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湖北省部分重点中学2012年11月高三联考


湖北省部分重点中学 2012 年 11 月高三联考

湖北省部分重点中学 2012 年 11 月高三联考

高三数学试卷(理)答案
一、选择题:CACCB 二、填空题:11、 三、解答题: 16(本小题满分 12 分) 、解: (I)因为 cos B ? 又 sin 2 B ? cos 2 CDDBC 12、 60

/>o

1 3

13、 (1, 2)

14、

2 ?

15、

2 2

7 3 ,所以 sin B ? . 4 4

…1 分

A?C π?B ? 2sin B cos B ? cos 2 2 2 1 ? 2sin B cos B ? (1 ? cos B) 2
= 2?

7 3 1 1? 3 7 ? + = . 4 4 8 8

……6 分

(II)由已知得 cos B ?

a 2 ? c2 ? b2 3 ? , 2ac 4

……7 分

2 2 又因为 b ? 3 , 所以 a ? c ? 3 ?

3 ac . 2

……8 分

又因为 a ? c ?
2 2

3 ac ? 3 ? 2ac , 2
6 时, ac 取得最大值.
……11 分

所以 ac ? 6 ,当且仅当 a ? c ? 此时 S?ABC ?

1 1 7 3 7 ac sin B ? ? 6 ? ? . 2 2 4 4

所以 ?ABC 的面积的最大值为

3 7 . 4

………13 分

k ? ? 2,0 ? x ? 6 ?2 x ? 17(本小题满分 12 分) 、解: (Ⅰ)由题意可得: L ? ? ……2 分 x ?8 ?11 ? x, x ? 6 ?
因为 x = 2 时, L = 3 ,所以 3 ? 2 ? 2 ? 所以 k = 18 . (Ⅱ)当 0 < x < 6 时, L = 2 x +

k ?2. 2?8
…5 分

…4 分

18 + 2 .所以 x- 8
18 = 6 .

L = 2 x- 8 + ( )

18 18 18 + 18= - [2(8 - x) + ] + 18 ≤ - 2 2 8 - x ? ( ) x- 8 8- x 8- x

18 ,即 x ? 5 时取得等号.……………………………………10 分 8- x 当 x ? 6 时, L = 11- x 5 . ……………………………………12 分 所以当 x = 5 时, L 取得最大值 6 .
当且仅当 2 8 - x = ( ) 所以当日产量为 5 吨时,每日的利润可以达到最大值 6 万元.……13 分 18(本小题满分 12 分)(Ⅰ)证明:连接 BD . 、 因为四边形 ABCD 为菱形, ?BAD ? 60 ,
?

所以△ ABD 为正三角形.又 Q 为 AD 中点, 所以 AD ? BQ . 因为 PA ? PD , Q 为 AD 的中点, 所以 AD ? PQ . 又 BQ ? PQ ? Q , 所以 AD ? 平面 PQB . (Ⅱ)解:当 t ? 下面证明: 连接 AC 交 BQ 于 N ,连接 MN . 因为 AQ ∥ BC , 所以 ……4 分

1 时, PA ∥平面 MQB . 3

AN AQ 1 ? ? . NC BC 2

因为 PA ∥平面 MQB , PA ? 平面 PAC ,平面 MQB ? 平面 PAC ? MN , 所以 MN ∥ PA .

PM AN 1 ? ? . MC NC 2 1 1 所以 PM ? PC ,即 t ? . 3 3 1 因为 PM ? PC , 3 PM 1 PM AN 1 所以 ? .所以 ? ? , MC 2 MC NC 2 所以 MN ∥ PA .
所以 又 MN ? 平面 MQB , PA ? 平面 MQB , 所以 PA ∥平面 MQB . …8 分

z P M

D Q A x N B y

C

(Ⅲ)解:因为 PQ ? AD , 又平面 PAD ? 平面 ABCD ,交线为 AD , 所以 PQ ? 平面 ABCD . 以 Q 为坐标原点,分别以 QA,QB,QP 所在的直 线为 x, y, z 轴, 建立如图所示的空间直角坐标系 Q ? xyz . 由 PA = PD = AD =2, 则有 A(1,0,0) , B (0, 3 ,0) , P (0,0, 3 ) . 设平面 MQB 的法向量为 n = ( x, y, z ) , 由 PA ? (1,0,? 3 ) , QB ? (0, 3 ,0) 且 n ? PA , n ? QB ,可得 ?

??? ?

??? ?

? x ? 3 z ? 0, ? 3 y ? 0.

令 z ? 1, 得 x ?

3,y ? 0 .

所以 n = ( 3 ,0,1) 为平面 MQB 的一个法向量. 取平面 ABCD 的法向量 m = (0,0,1) , 则 cos m,n ?

m?n 1 1 ? ? , m n 2 ?1 2
……12 分 得

故二面角 M ? BQ ? C 的大小为 60°. 19(本小题满分 12 分) 、解:(1) 若 a ? e 时, 由f
'

? x? ?

1 a ? ?0 x x2

x?a
a ; e

函数 f ? x ? 在区间 ? 0, e ? 是减函数

f ? e ?m i n?

0 ? a ? e 时 函数 f ? x ? 在区间 ? 0, a ? 是减函数, ? a , e ? 是增函数 f ? a ?min ? ln a ;
综上所述:当 a ? e 时, f ? e ?min ?

a e

当 0 ? a ? e 时 f ? a ?min ? ln a (6 分)

(2)由(1)可知, a ? 1 时,函数 f ? x ? 在定义域的最小值为 0,

?

l nx ? 1 ?

1 x

在 ?1, ?? ? 上成立

令x?

k ?1 得 k

l n? k ? 1? lk ? n ?

1 k ?1

令 k ? 1, 2,3, ???(n ? 1) 并累加得 Sn ? 1 ? ln n ? n ? 2 ? (12 分) 20(本小题满分 13 分) 、解: (Ⅰ)因为 Sn ? ? an ? 1 ,所以 a1 = ? a1 - 1 ,

a2 ? a1 ? ? a2 ? 1 , a3 ? a2 ? a1 ? ? a3 ? 1.………1 分
由 a1 = ? a1 - 1 可知: ? ? 1 . 所以 a1 =

?2 ? 1 , a2 = , a3 = . (? - 1)3 (? - 1)2 ?- 1
.所以 ? = 0 或 ? = 2 . ……3 分

因为 a3 = a2 ,

2

所以

?2
(? - 1)3

=

?2
(? - 1) 4

(Ⅱ)假设存在实数 ? ,使得数列 ?an ? 是等差数列,则 2a2 = a1 + a3 .………4 分

2? 1 ?2 2? 2? 2 - 2? + 1 = + = 由(Ⅰ)可得: .所以 ,即 1 = 0 ,矛 (? - 1) 2 ? - 1 (? - 1)3 (? - 1) 2 (? - 1)3
盾.所以不存在实数 ? ,使得数列 ?an ? 是等差数列.………6 分 (Ⅲ)当 ? = 2 时, Sn ? 2an ? 1 .所以 Sn ?1 ? 2an ?1 ? 1(n ? 2) ,且 a1 = 1 . 所以 an ? 2an ? 2an ?1 ,即 an ? 2an ?1 (n ? 2) .所以 an ? 0(n ?N*) ,且 所以,数列 {an } 是以 1 为首项,2 为公比的等比数列,所以 an ? 2 因为 bn ?1 ? an ? bn , (n ? 1, 2,3,?) ,且 b1 ?
n ?1

an ? 2(n ? 2) . an ?1

(n ? N*) . …8 分

3 , 2

所以 bn ? an ?1 ? bn ?1 ? an ?1 ? an ?2 ? bn ?2 ? ? ? an ?1 ? an ? 2 ? ? ? a1 ? b1

? 2 n ? 2 ? 2 n ?3 ? ? ? 1 ?

3 2n ? 1 ? (n ? 2) . 2 2

当 n = 1 时,上式仍然成立. 所以 bn ?

2n ? 1 (n ? N*) . 2

…10 分

an 因为 cn = ,所以 cn = (an + 1)bn

2 ×2n- 1 = .…11 分 2n + 1 (2n- 1 + 1) (2n + 1) n- 1 (2 + 1) 2 2n- 1

2 n- 1 1 1 = n- 1 - n 因为 n- 1 , ……12 分 n (2 + 1) (2 + 1) 2 + 1 2 + 1
所以 Tn ? c1 ? c2 ? ? ? cn

1 1 1 1 1 1 2 2n - 1 = 2( + - 2 + ? + n- 1 - n ) = 1- n = n 2 2+ 1 2+ 1 2 + 1 2 +1 2 +1 2 +1 2 +1
……13 分 21(本小题满分 14 分) 、解: (I) f ?( x ) ? 2 x ? a ? 所以切线的斜率 k ? 2 x 0 ? a ? 整理得 x0 ? ln x0 ? 1 ? 0 .
2

1 ( x ? 0) . x

…2 分

x 2 ? ax 0 ? ln x 0 1 ? 0 , x0 x0

…4 分

显然, x 0 ? 1 是这个方程的解,又因为 y ? x 2 ? ln x ? 1 在 (0,??) 上是增函数, 所以方程 x 2 ? ln x ? 1 ? 0 有唯一实数解.故 x 0 ? 1 . …6 分

1 ? x 2 ? (2 ? a ) x ? a ? ? ln x f ( x ) x 2 ? ax ? ln x x ? (Ⅱ) F ( x ) ? , F ?( x ) ? . …7 分 x x g( x ) e e
设 h( x ) ? ? x 2 ? ( 2 ? a ) x ? a ?
1 1 1 ? ln x ,则 h?( x ) ? ?2 x ? 2 ? ? 2 ? a . x x x

易知 h?( x ) 在 (0,1] 上是减函数,从而 h?( x ) ? h?(1) ? 2 ? a . (1)当 2 ? a ? 0 ,即 a ? 2 时, h?( x ) ? 0 , h( x ) 在区间 (0,1) 上是增函数.
? h(1) ? 0 ,? h( x ) ? 0 在 (0,1] 上恒成立,即 F ?( x ) ? 0 在 (0,1] 上恒成立. ? F (x ) 在区间 (0,1] 上是减函数.

所以, a ? 2 满足题意.

Kss55u K s5u K u

…10 分

(2)当 2 ? a ? 0 ,即 a ? 2 时,设函数 h?( x ) 的唯一零点为 x 0 , 则 h( x ) 在 (0, x0 ) 上递增,在 ( x0 ,1) 上递减. 又∵ h(1) ? 0 ,∴ h( x 0 ) ? 0 . 又∵ h(e ? a ) ? ?e ?2a ? ( 2 ? a )e ? a ? a ? e a ? ln e ? a ? 0 , ∴ h( x ) 在 (0,1) 内有唯一一个零点 x ? , 当 x ? (0, x?) 时, h( x ) ? 0 ,当 x ? ( x?,1) 时, h( x ) ? 0 .

从而 F ( x ) 在 (0, x?) 递减,在 ( x?,1) 递增,与在区间 (0,1] 上是单调函数矛盾. ∴ a ? 2 不合题意. 综合(1) (2)得, a ? 2 . 14 分


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