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冲刺2013年高考


三角函数
一. 知识结构:
任意角与 弧度制 任意角的三 角函数 三 角 函 数 三角函数的 图象与性质 正弦、余弦、正 切函数的性质 差角余弦公式 三 角 恒 等 变 换 同角三角函数的 基本关系式

任意角的三角 函数的定义 正弦、余弦、正 切函数的图象

诱导公式

三角

差角公式、和 角公式

积化和差公式

和差化积公式

二倍角公式

半角公式 距离问题

解 三 角 形

正弦定理 应用 余弦定理

高度问题 角度问题

几何计算问题

二. 如何考?
近三年的考查情况看:三角函数的命题趋于稳定,尽管命题的背景上有所变化,仍属基础题、中档题、 常规题.试题所考的方法都是通法通则,试题的难度都不大.

(一). 考小题,重在基础性检测. 考查重点是三角函数定义、函数解析式、两域(定义域和值域) 、
四性(单调性、奇偶性、对称性、周期性) 、函数图象及其简单的图象变换、简单的三角恒等变换(化简、 求值、大小比较) 、简单的解三角形. 1、 三角函数定义:

sin 点 P , 为角 α 终边上任意点, (x y) |PO|=r >0, ? ?

y x y cos tan , ? ? , ? ? , r r x

cot? ?

x . 以上函数,都称为三角函数. y

1.(2011·新课标全国高考理科·T5)已知角 ? 的顶点与原点重合,始边与 x 轴的正半轴重合,终 边在直线 y ? 2 x 上,则 cos 2? = A. ?

4 5

B. ?

3 5

C.

3 5

D.
第 1 页 共 27 页

4 5

2.【2010 年全国卷理 4】如图,质点 P 在半径为 2 的圆周上逆时针运动,其初始位置为 P0 ( 2 , ? 2 ) , 角速度为 1,那么点 P 到 x 轴距离 d 关于时间 t 的函数图象大致为( )

3.(2010 年安徽卷理 9)动点 A? x, y ? 在圆 x 2 ? y 2 ? 1上绕坐标原点沿逆时针方向匀速旋转,12 秒旋 转一周.已知时间 t ? 0 时,点 A 的坐标是 ( , 秒)的函数的单调递增区间是( A、 ?0,1? B 、 ?1,7? ) C、 ?7,12? D、 ?0,1? 和 ?7,12?

1 3 ) ,则当 0 ? t ? 12 时,动点 A 的纵坐标 y 关于 t (单位: 2 2

2、函数解析式、定义域和值域 4.【2011·江苏高考·T9】函数 f (x) ? Asin(wx

? ?),(A, w, ?) 为常

数, A ? 0, w ? 0) 的部分图象如图所示,则 f (0)的值是 ____

第9题图

5.(2011·辽宁高考理科·T16)已知函数 f (x) ? A tan(?x ? ?) ( ? >0,? <

π x ) ) y ?( , f 2

的部分图象如下图, f 则 (

π ) =__________. 24

6. 【2012 高考湖南理 6】函数 f(x)=sinx- cos(x+ A. [ -2 ,2] B.[- 3 , 3 ]

? ) 的值域为 6

C.[-1,1 ]

D.[-

3 , 2

3 ] 2
( 0≤ x <2 ? ) 取得最大值时,x=________.

7.【2012 高考全国卷理 14】 当函数 y

? sin x ? 3 cos x

3、四性(单调性、奇偶性、周期性、对称性) 8. 2011· 【 安徽高考理科· T9】 已知函数 f ( x) ? sin(2 x ? ? ) , 其中 ? 为实数, f ( x) ? f ( ) 对 x ? R 若

?

6

第 2 页 共 27 页

恒成立,且 f ( ) ? f (? ) ,则 f ( x) 的单调递增区间是

?

2

(A) ? k? ?

? ? ? ?

?
3

, k? ?

??

(k ? Z ) 6? ?

(B) ? k? , k? ?

? ?

??
2? ?

(k ? Z )

(C) ? k? ?

?
6

, k? ?

2? ? (k ? Z ) 3 ? ?

(D) ? k? ?

? ?

?

? , k? ? ( k ? Z ) 2 ? ? ?? 上单调递增,在区间 ? 3? ?

9.(2011·山东高考理科·T6)若函数 f ( x) ? sin? x (ω >0)在区间 ? 0,

?? ? ? ? 3 , 2 ? 上单调递减,则 ω = ? ?
(A)3 (B)2 (C)

3 2

(D)

2 3

10.【2012 高考天津理 2】设 ? ? R, 则“ ? ? 0 ”是“ f ( x) ? cos(x ? ? )(x ? R) 为偶函数”的 (A)充分而不必要条件 (C)充分必要条件 (B)必要而不充分条件 (D)既不充分与不必要条件

11. 【2010· 浙江高考理科· T11】 函数 f ( x) ? sin(2 x ?

?
4

) ? 2 2 sin 2 x 的最小正周期是__________ .

12.2011· ( 陕西高考理科· 设函数 f ( x ) x ?R) T3) ( 满足 f (? x) ? f ( x) ,f ( x ? 2) ? f ( x) , y ? f ( x) 则 的图象可能是

13. 【2011·新课标全国高考理科·T11】 设函数 f ( x) ? sin(? x ? ? ) ? cos(? x ? ? )(? ? 0, ? ? 最小正周期为 ? ,且 f (? x) ? f ( x) ,则

?
2

)的

A. f ( x ) 在 ? 0,

? ?? ? 单调递减 ? 2? ? ?? ? 单调递增 ? 2?

B. f ( x ) 在 ?

? ? 3? ? , ? 单调递减 ?4 4 ? ? ? 单调递增 ?

C. f ( x ) 在 ? 0,

D. f ( x ) 在 ?

? ? 3? , ?4 4

第 3 页 共 27 页

4、函数图象及其简单的图象变换 14.(2010 年江苏卷 10) 定义在 ? 0 ,

? ?

??

? 的函数 y=6cosx 图像与 y=5tanx 图像的交点为 P,过点 P 作 2?

PP1⊥x 轴于点 P1,直线 PP1 与 y=sinx 的图像交于点 P2,则线段 P1P2 的长为 . 15.【2012 高考浙江理 4】把函数 y=cos2x+1 的图象上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍(纵坐标不 变) ,然后向左平移 1 个单位长度,再向下平移 1 个单位长度,得到的图像是

5、函数 y ? A sin(? x ? ? ) 的图像和性质 16.(2010 年江西卷理 12)如图,四位同学在同一个坐标系中分别选定了一个适当的区间,各自作出 三个函数 y ? sin 2 x , y ? sin( x ? 像有错误,那么有错误的图像是( ..

?
6

) , y ? sin( x ?


?
3

) 的图像如下,结果发现其中有一位同学作出的图

x
A B

x

x
C D

x

17.【2012 高考新课标理 9】已知 ? ? 0 ,函数 f ( x) ? sin(? x ? 范围是( )

?

) 在 ( , ? ) 上单调递减.则 ? 的取值 4 2
( D) (0, 2]

?

1 5 ( A) [ , ] 2 4

1 3 (B) [ , ] 2 4

1 (C ) (0, ] 2

6、简单的三角恒等变换(诱导公式、同角三角函数的基本关系式、和差角公式、倍角公式) 常考求值问题,分为以下三类: A. 给角求值 18.【2010·福建高考理科·T1】计算 sin 43 cos 13 -cos 43 sin 13 的结果等于(
0 0 0 0



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A.

1 2

B.

3 3

C.

2 2

D.

3 2

B. 给值求值 19.【2011·福建卷理科·T3】若 tan ? =3,则 (A).2 (B).3 (C).4

sin 2? 的值等于( cos 2 ?
(D).6

)

( 20.(2011·辽宁高考理科·T7)设 sin
(A)

?

?

7 9

(B)

?

1 9

1 +?) ,则 sin 2? ? = 4 3 1 7 (C) (D) 9 9

21.(2012 高考重庆理 5)设 tan ? , tan ? 是方程 x 2 ? 3x ? 2 ? 0 的两个根,则 tan(? ? ? ) 的值为 (A)-3 (B)-1 (C)1 (D)3

22.(2011·江苏高考·T7)已知 tan( x ?

?
4

) ? 2, 则

tan x 的值为__________ tan 2 x
,则 sin ? ?

23.【2012 高考山东理 7】若 ? ? ? , ? , sin 2? = 8 ?4 2? (A)

?? ? ?

3 7

3 5

(B)

4 5

(C)

7 4

(D)

3 4

24.(2012 高考辽宁理 7)已知 sin ? ? cos ? ? 2 , ? ?(0,π),则 tan ? = (A) ? 1 (B) ?

2 2

(C)

2 2

(D) 1

25.(2012 高考江西理 4)若 tan ? + A.

1 5

B.

1 4

1 =4,则 sin 2 ? = tan ? 1 1 C. D. 3 2

26.【2012 高考全国卷理 7】已知 α 为第二象限角, sin ? ? cos? ?

3 ,则 cos2α= 3

(A) -

5 3

(B) -

5 9

(C)

5 9

(D)

5 3

27. (2011· 浙江高考理科· T6) 0 ? ? ? 若 则 cos (? ?

?
2

,?

?
2

? ? ? 0 ,cos (

?

1 ? ? 3 ? ? ) ? ,cos ( ? ) ? , 4 3 4 2 3

?
2

)?

(A)

3 3

(B) ?

3 3

(C)

5 3 9

(D) ?

6 9

第 5 页 共 27 页

? ?? 4 ? 28.【2012 高考江苏 11】 设 ? 为锐角,若 cos ? ? ? ? ? ,则 sin( 2a ? ) 的值为 6? 5 12 ?
C. 给值求角 近几年考得少. 29.(2011·江苏高考·T15)在△ABC 中,角 A、B、C 所对应的边为 a, b, c (1)若 sin( A ?



) ? 2 cos A, 求 A 的值; 6 1 (2)若 cos A ? , b ? 3c ,求 sin C 的值. 3

?

7、简单的解三角形 30.(2011·福建卷理科 14)如图,△ABC 中,AB=AC=2,BC= 2 3 , 点 D 在 BC 边上,∠ADC=45°,则 AD 的长度等于______. 31.【2012 高考天津理 6】在 ?ABC 中,内角 A,B,C 所对的边分别是 a, b, c ,已知 8b=5c,C=2B, 则 cosC= (A)

7 25

(B) ?

7 25

(C) ?

7 25

(D)

24 25

32. (2012 高 考 湖 北 理 11) 设 △ ABC 的 内 角 A , B , C 所 对 的 边 分 别 为 a , b , c . 若 (a ? b ? c)(a ? b ? c) ? ab ,则角 C ? .

1 ,则 b=_______. 4 3 5 os 34.【2012 高考重庆理 13】设 ?ABC 的内角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c ,且 c A ? ,cos B ? , 5 13 b ? 3则c ? 35. (2012 高考四川理 4) 如图, 正方形 ABCD 的边长为 1 , 延长 BA 至 E , AE ? 1 , 使 连接 EC 、ED 则 sin ?CED ? ( )
33. (2012 高考北京理 11) 在△ABC 中,若 a =2,b+c=7,cosB= ? A、

3 10 10 5 10

B、

10 10 5 15
2 2

C、

D、

b 36. 【2012 高考陕西理 9】 在 ?ABC 中, A, B, C 所对边长分别为 a , b, c , a ? 角 若
的最小值为( A. )

? c 2 , cs C 2 则o

3 2

B.

2 2

C.

1 2

D. ?

1 2

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37.【2011·新课标全国高考理科·T16】在 V ABC 中, B ? 60? , AC ? 3 ,则 AB ? 2BC 的最大值 为 . 38.【2012 高考上海理 16】在 ?ABC 中,若 sin A ? sin B ? sin C ,则 ?ABC 的形状是( A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.不能确定
2 2 2



39. (2012 高考安徽理 15) 设 ?ABC 的内角 A, B, C 所对的边为 a, b, c ;则下列命题正确的是 _____ ①若 ab ? c 2 ;则 C ?

?
3

②若 a ? b ? 2c ;则 C ?

?
3

③若 a3 ? b3 ? c3 ;则 C ?

?
2

④若 (a ? b)c ? 2ab ;则 C ?

?
2

⑤若 (a2 ? b2 )c2 ? 2a2b2 ;则 C ?

?
3

(二). 考大题:一是考查三角函数的图象和性质,尤其是三角函数的周期、最值、单调性、图象变
换、对称分析(对称中心、对称轴) ;二是考查三角函数式的恒等变形(化简求值) ;三是考查正弦定理和 余弦定理. 40.(2010 年湖南卷 16)已知函数 f ( x) ? sin 2 x ? 2sin 2 x (I)求函数 f ( x ) 的最小正周期. (II) 求函数 f ( x ) 的最大值及 f ( x ) 取最大值时 x 的集合. 41.(2011·北京高考理科·T15)(13 分)已知函数 f ( x) ? 4 cos x sin( x ? (Ⅰ)求 f ( x ) 的最小正周期; (Ⅱ)求 f ( x ) 在区间 [ ?

?
6

) ?1 .

? ?

, ] 上的最大值和最小值. 6 4

42.【2012 高考天津理 15】 (本小题满分 13 分) 已知函数 f ( x) ? sin( 2 x ?

?
3

) ? sin( 2 x ?

?
3

) ? 2 cos 2 x ? 1, x ? R.

(Ⅰ)求函数 f (x) 的最小正周期; (Ⅱ)求函数 f (x) 在区间 [ ?

? ?

, ] 上的最大值和最小值. 4 4

43. (2011.天津高考理科.T15)已知函数 f ( x) ? tan(2 x ? (Ⅰ)求 f ( x ) 的定义域与最小正周期; (II)设 ? ? ? 0,

?
4

),

? ?

??

? ,若 f ( 2 ) ? 2 cos 2? , 求 ? 的大小 4?
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?

44.【2012 高考北京理 15】 (本小题共 13 分)已知函数 f ( x) ? (1)求 f (x) 的定义域及最小正周期; (2)求 f (x) 的单调递减区间.

(sin x ? cos x) sin 2 x . sin x

45.(2012 高考安徽理 16) (本小题满分 12 分) (I)求函数 f ( x ) 的最小正周期; (II)设函数 g ( x) 对任意 x ? R ,有 g (x ? 数 g ( x) 在 [?? , 0] 上的解析式.

设函数 f ( x) ?

2 ? cos(2 x ? ) ? sin 2 x . 2 4

?

? 1 ) ? g (x ) ,且当 x ? [0, ] 时, g ( x) ? ? f ( x) ,求函 2 2 2

46.【2012 高考陕西理 16】 (本小题满分 12 分) 函数 f ( x) ? A sin(? x ?

?
6

) ? 1( A ? 0, ? ? 0 )的最大值为 3, 其图像相邻两条对称轴之间的距离为

? , 2

(1)求函数 f ( x ) 的解析式; (2)设 ? ? (0,

?

) ,则 f ( ) ? 2 ,求 ? 的值. 2 2

?

47.【2012 高考重庆理 18】 (本小题满分 13 分(Ⅰ)小问 8 分(Ⅱ)小问 5 分) 设

f ( x ) ? 4 cos( ?x ?

? )sin ?x ? cos 2?x ,其中 ? ? 0. 6
的值域

(Ⅰ)求函数 y ? (Ⅱ)若 y ?

f(x)

? 3? ? ? f ( x ) 在区间 ? ? , ? 上为增函数,求 ? 的最大值. ? 2 2?

48. (2012 高考四川理 18) (本小题满分 12 分)
2 函数 f ( x) ? 6 cos

?x
2

? 3 cos ? x ? 3(? ? 0) 在一个周期内的图象如图所示,

A 为图象的最高点, B 、 C 为图象与 x 轴的交点,且 ?ABC 为正三角形.
(Ⅰ)求 ? 的值及函数 f ( x ) 的值域; (Ⅱ)若 f ( x0 ) ?

10 2 8 3 ,且 x0 ? ( ? , ) ,求 f ( x0 ? 1) 的值. 3 3 5

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49. (2011·广东高考理科·T16)已知函数 (1)求

f ( x) ? 2 sin( 1 x ? ? ), x ? R 3 6

f ( 5? ) 4 的值;
? ?

? ?? ? 10 f (3? ? 2? ) ? 6 (2)设 ? 、 ? ? ?0, ? , f (3? ? ) ? , ,求 cos(? 2

2

13

5

? ? ) 的值.

50.【2012 高考广东理 16】 (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x ) ? 2 cos( ?x ? (1)求 ω 的值; (2)设 ? , ? ? [0,

?
6

), (其中 ω>0,x∈R)的最小正周期为 10π.

?

5 6 5 16 ] , f (5? ? ? ) ? ? , f (5? ? ? ) ? ,求 cos(? ? ? ) 的值. 2 3 5 6 17

51.(2011·陕西高考理科·T18) (本小题满分 12 分) 52. (2012 高考新课标理 17)(本小题满分 12 分)

叙述并证明余弦定理.

已知 a, b, c 分别为 ?ABC 三个内角 A, B, C 的对边, a cos C ? 3a sin C ? b ? c ? 0 (1)求 A ; (2)若 a ? 2 , ?ABC 的面积为 3 ;求 b, c .

53.【2012 高考浙江理 18】 (本小题满分 14 分)在 ? ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c.已
2 知 cosA= ,sinB= 5 cosC. 3

(Ⅰ)求 tanC 的值;

(Ⅱ)若 a= 2 ,求 ? ABC 的面积.

54.(2012 高考江西理 17)(本小题满分 12 分) 在△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c.已知 A ? (1)求证: B ? C ? (2)若 a ?

?

?
2

, b sin( ? C ) ? c sin( ? B) ? a 4 4 4

?

?

2 ,求△ABC 的面积.

(三). 考应用:以实际生活问题为背景问题,体现新课标对创新 意识和实践能力的考查,三角应用题成为应用性题新的命题热点,主 要考查航行、测量等,体现数学在生活中的应用,为中档题. 55. (2009 年宁夏海南卷理 17)为了解某海域海底构造,在海平 面内一条直线上的 A,B,C 三点进行测量,已知 AB ? 50m , BC ? 120m ,于 A 处测得水深 AD ? 80m ,于 B 处测得水深
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BE ? 200m ,于 C 处测得水深 CF ? 110m ,求∠DEF 的余弦值.
56. 2010 年江苏 17】 【 某兴趣小组测量电视塔 AE 的高度 H(单位 m) , 如示意图,垂直放置的标杆 BC 高度 h=4m,仰角∠ABE=α,∠ADE=β. (1)该小组已经测得一 组 α、β 的值,tanα=1.24,tanβ=1.20, ,请 据此算出 H 的值; (2)该小组分析若干测得的数据后,发现适当调整标杆到电视塔 的距离 d(单位 m) ,使 α 与 β 之差较大,可以提高测量精确度,若电视 塔实际高度为 125m,问 d 为多少时,α-β 最大.

(四). 考综合,在知识的交汇处命题,三角知识与立体几何、解析几何、平面向量、数列等综合命
题,体现三角的工具性作用. 题型一 三角函数与平面向量交汇 57.【2012 高考山东理 17】 (本小题满分 12 分) 已知向量 m ? (sin x,1), n ? ( 3 A cos x, (Ⅰ)求 A ;

??

?

?? ? A cos 2 x)( A ? 0) ,函数 f ( x) ? m ? n 的最大值为 6. 3

? 1 个单位,再将所得图象上各点的横坐标缩短为原来的 倍, 2 12 5? ] 上的值域. 纵坐标不变,得到函数 y ? g ( x) 的图象. 求 g ( x) 在 [0, 24
(Ⅱ)将函数 y ? f ( x) 的图象向左平移 58.(2012 高考湖北理 17)(本小题满分 12 分)已知向量 a ? (cos ? x ? sin ? x, sin ? x) , 设函数 f ( x) ? a ? b ? ? ( x ? R ) 的图象关于直线 x ? π 对称, 其中 ? ,? 为 b ? (? cos ? x ? sin ? x, 2 3 cos ? x) ,

1 常数,且 ? ? ( , 1) . 2 (Ⅰ)求函数 f ( x) 的最小正周期;
3π π (Ⅱ)若 y ? f ( x) 的图象经过点 ( ,0) ,求函数 f ( x) 在区间 [0, ] 上的取值范围. 5 4
59.(2012 高考江苏 15)(14 分) 在 ?ABC 中,已知 AB ? AC ? 3BA? BC . (1)求证: tan B ? 3tan A ; (2)若 cos C ?

??? ??? ? ?

??? ??? ? ?

5 ,求 A 的值. 5

题型二 三角函数与数列交汇 60.【2012 高考福建理 13】 已知△ABC 得三边长成公比为 2 的等比数列, 则其最大角的余弦值为_____. 61.(2011·安徽高考理科·T14)已知 ?ABC 的一个内角为 120 ,并且三边长构成公差为 4 的等差
o

数列,则 ?ABC 的面积为_______

62. 【2011·福建卷理科·T16】 (本小题满分 13 分)已知等比数列{an}的公比 q=3, 3 项和 S3 ? 前 (I)求数列{an}的通项公式; (II)若函数 f ( x) ? A sin(2 x ? ? )( A ? 0,0 ? ? ? p ? ? ) 在 x ?

13 . 3

?
6

处取得最大值,且最大值为 a3,求

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函数 f(x)的解析式. 63.【2012 高考辽宁理 17】(本小题满分 12 分) 在 ?ABC 中,角 A、B、C 的对边分别为 a,b,c.角 A,B,C 成等差数列. (Ⅰ)求 cos B 的值; (Ⅱ)边 a,b,c 成等比数列,求 sin A sin C 的值.

题型三 三角函数与不等式交汇 64. (2011 年四川卷理 6)在 ? ABC 中. sin A ? sin B ? sin C ? sin Bsin C .则 A 的取值范围是
2 2 2

A. (0,

? ] 6

B.[

? ? , ) 6

C. (0,

? ] 3

D.[

? ? , ) 3

题型四 三角函数与导数交汇 65.(2011 年山东卷理 9)函数 y ?

x ? 2 sin x 的图象大致是 2

题型五 三角函数与概率交汇 66.(2012 高考湖南理 15)函数 f(x)=sin ( ? x ? ? )的导函数 y ? f ?( x) 的部分图像如图 4 所示,其中,P 为 图像与 y 轴的交点,A,C 为图像与 x 轴的两个交点,B 为图像的最低点. (1)若 ? ?

?
6

,点 P 的坐标为(0,

3 3 ) ,则 ? ? 2



(2)若在曲线段 ? ABC 与 x 轴所围成的区域内随机取一点,则该点 在△ABC 内的概率为 .

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三角函数__答案
(一). 考小题,
1、三角函数定义:
2 2 2 1、选 B.【思路点拨】角 ? 终边在 y ? 2 x 上,可得 tan ? ? 2 ,再结合 sin ? ? cos ? ? 1 可求得 cos ? 的

值,从而得到 cos 2? 的值.
2 2 2 【精讲精析】由题意知, tan ? ? 2 ,即 sin ? ? 2 cos ? ,将其代入 sin ? ? cos ? ? 1 中可得 cos ? ?

1 , 5

故 cos 2? ? 2 cos ? ? 1 ? ? .
2

3 5

2、 【答案 C】 【解答】设初始位置点 p 的弧度为 ? ? ?

?
4

,则时间 t 时为 ? ? t ?

?
4

,由三角函数的相关定

义可知, p 到 x 轴距离 d 关于时间 t 的函数关系式为 d ? 2 sin(t ?

?
4

) ,故选 C.

3、 【答案 D】 【解答】解一:画出图形,设射线 OA 与 x 轴正方向夹角为 ? ,则 t ? 0 时 ? ? 转

?
3

,每秒钟旋

? 3? 7? ? ? , ] ,动点 A 的纵坐标 y 关于 t 都是单调递增 ,在 t ??0,1? 上 ? ? [ , ] ,在 t ??7,12 ? 上 ? ? [ 6 2 3 3 2
解二: 利用三角函数的定义写出函数解析式, 再求函数的单调递增区间. y ? sin ? .角速度是

的,故 D 正确.

?
6

, t ?0 当

时? ?

?
3

,则 ? ?

?
6

t?

?
3

,所以 y ? sin( t ?

?

?
3

6

).

2、函数解析式、定义域和值域 4、 答案:

1 6 . 【精讲精析】 根据图象可知 A ? 2 , 四分之一周期为 ? , 4 2 2? 7? 3 ? 2 ,根据五点作图法可知 2 ? ?? ? ? , T 12 2
第9题图

所以周期为 ? ,由 ? ?

1 ? 6 解得 ? ? ? ,所以解析式为 y ? 2 sin(2 x ? ) ,所以 f (0) ? 3 3 2
5、答案: 3 .【精讲精析】如图可知

T 3? ? ? ? ? ? ,即 ? ,所以 ? ? 2 ,再结合图象可得 2 8 8 2? 4

2?

?
8

? ? ? k? ?

?
2

, k ? Z ,即 ? ? k? ?

?
4

?

3 1 ? π ,所以 ? ? k ? ,只有 k ? 0 ,所以 ? ? , 4 4 4 2

又图象过点(0,1) ,代入得 Atan

? ? =1,所以 A=1,函数的解析式为 f(x)=tan(2x+ ) , 4 4

第 12 页 共 27 页

则 f(

π ? )= tan = 3 . 24 6

6、 【答案】B, 【解析】f(x)= sinx- co s(x+

? 3 1 ? ) ? sin x ? cos x ? sin x ? 3 sin( x ? ) , 6 2 2 6

? sin( x ? ) ? ? ?1,1? ,? f ( x) 值域为[- 3 , 3 ]. 6
【点评】三角函数的值域的常用求法: ⑴ 将所给的三角函数式转化为二次函数,如:转化为求 y ? a(sin x ? b) 2 ? c 的值域问题. ⑵ 利用正弦、 余弦函数的有界性求值域, 常用辅助角公式将所给的三角函数式转化为求 y=Asin(ω 如: x+φ )+B 的值域问题. ⑶ 换元法:如,求 y ? sin x cos x ? sin x ? cos x 的值域问题.

?

5? ? 【解析】函数为 y ? sin x ? 3 cos x ? 2 sin( x ? ) , 6 3 ? ? 5? ? ? 5? 当 0 ? x ? 2? 时, ? ? x ? ? ,由三角函数图象可知,当 x ? ? ,即 x ? 时取得最大值, 3 3 3 3 2 6 5? 所以 x ? . 6
7、 【答案】 x ? 3、四性(单调性、奇偶性、周期性、对称性) 8、选 C.【精讲精析】由 f ( x) ? f ( ) 对 x ? R 恒成立知, 2 ?

?

?
6

6

? ? ? 2k? ?

?
2

( K ? Z ) ,得到

? ? 2k? ?
2k? ?

?
6

或? ? 2k? -

? 5? 5? ,代入 f (x) 并由 f ( ) ? f (? ) 检验得, ? 的取值为 ,所以 6 6 2

?
2

? 2x ?

5? ? ? 2? ? ? ? 2k? ? ,计算得单调递增区间是 ? k? ? , k? ? (k ? Z ) . 6 2 6 3 ? ? ? T ? 4? 2? 4? 3 ? ,T ? ? , ,解得 ? ? 4 3 3 ? 3 2

9、选 C.【精讲精析】由解析式看出,图象过原点,所以

10、选 A. 【解析】函数 f ( x) ? cos(x ? ? ) 若为偶函数,则有 ? ? k? , k ? Z , 所以“ ? ? 0 ”是“ f ( x) ? cos(x ? ? ) 为偶函数”的充分不必要条件, 11、 【答案】 ? 【解答】 f ( x) ?

2 2 sin 2 x ? cos 2 x ? 2(1 ? cos 2 x) 2 2

?

? ?? 2 2 ?? . sin 2 x ? cos 2 x ? 2 ? sin(2 x ? ) ? 2 . T ? 4 2 2 2

【点评】 :求三角函数式的最小正周期时,一般先把函数化为 y ? A sin(? x ? ? ) 的正弦型函数,再求周期. 12、选 B, 【精讲精析】 由 f (? x) ? f ( x) 得 y ? f ( x) 是偶函数,所以函数 y ? f ( x) 的图象关于 y 轴对 称,可知 B,D 符合;由 f ( x ? 2) ? f ( x) 得 y ? f ( x) 是周期为 2 的周期函数,选项 D 中图像的最小正周期
第 13 页 共 27 页

是 4,不符合,选项 B 的图像的最小正周期是 2,符合,故选 B. 13、选 A 【精讲精析】? f ( x) ? sin(? x ? ? ) ? cos(? x ? ? ) = 2 sin(? x ? ? + 又? f ( x ) 的最小正周期为 ? , ? 为

?
4

),

2?

? ? 的奇数倍才行,考虑到 | ? |? ,所以 ? 取 ,从而 f ( x) ? 2 cos 2 x , 2 2 4 ? 容易确定其在 (0, ) 上单调递减. 2
4、函数图象及其简单的图象变换 14、解析:考查三角函数的图像和性质、数形结合思想.线段 P1P2 的长即为 sinx 的值, 且其中的 x 满足 6cosx=5tanx,解得 sin x ?

? ?

? ? , ? ? 2 , f (? ) ?f ( ) , 即 又 这说明 f ( x ) 是偶函数, ? ? 即 x x

?
4

2 2 .线段 P1P2 的长为 , 3 3

15、【答案】A,【解析】把函数y=cos2x+1的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)得: y1=cosx+1,向左平移1个单位长度得:y2=cos(x+1)+1,再向下平移1个单位长度得:y3=cos(x+1).令x =0,得:y3>0;x=

? ? 1 ,得:y3=0;观察即得答案. 2

5、函数 y ? A sin(? x ? ? ) 的图像和性质 16、 【答案 C】解析:考查三角函数图像和性质, y ? sin 2 x 周期最小进行初步判断, 当 x ? 2k? (k ? Z ), y ? sin 2 x =0, y ? sin( x ? 17、选 A , 【解析】 1: 法 函数 f ( x ) ? sin(?x ? 在(

?
3

) <0, y ? sin( x ?

?
6

) >0 易得

?
4

) 的导数为 f ' ( x) ? ? cos( ?x ?

?
4

), 要使函数 f ( x ) ? sin(?x ?

?
4

)

3? ? 2k? , 2 4 2 4 2 ? 5? ? 2k? ? 2k? ? 5? ? 2k? , ? ?x? ? ,k ? Z , k ? 0 时, ?x? 即 ? 2k? ? ?x ? 所以 当 , 4 4 4? ? 4? ? 4? 4? ? ? ? 5? 1 5 1 5 ? , ? ? ,解得 ? ? , ? ? ,即 ? ? ? ,选 A. 又 ? x ? ? ,所以有 2 4? 2 4? 2 4 2 4 ? 5? 9? , ] 不合题意 排除 ( D) 法 2: ? ? 2 ? (? x ? ) ? [ 4 4 4 ? 3? 5? ? ? 1 ? (? x ? ) ? [ , ] 合题意 排除 ( B)(C ) 4 4 4 ? ? ? ? ? ? 3? ] 另: ? (? ? ) ? ? ? ? ? 2 , (? x ? ) ? [ ? ? , ?? ? ] ? [ , 2 4 2 4 4 2 2 ? ? ? ? 3? 1 5 ? ?? ? 得: ? ? ? , ?? ? ? 2 4 2 4 2 2 4

?

, ? ) 上单调递减,则有 f ' ( x) ? ? cos( ?x ?

?

) ? 0 恒成立,则

?

? 2k? ? ?x ?

?

?

6、简单的三角恒等变换(诱导公式、同角三角函数的基本关系式、和差角公式、倍角公式) 常考求值问题,分为以下三类:
第 14 页 共 27 页

A. 给角求值
? ? ? ? ? 18、选 A, 【解答】 sin 43 cos 13 ? cos 43 sin 13 ? sin 30 ?

1 . 2

B. 给值求值 19、选 D.【解答】?

sin 2? 2sin ? ? cos ? sin 2? ? ? 2 tan ? ? 6 ,? 的值等于 6. 2 2 cos ? cos ? cos 2 ?

( 20、选 A.【精讲精析】将 sin

?

1 1 1 2 1 +?) 展开得 = (cos? ? sin ? ) ? ,两边平方得 (1 ? sin 2? ) ? , 4 3 2 9 2 3 7 . 9

所以 sin 2? ? ?

? 21、 【答案】A 【解析】因为 tan? , tan ? 是方程 x 2 ? 3x ? 2 ? 0 的两个根,所以 t an ? t an? ? 3 ,
tan? tan? ? 2 ,所以 tan( ? ? ) ? ?
tan? ? tan ? 3 ? ? ?3 ,选 A. 1 ? tan? tan ? 1 ? 2

22、答案:

4 1 ? tan x 1 ? tan 2 x 4 .【精讲精析】由题 tan( x ? ) ? 2, 可得 tan x ? , ? ? 9 3 tan 2 x 4 2 9

23、 【答案】D

? 1 , ] ,所以 2? ? [ , ? ] , cos 2? ? 0 ,所以 cos 2? ? ? 1 ? sin 2 2? ? ? , 4 2 2 8 1 9 3 2 2 又 cos 2? ? 1 ? 2 sin ? ? ? ,所以 sin ? ? , sin ? ? ,选 D. 8 16 4
【解析】法 1:因为 ? ? [

? ?

法 2:由 ? ? ? , ? 及 sin 2? = 8 ?4 2?

?? ? ?

3 7

可得

sin ? ? cos? ? 1 ? sin 2? ? 1 ?
?? ? ?

3 7 16 ? 6 7 9?6 7 ?7 7 3 ? ? ? ? , 8 16 16 4 4
3 7

而当 ? ? ? , ? 时 sin ? ? cos ? ,结合选项即可得 sin ? ? , cos? ? . 选 D. 4 4 ?4 2? 24、 【答案】A 【解析一】? sin ? ? cos ? ?

?? ? (0,? ),?? ?

3? ,? tan ? ? ?1 ,故选 A 4

2,? 2 sin(? ? ) ? 2,? sin(? ? ) ? 1 4 4

?

?

【解析二】?sin ? ? cos ? ? 2,?(sin ? ? cos ? )2 ? 2,?sin 2? ? ?1,

?? ? (0, ? ),? 2? ? (0, 2? ),? 2? ?

3? 3? ,?? ? ,? tan ? ? ?1 ,故选 A 2 4 1 25. (2012 高考江西理 4) 若 tan ? + =4,则 sin 2 ? = tan ? 1 1 1 1 A. B. C. D. 5 4 3 2
第 15 页 共 27 页

25、 【答案】D

sin ? cos? sin 2 ? ? cos2 ? 1 1 1 ? 4 得, ? ? ? 4, 【解析】 tan ? ? 由 即 所以 sin 2? ? . ? 4, 1 tan ? 2 cos? sin ? sin ? cos? s 2? n i 2
【点评】 本题需求解正弦值, 显然必须切化弦, 因此需利用公式 tan ? ?

sin ? 2 2 转化; 另外,sin ? ? cos ? cos ?

在转化过程中常与“1”互相代换,从而达到化简的目的;关于正弦、余弦的齐次分式,常将正弦、余弦转化 为正切,即弦化切,达到求解正切值的目的. 体现考纲中要求理解三角函数的基本关系式,二倍角公式.来 年需要注意二倍角公式的正用,逆用等. 26、 【答案】A 【解析】因为 sin ? ? cos? ?

1 2 3 所以两边平方得 1 ? 2 sin ? cos ? ? ,所以 2 sin ? cos ? ? ? ? 0 , 3 3 3

因为已知 α 为第二象限角,所以 sin ? ? 0, cos? ? 0 ,

sin ? ? cos? ? 1 ? 2 sin ? cos? ? 1 ?

2 ? 3

5 ? 3

15 ,所以 3

cos2? ? cos2 ? ? sin 2 ? ? (cos? ? sin ? )(cos? ? sin ? ) = ?

15 3 5 ,选 A. ? ?? 3 3 3

27、选 C.【精讲精析】由 cos (

?

1 ? ? 3? ? 2 2 ??) ? , ? ?? ? 可得 sin( ? ? ) ? , 4 3 4 4 4 4 3

由 cos (

?
4

?

?
2

)?

3 ? ? ? ? ? ? 6 及 ? ? ? 可得 sin( ? ) ? ,所以 4 4 2 2 3 4 2 3

cos (? ?

?

) ? cos[( ? ? ) ? ( ? )] ? cos( ? ? ) cos( ? ) ? sin( ? ? ) sin( ? ) 2 4 4 2 4 4 2 4 4 2 1 3 2 2 6 5 3 ? ? ? ? ? 3 3 3 3 9
?? 4 ? ? ? ? ? 2? 17 ? . ∵ cos ? ? ? ? ? , 2 .【解析】∵ ? 为锐角,即 0 < ? < ,∴ < ? ? < ? = 6? 5 2 6 6 2 6 3 50 ? ?? 7 ? ∴ cos ? 2? ? ? ? . 3 ? 25 ?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

28、 【答案】

?? 3 ?? ?? ?? 3 4 24 ? ? ? ? ∴ sin ? ? ? ? ? . ∴ sin ? 2? ? ? ? 2sin ? ? ? ? cos ? ? ? ? =2? ? = . 6? 5 3? 6? 6? 5 5 25 ? ? ? ?
∴ sin(2a ?

?
12

)=sin(2a ?

?

? ?? ? ? ? ? 24 2 7 2 17 ? ? ? )=sin ? 2a ? ? cos ? cos ? 2a ? ? sin = ? ? ? = 2. 3 4 3? 4 3? 4 25 2 25 2 50 ? ?

C. 给值求角 29 、 精 讲 精 析 】 1 ) 由 题 意 知 sin A cos 【 (

?
6

? cos A sin

?
6

? 2 cos A , 从 而 sinA ? 3 c o sA , 所 以

第 16 页 共 27 页

cos A ? 0, tan A ? 3 ,因为 0 ? A ? ? ,所以 A ?
(2)由 cos A ?

?
3

.

1 , b ? 3c ,及 a 2 ? b 2 ? c 2 ? 2bc cos A ,得 b 2 ? a 2 ? c 2 ,所以 ?ABC 是直角三 3 ? 1 角形,且 B ? ,所以 sin C ? cos A ? . 2 3
7、简单的解三角形 30、 【答案】 2 【精讲精析】在 ?ABC 中,由余弦定理易得

AC 2 ? BC 2 ? AB2 4 ? 12 ? 4 3 cos C ? ? ? , 2 ? AC ? BC 2 2? 2? 2 3
AD ??C ? 30?,??B ? 30?.在?ABD中, 由正弦定理得: ? sin B AB AD 2 ,? ? ,? AD ? 2. 1 sin ?ADB 2 2 2

31、 【答案】A 【解析】因为 C ? 2 B ,所以 sin C ? sin(2B) ? 2 sin B cos B ,

c b c sin C 8 sin C 1 8 4 ? ? ,所以 cos B ? ? ? ? . ,所以 ? sin C sin B b sin B 5 2 sin B 2 5 5 16 7 2 ?1 ? 又 cosC ? cos(2B) ? 2 cos2 B ? 1 ,所以 cos C ? 2 cos B ? 1 ? 2 ? ,选 A. 25 25 2? 32、 【答案】 【解析】 3
根据正弦定理有

由(a +b-c)(a+b-c)=ab,得到a 2 ? b2 ? c 2 =-ab 根据余弦定理 cos C ? a 2 ? b2 ? c 2 -ab 1 2 = ? ? , 故?C ? ? 2ab 2ab 2 3

33、 【答案】4 【解析】在△ABC 中,利用余弦定理

cos B ?

a 2 ? c 2 ? b2 1 4 ? (c ? b)(c ? b) 4 ? 7 (c ? b ) ? ?? ? ,化简得: 8c ? 7b ? 4 ? 0 , 4c 2ac 4 4c

?c ? 3 ? 与题目条件 b ? c ? 7 联立,可解得 ?b ? 4 . ?a ? 2 ?
34、 【答案】

14 3 5 12 4 【解析】因为 cos A ? , cos B ? ,所以 sin A ? , sin B ? , 5 5 13 13 5

sin C ? sin( A ? B) ?

3 c b c 14 4 5 12 3 56 ? ? ? ? ? ? ,根据正弦定理 得 ,解得 c ? . sin B sin C 12 56 5 5 13 13 5 65 13 65

35、 【答案】B 【解析】 EB ? EA ? AB ? 2 , EC ?

EB2 ? BC 2 ? 4 ?1 ? 5 ,

第 17 页 共 27 页

?EDC ? ?EDA ? ?ADC ?

?
4

?

?
2

?

sin ?CED DC 1 5 3? ? ? ? ,由正弦定理得 , 4 sin ?EDC CE 5 5

所以 sin ?CED ?

5 5 3? 10 gsin ?EDC ? gsin ? . 5 5 4 10
2 2 2

1 a 2 ? b 2 ? (a 2 ? b 2 ) a ?b ?c a 2 ? b 2 2ab 1 2 36、 【答案】 【解析】 C. 由余弦定理知 cosC ? ? ? ? ? , 2ab 2ab 4ab 4ab 2
故选C. 37、 2 7 , 【精讲精析】令 AB ? c , BC ? a ,则由正弦定理得

a c AC ? ? ? sin A sin C sin B

3 ? 2, ? c ? 2sin C, a ? 2sin A, 且 A ? C ? 120? , 3 2

? AB ? 2 BC ? c ? 2a ? 2sin C ? 4sin A ? 2sin C ? 4sin(120? ? C ) = 2 sin C ?

4(

3 1 3 cos C ? sin C ) ? 4sin C ? 2 3 cos C ? 2 7 sin(C+?) (其中 tan ? ? ) 2 2 2

? 当 C ? ? ? 90? 时, AB ? 2 BC 取最大值为 2 7.
38、 【答案】C, 【解析】根据正弦定理可知由 sin A ? sin B ? sin C ,可知 a ? b ? c ,
2 2 2 2 2 2

在三角形中 cosC ?

a2 ? b2 ? c2 ? 0 ,所以 C 为钝角,三角形为钝角三角形,选 C. 2ab

【点评】本题主要考查正弦定理及其推理、余弦定理的运用.主要抓住所给式子的结构来选择定理,如果出 现了角度的正弦值就选择正弦定理,如果出现角度的余弦值就选择余弦定理.本题属于中档题. 39、 【答案】①②③

a 2 ? b2 ? c 2 2ab ? ab 1 ? ? ? ?C ? 【解析】正确的是① ab ? c ? cos C ? 2ab 2ab 2 3
2

② a ? b ? 2c ? cos C ? ③当 C ?

a 2 ? b2 ? c 2 4(a 2 ? b2 ) ? (a ? b)2 1 ? ? ? ?C ? 2ab 8ab 2 3

?
2

2 2 2 3 2 2 3 3 3 3 3 时, c ? a ? b ? c ? a c ? b c ? a ? b 与 a ? b ? c 矛盾

④取 a ? b ? 2, c ? 1满足 (a ? b)c ? 2ab 得: C ?

?
2

2 2 2 2 2 ⑤取 a ? b ? 2, c ? 1满足 (a ? b )c ? 2a b 得: C ?

?
3

(二). 考大题:一是考查三角函数的图象和性质,尤其是三角函数的周期、最值、单调性、图象变
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换、对称分析(对称中心、对称轴) ;二是考查三角函数式的恒等变形(化简求值) ;三是考查正弦定理和 余弦定理. 41、 【思路点拨】先利用和角公式展开,再利用降幂公式、化一公式转化为正弦型函数,最后求周期及闭 区间上的最值. 【精讲精析】 (Ⅰ)因为 f ( x) ? 4 cos x sin( x ?

?
6

) ? 1 ? 4cos x(

3 1 sin x ? cos x) ? 1 2 2

? ? 3 sin 2x ? 2cos2 x ?1 ? 3 sin 2 x ? cos 2 x ? 2sin(2 x ? ) , 6
所以 f ( x ) 的最小正周期为 ? . (Ⅱ)因为 ?

?
6

?x? ??

?
4

,所以 ?

?
?
6 6

? 2x ?

?
6

?

最大值 2;当 2 x ?

?
6

?
6

2? ? ? ? .于是,当 2 x ? ? ,即 x ? 时, f ( x ) 取得 3 6 2 6

,即 x ? ?

时, f ( x ) 取得最小值-1.

42、 【解析】 (1) f (x)= sin (2 x +

?
3

)+sin(2 x ?

?
3

)+2cos 2 x ? 1 ? 2sin 2 x cos

?

2? ?? 2 ? ? ? ? 3? 2 ? (2) ? ? x ? ? ? ? 2 x ? ? ?? ? sin(2 x ? ) ? 1 ? ?1 ? f ( x) ? 2 4 4 4 4 4 2 4
函数 f (x) 的最小正周期为 T ? 当 2x ?

? cos 2 x ? 2 sin(2 x ? ) 3 4

?

?

4

?

?

2

(x ?

?

8

) 时, f ( x)max ? 2 ,当 2 x ?

?

4

??

?

( x ? ? ) 时, f ( x)min ? ?1 4 4

?

【点评】该试题关键在于将已知的函数表达式化为 y =A sin (? x +? ) 的数学模型,再根据此三角模型的图 像与性质进行解题即可.

43、 【思路点拨】1、根据正切函数的有关概念和性质;2、根据三角函数的有关公式进行变换、化简求值. 【精讲精析】 【解析】由 2 x ? (I)

?
4

?

?
2

? k? , k ? Z , 得 x ?

?
8

?

所以 f ( x ) 的定义域为 {x ? R | x ?

?
8

?

? k? , k ? Z } , f ( x) 的最小正周期为 . 2 2

k? ,k ?Z . 2

(II) 【解析】由 f (

?

? ) ? 2 cos 2? , 得 tan(? ? ) ? 2 cos 2? , 2 4

sin(? ? ) 4 ? 2(cos2 ? ? sin 2 ? ), 整理得 sin ? ? cos ? ? 2(cos ? ? sin ? )(cos ? ? sin ? ). ? cos ? ? sin ? cos(? ? ) 4 ? 1 1 2 因为 ? ? (0, ) ,所以 sin ? ? cos ? ? 0. 因此 (cos ? ? sin ? ) ? , 即sin 2? ? . 4 2 2 ? ? ? ? . 由 ? ? (0, ) ,得 2? ? (0, ) .所以 2? ? , 即? ? 4 2 6 12
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?

44、解(1) n :i s

x ? ? x k( k? Z 0 ? ?)

得:函数 f ( x ) 的定义域为 {x x ? k? , k ? Z}

f ( x) ?

(sin x ? cos x) sin 2 x ? ? (sin x ? cos x) ? 2 cos x ? sin 2 x ? (1 ? cos 2 x) ? 2 sin(2 x ? ) ? 1 sin x 4 2? ?? ; 得: f (x) 的最小正周期为 T ? 2 , 2k? ? ](k ? Z ) 2 2 ? ? ? ? 3? 则 2 k? ? ? 2 x ? ? 2 k? ? ? k? ? ? x ? k? ? 2 4 2 8 8 ? 3? ](k ? Z ) 得: f (x) 的单调递增区间为 [k? ? , k? ), ( k? , k? ? 8 8

(2)函数 y ? sin x 的单调递增区间为 [2k? ?

?

?

45、本题考查两角和与差的三角函数公式、二倍角公式、三角函数的周期等性质、分段函数解析式等基础 知识,考查分类讨论思想和运算求解能力. 【解析】 f ( x) ?

1 1 2 ? 1 1 1 cos(2 x ? ) ? sin 2 x ? cos 2 x ? sin 2 x ? (1 ? cos 2 x) ? ? sin 2 x , 2 2 2 4 2 2 2
2? ?? 2

(I)函数 f ( x ) 的最小正周期 T ? (II)当 x ? [0, 当 x ? [?

?
2

] 时, g ( x) ?

? ? ? 1 ? 1 , 0] 时, ( x ? ) ? [0, ] g ( x) ? g ( x ? ) ? sin 2( x ? ) ? ? sin 2 x 2 2 2 2 2 2 2 ? ? 1 1 当 x ? [?? , ? ) 时, ( x ? ? ) ? [0, ) g ( x) ? g ( x ? ? ) ? sin 2( x ? ? ) ? sin 2 x 2 2 2 2
?

1 1 ? f ( x) ? sin 2 x 2 2

? ? 1 ?? 2 sin 2 x( ? 2 ? x ? 0) ? 得函数 g ( x) 在 [?? , 0] 上的解析式为 g ( x) ? ? . ? 1 sin 2 x( ?? ? x ? ? ) ? 2 ? 2
46、 【解析】 (1)∵函数 f ? x ? 的最大值是 3,∴ A ? 1 ? 3 ,即 A ? 2 .

? ,∴最小正周期 T ? ? ,∴ ? ? 2 . 2 ? 故函数 f ? x ? 的解析式为 f ( x) ? 2sin(2 x ? ) ? 1 . 6 ? ? ? 1 (2)∵ f ( ) ? 2sin(? ? ) ? 1 ? 2 ,即 sin(? ? ) ? , 2 6 6 2 ? ? ? ? ? ? ? ∵ 0 ? ? ? ,∴ ? ? ? ? ? ,∴ ? ? ? ,故 ? ? . 2 6 6 3 6 6 3
∵函数图像的相邻两条对称轴之间的距离为 47、解: (1) f ? x ? ? 4 ?

? 3 ? 1 cos ? x ? sin ? x ? sin ? x ? cos 2? x ? 2 ? 2 ? ?

? 2 3 sin ? x cos ? x ? 2sin 2 ? x ? cos2 ? x ? sin 2 ? x ? 3 sin 2? x ? 1
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因 ?1 ? sin 2? x ? 1 ,所以函数 y ? f ? x ? 的值域为 ?1 ? 3,1 ? 3 ?

?

?

(2)因 y ? sin x 在每个闭区间 ? 2k? ?

? ?

?
2

, 2 k? ?

??
2? ?

? k ? Z ? 上为增函数,
? k? ? k? ? ? ? , ? ? k ? Z ? 上为增函数. ? ? 4? ? 4? ? ?

故 f ? x ? ? 3 sin 2? x ? 1 ?? ? 0? 在每个闭区间 ?

依题意知 ? ?

? 3? ? ? ? k? ? k? ? ? 对某个 k ? Z 成立,此时必有 k ? 0 ,于是 , ? ? , ? ? 2 2 ? ? ? 4? ? 4? ? ? ? ?

? ? 3? ? ? 2 ? ? 4? 1 1 ? ,解得 ? ? ,故 ? 的最大值为 . ? 6 6 ?? ? ? ? 2 4? ?
48. 本题主要考查三角函数的图像与性质、同角三角函数的关系、两角和差公式,倍 角公式等基础知识,考查基本运算能力,以及数形结合思想,化归与转化思想. [解析](Ⅰ)由已知可得: f ( x) ? 6 cos
2

?x
2

? 3 cos ? x ? 3(? ? 0)

=3cosωx+ 3 sin ?x ? 2 3 sin(?x ? 又由于正三角形 ABC 的高为 2 3 ,则 BC=4 所以,函数 f ( x)的周期T ? 4 ? 2 ? 8,即

?
3

)

2?

?

? 8,得 ? ?

?
4

所以,函数 f ( x)的值域为 ?2 3,2 3] .……………………6 分 [ (Ⅱ)因为 f ( x0 ) ?

8 3 ,由 (Ⅰ)有 5 ?

f ( x0 ) ? 2 3sin (
由 x0 ? ? (

?x0
4

?
3

)?

?x ? 4 8 3 ( , 即s i n 0 ? ) ? 4 3 5 5

?x 10 2 ? ? ? , ),得( 0 ? ) ? (? , ) 3 3 4 3 2 2

所以, 即cos(

?x0

? 4 3 ? ) ? 1 ? ( )2 ? 4 3 5 5
?x0
?

故 f ( x0 ? 1) ? 2 3sin (

?

4 4 3 4 3 4 ?x ? ?x ? ? ? ? 2 3[sin( 0 ? ) cos ? cos( 0 ? ) sin 4 3 4 4 3 4 4 2 3 2 ? 2 3( ? ? ? ) 5 2 5 2

?

?

) ? 2 3sin[(

?x0

?

?

)?

?

]

?

7 6 ………………………………………………………12 分 5

第 21 页 共 27 页

49、 【思路点拨】 (1)以 x ? 5? 代入解析式直接求解; (2)由题目条件可求出 sin ? 及 cos ? 的值,然后利
4

用同角三角函数关系,求出 cos ? 及 sin ? 的值,再利用两角和的余弦公式求解.

5? 1 5? ? ? ) ? 2 sin ? ? 2 ; 【精讲精析】 (1) f ( ) ? 2 sin( ? 4 3 4 6 4
(2) f (3? ? 由

6 ? 10 5 由 ) ? 得 2sin ? = 10 , sin ? = 13 , f (3? ? 2? ) ? 6 得 2sin( ? ? ? )= 5 , 即 从而 cos ? ? 3 , 13 5 2 5 2 13

2 2 ? ?? 、 ? ? ?0, ? , ? cos ? ? 1 ? ( 5 ) ? 12 ,sin ? 1 ? ( 3 ) ? 4 , ? 13 13 5 5 ? 2? ?

? cos( ? ? ? )=cos ? cos ? -sin ? sin ? = 12 ? 3 ? 5 ? 4 ? 16 . 13 5 13 5 65

50、本题考查三角函数求值,三角恒等变换,利用诱导公式化简三角函数式与两角和的余弦公式求值,难 度较低. 【解析】 (1) T ?

2?

(2) f (5? ?

5? 6 ? 3 3 4 ) ? ? ? cos(? ? ) ? ? ? sin ? ? , cos ? ? 3 5 2 5 5 5 5? 16 8 15 f (5? ? ) ? ? cos ? ? ,sin ? ? 6 17 17 17 4 8 3 15 13 cos(? ? ? ) ? cos ? cos ? ? sin ? sin ? ? ? ? ? ? ? 5 17 5 17 85

?

? 10? ? ? ?

1 5

51.【思路点拨】本题是课本公式、定理、性质的推导,这是高考考查的常规方向和考点,引导考生回归 课本,重视基础知识学习和巩固. 【精讲精析】 余弦定理:三角形任何一边的平方等于其他两遍平方的和减去这两边与它们夹角的余弦

之积的两倍.或:在△ABC 中, a, b, c 分别为角 A,B,C 的对边,则 有 a ? b ? c ? 2bc cos A , b ? c ? a ? 2ca cos B ,
2 2 2 2 2 2

c2 ? a 2 ? b2 ? 2ab cos C .
证法一 如图, a2 ? BC

??? 2 ?

???? ??? ? ???? ??? ? ? AC ? AB ? AC ? AB

?

??
2

?

??? ??? ? ? ??? 2 ? ??? 2 ??? ??? ??? 2 ???? 2 ? ? ? ? ? AC ? 2 AC ? AB ? AB ? AC ? 2 AC ? AB cos A ? AB ? b2 ? 2bc cos A ? c2 ,
即 a ? b ? c ? 2bc cos A ,同理可证 b ? c ? a ? 2ca cos B ,
2 2 2 2 2

c2 ? a 2 ? b2 ? 2ab cos C
证法二 已知 ?ABC 中, A, B, C 所对边分别为 a, b, c, ,以 A 为原 点, AB 所在直线为 x 轴建立直角坐标系,则
第 22 页 共 27 页

C (b cos A, b sin A), B(c,0) ,
∴ a2 ?| BC |2 ? (b cos A ? c)2 ? (b sin A)2 ? b2 cos2 A ? 2bc cos A ? c2 ? b2 sin 2 A ? b ? c ? 2bc cos A ,
2 2

即 a ? b ? c ? 2bc cos A ,同理可证 b ? c ? a ? 2ca cos B , c ? a ? b ? 2ab cos C .
2 2 2 2 2 2 2 2 2

52..解: (1)由正弦定理得:

a cos C ? 3a sin C ? b ? c ? 0 ? sin A cos C ? 3 sin A sin C ? sin B ? sin C
? sin A cos C ? 3 sin A sin C ? sin(a ? C ) ? sin C ? 3 sin A ? cos A ? 1 ? sin( A ? 30? ) ? ? A ? 30? ? 30? ? A ? 60?
(2) S ?

1 2

1 bc sin A ? 3 ? bc ? 4 , a 2 ? b2 ? c 2 ? 2bc cos A ? b ? c ? 4 2

53. 本题主要考查三角恒等变换,正弦定理,余弦定理及三角形面积求法等知识点.
2 5 (Ⅰ)∵cosA= >0,∴sinA= 1 ? cos2 A ? , 3 3

又 5 cosC=sinB=sin(A+C)=sinAcosC+sinCcosA= 整理得:tanC= 5 . (Ⅱ)由图辅助三角形知:sinC= 故 c ? 3 . (1) 对角 A 运用余弦定理:cosA= 解(1) (2)得: b ? 3 or b=
b2 ? c 2 ? a 2 2 ? . (2) 2bc 3

2 5 cosC+ sinC. 3 3

5 a c .又由正弦定理知: , ? 6 sin A sin C

3 (舍去). 3

∴ ? ABC 的面积为:S=

5 . 2

54. 解: (1)证明:由 b sin(

?
4

? C ) ? c sin(

?
4

? B) ? a 及正弦定理得:

sin B sin( ? C ) ? sin C sin( ? B) ? sin A , 4 4
即 sin B(

?

?

2 2 2 2 2 sin C ? sin C ) ? sin C ( sin B ? sin B) ? 2 2 2 2 2
3? 4

整理得: sin B cos C ? cos B sin C ? 1 ,所以 sin( B ? C ) ? 1 ,又 0 ? B, C ? 所以 B ? C ?

?
2

第 23 页 共 27 页

(2) 由(1)及 B ? C ?

3? 5? ? ? , C ? ,又 A ? , a ? 2 可得 B ? 4 8 8 4 a sin B 5? a sin C ? ? 2sin ,c ? ? 2sin , 所以 b ? sin A 8 sin A 8

所以三角形 ABC 的面积 ?

1 5? ? ? ? 2 ? 1 bc sin A ? 2 sin sin ? 2 sin cos ? sin ? 2 8 8 8 8 2 4 2

(三). 考应用:融入三角形之中. 即考查解三角形的有关知识与方法,又考查三角函数的图像和
性质和三角恒等变形,还能考查运用三角知识解决实际问题的能力,一举多得. 以实际生活问题为背景问题体现新课标对创新意识和实践能力的考查,三角应用题成为应用性题新的 命题热点,主要考查航行、测量等,体现数学在生活中的应用,为中档题. 56. [解析] 本题主要考查解三角形的知识、两角差的正切及不等式的应用. (1)

H H H h ? tan ? ? AD ? ,同理: AB ? , BD ? . tan ? AD tan ? tan ?

AD—AB=DB, (2) tan ? ?

H H h h tan ? 4 ?1.24 ? ? ? ? 124 . ,解得: H ? tan ? tan ? tan ? tan ? ? tan ? 1.24 ? 1.20

H H h H ?h , tan ? ? ? ? , d AD DB d H H ?h ? tan ? ? tan ? hd h d tan(? ? ? ) ? ? d ? 2 ? 1 ? tan ? ? tan ? 1 ? H ? H ? h d ? H ( H ? h) d ? H ( H ? h) d d d H ( H ? h) d? ? 2 H ( H ? h) , (当且仅当 d ? H (H ? h) ? 125 ?121 ? 55 5 时,取等号) d

故当 d ? 55 5 时, tan(? ? ? ) 最大,α-β 最大. 本题的考查属较高要求:注重三角知识的工具性,突出三角与代数、平面几何、平面向量的综合联系, 在实际问题中加强三角的应用意识.

(四). 考综合,在知识的交汇处命题,三角知识与立体几何、解析几何、平面向量、数列等综合命
题,体现三角的工具性作用. 题型一 三角函数与平面向量交汇 57. 解: (Ⅰ) f ( x ) ? m ? n

? 3 A sin x cos x ? A cos 2 x 2 3 sin 2 x ? 1 cos 2 x) ? A( 2 2 ?) ? A sin(2 x ? ? 因为 A ? 0 ,由题意知 A ? 6 .
(Ⅱ)由(I) f ( x) ? 6sin(2x ? ? ) 将 y ? f ( x) 的图象向左平移 ? 个单位后得到

?

??

第 24 页 共 27 页

y ? 6sin[2( x ? ? ) ? ? ] ? 6sin(2 x ? ? ) 的图象;再将得到图象上各点横坐标缩短为原来的 1 倍,纵坐标 ?? ? ? 2 ? ) 的图象.因此 g ( x) ? 6sin(4x ? ? ) ,因为 x ?[0 , 5? ] ,所以 不变,得到 y ? 6sin(4 x ? ? ? ?? 4x ? ? ?[? , 7? ] ,所以 sin(4x ? ? ) ?[? 1 , 1] ,所以 g ( x) 在 [0 , 5? ] 上的值域为 [?3 , 6] . ? 2 ? ? ? ??
58、 【解答】 (Ⅰ)因为 f ( x) ? sin 2 ? x ? cos2 ? x ? 2 3sin ? x ? cos ? x ? ?

π ? ? cos 2? x ? 3sin 2? x ? ? ? 2sin(2? x ? ) ? ? . 6 π 由直线 x ? π 是 y ? f ( x) 图象的一条对称轴,可得 sin(2? π ? ) ? ?1 , 6 π π k 1 所以 2? π ? ? kπ ? (k ? Z) ,即 ? ? ? (k ?Z) . 6 2 2 3 5 6π 1 又 ? ? ( , 1) , k ? Z ,所以 k ? 1 ,故 ? ? . 所以 f ( x) 的最小正周期是 . 6 5 2 π π (Ⅱ)由 y ? f ( x) 的图象过点 ( , 0) ,得 f ( ) ? 0 , 4 4 5 π 5 π π π 即 ? ? ?2sin( ? ? ) ? ?2sin ? ? 2 ,即 ? ? ? 2 . f ( x) ? 2sin( x ? ) ? 2 , 3 6 6 2 6 4
由0? x ?

3π π 5 π 5π 1 5 π , ? ? x ? 有 , 所以 ? ? sin( x ? ) ? 1 , ?1 ? 2 ?s( 得 ? 2n i 5 6 3 6 6 2 3 6 3π ] 上的取值范围为 [?1 ? 2, 2 ? 2] . 5

5 π x? 2 ? ) 2 3 6

2 ? ?



故函数 f ( x) 在 [0,

59. 解: (1)∵ AB ? AC ? 3BA? BC ,∴ AB ?AC ?cos A=3BA?BC ?cos B ,即 AC ?cos A=3BC ?cos B . 由正弦定理,得

??? ??? ? ?

??? ??? ? ?

AC BC cos ,∴ sin B?cos A=3sin A? B . = sin B sin A sin B sin A 又∵ 0 < A ? B < ? ,∴ cos A > 0,cos B > 0 .∴ 即 tan B ? 3tan A . =3? cos B cos A
? 5? 5 2 5 tan C ? 2 . , <C < ? ,∴ sin C ? 1 ? ? 0 (2)∵ cos C ? ? 5 ? = 5 .∴ ? 5 ? ?
2

tan A ? tan B ? ?2 . 1 ? tan A?tan B 1 4tan A 由 (1) ,得 ? ?2 ,解得 tan A=1 tan A= ? . , 2 3 1 ? 3tan A
∴ tan ?? ? ? A ? B ?? ? 2 ,即 tan ? A ? B ? ? ?2 .∴ ? ? ∵ cos A > 0 ,∴ tan A=1 .∴ A=

?
4

.

题型二 三角函数与数列交汇 60、 【答案】 ?

2 . 【解析】设最小边长为 a ,则另两边为 2a,2a . 4

所以最大角余弦 cos? ?

a 2 ? 2a 2 ? 4a 2 2 ?? 4 2a ? 2a
第 25 页 共 27 页

61、 【答案】15 3. 【思路点拨】设三角形一边的长 x,可以用 x 表示其它两边,再利用余弦定理建立方程 求出 x,最后利用三角形面积公式求出 ?ABC 的面积. 【精讲精析】设三角形长为 x,则另两边的长为 x-4,x+4,那么

1 2 (x ? 4) ? x 2 ? ( x ? 4)2 ? 2x( x ? 4) cos120? , 解得x ? 10, 所以 S ?ABC ? ? 10 ? 6 ? sin 120 ? ? 15 3. 2

62、 【思路点拨】 (1)由公比 q 和 S3 可求得 {an } 的首项 a1 的值,根据 a1 和 q 的值写出 {an } 的通项公式; (2)由 {an } 的通项公式得到 a3 的值,从而确定 A 的值,若函数 f ( x ) 在 x ?

?
6

时取到最大值,则

sin(2 ?

?
6

? ? ) ? 1 ,再给合 0 ? ? ? ? 确定 ? 值.

【精讲精析】(I)由 q ? 3, S3 ?

13 a1 (1 ? 33 ) 13 1 1 ? , ,解得 a1 ? . 所以 an ? ? 3n ?1 ? 3n ? 2. 得 3 3 3 1? 3 3
因为函数 f ( x ) 的最大值为 3,所以 A ? 3 .

(II)由(1)可知 an ? 3n?2 , 所以 a3 ? 3 . 因为当 x ?

?
6

时 f ( x ) 取得最大值,所以 sin(2 ?

?
6

? ? ) ? 1. 又 0 ? ? ? ? , 故 ? ?

?
6

.

所以函数 f ( x ) 的解析式为 f ( x) ? 3sin(2 x ?

?
6

)

63【命题意图】本题主要考查等差数列、等比数列概念、正余弦定理应用,是容易题.

1 ……6 分 3 2 3 2 2 (2)解法一: b =ac ,由正弦定理得 sin A sin C = sin B = 4 2 2 2 2 2 1 a +c -b a +c -ac 2 2 2 = 解法二: b =ac , = cos B = ,由此得 a +c -ac=ac, 得 a=c 2 2ac 2ac ? 3 所以 A=B =C = , sin A sin C = ……12 分 3 4
【解析】 (1)由已知 2 B =A+C ,A+B +C =? , ? B =

?

, cos B =

【点评】本题主要考查三角形的正弦定理、余弦定理、三角形内角和定理及等差、等比数列的定义,考查 转化思想和运算求解能力,属于容易题.第二小题既可以利用正弦定理把边的关系转化为角的关系,也可以 利用余弦定理得到边之间的关系,再来求最后的结果. 题型三 三角函数与不等式交汇 64.【答案 C】 【解析】由题意正弦定理

a 2 ? b2 ? c 2 ? bc ? b2 ? c 2 ? a 2 ? bc ?

b2 ? c 2 ? a 2 1 ? ? 1 ? cos A ? ? 0 ? A ? bc 2 3

第 26 页 共 27 页

题型四 三角函数与导数交汇 65.【答案 C】 题型五 三角函数与概率交汇 66.【答案】 (1)3; (2)

? 4

【解析】 1)y ? f ?( x) ? ? cos(? x ? ? ) , ? ? ( 当

?
6

, P 的坐标为 点 (0,

3 3 ? 3 3 ) ? cos ? 时, ,?? ? 3 ; 2 6 2

2? 1 ? T ? (2)由图知 AC ? ? ? ? , S? ABC ? AC ? ? ? ,设 A, B 的横坐标分别为 a , b . 2 2 2 2 ?
设曲线段 ? ABC 与 x 轴所围成的区域的面积为 S 则

S?

?

b

a

f ?( x)dx ? f ( x)

b a

? sin(? a ? ? ) ? sin(?b ? ? ) ? 2 ,

由几何概型知该点在△ABC 内的概率为 P ?

【点评】本题考查三角函数的图像与性质、几何概型等, (1)利用点 P 在图像上求 ? , (2)几何概型,求出三角形面积及曲边形面积,代入公式即得.

S? ABC 2 ? ? ? . S 2 4

?

第 27 页 共 27 页


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