2 sin( 最小值为____///2 5、奇偶性与对称性: (1) 正 弦 函 数 y ? s i nx ( x ?

?x

?

x ? ) ,若对任意 x ? R 都有 f ( x1 ) ? f ( x) ? f ( x2 ) 成立,则 | x1 ? x2 | 的 2 5

?

R是 ) 奇 函 数 , 对 称 中 心 是 ? k? , 0 ?? k ? Z ? , 对 称 轴 是 直 线

x ? k? ?

?
2

?k ? Z ? ;
? ?

(2) 余 弦 函 数 y ? cos x( x ? R) 是 偶 函 数 , 对 称 中 心 是 ? k? ?

x ? k? ?

? , 0??k ? Z ? , 对 称 轴 是 直 线 2 ? k? Z (正(余)弦型函数的对称轴为过最高点或最低点且垂直于 x 轴的直线, 对称中心为图象与 ?;
? 5? ? ? 2 x ? 的奇偶性是______、 ? 2 ?
(答:偶函数) ;
3

?

。如 x 轴的交点)

(1)函数 y ? sin ?

(2)已知函数 f ( x ) ? ax ? b sin x ? 1( a,b 为常数) ,且 f ( 5 ) ? 7 ,则 f ( ?5 ) ? ______ (答:-5) ; (3)函数 y ? 2 cos x(sin x ? cos x) 的图象的对称中心和对称轴分别是_______、_______ (答: (

k? ? k? ? ; ? ,1 )( k ? Z ) 、 x ? ? ( k ?Z )) 2 8 2 8
(答: ? ? k? ?

(4)已知 f ( x ) ? sin( x ? ? ) ? 3 cos( x ? ? ) 为偶函数,求 ? 的值。

?
6

(k ?Z ) )

6、单调性:

? ?? ? 3? ? ? ? y ? sin x在 ? 2k? ? , 2k? ? ? ? k ? Z ? 上单调递增,在 ? 2k? ? , 2k? ? ? ? k ? Z ? 单调递减; 2 2? 2 2 ? ? ?
y ? cos x 在 ? 2k? , 2k? ? ? ? ? k ? Z ? 上单调递减,在 ? 2k? ? ? , 2k? ? 2? ? ? k ? Z ? 上单调递增。特别提醒,
别忘了 k ? Z ! 7、 三角形中的有关公式: (1)内角和定理:三角形三角和为 ? ,这是三角形中三角函数问题的特殊性,解题可不能忘记!任意 两角和与第三个角总互补,任意两半角和与第三个角的半角总互余.锐角三角形 ? 三内角都是锐角 ? 三 内角的余弦值为正值 ? 任两角和都是钝角 ? 任意两边的平方和大于第三边的平方.

a ? b ? c ? 2R (R 为三角形外接圆的半径). sin A sin B sin C 注 意 : ① 正 弦 定 理 的 一 些 变 式 : ? i ? a ? b ? c ? sin A ? sin B ? sin C
(2)正弦定理:



? ii ? sin A ?

a b c ; ? iii ? a ? 2 R sin A, b ? 2 R sin B, b ? 2 R sin C ; ,sin B ? ,sin C ? 2R 2R 2R

②已知三

角形两边一对角,求解三角形时,若运用正弦定理,则务必注意可能有两解.
7

(3)余弦定理:a 2 ? b2 ? c 2 ? 2bc cos A,cos A ? b ? c ? a 等,常选用余弦定理鉴定三角形的形状.
2 2 2

2bc

(4)面积公式:S ? 1 aha ? 1 ab sin C ? 1 r (a ? b ? c)(其中 r 为三角形内切圆半径) .如 ?ABC 中,

2

2

2

若 sin A cos B ? cos A sin B ? sin C ,判断 ?ABC 的形状(答:直角三角形) 。 特别提醒: ( 1 ) 求 解 三 角 形 中 的 问 题 时 , 一 定 要 注 意 A? B ?C ? ? 这 个 特 殊 性 :
2 2 2 2 2

A ? B ? ? ? C ,sin( A ? B) ? sin C ,sin

A? B C (2)求解三角形中含有边角混合关系的问题时, ? cos ; 2 2
,那么满足条件的 ?ABC

常运用正弦定理、余弦定理实现边角互化。 如

=60 , a ?6 , b 4? (1)?ABC 中,A、B 的对边分别是 a、b ,且 A 有一个解 B、有两个解 C、无解 D、不能确定
?

A、

(答:C) ; (2)在 ?ABC 中,A>B 是 sin A ? sin B 成立的_____条件 (答:充要) ; (3)在 ?ABC 中, ( 1 ? tan A )( 1 ? tan B ) ? 2 ,则 log2 sinC =_____

1 ) ; 2 (4)在 ?ABC 中, B、 C 所对的边, 若 ( a ? b ? c )(sin A ? sin B ? sinC ) ? 3a sin B , a,b,c 分别是角 A、 则 ?C =____ ? (答: 60 ) ; 2 2 2 a ?b ?c (5)在 ?ABC 中,若其面积 S ? ,则 ?C =____ 4 3 ? (答: 30 ) ; ? (6)在 ?ABC 中, A ? 60 , b ? 1 ,这个三角形的面积为 3 ,则 ?ABC 外接圆的直径是_______
(答: ? (答: (7)在△ABC 中,a、b、c 是角 A、B、C 的对边, a ? 3, cos A ? 的最大值为 (答: ; (8)在△ABC 中 AB=1,BC=2,则角 C 的取值范围是 __ (答: 0 ? C ?
?

1 B?C = , 则 cos 2 3 2

2 39 ) ; 3
,b ? c
2 2

1 9 ) ; 3 2

?
6

) ;

(9)设 O 是锐角三角形 ABC 的外心,若 ?C ? 75 ,且 ?AOB, ?BOC, ?COA 的面积满足关系式

S?AOB ? S?BOC ? 3S?COA ,求 ?A (答: 45? ) .
8、反三角函数: (1)反三角函数的定义(以反正弦函数为例) : arcsin a 表示一个角,这个角的正弦值为 a ,且这个 角在 ? ?

? ? , ], [0, ? ], (? , ) . 2 2 2 2 在用反三角表示两异面直线所成的角、直线与平面所成的角、二面角的平面角、直线的倾斜角、 l1 到
(2)反正弦 arcsin x 、反余弦 arccos x 、反正切 arctan x 的取值范围分别是 [?

? ? ?? , 内 (?1 ? a ? 1) 。 ? 2 2? ?

? ?

l 2 的角、 l1 与 l 2 的夹角以及两向量的夹角时,你是否注意到了它们的范围? (0, ],[0, ],[0, ? ] , ?0, ? ? , 2 2
8

?

?

[0, ? ),[0, ),[0, ? ] . 2
9、求角的方法:先确定角的范围,再求出关于此角的某一个三角函数(要注意选择,其标准有二:一是 此三角函数在角的范围内具有单调性;二是根据条件易求出此三角函数值) 。如 (1)若 ? , ? ? (0, ? ) ,且 tan ? 、 tan ? 是方程 x ? 5 x ? 6 ? 0 的两根,则求 ? ? ? 的值______
2

?

(答: (2) ?ABC 中, 3sin A ? 4cos B ? 6, 4sin B ? 3cos A ? 1 ,则 ?C =_______

3? ) ; 4

(答:

(3)若 0 ? ? ? ? ? ? ? 2? 且 sin ? ? sin ? ? sin ? ? 0 , cos ? ? cos ? ? cos ? ? 0 ,求 ? ? ? 的值 (答:

? ) ; 3

2? ). 3

专题辅导三 形如 y ? A sin(? x ? ? ) 函数的基本性质及解题思路
课时:4 课时 学习目标: 1、掌握形如 y ? A sin(? x ? ? ) 函数的基本性质。 2、知道解题方法。 (一) 、知识要点梳理 1、几个物理量:A:振幅; f ?

1 频率(周期的倒数) ; ? x ? ? :相位; ? :初相; T
2 3 Y 2? 9 X -2 23题 图

2、函数 y ? A sin(? x ? ? ) 表达式的确定:A 由最值确定; ? 由周 图 象 上 的 特 殊 点 确 定 , 如 f ( x) ? A sin(? x ? ? )( A ? 0, ? ? 0 , 象如图所示,则 f ( x) =_____(答: f ( x) ? 2sin(

期确定; ? 由

| ? |?

?
2

) 的图

15 ? ; x? )) 2 3

3、函数 y ? A sin(? x ? ? ) 图象的画法:①“五点法”――设 X ? ? x ? ? ,令 X =0,

?
2

,? ,

3? , 2? 求出 2

相应的 x 值,计算得出五点的坐标,描点后得出图象;②图象变换法:这是作函数简图常用方法。 4、函数 y ? A sin(? x ? ? ) ? k 的图象与 y ? sin x 图象间的关系:①函数 y ? sin x 的图象纵坐标不变,横 坐标向左( ? >0)或向右( ? <0)平移 | ? | 个单位得 y ? sin ? x ? ? ? 的图象;②函数 y ? sin ? x ? ? ? 图象

1 ,得到函数 y ? sin ?? x ? ? ? 的图象;③函数 y ? sin ?? x ? ? ? 图象 ? 的横坐标不变, 纵坐标变为原来的 A 倍, 得到函数 y ? A sin(? x ? ? ) 的图象; ④函数 y ? A sin(? x ? ?) 图 象的横坐标不变,纵坐标向上( k ? 0 )或向下( k ? 0 ) ,得到 y ? A sin ?? x ? ? ? ? k 的图象。
的纵坐标不变,横坐标变为原来的

9

要特别注意,若由 y ? sin ?? x ? 得到 y ? sin ?? x ? ? ? 的图象,则向左或向右平移应平移 | 如 (1)函数 y ? 2sin(2 x ? (答: y ? 2sin(2 x ?

? | 个单位, ?

?
4

) ? 1 的图象经过怎样的变换才能得到 y ? sin x 的图象?

? ? ) ? 1 向上平移 1 个单位得 y ? 2sin(2 x ? ) 的图象,再向左平移 个单位得 4 4 8 1 y ? 2sin 2 x 的图象,横坐标扩大到原来的 2 倍得 y ? 2sin x 的图象,最后将纵坐标缩小到原来的 即得 2 ; y ? sin x 的图象) x ? x (2) 要得到函数 y ? cos( ? ) 的图象,只需把函数 y ? sin 的图象向___平移____个单位 2 4 2
(答:左;

?

? 7? (3)将函数 y ? 2sin(2 x ? ) ? 1 图像,按向量 a 平移后得到的函数图像关于原点对称,这样的向量 3 ? 是否唯一?若唯一,求出 a ;若不唯一,求出模最小的向量
(答:存在但不唯一,模最小的向量 a ? (?

? ) ; 2

?

?

(4) 若函数 f ? x ? ? cos x ? sin x x ? ? 0, 2? ? 的图象与直线 y ? k 有且仅有四个不同的交点, 则k 的 取值范围是 (答: [1, 2) )

?

?

6

; , ?1) )

附录一、三种基本变换规律: 1.平移变换规律 (1)水平平移:y=f(x+ )的图象,可由 y=f(x)的图象向左( >0), 或向右( <0)平移| |个单 位得到。 (2)垂直平移:y=f(x)+b 的图象,可由 y=f(x)的图象向上(b>0)或向下(b<0)平移|b|个单位得到。 2.对称变换规律 (1) y=-f(x)与 y=f(x)的图象关于 x 轴对称。 (2) y=f(-x)与 y=f(x)的图象关于 y 轴对称。 -1 (3) y=f (x)与 y=f(x)的图象关于直线 y=x 对称。 -1 (4) y=-f (-x)与 y=f(x) 的图象关于直线 y=-x 对称。 (5) y=-f(-x)与 y=f(x)的图象关于原点对称 3.伸缩变换规律 (1) 水平伸缩: y=f(ωx)(ω>0)的图象, 可由 y=f(x)的图象上每点的横坐标伸长(0<ω<1) 或缩短( ω

>1)到原来的 ω 倍(纵坐标不变)得到。
(2) 垂直伸缩:y=Af(x)(A>0)的图象,可由 y=f(x)的图象上每点的纵坐标伸长(A>1)或缩短(0<A< 1)到原来的 A 倍(横坐标不变)得到。 注:函数 y=Asin(ωx+ )(A>0, ω>0) 的图象变换规律,是上述平移变换与伸缩变换结合在一起的 特殊情况,这一变换规律对一般函数 y=Af(ωx+ ) (A>0, ω>0)也成立。 π 例 1:要得到函数 y=sin(2x- )的图象,只需将函数 y=sin2x 的图象( 3
10

1

)

(A)向左平移

π 个单位 3

π (B)向右平移 个单位 3 π (D)向右平移 个单位 6 )

π (C)向左平移 个单位 6

1 例 2:函数 y=- 的图象是( x+1

例 3:如果直线 l 沿 x 轴负方向平移 3 个单位,再沿 y 轴正方向平移 1 个单位后,又回到原来的位置,那 么直线 l 的斜率是( ) 1 (A) - 3 (B)-3 (C) 1 3 (D)3
-1

例 4:设函数 f(x)=1- 1-x2

(-1≤x≤0),则函数 y=f

(x)的图象是(

)

例 5:将 y=2x 的图象( ) (A)先向左平行移动 1 个单位 (B)先向右平行移动 1 个单位 (C)先向上平行移动 1 个单位 (D)先向下平行移动 1 个单位 再作关于直线 y=x 对称的图象,可得到 y=log2(x+1)的图象。 x π 例 6:函数 y=tan( - )在一个周期内的图象是( 2 3 )

1 3 2 例 7:函数 y= cos x+ sinxcosx+1 的图象可由 y=sinx 的图象经过怎样的平移和伸缩变换得到? 2 2 5、研究函数 y ? A sin(? x ? ? ) 性质的方法:类比于研究 y ? sin x 的性质,只需将 y ? A sin(? x ? ? ) 中 的 ? x ? ? 看成 y ? sin x 中的 x ,但在求 y ? A sin(? x ? ? ) 的单调区间时,要特别注意 A 和 ? 的符号,通 过诱导公式先将 ? 化正。如
11

(1)函数 y ? sin( ?2 x ?

?
3

) 的递减区间是______
(答: [ k? ?

(2) y ? log 1 cos(
2

x ? ? ) 的递减区间是_______ 3 4

5 ? ; ? ,k? ? ]( k ? Z ) ) 12 12

(答: [ 6k? ? ? , 6k? ? (3)设函数 f ( x) ? A sin(?x ? ? )( A ? 0, ? ? 0,?

?
2

?? ?

? 的图象关于直线 2? 对称,它的周期是 ) x?
2 3

3 4

3? ; ]( k ? Z ) ) 4

? ,则
A、 f ( x)的图象过点(0, ) B、 f ( x) 在区间 [

C、 f ( x)的图象的一个对称中心是( 5? ,0) 12 D、 f ( x) 的最大值是 A (答:C) ; (4)对于函数 f ? x ? ? 2sin ? 2 x ? ①图象关于原点成中心对称; ②图象关于直线 x ?

5? 2? , ] 上是减函数 12 3

1 2

? ?

??

? 给出下列结论: 3?

?
12

成轴对称;

③图象可由函数 y ? 2sin 2 x 的图像向左平移 ④图像向左平移

? 个单位,即得到函数 y ? 2cos 2 x 的图像。 12
(答:②④) ;

? 个单位得到; 3

其中正确结论是_______ (5)已知函数 f ( x) ? 2sin(? x ? ? ) 图象与直线 y ? 1的交点中,距离最近两点间的距离为 函数的周期是_______

? ,那么此 3
(答: ? )

6、正切函数 y ? tan x 的图象和性质: (1) 定义域:{x | x ?

?
2

遇到有关正切函数问题时, 你注意到正切函数的定义域了吗? ? k? , k ? Z } 。

(2)值域是 R,在上面定义域上无最大值也无最小值; (3)周期性:是周期函数且周期是 ? ,它与直线 y ? a 的两个相邻交点之间的距离是一个周期 ? 。绝 对值或平方对三角函数周期性的影响:一般说来,某一周期函数解析式加绝对值或平方,其周期性是:弦 减半、切不变 .既为周期函数又是偶函数的函数自变量加绝对值,其周期性不变,其它不定。 如 y ? sin 2 x, y ? sin x 的周期都是 ? , 但 y ? sin x

? cos x 的周期为

? 1 ? ? ,而 y ?| 2sin(3x ? ) ? |, y ?| 2sin(3x ? ) ? 2 | , y ?| tan x | 的周期不变; 6 2 6 2 ? k? ? , 0 ? ? k ? Z ? ,特别提醒:正(余)切型函数的对称 (4)奇偶性与对称性:是奇函数,对称中心是 ? ? 2 ?
12

中心有两类:一类是图象与 x 轴的交点,另一类是渐近线与 x 轴的交点,但无对称轴,这是与正弦、余弦 函数的不同之处。 (5)单调性:正切函数在开区间 ? ? 上不具有单调性。

? ? ? ? ? k? , ? k? ? ? k ? Z ? 内都是增函数。但要注意在整个定义域 2 ? 2 ?

专题辅导四 综合训练
课时:4 课时 学习目标: 1、掌握一些常见题型的解法。 (三)例题讲解 例 1 求函数 y ? ? tan(2 x ?

3? ) 的定义域,周期和单调区间。 4

例 2 已知函数 f ( x) ? 2sin(2 x ?

?
4

)

(1)求函数的定义域; (2) 求函数的值域; (3) 求函数的周期; (4)求函数的最值及相应的 x 值集合; (5)求函数的单调区间; (6)若 x ? [0,

3? ] ,求 f ( x) 的取值范围; 4

(7)求函数 f ( x) 的对称轴与对称中心; (8)若 f ( x ? ? ) 为奇函数, ? ? [0, 2? ) ,求 ? ;若 f ( x ? ? ) 为偶函数, ? ? [0, 2? ) ,求 ? 。

例 3. (1)将函数 y ?

1 ? 1 sin(2 x ? ) 的图象向______平移_______个单位得到函数 y ? sin 2 x 的图象(只 2 4 2 1 ? ? ? cos(2 x ? ) 的图象,可以把函数 y ? sin( x ? ) cos( x ? ) 的图象向______平移 2 4 6 6

要求写出一个值) (2) 要得到 y ?

_______个单位(只要求写出一个值).

13

例 4. 设 x ? R , 函 数 f ( x) ? c o2s ? ( x? ? ?)

? 1 f ( ) ? . (1)求 ? 和 ? 的值; 8 4

1 ? (? ? 0 ,o ? ? ? ), 已 知 f ( x) 的 最 小 正 周 期 为 ? , 且 2 2

(2)求的单调增区间.

例 5.如下图,某地一天从 6 时到 14 时的温度变化曲线近似满足函数 y=Asin(ω x+φ )+b (1)求这段时间的最大温差 y 温度/0C (2)写出这段曲线的函数解析式
新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞
wxckt@126.com http://www.xjktyg.com/wxc/

新疆 源头学子小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

新疆 源头学子小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞
wxckt@126.com

http://www.xjktyg.com/wxc/

新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞
wxckt@126.com

http://www.xjktyg.com/wxc/

新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞
wxckt@126.com

http://www.xjktyg.com/wxc/

30 20 10 时间/h 6 10 14

o

x

(四)练习题 一、选择题 1.将函数 y ? sin ? x(? ? 0) 的图象向左平移 数的解析式是 A. y ? sin( x ? C. y ? sin(2 x ?

? 个单位,平移后的图象如图所示,则平移后的图象所对应函 6
?
6 ) )

?

?
3

6

) )

B. y ? sin( x ? D. y ? sin(2 x ?

?
3

14

2.设 a ? 0 ,对于函数 f ? x ? ? A.有最大值而无最小值 C.有最大值且有最小值 3.函数 y=1+cosx 的图象 (A)关于 x 轴对称 (C)关于原点对称

sin x ? a (0 ? x ? ? ) ,下列结论正确的是 sin x
B.有最小值而无最大值 D.既无最大值又无最小值 (B)关于 y 轴对称 (D)关于直线 x=

4.已知函数 f(x)=2sin ? x( ? >0)在区间[ ? A.

? ?
3 4
,

? 对称 2

]上的最小值是-2,则 ? 的最小值等于 D.3

2 3

B.

3 2

C.2

5.设点 P 是函数 f ( x) ? sin ?x 的图象 C 的一个对称中心, 若点 P 到图象 C 的对称轴上的距离的最小值 则 f ( x) 的最小正周期是 A.2π B. π C.

? , 4

? 2
) (D)±1

D.

? 4

6.已知 a ? R ,函数 f ( x) ? sin x? | a |, x ? R 为奇函数,则 a=( (A)0 (B)1 (C)-1

x ? 7 为了得到函数 y ? 2 sin( ? ), x ? R 的图像,只需把函数 y ? 2 sin x, x ? R 的图像上所有的点 3 6

? 1 个单位长度,再把所得各点的横坐标缩短到原来的 倍(纵坐标不变) 6 3 ? 1 (B)向右平移 个单位长度,再把所得各点的横坐标缩短到原来的 倍(纵坐标不变) 6 3 ? (C)向左平移 个单位长度,再把所得各点的横坐标伸长到原来的 3 倍(纵坐标不变) 6 ? (D)向右平移 个单位长度,再把所得各点的横坐标伸长到原来的 3 倍(纵坐标不变) 6
(A)向左平移 8.已知函数 f ( x) ? (A) ? ?1,1?

1 1 (sin x ? cos x) ? sin x ? cos x ,则 f ( x) 的值域是 2 2
(B) ? ?

? ?

2 ? ,1? 2 ?

(C) ? ?1,

? ?

2? ? 2 ?


(D) ? ?1, ?

? ?

2? ? 2 ?

9.函数 y ?| sin( x ? 3) | 的最小正周期是( A.

1 2

π 2
? ?

B. π

C. 2π

D. 4π

10.函数 f ? x ? ? tan ? x ?

??

? 的单调增区间为 4?
B. k? , ? k ? 1? ? , k ? Z

A. ? k ? ?

? ?

?
2

, k? ?

??

?,k ? Z 2?

?

?

15

C. ? k ? ?

? ?

3? ?? , k? ? ? , k ? Z 4 4?

D. ? k? ?

? ?

?
4

, k? ?

3? 4

? ?,k ? Z ?

11.下列函数中,图象的一部分如右图所示的是 (A) y ? sin ? x ?

? ?

??
? 6?

(B) y ? sin ? 2 x ?

? ?

??
? 6?

(C) y ? cos ? 4 x ?

? ?

??
? 3?

(D) y ? cos ? 2 x ?

? ?

??
? 6?

12.已知函数 f ( x) ? a sin x ? b cos x ( a 、 b 为常数, a ? 0 , x ? R )在 x ?

?
4

处取得最小值,则函数

y? f(

3? ? x) 是( 4

) B.偶函数且它的图象关于点 (

A.偶函数且它的图象关于点 (? ,0) 对称 C.奇函数且它的图象关于点 (

3? ,0) 对称 2

3? ,0) 对称 2

D.奇函数且它的图象关于点 (? ,0) 对称

13 设 ?,? ? ? ? , ? ,那么“ ? ? ? ”是“ tan ? ? tan ? ”的( A.充分而不必要条件 C.充分必要条件 14.函数 y= B.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件

? π π? ? 2 2?



1 sin2+4sin 2 x,x ? R 的值域是 2
(B)[-

(A)[-

1 3 , ] 2 2

3 1 , ] 2 2

(C)[ ?

2 1 2 1 ? , ? ] 2 2 2 2

(D)[ ?

2 1 2 1 ? , ? ] 2 2 2 2

二、填空题 15. y ? sin(? x ?

?
4

) 在 x ?[0, 2? ] 的增区间是

16.满足 2 ? 2cos x ? 0( x ? R) 的 x 的集合是

x ? ) 的振幅,初相,相位分别是 4 8 18. tan x ? 1,且 x 是直线的倾斜角,则 x ?
17. y ? 8sin( ? 19.已知函数 f ( x) ? 2sin ? x(? ? 0) 在区间 ? ?

? ? ?? 上的最小值是 ?2 ,则 ? 的最小值是____。 , ? 3 4? ?
.

20.若 f ( x) ? a sin(x ? ) ? 3 sin(x ? ) 是偶函数,则 a= 三.解答题 22 设函数 y ? 3cos(2 x ?

? 4

? 4

?
3

)

(1)用“五点法”作出在一个周期内的简图;
16

(2)写出它可由 y ? cos x 的图像经怎样的变化得到。

23 已知函数 f ( x) ? sin 2 x ? a cos 2 x 的图像关于直线 x ? ?

?
6

对称,求 a 的值。

24 已知 f ( x) ? 2cos x ? 3 sin 2 x ? a ( a ? R 是常数
2

(1)若 f ( x) 的定义域为 R ,求 f ( x) 的单调增区间; (2)若 x ? [0,

?
2

] 时, f ( x) 的最大值为 4,求 a 的值。

25 已知函数 y ? A sin(? x ? ? ) ? B ( A ? 0,? ? 0,|? ? |

?
2

在同一个周期上的最高点为 (2, 2) ,最低点为 )

(8, ? 4) 。求函数解析式。

26 已知某海滨浴场的海浪高度 y (米)是时间 t ( 0 ? t ? 24 ,单位小时)的函数,记作: y ? f (t ) 下表 是某日各时的浪高数据: t 时 y 米 0 1.5 3 1.0 6 0.5 9 1.0 12 1.5 15 1 18 0.5 21 0.99 24 1.5
17

经长期观测, y ? f (t ) 的曲线可近似地看成是函数 y ? A cos ?t ? b 。 (1)根据以上数据,求函数的最小正周期 T,振幅 A 及函数表达式; (2)依据规定,当海浪高度高于 1 米时才对冲浪爱好者开放。由(1)的结论,判断一天内的上午 8:00 时至晚上 20:00 时之间,有多少时间可供冲浪者进行运动?

27 已知函数 f(x)=A sin (? x ? ? ) (A>0, ? >0,0< ? <
2

? 函数,且 y=f(x)的最大值为 2,其图象相邻两对称轴间 2

的距离为 2,并过点(1,2). (1)求 ? ; (2)计算 f(1)+f(2)+… +f(2 008).

18


更多相关文档:

三角函数图象和性质(总结的很全面_不看后悔)

三角函数专题辅导 课程安排项目 专题辅导一 专题辅导二 内容 三角函数的基本性质及解题思路 三角函数的图像性质及解题思路 课时安排 5 课时 12 课时 4 课时 专题...

三角函数图象和性质(总结的很全面,不看后悔)

三角函数图象和性质(总结的很全面,不看后悔)_高三数学_数学_高中教育_教育专区。三角函数专题辅导 课程安排项目 专题辅导一 专题辅导二 内容 三角函数的基本性质及...

三角函数的图像与性质(名师经典总结)

三角函数的图像与性质(名师经典总结)_数学_高中教育_教育专区。名师课堂讲义,课外辅导首选三角函数的图像与性质 三角函数的图像与性质(正弦、余弦、正切)【知识点 1...

三角函数的图像与性质题型归纳总结

三角函数的图像与性质题型归纳总结 题型归纳及思路提示 题型 1 已知函数解析式确定函数性质 【思路提示】一般所给函数为 y=A sin(ω x+φ)或 y=A cos(ω x...

高中数学必修一 三角函数图像性质总结(精华版)

高中数学必修一 三角函数图像性质总结(精华版)_数学_高中教育_教育专区。一.正弦、余弦、正切函数图象和性质函 数有界性定义域 有界 正弦函数 y ? sin x, x...

三角函数图像与性质知识点总结和经典题型

三角函数图像与性质知识点总结和经典题型_数学_高中教育_教育专区。三角函数图像与性质知识点总结和经典题型 1.正弦函数、余弦函数、正切函数的图像 y=sinx -5? 2...

三角函数的图像与性质总结

(0<A<1)到原来的 A 倍 (横坐标不 变); 注意:由 的图象利用图象变换作函数图象时要特别注 意:当周期变换和相位变换的先后顺序不同时,原图象沿 x 轴...

三角函数图象及性质知识总结

三角函数图象性质知识总结_数学_高中教育_教育专区。一、基本概念、定义、公式: (1)两角和差公式 sin(? ? ? ) ? sin ? cos ? ? cos ? sin ? ; cos...

三角函数图像与性质知识点总结和经典题型

三角函数图像与性质知识点总结和经典题型_数学_高中教育_教育专区。函数图像与性质知识点总结和经典题型 1.正弦函数、余弦函数、正切函数的图像 y=sinx -4? -7?...

三角函数图像与性质知识点总结

三角函数图像与性质知识点总结_数学_高中教育_教育专区。函数图像与性质知识点总结一、三角函数图象的性质 1.“五点法”描图 (1)y=sin x 的图象在[0,2π]...
更多相关标签:
三角函数的图象与性质 | 三角函数的图象和性质 | 三角函数图像性质总结 | 二次函数的图象和性质 | 二次函数的图象与性质 | 三角函数图象 | 一次函数的图象和性质 | y ax2的图象和性质 |
网站地图

文档资料共享网 nexoncn.com copyright ©right 2010-2020。
文档资料共享网内容来自网络,如有侵犯请联系客服。email:zhit325@126.com