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皖南八校2016届高三第二次联考数学试卷


安徽省皖南八校 2016 届高三联考

数学试题 (理)
本试卷分第 I 卷(选择题)和第 II 卷(非选择题) ,试题分值:150 分。考试时间 120 分钟。

第Ⅰ卷(选择题 满分 50 分) 一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分。 1. 已知复数 Z1 ? 1 ? 2i ,则复数 Z 2 ? A.

(

i

B.

2.设集合 U ,M ,若 CM ,则实数 p 的值为 = x ? U x ? 5 x + p = 0 =1 ,3 ,4 = 2 ,3 ?,2 ? ? ? U
2

?i

Z1 ? 1 的虚部是() Z1 - 1
C. 1

?

?

D. -1

) A. ? 4 B. 4 C. ? 6 D. 6 3. 下表提供了某厂节能降耗技术改造后在生产 A 产品过程中记录的产量 x(吨)与相应的 生产能耗 y(吨)的几组对应数据:

? ? 0.7 x ? 0.35 ,那么表中 t 的值 根据上表提供的数据,求出 y 关于 x 的线性回归方程为 y 为( ) A.3 B.3.15 C.3.5 D.4.5
4.函数 f (x) ?2 ? ?a的一个零点在区间 (1 , 2 ) 内,则实数 a 的取值范围是(
x

2 x



A. (1 , 3 ) 5.设 a ?

B. (1 , 2 )

C. ( 0 , 3 )

D. ( 0 , 2 ) )

?

?

0

sin xdx ,则二项式 ( a x ?

1 6 ) 展开式的常数项是( x

A.160 B.20 C.-20 D.-160 6、对于数列 {an } , a1 ? 4 , an ?1 ? f (an ) n ? 1,2? ,则 a2012 等于( x



5 2 A.2 B.3 C.4 D.5 7.如图所示,点 P 是函数 y ? 2 sin(?x ? ? ) ( x ? R, ? ? 0) 的图象的最高点, M , N 是

f ( x)

1 5

2 4

3 3

4 1

该图象与 x 轴的交点,若 PM ? PN ? 0 ,则 ? 的值为 A.

? 8

B.

? 4

C.

4

D.

8

8. 已知正方形 ABCD 的边长为 2 2 ,将 ?ABC 沿对角线 AC 折起,使平面 ABC ? 平面 ACD ,得到如图所示的三棱锥 B ? ACD .若 O 为 AC 边的中点, M , N 分别为线段 DC , BO 上的动点(不包括端点) ,且 BN ? CM .设 BN ? x ,则三棱锥 N ? AMC 的 体积 y ? f ( x) 的函数图象大致是( )
B A N A A A O A D A C A

A.
M A

B.

C.

D.

9.设双曲线

x2 y2 ? 2 ? 1 (a ? 0, b ? 0) 的右焦点为 F (c,0) ,方程 ax2 ? bx ? c ? 0 的两实根 2 a b 分别为 x1 , x2 ,则 P( x1 , x2 ) ( )
A.必在圆 x2 ? y 2 ? 2 内 B.必在圆 x2 ? y 2 ? 2 外

C.必在圆 x2 ? y 2 ? 2 上 D.以上三种情况都有可能 10.设 f ( x ) 是定义在 R 上的增函数,且对于任意的 x 都有 f 恒成立. ( 1) ? x ? f ( 1)0 ? x ? 如果实数 m 、 n满足不等式组 ? 范围是( ) A.(3, 7)
2 2 ? f( m ? 6 m ? 2 3 ) ? f( n ? 8) n? 0 2 2 ,那么 m ?n 的取值 m ? 3 ?

B.(9, 25)

C.(13, 49)

D. (9, 49)

第Ⅱ卷(非选择题 满分 100 分) 二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分。把答案填在答题卡的相应横线上。 11.在直角坐标系 xoy 中,以原点为极点,x 轴为非负半轴为极轴建立极坐标系,已知圆 C 与 直线 l 的方程分别为:??2s in?,?

? t ?x?x 0? 2 t ? ?y? 2

(t 为参数) 。 若圆 C 被直线 l 平分, 则x

0

的值为 。 12. 一个空间几何体的三视图如图(1)所示,其中正视图为等腰直角三角形,侧视图与俯 视图为正方形,则该几何体的表面积为

4

4

正视图
4

侧(左)视图

12 题图 13 题图
俯视图

13、已知实数 x ? [0,10] ,执行如右图所示的程序框图,则输出 的 x 不小于 47 的概率 为 . 14. 身穿红、黄两种颜色衣服的各有两人,身穿蓝色衣服的有一人,现将这五人排成一行, 要求穿相同颜色衣服的人不能相邻,则不同的排法共有 种(用数字作答) 15. 函数 f ( x) 的定义域为 D ,若存在闭区间 [a, b] ? D ,使得函数 f ( x) 满足:① f ( x) 在

[a, b] 内是单调函数; ② f ( x) 在 [a, b] 上的值域为 [2a, 2b] , 则称区间 [a, b] 为 y ? f ( x) 的
“倍值区间”.下列函数中存在“倍值区间”的有 ① f ( x) ? x ( x ? 0) ;
2

(填上所有正确的序号)
x

② f ( x) ? e ( x ? R) ; ④ f ( x) ? log a (a ? )( a ? 0, a ? 1)
x

③ f ( x) ?

4x ( x ? 0) ; x ?1
2

1 8

三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。 16. (本题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? 平移

? 个单位后得函数 g ( x) 的图像,设 ?ABC 三个角 A 、B 、C 的对边分别为 a 、b 、 6

3 1 sin 2 x ? (cos 2 x ? sin 2 x) ? 1 , x ? R ,将函数 f ( x) 的图像向左 2 2

c.
7 , f (C ) ? 0 , sin B ? 3sin A ,求 a 、 b 的值; ?? ? ?? ? (Ⅱ)若 g ( B) ? 0 且 m ? (cos A,cos B) , n ? (1, sin A ? cos A tan B) ,求 m ? n 的取值
(Ⅰ)若 c ? 范围.

17.(本小题满分 12 分) 为了解学生喜欢数学是否与性别有关,对 50 个学生进行了问卷调查得到了如下的列联表: 喜欢数学 不喜欢数学 合计 5 男生 10 女生 50 合计 已知在全部 50 人中随机抽取 1 人抽到喜欢数学的学生的概率为 . (1)请将上面的列联表补充完整(不用写计算过程); (2)是否有 99.5%的把握认为喜欢数学与性别有关?说明你的理由; (3)现从女生中抽取 2 人进一步调查,设其中喜欢数学的女生人数为 X,求 X 的分布列与 期望. 下面的临界值表供参考:
P(K ? k )
2

3 5

0.15 2.072

0.10 2.706

0.05 3.841
2

0.025 5.024

0.010 6.635

0.005 7.879

0.001 10.828

k

2 (参考公式: K ?

n ( a d ? b c ) ,其中 na ) ? ? b ? cd ? ( a ? bc ) (? d ) ( a ? cb ) (? d )

18、 (本题满分 12 分) ? A B C D D ∥ B C , ? A B C ? 9 0 ° 如图,在底面为直角梯形的四棱锥 P 中A , PD?平面

B? 3, B A B C D, A C?4. D?1, A ⑴求证: B D? P C ; ⑵求直线 AB 与平面 PDC 所成的角; ? ? ? ? ? ? ? ? ⑶设点 E 在棱 P C 上,P , 若 DE ∥平面 PAB , 求 ? 的值. E ? ? P C
B

P E A D C

19(本小题满分 12 分)

bn ? bn ? 2 ? bn ?1 ;② bn ? M ( n ? N? , M 是与无关的常数)的无穷数 2 a (an ? 1) ( a 为常数, 列 {bn } 叫“嘉文”数列.已知数列 {an } 的前项和 Sn 满足: S n ? a ?1 且 a ? 0 , a ? 1) . (Ⅰ)求 {an } 的通项公式;
设同时满足条件:① (Ⅱ)设 bn ? 数列.

?1? 2Sn ? 1 ,若数列 {bn } 为等比数列,求 a 的值,并证明此时 ? ? 为“嘉文” an ? bn ?

20. (本小题满分 13 分) 设椭圆 C :

x2 ? y 2 ? 1(a ? 0) 的两个焦点是 F1 (?c,0)和F2 (c,0)(c ? 0) ,且椭圆 C 上的点 2 a 到焦点 F2 的最短距离为 3 ? 2.

(1)求椭圆的方程; (2)过点 (0, 2 ) 且斜率 k 为的直线 l 与椭圆 C 交于不同的两点 P, Q ,是否存在 k ,使得 向量 OP ? OQ 与 AB 共线?若存在,试求出 k 的值;若不存在,请说明理由.

??? ? ??? ?

??? ?

21. (本小题满分 14 分) 定义在 (0, ??) 上的函数 f ( x) ? px ? x( p ? Q, 且p ? 1) 。 (1)求函数 f ( x) 的最大值; (2)对于任意正实数 a,b,设
1 p

1 1 a p bq ? ? 1 ,证明: ab ? ? . p q p q

数学(理科)答案
一、选择题: 1 C 二、填空题: 11、-1 三、解答题 12、 48+16 2 13、 2 B 3 A 4 C 5 D 6 A 7 B 8 D 9 B 10 C

1 2

14、48

15、①③④

16 解: (Ⅰ) fx () ? s i n 2 x ?( c o sx ? s i n x ) ? 1
2 2

3 1 ? ? s i n 2 x ? c o s 2 x ? 1 ? s i n ( 2 x ? )1 ? 2 2 6
,所以 sin(2C ? ) ?1 f( C ) ? s i n ( 2 C ?) ?? 10 6 6 由余弦定理知: a ? , b ? 3a b? 2 a b c o s ? 7
2 2

3 2

1 2

?

?

所以 C ?

?

? 3
? 6

6 6 ? ? ? 3 3 1 3 于是 m ?? 8 分 ? nA ? c o s ? ( s i n A ? c o s A )c ? o s A ? s i n A ? s i n ( A ? ) 2 3 2 2 6 ? 5 ? ? ? B ? ?? A( 0 , ? ),得 A? ? ( ,?) 6 6 6 6 ? ?? ? ?,即 m ?n ? ( 0 , 1 A ? )? ( 0 ,1 ∴ sin( ? ????????12 分 6

(Ⅱ) g ,所以 sin(2B? ) ?1 ( B ) ? s i n ( 2 B ?) ?? 10

?

3

解得: a? 1 ,b? 3 ????6 分

?

B ?

?



17.(本小题满分 12 分) . 解:(1) 列联表补充如下: -----------------3 分 喜爱数学 不喜数学 男生 20 5 女生 10 15 合计 30 20 (2)∵ K ?
2

合计 25 25 50

50 ? (20 ?15 ?10 ? 5) 2 ? 8.333 ? 7.879 30 ? 20 ? 25 ? 25
-----------6 分 其概率分别为

∴有 99.5%的把握认为喜爱数学与性别有关 (3)喜爱数学的女生人数 ? 的可能取值为 0,1, 2 .

P(? ? 0) ?
-10 分 故 ? 的分布列为:

2 0 C C C C C10 C15 7 1 3 , , ? P ( ? ? 1) ? ? P ( ? ? 2) ? ? -----2 2 2 C25 20 C25 2 C25 20

0 10

2 15

1 10

1 15

?

0

1

2
3 20
----------------11

P


7 20

1 2

? 的期望值为: E? ? 0 ?

7 1 3 4 ? 1? ? 2 ? ? -------12 分 20 2 20 5 2 2 2 18.解: 【方法一】 (1) 证明: 由题意知 DC ? 2 3, 则 B C = D B ? D C , ? B D ? D C , ? P D ? 面而 A B C D , ? B D ? P D , P D ? C D ? D ,
? B D ? 面 P D C . ? P C 在 面 P D C 内 , ? B D ? P C .
???? 4 分
P E A B F D G C

(2)∵ D E ∥ A B ,又 PD ? 平面 ABCD . ∴平面 PDC ? 平面 ABCD . 过 D 作 D F // A B 交 B C 于 F

过点 F 作 FG ? C D 交 C D 于 G ,则 ∠ FDG 为直线 A B 与平面 PDC 所成的角. 在 Rt△ DFC 中,∠ D ,D , F C ? 9 0 ? F ? 3 ,C F ? 3 ∴t ,∴∠ F . a n ? F D G ?3 D G ? 6 0 ? 即直线 A B 与平面 PDC 所成角为. ????8 分 (3)连结 E F ,∵ D F ∥ A B ,∴ D F ∥平面 PAB . 又∵ D E ∥平面 PAB , ∴平面 DEF ∥平面 PAB ,∴ E F ∥ A B . 又∵ A DB ? 1 ,C ? 4 , B F ? 1 , B
P E A F D C

? 1 ??? ? PE BF 1 ??? 1 ∴ ? ? , ∴ PE ? PC ,即 ? ? . 4 PC BC 4 4

????12 分

【方法二】建立空间直角坐标系.(略)

a (a 1 ) ,所以 a 1 ? a 1? a?1 a a 当 n ? 2 时, a ? S ? S ? a ? a n n n ? 1 n n ? 1 a ? 1 a ? 1
19 解: (Ⅰ)因为 S 1?

an a n ?1
n ? 1

? a ,
n

即以 a 为首项,a 为公比的等比数列. ∴ a aa ? ? a; n?

??4 分

a 2 ? ( a 1 ) n? ( 3 a ? 1 ) a 2 a a ? 1 n? (Ⅱ)由(Ⅰ)知, b , ?? 1 n? a ( a ? 1 ) a n n
2 3 a ? 22 3 a ? 2 a ? 2 1 )? 3 ? 则有 b ? b ,解得 a ? 1 ?b 3 ,故 ( 2 a a 3 1 1 n 再将 a ? 代入得 b n ? 3 成等比数列, 所以 a ? 成立 ???????8 分 3 3 1 1 1 1 1 1 ? 2 n? n ? ? 2 n n ? 2 b b 3 3 ? 3 3 ?1?1???????10 分 ? 2 由于① n n ? n ? 1 2 2 2 3 b n ? 1 1 1 1 1 ? ? b b b bn ? 2 1 5 1 2 1 n ? 2 ? ?n ?n ?n ? 0 (或做差: 因为 n , 所以 n 也成立) ? ? 2 ? 1 ? 2 2 b 2 bn ?1 3 3 3 n ? 1
2 2

② 20

? 1 ? 1 1 1 1 ? n ? ,故存在 M ? ;故 ? ? 为“嘉文”数列???12 分 3 bn 3 3 ? bn ?

???????5 分 (2) l : y?kx ? 2,由 ?

? ? y ? kx ? 2 2 2 消去 y: ( 1 ? 3 k ) x? 6 2 kx ? 3 ? 0 2 2 ? ?x ? 3 y ? 3

3 2 2 ? ? 72 k ? 12 ( 1 ? 3 k ) ? 0 ? k ? ??????8 分 3 设P ,PQ 的中点 M ( x0 , y0 ) ( x , y ), Q ( x , y ) 1 1 2 2
1 2 由点差法: x ? x ? ? 3 ( y ? y ) ? ?1 1 2 1 2 2 2 2 2

y ? y x ? x 2 x ? x 3 ( y ? y ) 1 2 ? 1 2

即 k?

x 0 ? x ? 3 ky ① 0? 0 ? 3 y 0
?

y kx M 在直线 l上 ? 0? 0? 2 ② ? x ?3 y 0? 0 ③,
由①②③得 k ? 这与 k ? 21

又A 与 AB 共线,可得 OM // AB AB ?OQ (3 , 0 ), B ( 0 , 1 )? ? (? 3,1 ) ,而 OP

? ?

?

?

?

3 , 3

??????12 分

3 矛盾,故不存在 ?????13 分 3

???????8 分

???????14 分


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