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极坐标与参数方程


2014 年 2 月 16 日 1.已知点 A 的极坐标为 ( 2,

培优二:极坐标与参数方程练习题

?

) ,直线的极坐标方程为 ? cos(? ? ) ? a ,且点 A 在直线上. 4 4

?

(1)求 a 的值及直线的直角坐标方程; (2)圆 c 的参数方程为 ? 解:(Ⅰ)由点 A( 2,

? x ? 1 ? cos ? ,( ? 为参数),试判断直线与圆的位置关系. ? y ? sin ?

?

) 在直线 ? cos(? ? ) ? a 上,可得 a ? 2 4 4

?

所以直线的方程可化为 ? cos ? ? ? sin ? ? 2 从而直线的直角坐标方程为 x ? y ? 2 ? 0 (Ⅱ)由已知得圆 C 的直角坐标方程为 ( x ? 1) ? y ? 1 所以圆心为 (1, 0) ,半径 r ? 1
2 2

以为圆心到直线的距离 d ?

2 ? 1 ,所以直线与圆相交 2

2.在直角坐标系 xoy 中以 O 为极点, x 轴正半轴为极轴建立坐标系.圆 C1 ,直线 C2 的极坐标方程分别为

?? ? ? ? 4sin ? , ? ? cos ?? ? ? ? 2 2. . 4
? ?
(I)求 C1 与 C2 交点的极坐标;

?x ? t3 ? a ? (II)设 P 为 C1 的圆心, Q 为 C1 与 C2 交点连线的中点.已知直线 PQ 的参数方程为 ? b 3 ? t ? R为参数 ? , y ? t ?1 ? ? 2
求 a , b 的值.

1

3.在极坐标系中,已知两点 O(0,0),B(2 2,

π ). 4

(1)求以 OB 为直径的圆 C 的极坐标方程,然后化成直角方程; (2)以极点 O 为坐标原点,极轴为 x 轴的正半轴建立平面直角坐标系,直线 l 的参数 方程为 ? 若直线 l 与圆 C 相交于 M,N 两点,圆 C 的圆心为 C,求?MNC 的面积. 解: (Ⅰ)设 P(?,?)为圆上任意一点,则|OP|=?,?POx=?π , 4

? x=t , (t 为参数). ? y=1+2t ,

π π ? 在 Rt?POB 中,cos(?- )= ,即?=2 2cos(?- ). 4 2 2 4 2 2 +2 2? sin?? , 2 2 2 2 ∴圆 C 的直角坐标方程为 (x-2) +(y-2) =2 ∴? =2 2? cos??
2

2 5 (Ⅱ)作 CD?MN 于 D,C 到直线 l 的距离为 d= , 5 在 Rt?CDA 中,|MN|=2 2-d =
2

2 30 , 5

1 2 30 2 5 2 6 ∴S= × × = 2 5 5 5 4.在直角坐标系中,以原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,已知曲线

? ? x ? ?2 ? ? 2 C : p sin ? ? 2a cos? (a ? 0) 过点 P(?2,?4) 的直线 l : ? ? y ? ?4 ? ? ?
(1)写出曲线 C 和直线 l 的普通方程;

2 t, 2 (t 为参数)与曲线 C 分别交于 M , N 两点. 2 t 2

(2)若 | PM |, | MN |, | PN | 成等比数列,求 a 的值.

? x ? a cos ? 5.在平面直角坐标系 xoy 中,曲线 C1 的参数方程为 ? ( a ? b ? 0 , ? 为参数),在以 O 为极点, x 轴的正 ? y ? b sin ?
半轴为极轴的极坐标系中,曲线 C 2 是圆心在极轴上,且经过极点的圆.已知曲线 C1 上的点 M (1,

3 ) 对应的参数 2

2

??

?
3

,射线 ? ?

?
3

与曲线 C 2 交于点 D(1,

?
3

).

(I)求曲线 C1 , C 2 的方程;

(II)若点 A( ?1 ,? ) , B ( ? 2 , ? ?

?
2

) 在曲线 C1 上,求

1

?

2 1

?

1
2 ?2

的值.

将点 D(1,

?
3

) 代入 ? ? 2R cos? , 得 1 ? 2 R cos

?
3

,即 R ? 1 .

(或由 D(1,

?

1 3 ) ,得 D( , ) ,代入 ( x ? R) 2 ? y 2 ? R 2 ,得 R ? 1 ), 3 2 2

所以曲线 C 2 的方程为 ? ? 2 cos? ,或 ( x ? 1) 2 ? y 2 ? 1. (II)因为点 A( ?1 ,? ) , B ( ? 2 , ? ?

?
2

) 在在曲线 C1 上,
2 ? ?2 cos2 ? ? 1 ,

所以

?12 cos2 ?
4

? ?12 sin 2 ? ? 1 ,

2 ?2 sin 2 ?

4

cos2 ? sin 2 ? 5 2 所以 2 ? 2 ? ( ? sin ? ) ? ( ? cos2 ? ) ? 4 4 4 ?1 ? 2 1 1
6.已知直线 C1: ? (I)当 a=

? x ? 1 ? t cos a ? x ? cos? ’(t 为参数),曲线C2: ? (θ 为参数). ? y ? t sin a ? y ? sin ?

? 时,求 C1 与 C2 的交点坐标; 3
?
3
时,C1 的普通方程为 y ? 3( x ?1) ,C2 的普通方程为 x ? y ? 1,
2 2

(II)过坐标原点 0 作 C1 的垂线,垂足为 A,P 为 OA 中点,当a 变化时,求P 点轨迹的参数方程,并指出它是什么曲线. 解:(Ⅰ)当 a ? 联立方程组 ?

? 1 3 ? y ? 3 ( x ? 1) ) .――――5 分 ,解得 C1 与 C2 的交点坐标为(1,0), ( ,? 2 2 2 2 ? x ? y ? 1 ?

2 (Ⅱ)C1 的普通方程为 x sin ? ? y cos? ? sin ? ? 0 ,A 点坐标为 (sin ? ,? sin ? cos? ) ,

1 ? x ? sin 2 ? , ? ? 2 故当 ? 变化时,P 点轨迹的参数方程为 ? ( ? 为参数) ? y ? ? 1 sin ? cos ? , ? ? 2
3

P 点轨迹的普通方程为 ( x ? ) 2 ? y 2 ?
故 P 点轨迹是圆心为 ( ,0 ) ,半径为

1 4

1 . 16

1 4

1 的圆.――――10 4

7.已知曲线 C1 的极坐标方程为 ρ cos(θ -

? ? )=-1,曲线 C2 的极坐标方程为 ρ =2 2 cos(θ - ).以极点为坐标原 3 4

点,极轴为 x 轴正半轴建立平面直角坐标系. (Ⅰ)求曲线 C2 的直角坐标方程; (Ⅱ)求曲线 C2 上的动点 M 到曲线 C1 的距离的最大值. 解:(Ⅰ) ? ? 2 2 cos ? ? ? 即 ? 2 ? 2 ? ? cos

? ?

π? ? ? 2 ? cos ? ? sin ? ? , 4?
2 2

? ? ? sin ? ? ,可得 x2 ? y 2 ? 2x ? 2 y ? 0 , 故 C2 的直角坐标方程为 ? x ? 1? ? ? y ? 1? ? 2 .

(Ⅱ) C1 的直角坐标方程为 x ? 3 y ? 2 ? 0 , 由(Ⅰ)知曲线 C2 是以 (1,1) 为圆心的圆,且圆心到直线 C1 的距离 d ?

1? 3 ? 2 12 ?

? 3?

2

?

3? 3 , 2

所以动点 M 到曲线 C1 的距离的最大值为

3? 3 ? 2 2 . 2

8.已知平面直角坐标系 xOy,以 O 为极点,x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系,P 点的极坐标为 (2 2, ? 线 C 的极坐标方程为 ρ =4sinθ . (Ⅰ)写出点 P 的直角坐标及曲线 C 的普通方程; (Ⅱ)若 为 C 上的动点,求 中点 到直线 (t 为参数)距离的最小值.

?
4

), 曲

9.已知曲线 C 的极坐标方程为 ? ? 1 ,以极点为原点,极轴为 x 轴的非负半轴建立平面直角坐标系,直线 l 的参
4

1 ? 3x ? x ? 1? , x' ? ? 1, ? ? 2 ? ? 2 数方程为 ? 得到曲线 C ' ,试判断 l 与 C’的 (t 为参数),设曲线 C 经过伸缩变换 ? ? y ' ? 3 y ? 1. ? y ? 2 ? 3 t. ? ? ? 2 ? 2
位置关系.

10.以直角坐标系原点 O 为极点,x 轴正半轴为极轴,并在两种坐标系中取相同的长度单位.已知直线 l 的参数方程

? 1 2 cos ? ? x= +t cos ? , 为? (t 为参数,0<α <π ).曲线 C 的极坐标方程为 ρ = . 2 sin 2 ? ? ? y=t sin ?,
(Ⅰ)求曲线 C 的直角坐标方程; (Ⅱ)设直线 l 与曲线 C 相交于 A、B 两点,当 α 变化时,求|AB|的最小值.

11.已知极点与坐标原 点重合,极轴与 x 轴非负半轴重合,两个坐标系单位长度相同,己知直线

l: ?

? x ? ?1 ? t cos ? (t 为参数),曲线 C 的极坐标方程: ? ? 4 cos ? . ? y ? 1 ? t sin ?

(I)若直线 l 的斜率为-1,求直线 l 与曲线 C 交点的极坐标; (Ⅱ)设曲线 C 与直线 l 相交于 A、B 两点,且 | AB |? 2 3 ,求直线 l 的参数方程.

5

? 2 t ?x ? 3 ? ? 2 12.在 xoy 中,直线 l 的参数方程为 ? (t 为参数),在极坐标系(与直角坐标系 xoy 取相同的长度单 ?y ? 5 ? 2 t ? ? 2
位,且以原点 O 为极点,以 x 轴正半轴为极轴)中,圆 C 的方程为 ? ? 5 sin ? . (1)求圆 C 的直角坐标方程; (2)设圆 C 与直线 l 交于点 A,B,若点 P 的坐标为(3, 5 ),求|PA|+|PB|.

13.极坐标系与直角坐标系 xOy 有相同的长度单位,以原点 O 为极点,以 x 轴正半轴为极轴. 己知曲线 C 1 的极坐标 方程为 p=4cos θ 曲线 C 2 的参数方程是 ? 与曲线 C 1 交于极点 O 外的三点 A,B, C. (I) 求证: | OB | ? | OC |?

? x ? m ? t cos a ? ? ? ? ? ,? ? ? ? ,? ? ? ? (t 为参数, 0 ? a ? ? ),射 线 4 4 ? y ? t sin a
(II)当 ? ?

2 | OA | ;

? 时,B , C 两点在曲线 C 2 上,求 m 与 a 的值. 12

? ? 解:(Ⅰ)依题意,|OA|=4cosφ ,|OB|=4cos(φ + 4 ),|OC|=4cos(φ - 4 ), ? ? 则|OB|+|OC|=4cos(φ + 4 )+4cos(φ - 4 )=2 2(cosφ -sinφ )+2 2(cosφ +sinφ )=4 2cosφ = 2|OA| ? ? ? (Ⅱ)当 φ =12时,B,C 两点的极坐标分别为(2, 3 ),(2 3,- 6 ). 化为直角坐标为 B(1, 3),C(3,- 3) C2 是经过点(m,0),倾斜角为 α 的直线, 2? 又经过点 B,C 的直线方程为 y=- 3(x-2), 所以 m=2,α = 3 14.已知直线 l : ? (Ⅰ)求 m 的值;

? x ? 2 cos ? ? x ? m ? t cos ? ? (t 为参数)经过椭圆 C : ? ( ? 为参数)的左焦点 F. ? ? y ? t sin ? ? y ? 3 sin ?
| FB | 的最大值和最小值. (Ⅱ)设直线 l 与椭圆 C 交于 A、B 两点,求 | FA |?
x2 y2

(Ⅰ)将椭圆 C 的参数方程化为普通方程,得 + =1. 4 3

a=2,b= 3,c=1,则点 F 坐标为(-1,0). l 是经过点(m,0)的直线,故 m=-1 2 2 2 (Ⅱ)将 l 的参数方程代入椭圆 C 的普通方程,并整理,得(3cos α +4sin α )t -6tcos α -9=0. 设点 A,B 在直线参数方程中对应的参数分别为 t1,t2,则
9 9 |FA|·|FB|=|t1t2|= = . 2 2 2 3cos α +4sin α 3+sin α
6

当 sin α =0 时,|FA|·|FB|取最大值 3; 当 sin α =±1 时,|FA|·|FB|取最小值 9 4

15.在平面直角坐标系 xOy 中,以坐标原点 O 为极点 x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系, 曲线 C1 的极坐标方程为:

3? 2 ? 13? cos? ?10(? ? 0) .
(I)求曲线 C1 的普通方程; (II)曲线 C2 的方程为

x2 y 2 ? ? 1 ,设 P、Q 分别为曲线 C1 与曲线 C2 上的任意一点,求|PQ|的最小值. 16 4
2 2 即 ( x - 2) ? y ?

解:(Ⅰ)原式可化为 ( 3 x 2 ? y 2 ) ? 12x - 10,

2 . 3

(Ⅱ)依题意可设 Q(4 cos? ,2 sin ? ), 由 (Ⅰ)知圆 C 圆心坐标(2,0).

2 2 QC ? (4 cos ? -2) 2 ? 4sin 2 ? ? 12 cos 2 ? -16 cos ? ? 8 ? 2 3( cos ? - )2 ? , 3 3
QC min ? 2 6 6 , 所以 PQ min ? 3 3
2 2 2 2

16.在直角坐标系 xOy 中,圆 C1:x +y =4,圆 C2:(x-2) +y =4. (1)在以 O 为极点,x 轴正半轴为极轴的极坐标系中,分别写出圆 C1,C2 的极坐标方程,并求出圆 C1,C2 的交点 坐标(用极坐标表示); (2)求圆 C1 与 C2 的公共弦的参数方程.
? ?ρ =2, 解:(1)圆 C1 的极坐标方程为 ρ =2,圆 C2 的极坐标方程 ρ =4cos θ .解? ?ρ =4cos θ ?

π 得 ρ =2,θ =± , 3

π? ? π? ? 故圆 C1 与圆 C2 交点的坐标为?2, ?,?2,- ?.注:极坐标系下点的表示不唯一. 3? ? 3? ? (2)法一 由?
? ?x=ρ cos θ , ?y=ρ sin θ ?

得圆 C1 与 C2 交点的直角坐标分别为(1, 3),(1,- 3).
?x=1, ? ? ?y=t ?

故圆 C1 与 C2 的公共弦的参数方程为
? ? ?x=1, ?或参数方程写成? ? ?y=y ?

(-
? ?

3≤t≤ 3)

.

?- 3≤y≤ 3?? 1 得 ρ cos θ =1,从而 ρ = . cos θ
? ?x=1, ?y=tan θ ?

法二

将 x=1 代入?

?x=ρ cos θ , ? ?y=ρ sin θ ?

于是圆 C1 与 C2 的公共弦的参数方程为?

?-π ≤θ ≤π ?. ? 3 3? ? ?

x ? 2?t 17.设直线 l 的参数方程为 ? (t 为参数) ,若以直角坐标系 xOy 的 O 点为极点, Ox 轴为极轴,选择 ? ? y ? 2t

相同的长度单位建立极坐标系,得曲线 C 的极坐标方程为ρ =
7

8 cos ? . sin 2 ?

(1)将曲线 C 的极坐标方程化为直角坐标方程,并指出曲线是什么曲线; (2)若直线 l 与曲线 C 交于 A、B 两点,求 AB . 【答案】 (1)由ρ =

8 cos ? 得ρ sin 2 ? ? 8 cos? 2 sin ?
5 t 5 代入 2 5 y? t 5

, ? sin
2

2

? ? 8? cos?

∴ y 2 ? 8x

∴ 曲线 C 表示顶点在原点,焦点在 x 上的抛物线

(2)

{

x ?2?t y ? 2t

化为 {

x ? 2?

y 2 ? 8x 得 t 2 ? 2 5t ? 20 ? 0

AB ? t 2 ? t1 ? (t 2 ? t1 ) 2 ? 4t1t 2 ? (2 5 ) 2 ? 4 ? (?20) ? 10

8


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