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对一道自主招生不等式试题的进一步研究


考  研  考卷 解 析  2 0 1 3 年 7月  对 一道 自主招生不等式试题 的进一步研 究  ⑩上 海 市 松 江 二 中  卫 福 山  2 0 0 8 年南京大学 自主招生不等式试 题如下 :   问题 : 设n , b , c ∈R . 且a + b + c = l , 求证 :   J e s e n 不等式有 :   3   f \  3   1

_ 1 /   ,   一 一 一 ( 叶   ) ( 6 + ÷ ) ( c + ÷ ) ≥  .   对 于以上 问题 , 文[ 1 ] 给 出了三种证 明方法 , 主要 用  到 函数 的 凸凹性及 均值不等式 , 文[ 2 ] 指 出文 [ 1 ] 的三种  证 明方 法都属 于“ 超纲 ” 方法 , 并给 出了一种不超 纲的初  I 代入得——— ——_ ———二 + l n ( b + l) l n ( a + l] ]   + l n ( c + l   > I   f   + — 孚 一 1 , 去 掉 对 教 符 号 即 得 证 .   等方法. 特别地 , 文[ 2 ] 给出了以上问题 推广 的三个命题 :   注 :从 函数 的 凸 凹性 及J e s e n 不等 式不 难得 到条 件  命题1 设O < a , 6 , c ≤、 / 2 + 、 / 了, 求证:   “ O < a , b , c ≤、 / 2 + 、 / 了” , 这是因为   4 +   z   ( 。 +   ) ( 6 + ÷ ) ( c + ÷ ) ≥ (   +   命 题 2   1 \   厂   )  署  ≥   ≥  ∈ ( 0 , 、 / 2 + 、 / 了] ?   ∈ R + , i = 1   2一 , n , 且∑  1 ,   ./   \   n /   读者对于命题2 、 3 可采用类似的角度去理解 , 因此问  题 及 三 个 命 题 实 际 上 也 可 以认 为是 函数 的 凸 凹性 及   ̄ mf , I (   + 1 1 ≥ f   +  1   ;   命题3 设 0  ≤、 /  。   ,   : 1 , 2 , …,   , 且  ,   J e s e n 不等式在具体 函数上 的应用而 已 顺 着这样的思路  下去 , 我们 可以提出很 多貌似新颖 的问题.   角度1 : 问题 中字母n , 6 , c 轮换能得到什么不 等式 ?   问题1 : 设n , b , c ∈R + 且Ⅱ + 6 + c = 1 ,   则 n  1   1 ≥ f  +  r   然后文 [ 2 ] 通过初等方 法给 出以上命题 1 的证 明 , 从  而命题2 、 3 及 问题 得证 . 仔 细看 了文 [ 2 ] 的证 明过 程 , 技巧  还是较大 ,同时读者很容易提 出这样一个 问题 : “ 问题及  求 证 : ( 。 +   1 ) ( 6 + ÷ ) ( c +   ) ≥  .   分 析 :   以 上 不 等 式 的 左 边 ( 。 +   1 ( b + ÷ ) ( c +   ) 是   轮换式 , 显然不 能构造 函数利用 函数 的凸凹性及J e s e n 不  等式 , 应 该如何证 明呢? 下面笔 者利用初等方法 的基本不  等式加以证明.   证 明: 由条件及 c ≤\ a + b 3 命题 1 、 2 、 3 是怎么想出来的? 特别是 以上 问题及命题 中的 

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