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面面垂直性质定理


§2.3.4 平面与平面垂直的性质
教学目标:
1.进一步巩固和掌握面面垂直的定义、判定 2.使学生理解和掌握面面垂直的性质定理 3.让学生在观察物体模型的基础上进行操作确认,获得对性 质定理的认识

教学重、难点: 重点:理解和掌握面面垂直的性质定理和推导 难点:运用性质定理解决实际问题 教学过程:
师: 好, 在上课之前我们来回顾一下前面的面面垂直 的定义和判定。我们了解到两个平面相交,如果它们所成的 二面角是直二面角,就说这两个平面互相垂直。 这是面面垂直的定义,假设我们把定义中的条件和结论 交换,也就是说两个平面垂直,那么它们所成的二面角是直 二面角这个命题是成立的。 而判定定理是:一个平面过另一平面的垂线,则这两个 平面垂直。这是通过线面垂直得到的面面垂直,那么能否通 过面面垂直得到线面垂直呢?而这一问题就是这就可要研

究的: (§2.3.4 平面与平面垂直的性质)

那我们来探究这样一个问题: 黑板所在的平面与地面所在 的平面垂直,能否在黑板所在的平面内作一条直线与地面垂 直? 现在把这个问题数学符号化:

已知:α⊥ β α∩β=CD 求证:β 内一直线与 α 垂直 在右边把这两个平面的形象图作出来:

分析: 要证明一条直线与一个平面垂直, 这就需要证明这 条直线与平面内的两条相交直线垂直,这是前面学的直线与 平面垂直的判定定理,那么就需要在这个平面内找两条相交 直线都与这条直线垂直,那不妨在 β 内作 BE⊥ CD 于点 B, 在 α 内过点 B 作 AB⊥ CD

证明: 在 β 内作 BE⊥ CD 于点 B, 在 α 内过点 B 作 AB⊥ CD BE⊥ CD 二面角∠ABE 为直二面角 α⊥ β α∩β=CD AB⊥BE CD⊥BE BE⊥α AB∩CD=B 这样上面的问题就得以解决证明
像这样的,两个平面垂直,其中一个平面内一条直线垂 直于两个平面的交线,那么这条直线垂直与另一个平面,我 们把满足这样的性质叫做面面垂直的性质定理

定理:两个平面垂直,则一个平面内垂 直于交线的直线与另一平面垂直。
我们的性质定理是通过面面垂直得到线面垂直,前面所 学的面面垂直判定是由线面垂直得到面面垂直,这些转化关 系在以后解题中有很大的作用,所以啊在解题的时候同学们 需要抓住解题的关键之处。

接下来看到书上第二个思考题 思考一:设 α⊥ β,点 P 在平面 α 内,过点 P 作 β 的垂线 a,那么直线 a 与 α 有什么位置 关系?

分析:点 P 可以在 α 与 β 的交线上,也 可以不在交线上,那么作两个图:

解:设 α∩β=c ,过点 P 作 b⊥ c,由性质定理得 b⊥ β 过一 点有且只有一条直线与另一个平面垂直,故 a 与 b 重合,则 a 在平面 α 内

推论:两个平面垂直,那么经过平面内 一点垂直于另一平面的直线在这个平面内。

这个推论用来证明一条直线在一个平面内。这种方法就 叫做“同一法” 。

例:如图,平面 α⊥ β,直线 a 满足 a⊥ β, a 不在平面 α 内,试判断 a 与平面 α 有什么 位置关系?

分析:从图上观察可知 a//α,要证明这个 结论,则需在 α 内找一直线和 a 平行,根据 前面所学直线和平面垂直的性质定理有同 时垂直于同一平面的两直线平行。下面写一 写证明过程: 证明:

在 α 内作 b⊥ c b⊥ β α∩β=c α⊥ β a⊥ β a//α a//b a 不在平面 α 内 b 在平面 α 内

课堂小结 对于面面垂直的性质定理要注意的是两 个垂直的平面是前提,我们可以通过面面垂 直得到线线垂直再进一步得到线面垂直。这 些转化规律在问题的应用中起到了决定性 的作用,是解题的突破口。 再一个就是证明过平面内一点的直线在 这个平面内用到“同一法”也就是说证明另 一条直线和这条直线重合。


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