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北京四中2009-2010第二学期高二数学期中测试卷(理科)


北京四中 2009-2010 学年度第二学期高二数学 期中测试卷 (理)
试卷分为两卷,卷(I)100 分,卷(II)50 分,满分共计 150 分 考试时间:120 分钟

卷(I)
一.选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分 1.函数 y ? x2 ? bx ? c 在 ?0, ??? 是单调函数的充要条件是( A. b ? 0 B. b ? 0 C. b ? 0 ) D. b ? 0

2.

?

2

1

2 xdx ? (

) B.5 C.4 D.3

A.6

3.若 z =1+i(i 是虚数单位) ,则 A.1-i 4. 若 y ?

2 ? z2 ? ( z

) C.1+i D. -1+i

B.-1-i

1 ? x2 ,则 y? ? ( sin x



A.

? 2 x sin x ? (1 ? x 2 ) cos x sin 2 x

B.

? 2 x sin x ? (1 ? x 2 ) cos x sin 2 x

C.

? 2 x sin x ? (1 ? x 2 ) sin x

D.

? 2 x sin x ? (1 ? x 2 ) sin x

5.给出四个命题: (1)函数在闭区间 [ a, b] 上的极大值一定比极小值大 (2)函数在闭区间 [ a, b] 上的最大值一定是极大值 (3)对于 f ( x) ? x 3 ? px2 ? 2 x ? 1,若 | p |? (4)函数 f ( x) 在区间 ( a, b) 上一定不存在最值 其中正确命题的个数是( A.0 B.1 6.下列推理正确的是( ) ) C.2 D.3

6 ,则 f ( x) 无极值

A.由 a(b ? c) ? ab ? ac 类比得到 loga ( x ? y) ? loga x ? loga y B.由 a(b ? c) ? ab ? ac 类比得到 sin( x ? y) ? sin x ? sin y

C.由 (a ? b) ? c ? a ? (b ? c) 类比得到 ( xy) z ? x( yz ) D.由 (ab)n ? a nbn 类比得到 ( x ? y)n ? xn ? y n

7.函数 f ( x) ? x 3 ? ax2 ? bx ? a 2 在 x ? 1 处有极值 10,则点 ( a, b) 为( A. (?4,11) 或 (3, ?3) B. (4, ?5) 或 (?3,9) C. (4, ?5)

) D. (?4,11)

8.函数 f ( x) ? ex ( x2 ? 2 x) 的单调减区间是( A. (??, ? 2) , (0, 2) C. (? 2, 2)

) B. (??, ? 2) , ( 2, ??) D. (??, 2)

9.由直线 x ? A.

15 4

1 1 , x ? 2 ,曲线 y ? 及 x 轴所围成图形的面积是( ) 2 x 17 1 ln 2 B. C. 2 ln 2 D. 2 4

10.若函数 f ( x ) 在 R 上满足 f ( x) ? 2 f (2 ? x) ? x2 ? 8x ? 8 ,则曲线 y ? f ( x) 在点 (1, f (1)) 处的切线方程是( A. y ? 2 x ? 1 ) B. y ? x C. y ? 3 x ? 2 D. y ? ?2 x ? 3

二.填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分
x 11.若函数 y ? a ( a ? 1 )在 [0,1] 上的最大值与最小值之和为 3,则 a =____________。

12.若复数 z 满足 z (1 ? i) ? 1 ? i ( i 是虚数单位),则其共轭复数 z = ____________。

13.函数 y ? cos 2 x 在点 (

?
4

, 0) 处的切线方程是____________。

14.若函数 f ( x ) ?

1 3 x ? (4m ? 1) x 2 ? (15m 2 ? 2m ? 7) x ? 2 在 R 上是增函数, 3

则实数 m 的取值范围是____________。 三.解答题(本大题共 3 小题,每小题 10 分,共 30 分) 15. (本小题满分 10 分)

已知:函数 f ( x) ? ln( x ? a) ? x2 ,当 x ? ?1 时, f ( x ) 取得极值, 求:实数 a 的值,并讨论 f ( x ) 的单调性。 16. (本小题满分 10 分) 用长为 18 m 的钢条围成一个长方体形状的框架(如图) , 要求长方体的长与宽之比为 2 : 1 ,问该长方体的长、宽、高 各为多少时,其体积最大?最大体积是多少? 17. (本小题满分 10 分) 已知:数列 {an } 前 n 项和为 Sn , an ? Sn ? n ,数列 {bn } 中 b1 ? a1 , bn?1 ? an?1 ? an , (1)写出数列 {an } 的前四项; (2)猜想数列 {an } 的通项公式,并加以证明; (3)求数列 {bn } 的通项公式。

卷(Ⅱ)
1.已知 0 ? a ? 2 ,复数 z ? a ? i (i 是虚数单位) ,则 | z | 的取值范围是( A. (1,5) B. (1,3) C. (1, 5) )

D. (1, 3)

2.用数字 1,2,3,4,5 组成的无重复数字的四位偶数的个数为( A.120 B.48 C.24 3.曲线 y ? sin( x ?

) D.8

?
4

)(0 ? x ?

3? ) 与坐标轴围成的面积是( 4
C. 2



A.

2 2

B. 2 ? 2

D. 2 ?

2 2

4.若数列 ?an ? 满足 a1 ? 2 , an ?1 ?

1 ? an * (n?N ) ,则 a3 ? ______, 1 ? an
y

a1 ? a2 ? a3 ?

? a2010 ? ______。
3 2

5.如图, x ? ?1 是函数 f ( x) ? ax ? bx ? cx ? d 的两个极值点,

f '( x) 为函数 f ( x) 的导函数,则不等式 x ? f '( x) ? 0 的解集为______ ______。
6.若函数 f ( x) ? ax ? bx ? cx ? d 满足 f (0) ? f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0 ( 0 ? x1 ? x2 ) ,
3 2

-1

o

1 x

且在区间 [ x2 , ??) 上单调递增,则实数 b 的取值范围是____________。

7.已知: a ? 0, b ? 0 ,且 a ? b ? 1 ,求证: (1) a ? b ? 8.已知:函数 f ( x) ? x 3 ? 6 x ? 5, x ? R , (1)求:函数 f ( x) 的单调区间和极值;

(2) ab ? 2;

1 17 ? 。 ab 4

(2)若关于 x 的方程 f ( x) ? a 有 3 个不同实根,求:实数 a 的取值范围; (3)当 x ? (1,??)时, f ( x) ? k ( x ? 1) 恒成立,求:实数 k 的取值范围。

高二数学 期中测试卷(理)参考答案 卷I
ADCAB C D C CA 11.2; 12. i ; 13. 4 x ? 2 y ? ? ? 0 ; 14.[2,4]; ┈┈┈┈┈┈3

15.解: f ?( x) ? 分

1 3 ? 2 x ,依题意有 f ?(?1) ? 0 ,故 a ? , x?a 2

则 f ( x) ? ln( x ? ) ? x ,定义域为 ? ? , ? ∞? ,
2

3 2

? 3 ? 2

? ?

┈┈┈┈┈┈4



f ?( x) ?

2 x 2 ? 3x ? 1 (2 x ? 1)( x ? 1) ? , 3 3 x? x? 2 2
3 ( ? , ?1) 2 ?
?1
0 极大值

┈┈┈┈┈┈5



x
f ?( x )
f ( x)

1 ( ?1, ? ) 2


?

1 2

1 (? , ??) 2


0 极小值

┈┈┈┈┈┈8 分 16.解:设长方体的宽为 x ( m) , 则长为 2 x(m) ,高为 h ?

18 ? 12 x 3 ? 4.5 ? 3x(m) (0 ? x ? ) . 4 2

┈┈┈┈┈┈2

分 故长方体的体积为 V ( x) ? 2 x (4.5 ? 3 x) ? 9 x ? 6 x (m ) (0 ? x ?
2 2 3 3

3 ). 2

┈┈┈┈┈┈4

分 从而 V / ( x) ? 18x ? 18x 2 ? 18x(1 ? x) . 分 令 V / ( x) ? 0 ,解得 x ? 0 (舍去)或 x ? 1 ,因此 x ? 1 . ┈┈┈┈┈┈5

x
V ?( x )
V ( x)

(0,1)

1
0 极大值

3 (1, ) 2


?

┈┈┈┈┈┈7 分 则在 x ? 1 处 V ( x) 取得极大值,并且这个极大值就是 V ( x) 的最大值, 从而最大体积 V ? V (1) ? 9 ?12 ? 6 ?13 ? 3(m3 ) ; 分 此时长方体的长为 2 m ,高为 1.5m , 答:当长方体的长为 2 m ,宽为 1 m ,高为 1.5m 时,体积最大,最大体积为 3 m 。┈┈10 分 17.解: (1) a1 ? 分 (2)猜想: an ? 1 ?
3

┈┈┈┈┈┈9

1 3 7 15 , a2 ? , a3 ? , a3 ? ; 2 4 8 16

┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈2

1 ,下面用数学归纳法证明: 2n 1 1 ①当 n ? 1 时, a1 ? 1 ? 1 ? ,猜想成立; 2 2 1 ②假设当 n ? k 时猜想成立,即 ak ? 1 ? k , 2

┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈3 分

则当 n ? k ? 1 时, ak ?1 ? S k ?1 ? S k ? (k ? 1) ? ak ?1 ? k ? ak ? ? ak ?1 ? 1 ? 1 ? 即 2ak ?1 ? 2 ?

1 , 2k

1 1 ,∴ ak ?1 ? 1 ? k ?1 ,即当 n ? k ? 1 时猜想也成立, k 2 2 1 * ∴由①②知: n ? N 时 an ? 1 ? n 都成立。 ┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈8 分 2 1 (3)∵ bn?1 ? an?1 ? an ,∴ bn ? an ? an ?1 ? n ( n ? 2 ) , 2

∵ b1 ? a1 ? 分

1 1 * ,∴ bn ? n ( n ? N ) 。 2 2

┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈10

卷 II
CBD 4. ?

1 , ?6 ; 2

5. (??, ?1) ? (0,1) ;

6.b<0;

7. (1)证明: 要证 a ? b ?

2 成立,

只要证: a ? b ? 2 ab ? 2 , 只要证: 2 ab ? 1 ∵ a ? 0, b ? 0 ,∴ ab ? ∴ a? b?

a?b 1 ? ,即 2 ab ? 1 成立, 2 2
┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈4 分

2 成立。

(2)证明:∵ a ? 0, b ? 0 ,∴ ab ? 分

a?b 1 1 ? ,∴ 0 ? ab ? , ┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈5 2 2 4 1 1 1 ? t ? , t ? (0, ] ab t 4

令 t ? ab ( t ? (0, ] ) ,则设 y ? ab ?

1 4

yt? ? 1 ?

1 1 t 2 ?1 ? 2 ,则当 t ? (0, ) 时, yt? ? 0 恒成立, 2 4 t t

1 ┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈8 分 4 1 17 17 1 17 ? ∴当 t ? 时, ymin ? ,∴ y ? 即 ab ? 。┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈10 4 4 4 ab 4
∴ y ? t ? 在区间 (0, ) 是减函数, 分
2 8.解: (1) f ?( x) ? 3( x ? 2) ,令 f ?( x) ? 0 ,则 x1 ? ? 2, x2 ? 2 ,

1 t

x
f ?( x )
f ( x)

(??, ? 2)

? 2
0 极大值

(? 2, 2)


2
0 极小值

( 2, ??)


?

∴ f ( x) 的单调递增区间是 (??, ? 2) , ( 2, ??) ,单调递减区间是 (? 2 , 2 ) ,

f ( x)极大 ? f (? 2) ? 5 ? 4 2 , f ( x)极小 ? f ( 2) ? 5 ? 4 2 ;

┈┈┈┈┈┈┈┈4 y

x

分 (2)由(1)的分析可知 y ? f ( x) 图象的大致形状及走向 ∴当 5 ? 4 2 ? a ? 5 ? 4 2 时, 直线 y ? a 与曲线 y ? f ( x) 有 3 个不同交点, 即方程 f ( x) ? ? 有三解; ┈┈┈┈┈┈┈┈6 分

(3) f ( x) ? k ( x ? 1) 即 ( x ?1)( x2 ? x ? 5) ? k ( x ?1) 。 ∵ x ? 1 ,∴ k ? x ? x ? 5 在 (1, ??) 上恒成立,
2

令 g ( x) ? x ? x ? 5 ? ( x ? ) ?
2 2

1 2

21 ,则 g ( x) 在 (1, ??) 上是增函数, 4
┈┈┈┈┈┈┈┈10

∴ g ( x) ? g (1) ? ?3 ,∴ k ? ?3 。 分


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