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2016届高考数学一轮复习教学案(基础知识+高频考点+解题训练)集合(含解析)


2016 届高考数学一轮复习教学案 集合

[知识能否忆起] 一、元素与集合 1.集合中元素的三个特性:确定性、互异性、无序性. 2.集合中元素与集合的关系: 元素与集合之间的关系有属于和不属于两种,表示符号为∈和?. 3.常见集合的符号表示: 集合 表示 自然数集 N 正整数集 N*或 N+ 整数集 Z 有理数集 Q 实数集 R

4.集合的表示法:列举法、描述法、韦恩图. 二、集合间的基本关系 描述关系 集合 间的 基本 关系 真子集 相等 子集 文字语言 集合 A 与集合 B 中的所有元素都相同 符号语言

A=B A?B 或 B?A A B或B A
??B ?

A 中任意一元素均为 B 中的元素 A 中任意一元素均为 B 中的元素,且 B 中至
少有一个元素 A 中没有 空集是任何集合的子集 空集是任何非空集合的真子集

空集

B(B≠?)

三、集合的基本运算 集合的并集 集合的交集 集合的补集

符号表示

A∪B

A∩B

若全集为 U, 则集合 A 的 补集为?UA

图形表示 意义 {x|x∈A,或 x∈B} {x|x∈A,且 x∈B} {x|x∈U,且 x?A}

[小题能否全取] 1.(2012·大纲全国卷)已知集合 A={x|x 是平行四边形},B={x|x 是矩形},C={x|x 是 正方形},D={x|x 是菱形},则( A.A?B C.D?C ) B.C?B D.A?D

解析:选 B 选项 A 错,应当是 B?A.选项 B 对,正方形一定是矩形,但矩形不一定是 正方形.选项 C 错,正方形一定是菱形,但菱形不一定是正方形.选项 D 错,应当是 D?A. 2.(2012·浙江高考)设集合 A={x|1<x<4},集合 B={x|x2-2x-3≤0},则 A∩(?RB) =( ) A.(1,4) C.(1,3) B.(3,4) D.(1,2)∪(3,4)

解析:选 B 因为?RB={x|x>3,或 x<-1},所以 A∩(?RB)={x|3<x<4}. 3.(教材习题改编)A={1,2,3},B={x∈R|x2-ax+1=0,a∈A},则 A∩B=B 时 a 的 值是( A.2 C.1 或 3 ) B.2 或 3 D.1 或 2

解析:选 D 验证 a=1 时 B=?满足条件;验证 a=2 时 B={1}也满足条件. 4.(2012·盐城模拟 ) 如图,已知 U = {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10} ,集合 A = {2,3,4,5,6,8},B={1,3,4,5,7},C={2,4,5,7,8,9},用列举法写出图中阴影部分

表示的集合为________. 解析:阴影部分表示的集合为 A∩C∩(?UB)={2,8}. 答案:{2,8}

5. (教材习题改编)已知全集 U={-2, -1,0,1,2}, 集合 A=?x?x=

? ? ? ?

,x,n∈Z? n-1 ?

2

?



则?UA=________.

解析:因为 A=?x?x=

? ? ? ?

,x,n∈Z? n-1 ?

2

?



当 n=0 时,x=-2;n=1 时不合题意;

n=2 时,x=2;n=3 时,x=1; n≥4 时,x?Z;n=-1 时,x=-1; n≤-2 时,x?Z.
故 A={-2,2,1,-1}, 又 U={-2,-1,0,1,2},所以?UA={0}. 答案:{0}

1.正确理解集合的概念 研究一个集合,首先要看集合中的代表元素,然后再看元素的限制条件,当集合用 描述法表示时,注意弄清其元素表示的意义是什么.注意区分{x|y=f(x)}、{y|y=f(x)}、{(x,

y)|y=f(x)}三者的不同.
2.注意空集的特殊性 空集是不含任何元素的集合,空集是任何集合的子集.在解题时,若未明确说明集 合非空时,要考虑到集合为空集的可能性.例如:A?B,则需考虑 A=?和 A≠?两种可能的 情况.

元素与集合

典题导入 [例 1] (1)(2012·新课标全国卷)已知集合 A={1,2,3,4,5},B={(x,y)|x∈A,y∈A,x -y∈A},则 B 中所含元素的个数为( A.3 C.8 B.6 D.10 )

(2)已知集合 M={1,m},N={n,log2n},若 M=N,则(m-n)2013=________. [自主解答] (1)∵B={(x,y)|x∈A,y∈A,x-y∈A},A={1,2,3,4,5}, ∴x=2,y=1;x=3,y=1,2;x=4,y=1,2,3;x=5,y=1,2,3,4. ∴B={(2,1),(3,1),(3,2),(4,1),(4,2),(4,3),(5,1),(5,2),(5,3),(5,4)}, ∴B 中所含元素的个数为 10. (2)由 M=N 知

?n=1, ?n=m, ? ? ? 或? ? ? ?log2n=m ?log2n=1,

∴?

? ?m=0, ?n=1 ?

或?

? ?m=2, ?n=2, ?

故(m-n)2 013=-1 或 0. [答案] (1)D (2)-1 或 0 由题悟法 1.研究集合问题,一定要抓住元素,看元素应满足的属性,对于含有字母的集合,在 求出字母的值后,要注意检验集合的元素是否满足互异性.

2.对于集合相等首先要分析已知元素与另一个集合中哪一个元素相等,分几种情况列 出方程(组)进行求解,要注意检验是否满足互异性. 以题试法 1.(1)(2012·北京东城区模拟)设 P、Q 为两个非空实数集合,定义集合 P+Q={a+b|a ∈P,b∈Q},若 P={0,2,5},Q={1,2,6},则 P+Q 中元素的个数为( A.9 C.7 B.8 D.6 )

(2)已知集合 A={a-2,2a2+5a,12},且-3∈A,则 a=________. 解析:(1)∵P+Q={a+b|a∈P,b∈Q},P={0,2,5},Q={1,2,6},∴当 a=0 时,a+b 的值为 1,2,6;当 a=2 时,a+b 的值为 3,4,8;当 a=5 时,a+b 的值为 6,7,11, ∴P+Q={1,2,3,4,6,7,8,11},∴P+Q 中有 8 个元素. (2)∵-3∈A, ∴-3=a-2 或-3=2a2+5a. 3 ∴a=-1 或 a=- . 2 当 a=-1 时,a-2=-3,2a2+5a=-3, 与元素互异性矛盾,应舍去. 3 7 当 a=- 时,a-2=- ,2a2+5a=-3. 2 2 3 ∴a=- 满足条件. 2 答案:(1)B 3 (2)- 2

集合间的基本关系

典题导入

[例 2] (1)(2012·湖北高考)已知集合 A={x|x2-3x+2=0,x∈R},B={x|0<x<5,x ∈N},则满足条件 A?C?B 的集合 C 的个数为( A.1 C.3 B.2 D.4 )

(2)已知集合 A={x|log2x≤2},B=(-∞,a),若 A?B,则实数 a 的取值范围是(c,+ ∞),其中 c=________. [自主解答] (1)由 x2-3x+2=0 得 x=1 或 x=2, ∴A={1,2}. 由题意知 B={1,2,3,4},∴满足条件的 C 可为{1,2},{1,2,3},{1,2,4},{1,2,3,4}. (2)由 log2x≤2,得 0<x≤4, 即 A={x|0<x≤4},而 B=(-∞,a), 由于 A?B,如图所示,则 a>4,即 c=4. [答案] (1)D (2)4 由题悟法 1.判断两集合的关系常有两种方法:一是化简集合,从表达式中寻找两集合间的关系; 二是用列举法表示各集合,从元素中寻找关系. 2.已知两集合间的关系求参数时,关键是将两集合间的关系转化为元素间的关系,进 而转化为参数满足的关系.解决这类问题常常需要合理利用数轴、Venn 图帮助分析.

以题试法 2.(文)(2012·郑州模拟)已知集合 A={2,3},B={x|mx-6=0},若 B?A,则实数 m 的 值为( A.3 C.2 或 3 ) B.2 D.0 或 2 或 3

解析:选 D 当 m=0 时,B=??A;

?6? 当 m≠0 时,由 B=? ??{2,3}可得 ?m?
6 6 =2 或 = 3 ,

m

m

解得 m=3 或 m=2, 综上可得实数 m=0 或 2 或 3. (理)已知集合 A={y|y= 值范围是( ) B.(-2 012,2 013) D.(-2 013,2 011) -x2+2x的值域, 由 t=-x2+2x=-(x-1)2+1≤1, -x2+2x},B={x||x-m|<2 013},若 A∩B=A,则 m 的取

A.[-2 012,2 013] C.[-2 013,2 011] 解析: 选 B 集合 A 表示函数 y= 可得 0≤y≤1,故 A=[0,1].

集合 B 是不等式|x-m|<2 013 的解集, 解之得 m-2 013<x<m+2 013, 所以 B=(m -2 013,m+2 013). 因为 A∩B=A,所以 A?B.

如图,由数轴可得

? ?m-2 013<0, ? ?m+2 013>1, ?
解得-2 012<m<2 013.

集合的基本运算

典题导入 [例 3] (1)(2011·江西高考)若全集 U={1,2,3,4,5,6}, M={2,3}, N={1,4}, 则集合{5,6}

等于(

) B.M∩N D.(?UM)∩(?UN)

A.M∪N C.(?UM)∪(?UN)

(2)(2012·安徽合肥质检)设集合 A={x|x2+2x-8<0},B={x|x<1}, 则图中阴影部分表示的集合为( A.{x|x≥1} C.{x|-8<x<1} [自主解答] (1)∵M∪N={1,2,3,4}, ∴(?UM)∩(?UN)=?U(M∪N)={5,6}. (2)∵x2+2x-8<0, ∴-4<x<2, ∴A={x|-4<x<2}, 又∵B={x|x<1}, ∴图中阴影部分表示的集合为 A∩(?UB)={x|1≤x<2}. [答案] (1)D (2)D ) B.{x|-4<x<2} D.{x|1≤x<2}

将例 3(1)中的条件“M={2,3}”改为“M∩N=N”,试求满足条件的集合 M 的个数. 解:由 M∩N=N 得 M?N. 含有 2 个元素的集合 M 有 1 个,含有 3 个元素的集合 M 有 4 个, 含有 4 个元素的集合 M 有 6 个,含有 5 个元素的集合 M 有 4 个, 含有 6 个元素的集合 M 有 1 个. 因此,满足条件的集合 M 有 1+4+6+4+1=16 个.

由题悟法 1.在进行集合的运算时要尽可能地借助 Venn 图和数轴使抽象问题直观化.一般地, 集合元素离散时用 Venn 图表示;集合元素连续时用数轴表示,用数轴表示时注意端点值的

取舍. 2.在解决有关 A∩B=?,A?B 等集合问题时,一定先考虑 A 或 B 是否为空集,以防漏 解.另外要注意分类讨论和数形结合思想的应用. 以题试法 3. (2012·锦州模拟)已知全集 U=R,集合 A={x|x2-2x>0},B={x|y=lg(x-1)},则 (?UA)∩B 等于( ) B.{x|1<x<2} D.{x|1≤x≤2}

A.{x|x>2,或 x<0} C.{x|1<x≤2} 解析:选 C

A={x|x(x-2)>0}={x|x>2,或 x<0},

B={x|y=lg(x-1)}={x|x-1>0}={x|x>1},
?UA={x|0≤x≤2}. ∴(?UA)∩B={x|1<x≤2}.

1.(2012·新课标全国卷)已知集合 A={x|x2-x-2<0},B={x|-1<x<1},则( A.A B C.A=B B.B A D.A∩B=?

)

解析:选 B A={x|x2-x-2<0}={x|-1<x<2},

B={x|-1<x<1},
所以 B A. 2.(2012·山西四校联考)已知集合 M={0,1},则满足 M∪N={0,1,2}的集合 N 的个数 是( ) A.2 C.4 B.3 D.8

解析:选 C 依题意得,满足 M∪N={0,1,2}的集合 N 有{2},{0,2},{1,2},{0,1,2}共 4 个. 3.设集合 P={3,log2a},Q={a,b},若 P∩Q={0},则 P∪Q=( A.{3,0} C.{3,0,2} B.{3,0,1} D.{3,0,1,2} )

解析:选 B 因为 P∩Q={0},所以 0∈P,log2a=0,a=1,而 0∈Q,所以 b=0.所 以 P∪Q={3,0,1}. 4.(2012·辽宁高考)已知全集 U={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9},集合 A={0,1,3,5,8},集合 B ={2,4,5,6,8},则(?UA)∩(?UB)=( A.{5,8} C.{0,1,3} ) B.{7,9} D.{2,4,6}

解析:选 B 因为 A∪B={0,1,2,3,4,5,6,8},所以(?UA)∩(?UB)=?U(A∪B)={7,9}. 5. (2013·合肥质检)已知集合 A={-2, -1,0,1,2}, 集合 B={x∈Z||x|≤a}, 则满足 A B 的实数 a 的一个值为( A.0 C.2 ) B.1 D.3

解析:选 D 当 a=0 时,B={0}; 当 a=1 时,B={-1,0,1}; 当 a=2 时,B={-2,-1,0,1,2}; 当 a=3 时,B={-3,-2,-1,0,1,2,3}, 显然只有 a=3 时满足条件. 6.已知全集 U=R,集合 A={x|3≤x<7},B={x|x2-7x+10<0},则?U(A∩B)=( A.(-∞,3)∪(5,+∞) C.(-∞,3)∪[5,+∞) B.(-∞,3]∪[5,+∞) D.(-∞,3]∪(5,+∞) )

解析:选 C x2-7x+10<0?(x-2)·(x-5)<0?2<x<5,A∩B={x|3≤x<5}, 故?U(A∩B)=(-∞,3)∪[5,+∞).

7.(2012·大纲全国卷)已知集合 A={1,3, m},B={1,m},A∪B=A,则 m=( A.0 或 C.1 或 3 3 B.0 或 3 D.1 或 3

)

解析:选 B 法一:∵A∪B=A,∴B?A.又 A={1,3, m},B={1,m},∴m=3 或 m =

m.
由 m=

m得 m=0 或 m=1.但 m=1 不符合集合中元素的互异性, 故舍去, 故 m=0

或 m=3. 法二:∵B={1,m},∴m≠1,∴可排除选项 C、D. 又当 m=3 时,A={1,3, 3},B={1,3},满足 A∪B={1,3, 3}=A,故选 B. )

8.设 S={x|x<-1,或 x>5},T={x|a<x<a+8},S∪T=R,则 a 的取值范围是( A.(-3,-1) B.[-3,-1] C.(-∞,-3]∪(-1,+∞) D.(-∞,-3)∪(-1,+∞) 解析:选 A 在数轴上表示两个集合,因为 S∪T=R,由图

可得?

?a<-1, ? ? ?a+8>5,

解得-3<a<-1.

9.若集合 U=R,A={x|x+2>0},B={x|x≥1},则 A∩(?UB)=________. 解析:由题意得?UB=(-∞,1), 又因为 A={x|x+2>0}={x|x>-2}, 于是 A∩(?UB)=(-2,1). 答案:(-2,1) 10. (2012·武汉适应性训练)已知 A, B 均为集合 U={1,2,3,4,5,6}的子集, 且 A∩B={3}, (?UB)∩A={1},(?UA)∩(?UB)={2,4},则 B∩(?UA)=________. 解析:依题意及韦恩图得,B∩(?UA)={5,6}. 答案:{5,6}

? ?2 ? 11.已知 R 是实数集,M=?x? <1? ? ?x ?

,N={y|y=

x-1},则 N∩(?RM)=________.

解析:M={x|x<0,或 x>2},所以?RM=[0,2], 又 N=[0,+∞),所以 N∩(?RM)=[0,2]. 答案:[0,2] 12. (2012·吉林模拟)已知 U=R, 集合 A={x|x2-x-2=0}, B={x|mx+1=0}, B∩(?UA) =?,则 m=________. 1 解析:A={-1,2},B=?时,m=0;B={-1}时,m=1;B={2}时,m=- . 2 1 答案:0,1,- 2 13.(2012·苏北四市调研)已知集合 A={x|x2+a≤(a+1)x,a∈R},存在 a∈R,使得 集合 A 中所有整数元素的和为 28,则实数 a 的取值范围是________. 解析:不等式 x2 + a≤(a + 1)x 可化为 (x - a)(x -1)≤0,由题意知不等式的解集为 {x|1≤x≤a}.A 中所有整数元素构成以 1 为首项,1 为公差的等差数列,其前 7 项和为 + 2 =28,所以 7≤a<8,即实数 a 的取值范围是[7,8).

答案:[7,8) 14.(2012·安徽名校模拟)设集合 Sn={1,2,3,…,n},若 X?Sn,把 X 的所有元素的乘 积称为 X 的容量(若 X 中只有一个元素,则该元素的数值即为它的容量,规定空集的容量为 0).若 X 的容量为奇(偶)数,则称 X 为 Sn 的奇(偶)子集.则 S4 的所有奇子集的容量之和为 ________. 解析:∵S4={1,2,3,4},∴X=?,{1},{2},{3},{4},{1,2},{1,3},{1,4},{2,3},{2,4}, {3,4},{1,2,3},{1,2,4},{1,3,4},{2,3,4},{1,2,3,4}.其中是奇子集的为 X={1},{3},{1,3}, 其容量分别为 1,3,3,所以 S4 的所有奇子集的容量之和为 7. 答案:7

? 1 1. (2012·杭州十四中月考)若集合 A= y?y=lg x, ≤x≤10 10 ?
全集 U=R,则下列结论正确的是( A.A∩B={-1,1} C.A∪B=(-2,2) ) B.(?UA)∪B=[-1,1] D.(?UA)∩B=[-2,2]

? ? ?

? B={-2, -1,1,2}, ?, ?

?1 ? 解析:选 A ∵x∈? ,10?,∴y∈[-1,1], ?10 ?
∴A∩B={-1,1}. 2.设 A 是自然数集的一个非空子集,对于 k∈A,如果 k2?A,且

k?A,那么 k 是 A

的一个“酷元”,给定 S={x∈N|y=lg(36-x2)},设 M?S,且集合 M 中的两个元素都是 “酷元”,那么这样的集合 M 有( A.3 个 C.5 个 ) B.4 个 D.6 个

解析:选 C 由 36-x2>0,解得-6<x<6.又因为 x∈N,所以 S={0,1,2,3,4,5}. 依题意,可知若 k 是集合 M 的“酷元”是指 k2 与 不是“酷元”. 若 k=2, 则 k2=4; 若 k=4, 则 元”. 显然 3 与 5 都是集合 S 中的“酷元”. 综上,若集合 M 中的两个元素都是“酷元”,则这两个元素的选择可分为两类: (1)只选 3 与 5,即 M={3,5}; (2)从 3 与 5 中任选一个,从 2 与 4 中任选一个,即 M={3,2}或{3,4}或{5,2}或{5,4}. 所以满足条件的集合 M 共有 5 个. 3.(2013·河北质检)已知全集 U=R,集合 M={x|x+a≥0},N={x|log2(x-1)<1},若

k都不属于集合 M.显然 k=0,1 都

k=2.所以 2 与 4 不同时在集合 M 中, 才能成为“酷

M∩(?UN)={x|x=1,或 x≥3},那么(
A.a=-1 C.a=1

) B.a≤1 D.a≥1

解析:选 A 由题意得 M={x|x≥-a},N={x|1<x<3},所以?UN={x|x≤1,或 x≥3}, 又 M∩(?UN)={x|x=1,或 x≥3},因此-a=1,a=-1. 4.给定集合 A,若对于任意 a,b∈A,有 a+b∈A,且 a-b∈A,则称集合 A 为闭 集合,给出如下三个结论: ①集合 A={-4,-2,0,2,4}为闭集合; ②集合 A={n|n=3k,k∈Z}为闭集合; ③若集合 A1,A2 为闭集合,则 A1∪A2 为闭集合. 其中正确结论的序号是________. 解析:①中,-4+(-2)=-6?A,所以不正确; ②中设 n1,n2∈A,n1=3k1,n2=3k2,k1,k2∈Z,则 n1+n2∈A,n1-n2∈A,所 以②正确; ③令 A1={-4,0,4},A2={-2,0,2},则 A1,A2 为闭集合,但 A1∪A2 不是闭集合,所 以③不正确. 答案:② 5.已知集合 A={x|x2-2x-3≤0,x∈R},B={x|m-2≤x≤m+2}. (1)若 A∩B=[1,3],求实数 m 的值; (2)若 A??RB,求实数 m 的取值范围. 解:A={x|-1≤x≤3},B={x|m-2≤x≤m+2}.

(1)∵A∩B=[1,3],∴?

? ?m-2=1, ?m+2≥3, ?

得 m=3.

(2)?RB={x|x<m-2,或 x>m+2}. ∵A??RB,∴m-2>3 或 m+2<-1.

∴m>5 或 m<-3. 即 m 的取值范围为(-∞,-3)∪(5,+∞). 6.(2012·衡水模拟)设全集 I=R,已知集合 M={x|(x+3)2≤0},N={x|x2+x-6=0}. (1)求(?IM)∩N; (2)记集合 A=(?IM)∩N,已知集合 B={x|a-1≤x≤5-a,a∈R},若 B∪A=A,求实 数 a 的取值范围. 解:(1)∵M={x|(x+3)2≤0}={-3},

N={x|x2+x-6=0}={-3,2},
∴?IM={x|x∈R 且 x≠-3}, ∴(?IM)∩N={2}. (2)A=(?IM)∩N={2}, ∵A∪B=A,∴B?A,∴B=?或 B={2}, 当 B=?时,a-1>5-a,∴a>3;

当 B={2}时,?

? ?a-1=2, ?5-a=2, ?

解得 a=3,

综上所述,所求 a 的取值范围为{a|a≥3}.

1.现有含三个元素的集合,既可以表示为?a, ,1?,也可表示为{a2,a+b,0},则

? ?

b a

? ?

a2 013+b2 013=________.
解析:由已知得 =0 及 a≠0,所以 b=0,于是 a2=1,即 a=1 或 a=-1,又根据集

b a

合中元素的互异性可知 a=1 应舍去,因此 a=-1,故 a2 013+b2 013=(-1)2 013=-1. 答案:-1 2.集合 S={a,b,c,d,e},包含{a,b}的 S 的子集共有( )

A.2 个 C.5 个

B.3 个 D.8 个

解析:选 D 包含{a,b}的 S 的子集有:{a,b};{a,b,c},{a,b,d},{a,b,e}; {a,b,c,d},{a,b,c,e},{a,b,d,e};{a,b,c,d,e}共 8 个. 3.某班有 36 名同学参加数学、物理、化学课外探究小组,每名同学至多参加两个小 组.已知参加数学、物理、化学小组的人数分别为 26、15、13,同时参加数学和物理小组 的有 6 人, 同时参加物理和化学小组的有 4 人, 则同时参加数学和化学小组的有________人. 解析:由题意知,同时参加三个小组的人数为 0,设同时参加数 学和化学小组的人数为 x,Venn 图如图所示, ∴(20-x)+6+5+4+(9-x)+x=36,解得 x=8. 答案:8 4.已知集合 A={x|x2+2x+a≤0},B={x|a≤x≤4a-9},若 A,B 中至少有一个不是空 集,则 a 的取值范围是________. 解析:若 A,B 全为空集,则实数 a 满足 4-4a<0 且 a>4a-9,即 1<a<3,则满足 题意的 a 的取值范围为(-∞,1]∪[3,+∞). 答案:(-∞,1]∪[3,+∞)

5.(2012·重庆高考)设平面点集 A=(x,y)(y-x)·

? 1? ? ?y- ?≥0?,B={(x,y)|(x-1)2+ ? x? ?
)

(y-1)2≤1},则 A∩B 所表示的平面图形的面积为( 3 A. π 4 4 C. π 7 3 B. π 5 π D. 2

解析:选 D A∩B 表示的平面图形为图中阴影部分,由对称性可 知,SC=SF,SD=SE.因此 A∩B 所表示的平面图形的面积是圆面积的

π 一半,即为 . 2


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