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辽宁省大石桥市第二高级中学学高二数学下学期期中试题文-精


大石桥二高中 2015-2016 学年度下学期期中考试 高二数学文科试卷
时间:120 分钟 满分:150 分 第 I 卷(选择题,共 60 分) 一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题 目要求的 .) 1.设集合 A ? {( x, y) | x ? y ? 1}, 集合 B ? {( x, y) | x ? 3 y ? 3} ,则满足 C ? ? A ? B ? 的集合 C 的个数为 ( A.0 B.1 C.2 ) D.4 )

2.已知向量 a ? (cos ? , sin? ) , ? ? (0, ? ) , b ? (1, 3) ,若 a 与 b 共线,则 sin 2? ? (

A.

1 2

B.

3 2

C. ?

1 2


D. ?

3 2

3.设 z ?

? 1 ? 3i 2 ,则 z ? 2
B.



A.

? 1 ? 3i 2

? 1 ? 3i 2

C.

1 ? 3i 2

D.

1 ? 3i 2

4.盒中有 3 张分别标有 1,2,3 的卡片.从盒中随机抽取一张记下号码后放回,再随机抽取一张记下号码,则 两次 抽取的卡片号码中至少有一个为偶数的概率为 A. B. C. D. ) ( )

5.设命题 p:x<-1 或 x>1;命题 q:x<-2 或 x>1,则?p 是?q 的 ( (A) 必要不充分条件 (B) 充要条件 (C) 充分不必要条件 (D)既不充分也不必要条件 6.若直线 ax ? 2by ? 2 ? 0(a, b ? 0) 经过圆 x ? y ? 8x ? 2 y ? 8 ? 0 的圆心,
2 2



1 2 ? 的最小值为 a b
(A) 8 (B)





1 2 2

(C) 2 2 )

(D)

1 8

7.一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为(

1

A.1

1 B. 3

1 C. 2

2 D. 3

8.已知

?an ? 为等差数列,其公差为-2,且 a7 是 a3 与 a9 的等比中项, S n 为

?an ? 的前 n 项和, n ? N * ,则 S10 的值为
A.-110 B.-90 C.90 D.110 9.阅读如下程序框图,如果输出 i ? 5 ,那么在空白矩形框中应填入的语句为

( A. S ? 2* i ? 2 B. S ? 2* i ? 1 C. S ? 2* i D. S ? 2* i ? 4



x+y-2≥0, ? ? 10.设 z=kx+y,其中实数 x,y 满足?x-2y+4≥0, ? ?2x-y-4≤0.
A.2 B-2 C.1

若 z 的最大值为 12,则实数 k=

D.-1

11.在一组样本数据(x1,y1),(x2, y2),?,(xn,yn)(n≥2,x1,x2,?,xn 不全相等)的散点图中,若所 1 有样本点(xi,yi)(i=1,2,?,n)都在直线 y= x+1 上,则这组样本数据的样本相关系数为( 2
8 2

)

A.-1

B.0

1 C. 2

6

1

D.1

5

12 . 函 数 f ( x) 的 图 像 是 两 条 直 线 的 一 部 份 , 如 上 图 所 示 , 其 定 义 域 为 [?1,0) ? (0,1] , 则 不 等 式
2 0

f ( x) ? f (? x) ? ?1的解集为
A.{x|-1≤x≤1,且 x≠0}

5


1



y

B.{x|-1≤x≤0}

1 C.{x|-1≤x<0 或 <x≤1 2

1 D.{x|-1≤x< ? 或 0<x≤1} 2

-1

0 -1 第 12 题

1

x

二.填空题: (本大题共 4 小题,每题 5 分,共 20 分) 13.求 log2.56.25+lg
1? log2 3 1 +ln e + 2 的值. 100

2

14.已知向量 a 与 b 的夹角为 60 ,且 a ? b ? 4 ,那么 a · (2 a - b )的值为________.
?

15.设函数 f ( x) ? cos( 2 x ? ①点( ?

?
3

) ? 1, 有以下结论:

5 ? ,0 )是函数 f ( x) 图象的一个对称中心; 12 ? ②直线 x ? 是函数 f ( x) 图象的一条对称轴; 3
③函数 f ( x) 的最小正周期是 ? ; ④将函数 f ( x) 的图象向右平移 其中所有正确结论的序号是 16. 设 M 为椭圆 则椭圆的离心率

? 个单位后,对应的函数是偶函数。 6


x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 上一点,F1、F2 为椭圆的焦点,若∠MF1F2=75°,∠MF2F1=15°, a 2 b2


三、解答题(本大题共 6 小题,共 74 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. ) 17. (本小题满分 12 分) 在△ABC 中,a,b,c 分别为内角 A,B,C 的对边,且 2asin A=(2b+c)sin B+(2c+b)sin C. (1)求 A 的大小; (2)若 sin B+sin C=1,试判断△ABC 的形状. 18. (本小题满分 12 分) 如 图 , 在 四 棱 锥 P ? ABCD 中 , 底 面 ABCD是 正 方 形 , 侧 面 PAD ? 底 面 ABCD, 且

P A? P D ?

2 AD ,若 E 、 F 分别为 PC 、 BD 的中点. 2
P E

(Ⅰ) 求证: EF ∥平面 PAD ; (Ⅱ) 求证: EF ? 平面 PDC .

D F A B

C

3

19. (本小题满分 12 分) 已知等差数列 ?an ? ,公差 d 不为零, a1 ? 1 ,且 a2 , a5 , a14 成等比数列. (Ⅰ)求数列 ?an ? 的通项公式; (Ⅱ)设数列 ?bn ? 满足 bn ?

1 1 ,求证: b1 ? b2 ? b3 ? ? ? bn ? . an ? an ?1 2

20 .某校从参加高三模拟考试的学生中随机抽取 60 名学生,将其数学成绩 ( 均为整数 ) 分成六组 [90,100),[100,110),?,[140,150)后得到如下部分频率分布直方图.观察图形的信息,回答下列问题:

(1)求分数在[120,130)内的频率; 100+110 (2)若在同一组数据中,将该组区间的中点值(如:组区间[100,110)的中点值为 =105.)作为 2 这组数据的平均分,据此,估计本次考试的平均分; (3)用分层抽样的方法在分数段为[110,130)的学生中抽取一个容量为 6 的样本,将该样本看成一个总 体,从中任取 2 人,求至多有 1 人在分数段[120,130)内的概率.

21. (本小题满分 12 分) 已知圆 C : x ? ( y ? 3) ? 4 ,一动直线 l 过 A(?1, 0) 与圆 C 相交于 P 、 Q 两点, M 是 PQ 中点, y
2 2

4

C· M

l

l 与直线 m: x ? 3 y ? 6 ? 0 相交于 N .
(Ⅰ)求证:当 l 与 m 垂直时,l 必过圆心 C ; (Ⅱ)当 PQ ? 2 3 时,求直线 l 的方程; (Ⅲ)探索 AM ? AN 是否与直线 l 的倾斜角有关, 若无关,请求出其值;若有关,请说明理由.

请考生在 22,23,二题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.作答时,用 2B 铅笔在答题 卡上把所 选题目对应的标号涂黑.

22.如图, 已知 AP 是⊙O 的切线,P 为切点,AC 是⊙O 的割线, 与⊙O 交于 B, C 两点, 圆心 O 在 ?PAC 的内部,点 M 是 BC 的中 点. ,P,O,M 四点共圆; (Ⅰ)证明 A (Ⅱ)求 ?OAM ? ?APM 的大小.

P A B

O
M
C

23.设函数 f ( x) ? 2x ? 1 ? x ? 4 . (I)解不等式 f ( x) ? 2 ; (II)求函数 y ? f ( x) 的最小值.

5

8

2

高二文科数学期中考试题答案 第 I 卷(选择题,共 60 分) A 11.D12.D

6

1

一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分)
5

1.C.2B 3A.4B 5.C 6.A 7B.8.D.9. C 10. 二填空题: (本大题共 4 小题,每题 5 分共 20 分)
2 0

13 13. 14.24 2

15.②③④
5

16.【解析】 在△MF1F2 中,由正弦定理得

| MF1 | | MF2 | 2c , ? ? sin ?F1MF2 sin ?MF2 F1 sin ?MF1F2

| MF1 | | MF2 | 2c ? ? sin 90? sin15? sin 75? 2c | MF1| ? | MF 2 | 2a ? ? ∴ , sin 90? sin15? ? sin 75? sin15? ? sin 75?
即 ∴e ?

c 1 6 。 ? ? a sin15? ? sin 75? 3

三、解答题(本大题共 6 小题,共 74 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. ) 17. (本小题满分 12 分) 2 解 (1)由已知,根据正弦定理得 2a =(2b+c)b+(2c+b)c, 2 2 2 即 a =b +c +bc. 2 2 2 由余弦定理得 a =b +c -2bccos A, 1 故 cos A=- ,A=120°.。 。 。 。6 分 2 2 2 2 (2)方法一 由(1)得 sin A=sin B+sin C+sin Bsin C, 3 2 2 又 A=120 °,∴sin B+sin C+sin Bsin C= , 4 ∵sin B+sin C=1,∴sin C=1-sin B. 3 2 2 ∴sin B+(1-sin B) +sin B(1-sin B)= , 4 1 2 即 sin B-sin B+ =0. 4 1 1 解得 sin B= .故 sin C= . 2 2 ∴B=C=30°. 所以,△ABC 是等腰的钝角三角形. 。 。 。 。 。 。12 分 方法二 由(1)A=120°,∴B+C=60°, 则 C=60°-B, ∴sin B+sin C=sin B+sin(60°-B) 3 1 =sin B+ cos B- sin B 2 2 1 3 = sin B+ cos B 2 2 =sin(B+60°) =1, ∴B=30°,C=30°.
6

∴△ABC 是等腰的钝角三角形. 18. (本小题满分 12 分) 证明: (Ⅰ)连结 AC,则 F 是 AC 的中点,在△ CPA 中, EF∥PA???????3 分 且 PA ? 平面 PAD,EF ? 平面 PAD,∴EF∥平面 PAD??????????6 分 (Ⅱ)因为平面 PAD⊥平面 ABCD,平面 PAD∩平面 ABCD=AD,又 CD⊥AD,所以 CD⊥平面 PAD, ∴CD⊥PA???????????????????9 分 又 PA=PD=

2 ? AD,所以△PAD 是等腰直角三角形,且 ?APD ? , 2 2
P E

即 PA⊥PD????10 分 而 CD∩PD=D, ∴ PA⊥平面 PDC,又 EF∥PA, 所以 EF⊥平面 PDC???????12 分

D F A 19. (本题满分 12 分) 解: (I)由 a2 , a5 , a14 成等比数列得, (a5 ) ? a2 ? a14 ,????????(2 分)
2

C

B

即 (1 ? 4d )2 ? (1 ? d )(1 ? 13d ) 解得, d ? 2 或 d ? 0 (舍) ??????????????(4 分) ????????????????(6 分)

an ? 1 ? 2(n ?1) ? 2n ?1
(II) bn ?

1 1 1 1 1 ? ? ( ? ) an ? an?1 (2n ? 1)(2n ? 1) 2 2n ? 1 2n ? 1

????(8 分)

b1 ? b2 ? ? ? bn ?

1 1 1 1 1 1 1 1 (1 ? ) ? ( ? ) ? ? ? ( ? ) 2 3 2 3 5 2 2n ? 1 2n ? 1 1 1 1 1 1 1 ? ) ? (1 ? ? ? ? ? ? ??????????(10 分) 2 3 3 5 2n ? 1 2n ? 1
?

1 1 1 ? ? ?????????????????????(12 分) 2 2(2n ? 1) 2

20. 解:(1)分数在[120,130)内的频率为 1-(0.1+0.15+0.15+0.25+0.05)=1-0.7=0.3. (2)估计平均分为

x =95×0.1+105×0.15+115×0.15+125×0.3+135×0.25+145×0.05=121.
(3) 由题意, [110,120) 分数段的人数为 60 × 0.15 = 9( 人 ) . [120,130) 分数段的人数为 60 × 0.3 =
7

18(人). ∵用分层抽样的方法在分数段为[110,130)的学生中抽取一个容量为 6 的样本, ∴需在[110,120)分数段内抽取 2 人,并分别记为 m,n; 在[120,130)分数段内抽取 4 人,并分别记为 a,b,c,d;设“从样本中任取 2 人,至多有 1 人在分 数段[120,130)内”为事件 A,则基本事件共有(m,n),(m,a),?,(m,d),(n,a),?,(n,d),(a,

b),?,(c,d)共 15 种.
则事件 A 包含的基本事件有(m,n),(m,a),(m,b),(m,c),(m,d),(n,a),(n,b),(n,c), (n,d)共 9 种. 9 3 ∴P(A)= = . 15 5 21. 解: (Ⅰ)? l 与 m 垂直,且 k m ? ?

1 ,? k l ? 3 ,又 k AC ? 3 , 3

所以当 l 与 m 垂直时,l 必过圆心 C .????????????4 分 (Ⅱ)①当直线 l 与 x 轴垂直时, 易知 x ? ?1 符合题意?????????5 分 ②当直线 l 与 x 轴不垂直时, 设直线 l 的方程为 y ? k ( x ? 1) ,即 kx ? y ? k ? 0 , 因为 PQ ? 2 3 ,所以 CM ? 得k ?

4 ? 3 ? 1 ,则由 CM ?

| ?k ? 3 | k 2 ?1

? 1,

4 ????7 分 3

? 直线 l : 4 x ? 3 y ? 4 ? 0 . 从而所求的直线 l 的方程为 x ? ?1
或 4 x ? 3 y ? 4 ? 0 ???8 分 (Ⅲ)因为 CM⊥MN, ? AM ? AN ? ( AC ? CM ) ? AN ? AC ? AN ? CM ? AN ? AC ? AN ??9 分 ①

???? ? ????

??? ? ???? ? ????

??? ? ???? ???? ? ????

??? ? ????

???? ??? ? 5 5 l 与 x 轴垂直时,易得 N ( ?1, ? ) ,则 AN ? (0, ? ) ,又 AC ? (1,3) , 3 3

???? ? ???? ??? ? ???? ? AM ? AN ? AC ? AN ? ?5 ???????????????10 分
②当 l 的斜率存在时,设直线 l 的方程为 y ? k ( x ? 1) ,

则由 ?

? y ? k ( x ? 1) , ?x ? 3 y ? 6 ? 0

?3k ? 6 ? 5k , ),则 1 ? 3k 1 ? 3k ???? ???? ? ???? ??? ? ???? ?5 ?5 ?5k ?15k AN ? ( , ) ? AM ? AN ? AC ? AN = ? ? ?5 。 。 。 。 。11 1 ? 3k 1 ? 3k 1 ? 3k 1 ? 3k
得N( 综上, AM ? AN 与直线 l 的斜率无关,且 AM ? AN ? ?5 .????????12 分

8

另解 1:①当 l 与 x 轴垂直时,易得 M ( ?1, 3), N ( ?1, ? ) ,又 A(?1, 0) , 则 AM ? (0, 3), AN ? (0, ? ) ,? AM ? AN ? ?5 ②当 l 的斜率存在时,设直线 l 的方程为 y ? k ( x ? 1) ,代入圆的方程得

5 3

5 3

(1 ? k 2 ) x 2 ? (2k 2 ? 6k ) x ? k 2 ? 6k ? 5 ? 0 ,则
xM ? x1 ? x2 ? k 2 ? 3k ? , yM ? k ( xM ? 1) 2 1? k 2

3k 2 ? k ? k 2 ? 3k 3k 2 ? k ? , ,即 M ( ), 1? k 2 1? k 2 1? k 2
则 AM ? (

???? ?

3k ? 1 3k 2 ? k , ) 1? k 2 1? k 2

又由 ?

? y ? k ( x ? 1) ?3k ? 6 ? 5k , ,得 N ( ), 1 ? 3k 1 ? 3k ?x ? 3 y ? 6 ? 0
?5 ?5k , ) 1 ? 3k 1 ? 3k

则 AN ? (

????

? AM ? AN ?

? 15k ? 5 ? 5k (3k 2 ? k ) ? (1 ? k 2 )(1 ? 3k ) (1 ? k 2 )(1 ? 3k )

?

? 5(1 ? k 2 )(1 ? 3k ) ? ?5 (1 ? k 2 )(1 ? 3k )

综上, AM ? AN 与直线 l 的斜率无关,且 AM ? AN ? ?5 . 22(10 分) 【解析】 (Ⅰ)证明:连结 OP,OM . 因为 AP 与⊙O 相切于点 P ,所以 OP ? AP . 因为 M 是⊙O 的弦 BC 的中点,所以 OM ? BC . 于是 ?OPA ? ?OMA ? 180° . ,P,O,M 四点共圆. 由圆心 O 在 ?PAC 的内部,可知四边形 APOM 的对角互补,所以 A ,P,O,M 四点共圆,所以 ?OAM ? ?OPM . (Ⅱ)解:由(Ⅰ)得 A 由(Ⅰ)得 OP ? AP . 由圆心 O 在 ?PAC 的内部,可知 ?OPM ? ?APM ? 90° . 23(10 分)(Ⅰ)令 y ? 2 x ? 1 ? x ? 4 ,则

9

1 ? x≤? , ? ? x ? 5, 2 ? 1 ? y ? ?3 x ? 3, ? ? x ? 4,.作出函数 y ? 2 x ? 1 ? x ? 4 的图象,它与直线 y ? 2 的交点为 (?7, 2) 和 2 ? ? x ? 5, x ≥ 4. ? ?
?5 ? ?5 ? 2 ? .所以 2x ? 1 ? x ? 4 ? 2 的解集为 (? x, ? 7) ? ? , ? x? . ? , ?3 ? ?3 ?
(Ⅱ)由函数 y ? 2 x ? 1 ? x ? 4 的图像可知,当 x ? ?

9 1 时, y ? 2 x ? 1 ? x ? 4 取得最小值 ? . 2 2

10


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