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函数的极值与函数图像


3.3.2函数的极值与导数

复习:函数单调性与导数关系 设函数y=f(x) 在 某个区间 内可导,
f(x)增函数 f(x)减函数 y
y=f(x) f '(x)>0

y
y=f(x)

f '(x)<0

o a o a b x b x

如果在某个区间内恒有 f ?( x) ? 0 ,则 f ( x)为常数.

巩固:
解:

1 3 1 2 7 f(x) ? x - x ? 单调区间 3 2 2

(第一步) 定义域R,f′(x)=x2-x=x(x-1) (第二步) 令x(x-1)>0, 得x<0或x>1, 则f(x)单增区间(-∞,0),(1,+∞) (第三步)令x(x-1)<0,得0<x<1, f(x)单减区(0,1). 注意: 求单调区间: 1:首先注意 定义域, 2:其次区间不能用 ( U) 连接

极值
y y?f(x) f ?(x)<0 极大值点两侧 f ?(x)>0 f ?(x)<0

x
f?(x) f(x)

X<x2


x2
极大值

X>x2


f?(x) >0 f?(x) =0 f?(x) <0

f ?(x)>0
x2 b x

O a x1 极小值点两侧

x1 X<x1 X>x1 f?(x) f?(x) <0 f?(x) =0 f?(x) >0 减 极小值 增 f ( x)

x

结论:极值点处,f?(x) =0 注意:(1) f?(x0) =0, x0不一定是极值点
(2)只有f?(x0) =0且x0两侧单调性不同 , x0才是极值点. (3)求极值点,可以先求f?(x0) =0的点,再列表判断单调 性

小结
求解函数极值的一般步骤: (1)确定函数的定义域

(2)求方程f’(x)=0的根
(3)用方程f’(x)=0的根,顺次将函数的定义域分成 若干个开区间,并列成表格 (4)由f’(x)在方程f’(x)=0的根左右的符号,来判断 f(x)在这个根处取极值的情况

1 3 例1 求函数 f ( x) ? x ? 4 x ? 4 的极值. 3 解: 1 3 2 因为 f ( x) ? x ? 4 x ? 4, 所以 f ?( x) ? x ? 4. 3 令 f ?( x) ? 0, 解得 x ? 2, 或 x ? ?2. 当 f ?( x) ? 0 , 即 x ? 2 , 或 x ? ?2 ; 当 f ?( x) ? 0 , 即 ? 2 ? x ? 2 .
当 x 变化时, f (x) 的变化情况如下表:

x

(–∞, –2)

–2

(–2, 2)


2 0

( 2, +∞)

f ?( x)

+

0

+

f (x) 单调递增

28 / 3 单调递减

? 4 / 3 单调递增

所以, 当 x = –2 时, f (x)有极大值 28 / 3 ; 当 x = 2 时, f (x)有极小值 – 4 / 3 .

变式
求下列函数的极值:

(1) f ( x) ? 6 x ? x ? 2; (2) f ( x) ? x ? 27 x; 3 3 (3) f ( x) ? 6 ? 12 x ? x ; (4) f ( x) ? 3x ? x . 解: 1 (1) f ?( x) ? 12 x ? 1, 令 f ?( x) ? 0, 解得 x ? . 列表: 12
2 3

x
f ?( x)

1 (??, ) 12


1 12 0

1 ( ,??) 12 +

f (x)

单调递减

49 ? 24

单调递增

1 49 1 所以, 当 x ? 时, f (x)有极小值 f ( ) ? ? . 12 24 12

求下列函数的极值:

(1) f ( x) ? 6 x ? x ? 2; (2) f ( x) ? x ? 27 x; 3 3 (3) f ( x) ? 6 ? 12 x ? x ; (4) f ( x) ? 3x ? x . 解: 2 ? (2) 令f ( x) ? 3x ? 27 ? 0, 解得 x1 ? 3, x2 ? ?3.列表:
2 3

x f ?( x)

(–∞, –3)

–3

(–3, 3) – 单调递减

3 0

( 3, +∞)

+

0

+
单调递增

f (x) 单调递增

54

? 54

所以, 当 x = –3 时, f (x)有极大值 54 ; 当 x = 3 时, f (x)有极小值 – 54 .

求下列函数的极值:

(1) f ( x) ? 6 x ? x ? 2; (2) f ( x) ? x ? 27 x; 3 3 (3) f ( x) ? 6 ? 12 x ? x ; (4) f ( x) ? 3x ? x . 解: 2 ? (3) 令f ( x) ? 12 ? 3x ? 0, 解得 x1 ? 2, x2 ? ?2.
2 3

所以, 当 x = –2 时, f (x)有极小值 – 10 ; 当 x = 2 时, f (x)有极大值 22 .

(4) 令f ?( x) ? 3 ? 3x 2 ? 0, 解得 x1 ? 1, x2 ? ?1.
所以, 当 x = –1 时, f (x)有极小值 – 2 ; 当 x = 1 时, f (x)有极大值 2 .

? 例3
? ? ? ?

已知 f(x) = ax3 + bx2 + cx(a≠0) 在 x = ±1时取得极值,且f(1)=-1, (1)试求常数a、b、c的值; (2)试判断x=±1时函数取得极小值还是极 大值,并说明理由. [ 解析 ] (1) 由 f′( - 1) = f′(1) = 0 ,得 3a + 2b +c=0,3a-2b+c=0. 又f(1)=-1,∴a+b+c=-1.

1 3 ∴a=2,b=0,c=-2.

1 3 3 (2)f(x)= x - x, 2 2 3 2 3 3 ∴f′(x)= x - = (x-1)(x+1). 2 2 2 当 x<-1 或 x>1 时,f′(x)>0;当-1<x<1 时,f′(x)<0, ∴函数 f(x)在(-∞,-1)和(1,+∞)上是增函数,在(- 1,1)上为减函数. ∴当 x=-1 时, 函数取得极大值 f(-1)=1; 当 x=1 时, 函数取得极小值 f(1)=-1.

? [点评] 若函数f(x)在x0处取得极值,则一 定有f′(x0)=0,因此我们可根据极值得到 一个方程,来解决参数.

ax+b 变式:设 a>0,(1)证明 f(x)= 2 取得极大值和极小值 1+x 的点各有 1 个; (2)当极大值为 1,极小值为-1 时,求 a 和 b 的值.

[解析]

a(1+x2)-2x(ax+b) (1) 证 明 : f′(x) = = (1+x2)2

-ax2-2bx+a , (1+x2)2 令 f′(x)=0,即 ax2+2bx-a=0.①

∵Δ=4b2+4a2>0,∴方程①有两个不相等的实根,记 为 x1、x2. -ax2-2bx+a 不妨设 x1<x2,则有 f′(x)= =0, 2 2 (1+x ) 即-a(x-x1)(x-x2)=0. f′(x)、f(x)的变化情况如下表:

由上表可见,f(x)取得极大值和极小值的点各有 1 个. ax1+b ax2+b (2)解:由(1)可知 f(x1)= =-1,f(x2)= 2 = 1+x2 1 + x 1 2
2 2 1?-x1 -1=ax1+b 且 1+x2 = ax + b ,两式相加,得 x 2 2 2- 2 x1 =a(x1+x2)+2b.

2b 又 x1+x2=- ,代入上式, a



2b 2 2 x2-x1=a?- ?+2b=0,
?

?

?

a?

2 ∴x2 -x2 1=0,即(x2-x1)(x2+x1)=0.

? 而x1<x2,∴x1+x2=0.∴b=0. ? 代入①式,得a(x2-1)=0. ? ∵a>0 , ∴ x =±1. 再代入 f(x1) 或 f(x2) ,得 a =2. ? ∴a=2,b=0.

思考1. 判断下面4个命题,其中是真命题序号为
① f ?(x0)=0,则f (x0)必为极值; ② f (x)= x 在x=0 处取极大值0, ③函数的极小值一定小于极大值 ④函数的极小值(或极大值)不会多于一个。 ⑤函数的极值即为最值
3



注意:函数极值是在某一点附近的小区间内定义
的,是局部性质。因此一个函数在其整个定义区间 上可能有多个极大值或极小值,并对同一个函数来 说,在某一点的极大值也可能小于另一点的极小值。

思考2

已知函数

f ( x) ? x3 ? ax2 ? (a ? 6) x ? 1

有极大值和极小值,求a范围? 解析 :f(x)有极大值和极小值 f’(x)=0有2实根,

??0
解得 a>6或a<3

练习1:

1 3 y ? x ? 4x ? 4 求 3

在 x ? (0,??) 时极值。

练习2:

3 2 若f(x)=ax +bx -x

在x=1与 x=-1 处有极值. (1)求a、b的值 (2)求f(x)的极值.

练习3:
已知函数f(x)=x2-2(m-1)x+4在区间[1,5]内 的最小值为2,求m的值

练习4 :
设f(x)=ax3+x恰有三个单调区间,试确定实 数a的取值范围,并求出这三个单调区间.

小结:
1个定义: 极值定义 2个关键: ①可导函数y=f(x)在极值点处的f’(x)=0 。 ②极值点左右两边的导数必须异号。 3个步骤: ①确定定义域 ②求f’(x)=0的根 ③并列成表格 用方程f’(x)=0的根,顺次将函数的定义域分成若干个 开 区间,并列成表格由f’(x)在方程f’(x)=0的根左右的 符号,来判断f(x)在这个根处取极值的情况


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