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圆锥曲线练习题


第二章
一、选择题
1. 已知椭圆

圆锥曲线

x2 y2 ? ? 1 上的一点 P 到椭圆一个焦点的距离为 3 , 25 16

则 P 到另一焦点距离为( ) A. 2 B. 3 C. 5 D. 7 2. 若椭圆的对称轴为坐标轴, 长轴长与短轴长的和为 18 , 焦距为 6 , 则椭圆的方程为

( A.



x2 y2 ? ?1 9 16 x2 y2 x2 y2 ? ? 1或 ? ?1 25 16 16 25

B.

x2 y2 ? ?1 25 16

C.

D.以上都不对 )

3.动点 P 到点 M (1,0) 及点 N (3,0) 的距离之差为 2 ,则点 P 的轨迹是( A.双曲线 B.双曲线的一支 C.两条射线 D.一条射线 4.设双曲线的半焦距为 c ,两条准线间的距离为 d ,且 c ? d , 那么双曲线的离心率 e 等于( ) A. 2
2

B. 3

C. 2 )

D. 3

5.抛物线 y ? 10x 的焦点到准线的距离是( A.

15 D. 10 2 2 6.若抛物线 y ? 8x 上一点 P 到其焦点的距离为 9 ,则点 P 的坐标为(
B. 5 C. A. (7, ? 14) B. (14, ? 14) C. (7, ?2 14) D. (?7, ?2 14)

5 2

) 。

二、填空题
1.若椭圆 x ? my ? 1 的离心率为
2 2

3 ,则它的长半轴长为_______________. 2

2.双曲线的渐近线方程为 x ? 2 y ? 0 ,焦距为 10 ,这双曲线的方程为_______________。

3.若曲线

x2 y2 ? ? 1 表示双曲线,则 k 的取值范围是 4 ? k 1? k
2



4.抛物线 y ? 6 x 的准线方程为_____.
2 2 5.椭圆 5x ? ky ? 5 的一个焦点是 (0,2) ,那么 k ?



1

三、解答题
1. k 为何值时,直线 y ? kx ? 2 和曲线 2 x2 ? 3 y 2 ? 6 有两个公共点?有一个公共点? 没有公共点?

2.在抛物线 y ? 4 x2 上求一点,使这点到直线 y ? 4 x ? 5 的距离最短。

3.双曲线与椭圆有共同的焦点 F 1 (0, ?5), F 2 (0,5) ,点 P (3, 4) 是双曲线的渐近线与椭圆的 一个交点,求渐近线与椭圆的方程。

2

4.若动点 P( x, y) 在曲线

x2 y 2 ? 2 ? 1(b ? 0) 上变化,则 x2 ? 2 y 的最大值为多少? 4 b

第二章
[综合训练 B 组] 一、选择题

圆锥曲线

1.如果 x 2 ? ky 2 ? 2 表示焦点在 y 轴上的椭圆,那么实数 k 的取值范围是( A. ?0,??? B. ?0,2? C. ?1,??? D. ?0,1?



2.以椭圆

x2 y2 ? ? 1 的顶点为顶点,离心率为 2 的双曲线方程( 25 16
B.



A.

x2 y2 ? ?1 16 48

x2 y2 ? ?1 9 27

x2 y2 x2 y2 ? ? 1或 ? ?1 C. 16 48 9 27

D.以上都不对

3.过双曲线的一个焦点 F2 作垂直于实轴的弦 PQ , F1 是另一焦点,若∠ PF1Q ? 则双曲线的离心率 e 等于( A. 2 ? 1 4. F1 , F2 是椭圆 B. 2 ) D. 2 ? 2

?
2



C. 2 ? 1

x2 y2 0 ? ? 1 的两个焦点, A 为椭圆上一点,且∠ AF 1 F2 ? 45 ,则 9 7


Δ AF 1 F2 的面积为( A. 7

B.

7 4

C.

7 2

D.

7 5 2

3

5.以坐标轴为对称轴,以原点为顶点且过圆 x 2 ? y 2 ? 2x ? 6 y ? 9 ? 0 的圆心的抛物线的 方程是( ) B. y ? 3x 2 D. y ? ?3x 2 或 y 2 ? 9 x )

A. y ? 3x 2 或 y ? ?3x 2 C. y 2 ? ?9 x 或 y ? 3x 2

6.设 AB 为过抛物线 y 2 ? 2 px( p ? 0) 的焦点的弦,则 AB 的最小值为( A.

p 2

B. p

C. 2 p

D.无法确定

二、填空题
1.椭圆

1 x2 y2 ? ? 1 的离心率为 ,则 k 的值为______________。 2 k ?8 9

2.双曲线 8kx2 ? ky 2 ? 8 的一个焦点为 (0,3) ,则 k 的值为______________。 3.若直线 x ? y ? 2 与抛物线 y 2 ? 4 x 交于 A 、 B 两点,则线段 AB 的中点坐标是______。 4. 对于抛物线 y 2 ? 4 x 上任意一点 Q , 点 P (a, 0) 都满足 PQ ? a , 则 a 的取值范围是____。

5.若双曲线

x2 y2 3 ? ? 1 的渐近线方程为 y ? ? x ,则双曲线的焦点坐标是_________. 4 m 2 x2 y 2 ? ? 1 的不垂直于对称轴的弦, M 为 AB 的中点, O 为坐标原点, a 2 b2

6.设 AB 是椭圆

则 k AB ? kOM ? ____________。

三、解答题
1.已知定点 A(?2, 3) , F 是椭圆 使 AM ? 2 MF 取得最小值。

x2 y 2 ? ? 1 的右焦点,在椭圆上求一点 M , 16 12

4

2. k 代表实数,讨论方程 kx2 ? 2 y 2 ? 8 ? 0 所表示的曲线

3.双曲线与椭圆

x2 y2 ? ? 1 有相同焦点,且经过点 ( 15, 4) ,求其方程。 27 36

4. 已知顶点在原点,焦点在 x 轴上的抛物线被直线 y ? 2 x ? 1 截得的弦长为 15 , 求抛物线的方程。

5

第二章
[提高训练 C 组] 一、选择题

圆锥曲线

1.若抛物线 y 2 ? x 上一点 P 到准线的距离等于它到顶点的距离,则点 P 的坐标为( A. ( , ?



1 4

2 ) 4

B. ( , ?

1 8

2 ) 4

C. ( ,

1 2 ) 4 4

D. ( ,

1 2 ) 8 4

2.椭圆

x2 y2 ? ? 1 上一点 P 与椭圆的两个焦点 F1 、 F2 的连线互相垂直, 49 24
) D. 24

则△ PF1 F2 的面积为( A. 20 B. 22 C. 28

3.若点 A 的坐标为 (3, 2) , F 是抛物线 y 2 ? 2 x 的焦点,点 M 在 抛物线上移动时,使 MF ? MA 取得最小值的 M 的坐标为( A. ?0,0? B. ? ,1? )

?1 ? ?2 ?

C. 1, 2

?

?

D. ?2,2?

4.与椭圆

x2 ? y 2 ? 1 共焦点且过点 Q(2,1) 的双曲线方程是( 4



A.

x2 x2 x2 y2 y2 ? y 2 ? 1 B. ? y 2 ? 1 C. ?1 ? ? 1 D. x 2 ? 2 4 2 3 3

2 2 5.若直线 y ? kx ? 2 与双曲线 x ? y ? 6 的右支交于不同的两点,

那么 k 的取值范围是( A. (?

) B. ( 0,

15 15 , ) 3 3
2

15 15 15 ) C. (? (? ,0 ) D. ,?1 ) 3 3 3

6.抛物线 y ? 2 x 上两点 A( x1 , y1 ) 、 B( x2 , y 2 ) 关于直线 且 x1 ? x 2 ? ? A.

y ? x ? m 对称,

3 2

1 ,则 m 等于( ) 2 5 B. 2 C. D. 3 2

二、填空题
6

1.椭圆

x2 y2 ? ? 1 的焦点 F1 、 F2 ,点 P 为其上的动点,当∠ F1 P F2 为钝角时,点 P 横 9 4


坐标的取值范围是

2. 双曲线 tx2 ? y 2 ? 1 的一条渐近线与直线 2 x ? y ? 1 ? 0 垂直, 则这双曲线的离心率为___。 3.若直线 y ? kx ? 2 与抛物线 y 2 ? 8x 交于 A 、 B 两点,若线段 AB 的中点的横坐标是 2 , 则 AB ? ______。 4.若直线 y ? kx ? 1 与双曲线 x2 ? y 2 ? 4 始终有公共点,则 k 取值范围是 5.已知 A(0, ?4), B(3, 2) ,抛物线 y 2 ? 8x 上的点到直线 AB 的最段距离为__________。 。

三、解答题
180 变化时,曲线 x2 ? y 2 cos ? ? 1怎样变化? 1.当 ?从0 到
0 0

2.设 F1 , F2 是双曲线

x2 y2 ? ? 1 的两个焦点,点 P 在双曲线上,且 ?F1PF2 ? 600 , 9 16

求△ F 1PF 2 的面积。

7

3.已知椭圆

x2 y2 ? ? 1 (a ? b ? 0) , A 、 B 是椭圆上的两点,线段 AB 的垂直 a2 b2 a2 ? b2 a2 ? b2 ? x0 ? . a a

平分线与 x 轴相交于点 P( x0 ,0) .证明: ?

4 .已知椭圆

x2 y 2 ? ? 1 ,试确定 m 的值,使得在此椭圆上存在不同两点关于直线 4 3

y ? 4 x ? m 对称。

8

空间向量与立体几何解答题精选
1.已知四棱锥 P ? ABCD 的底面为直角梯形, AB // DC ,

1 ?DAB ? 90? , PA ? 底面 ABCD ,且 PA ? AD ? DC ? , 2 AB ? 1 , M 是 PB 的中点。 (Ⅰ)证明:面 PAD ? 面 PCD ; (Ⅱ)求 AC 与 PB 所成的角; (Ⅲ)求面 AMC 与面 BMC 所成二面角的大小。

2.如图,在四棱锥 V ? ABCD 中,底面 ABCD 是正方形,侧面 VAD 是正三角形, 平面 VAD ? 底面 ABCD . (Ⅰ)证明: AB ? 平面 VAD ; (Ⅱ)求面 VAD 与面 DB 所成的二面角的大小.

9

3.如图,在四棱锥 P ? ABCD 中,底面 ABCD 为矩形, 侧棱 PA ? 底面 ABCD , AB ? 3 , BC ? 1 , PA ? 2 ,

V D A B C

E 为 PD 的中点. (Ⅰ)求直线 AC 与 PB 所成角的余弦值; (Ⅱ)在侧面 PAB 内找一点 N ,使 NE ? 面 PAC , 并求出点 N 到 AB 和 AP 的距离.

4.如图所示的多面体是由底面为 ABCD 的长方体被截面 AEC1F 所截面而得到的,其中

AB ? 4, BC ? 2, CC1 ? 3, BE ? 1 .
(Ⅰ)求 BF 的长; (Ⅱ)求点 C 到平面 A E C 的距离. 1 F

10

E 在棱 AD 上移 5.如图,在长方体 ABCD ? A 1B 1C1D 1 ,中, AD ? AA 1 ? 1, AB ? 2 ,点
动.(1)证明: D1E ? A 1D ; (2)当 E 为 AB 的中点时,求点 E 到面 ACD1 的距离; (3) AE 等于何值时,二面角 D1 ? EC ? D 的大小为

? . 4

6.如图,在三棱柱 ABC ? A1B1C1 中, AB ? 侧面 BB1C1C , E 为棱 CC1 上异于 C , C1 的一 点, EA ? EB1 ,已知 AB ?

2, BB1 ? 2, BC ? 1, ?BCC1 ?

?
3

,求:

(Ⅰ)异面直线 AB 与 EB1 的距离; (Ⅱ)二面角 A ? EB1 ? A1 的平面角的正切值.

11

7.如图,在四棱锥 P ? ABCD 中,底面 ABCD 为矩形, PD ? 底面 ABCD , E 是 AB 上 一点, PF ? EC . 已知 PD ?

2 , CD ? 2, AE ?

1 , 2

求(Ⅰ)异面直线 PD 与 EC 的距离; ? D (Ⅱ)二面角 E ? P C 的大小. 角 E ? PC ? D 的大小为

? . 4

12

(数学选修 2-1) 第二章
一、选择题 1.D 2.C

圆锥曲线

[基础训练 A 组]

点 P 到椭圆的两个焦点的距离之和为 2a ? 10,10 ? 3 ? 7

2a ? 2b ? 18, a ? b ? 9, 2c ? 6, c ? 3, c2 ? a2 ? b2 ? 9, a ? b ? 1
得 a ? 5, b ? 4 ,?

x2 y 2 x2 y2 ? ? 1或 ? ?1 25 16 16 25

3.D

PM ? PN ? 2, 而MN ? 2 ,? P 在线段 MN 的延长线上
2a 2 c2 ? c, c 2 ? 2a 2 , e2 ? 2 ? 2, e ? 2 c a
2 p ? 10, p ? 5 ,而焦点到准线的距离是 p
点 P 到其焦点的距离等于点 P 到其准线 x ? ?2 的距离,得 xP ? 7, y p ? ?2 14

4.C

5.B 6.C

二、填空题 1. 1, 或2 当 m ? 1 时,

x2 y 2 ? ? 1, a ? 1 ; 1 1 m

当 0 ? m ? 1 时,

y 2 x2 a 2 ? b2 3 1 1 ? ? 1, e 2 ? ? 1 ? m ? , m ? , a 2 ? ? 4, a ? 2 2 1 1 a 4 4 m m
设双曲线的方程为 x2 ? 4 y 2 ? ?,(? ? 0) ,焦距 2c ? 10, c2 ? 25

x2 y 2 ? ? ?1 2. 20 5

当 ? ? 0 时,

x2

?

?

y2

?

? 1, ? ?

?
4

? 25, ? ? 20 ;

4
当 ? ? 0 时,

y2 ?

?
4

?

x2 ? ? 1, ?? ? (? ) ? 25, ? ? ?20 ?? 4

3. (? ?, ?4 ) 4. x ? ?

( 1? , ? ) ( 4? k ) ( ? 1k ? )
2 p ? 6 ,p ? 3 x,? ? p 3 ?? 2 2

0 k, ? (

k 4) ?( ?1 )k ? 或 0,

k 1, ? ?

4

3 2

13

5. 1

y 2 x2 5 ? ? 1, c 2 ? ? 1 ? 4, k ? 1 焦点在 y 轴上,则 5 1 k k

三、解答题 1.解:由 ?

? y ? kx ? 2 ?2 x ? 3 y ? 6
2 2

,得 2 x2 ? 3(kx ? 2)2 ? 6 ,即 (2 ? 3k 2 ) x2 ? 12kx ? 6 ? 0

? ? 144k 2 ? 24(2 ? 3k 2 ) ? 72k 2 ? 48
当 ? ? 72k ? 48 ? 0 ,即 k ?
2

6 6 时,直线和曲线有两个公共点; , 或k ? ? 3 3 6 6 时,直线和曲线有一个公共点; , 或k ? ? 3 3

k 当 ? ?7 2

2

? 4 8 ? ,即 0 k?

k 当 ? ?7 2

2

? 4 8 ? ,即 0 ?

6 6 时,直线和曲线没有公共点。 ?k? 3 3

2.解:设点 P(t , 4t ) ,距离为 d , d ?
2

4t ? 4t 2 ? 5 17

?

4t 2 ? 4t ? 5 17

当t ?

1 1 时, d 取得最小值,此时 P ( ,1) 为所求的点。 2 2

3.解:由共同的焦点 F 1 (0, ?5), F 2 (0,5) ,可设椭圆方程为

y2 x2 ? ? 1; a 2 a 2 ? 25

16 9 y2 x2 ? 1, a 2 ? 40 ? 1 ,点 P(3, 4) 在椭圆上, 2 ? 2 双曲线方程为 2 ? 2 a a ? 25 b 25 ? b
双曲线的过点 P(3, 4) 的渐近线为 y ?

b 25 ? b
2

x ,即 4 ?

b 25 ? b
2

? 3, b2 ? 16

所以椭圆方程为

y 2 x2 y 2 x2 ? ? 1 ;双曲线方程为 ? ? 1 40 15 16 9
2 2

4.解:设点 P(2cos ? , b sin ? ) , x ? 2 y ? 4cos

? ? 2b sin ? ? ?4sin 2 ? ? 2b sin ? ? 4
b 4

2 2 令 T ? x ? 2 y,sin ? ? t ,(?1 ? t ? 1) , T ? ?4t ? 2bt ? 4,(b ? 0) ,对称轴 t ?



b b ? 1,即b ? 4 时, Tmax ? T |t ?1 ? 2b ;当 0 ? ? 1, 即0 ? b ? 4 时, 4 4

14

Tmax

b2 ?T | b? ?4 t? 4 4

? b2 ?b? 4 ? ?4, 0 ? ( x 2 ? 2y m ) a x? ? 4 ?2b ,b ? 4 ?

(数学选修 2-1) 第二章
一、选择题 1.D 焦点在 y 轴上,则

圆锥曲线

[综合训练 B 组]

y 2 x2 2 ? ? 1, ? 2 ? 0 ? k ? 1 2 2 k k

2.C

) a ? 4, c ? 8, b ? 4 3, 当顶点为 (? 4 , 0时,

x2 y 2 ? ? 1; 16 48 y 2 x2 ? ?1 9 27

, 3 ) a ? 3, c ? 6, b ? 3 3, 当顶点为 ( 0 ? 时,
3.C

Δ PF 1F 2 是等腰直角三角形, PF 2 ?F 1F 2 ? 2c, PF 1 ? 2 2c

PF1 ? PF2 ? 2a, 2 2c ? 2c ? 2a, e ?
4.C

c 1 ? ? 2 ?1 a 2 ?1

F1F2 ? 2 2, AF1 ? AF2 ? 6, AF2 ? 6 ? AF1
AF22 ? AF12 ? F1F22 ? 2 AF1 ? F1F2 cos 450 ? AF12 ? 4 AF1 ? 8
7 (6 ? AF1 ) 2 ? AF12 ? 4 AF1 ? 8, AF1 ? , 2

1 7 2 7 S ? ? ?2 2? ? 2 2 2 2
5.D 圆心为 (1, ?3) ,设 x ? 2 py, p ? ? , x ? ?
2 2

1 6

1 y; 3

9 2 , y ? 9x 2 p 6.C 垂直于对称轴的通径时最短,即当 x ? , y ? ? p, AB min ? 2 p 2
设 y ? 2 px, p ?
2

二、填空题

5 1. 4, 或 ? 4

c2 k ? 8 ? 9 1 ? ,k ? 4 ; 当 k ? 8 ? 9 时, e ? 2 ? a k ?8 4
2

当 k ? 8 ? 9 时, e ?
2

c2 9 ? k ? 8 1 5 ? ? ,k ? ? 2 a 9 4 4

15

2. ?1

y2 x2 8 1 ? ? 1, ? ? (? ) ? 9, k ? ?1 焦点在 y 轴上,则 8 1 k k ? ? k k

3. (4, 2)

? y2 ? 4x 2 , x ? 8 x ? 4 ? 0, x1 ? x2 ? 8, y1 ? y2 ? x1 ? x2 ? 4 ? 4 ? ?y ? x ? 2
中点坐标为 (

x1 ? x2 y1 ? y2 , ) ? (4, 2) 2 2

4. ? ??,2?

t2 t2 2 2 2 2 2 设 Q( , t ) ,由 PQ ? a 得 ( ? a) ? t ? a , t (t ? 16 ? 8a) ? 0, 4 4
? 0 a,? t 2 ? 16 ? 8a ? 0, t 2 ? 8a ?16 恒成立,则 8a ? 1 6 2

5. (?

7 , 0 ) 渐近线方程为 y ? ?

m x ,得 m ? 3 ,c ? 2

7,且焦点在 x 轴上

6. ?

b2 a2

M( 设 A( x x ,y ) 1 , y 1 ) , B (2 2,则中点

x1 ? x 2 y 1 ?y 2 y ? y1 , ) ,得 k AB ? 2 , 2 2 x2 ? x1
2

kOM ?

y2 ? y1 y 2 ? y12 2 2 2 , k AB ? kOM ? 2 2 , b2 x1 2? a y 1 ?a b , 2 x2 ? x1 x2 ? x1

b2 x22 ? a2 y22 ? a2b2 , 得 b2 ( x22 ? x12 ) ? a2 ( y22 ? y12 ) ? 0, 即
三、解答题 1.解:显然椭圆

y2 2 ? y12 b2 ? ? x2 2 ? x12 a2

1 x2 y 2 ? ? 1 的 a ? 4, c ? 2, e ? ,记点 M 到右准线的距离为 MN 2 16 12



1 ? e ? , MN ? 2 MF ,即 AM ? 2 MF ? AM ? MN MN 2

MF

当 A, M , N 同时在垂直于右准线的一条直线上时, AM ? 2 MF 取得最小值, 此时 M y ? Ay ? 3 ,代入到

x2 y 2 ? ? 1 得 M x ? ?2 3 16 12

而点 M 在第一象限,? M (2 3, 3) 2.解:当 k ? 0 时,曲线

y2 x2 ? ? 1 为焦点在 y 轴的双曲线; 4 ?8 k

16

当 k ? 0 时,曲线 2 y 2 ? 8 ? 0 为两条平行的垂直于 y 轴的直线; 当 0 ? k ? 2 时,曲线

x2 y 2 ? ? 1 为焦点在 x 轴的椭圆; 8 4 k

当 k ? 2 时,曲线 x2 ? y 2 ? 4 为一个圆; 当 k ? 2 时,曲线

y 2 x2 ? ? 1 为焦点在 y 轴的椭圆。 8 4 k

3.解:椭圆

y 2 x2 y2 x2 ? ? 1 的焦点为 (0, ?3), c ? 3 ,设双曲线方程为 2 ? ?1 36 27 a 9 ? a2
16 15 ? ? 1 ,得 a 2 ? 4, 或36 ,而 a 2 ? 9 , 2 2 a 9?a

过点 ( 15, 4) ,则

? a 2 ? 4 ,双曲线方程为

y 2 x2 ? ?1。 4 5
? y 2 ? 2 px ? y ? 2x ?1 , 消去 y 得

4.解:设抛物线的方程为 y 2 ? 2 px ,则 ?

4 x 2 ? (2 p ? 4) x ? 1 ? 0, x1 ? x2 ?

p?2 1 , x1 x2 ? 2 4

AB ? 1 ? k 2 x1 ? x2 ? 5 ( x1 ? x2 ) 2 ? 4 x1 x2 ? 5 (


p?2 2 1 ) ? 4 ? ? 15 , 2 4

p2 ? p ? 3, p 2 ? 4 p ? 12 ? 0, p ? ?2, 或6 4

? y 2 ? ?4x,或y 2 ? 12x

(数学选修 2-1) 第二章
一、选择题 1.B

圆锥曲线

[提高训练 C 组]

点 P 到准线的距离即点 P 到焦点的距离,得 PO ? PF ,过点 P 所作的高也是中线

1 2 1 2 ? Px ? ,代入到 y 2 ? x 得 Py ? ? ) ,? P( , ? 8 4 8 4
2.D

PF 1 4 , ( P1F ? 1? PF 2 ?
1 2P F ? 1? PF 2 ?96, S 2

P22F ) ? 1 9 6 ,2P ? 1 F
P1 F ? P ?24 2 F

2

P ? 2 F

(22 c ? ) ,相减得 100

17

3.D

MF 可以看做是点 M 到准线的距离,当点 M 运动到和点 A 一样高时, MF ? MA 取
得最小值,即 M y ? 2 ,代入 y 2 ? 2 x 得 M x ? 2 且焦点在 x 轴上,可设双曲线方程为 c2 ? 4 ? 1 ,c ? 3,

4.A

x2 y2 ? ? 1过点 Q(2,1) a2 3 ? a2



4 1 x2 2 ? ? 1 ? a ? 2, ? y2 ? 1 2 2 a 3? a 2

5.D

? x2 ? y 2 ? 6 2 , x ? (kx ? 2)2 ? 6, (1 ? k 2 ) x 2 ? 4kx ? 10 ? 0 有两个不同的正根 ? ? y ? kx ? 2
? 2 ?? ? 40 ? 24k ? 0 ? 15 4k 2 ? 则 ? x1 ? x2 ? ? k ? ?1 ? 0, 得 ? 2 3 1? k ? ?10 ? x1 x2 ? ?0 ? 1? k 2 ?

6.A

k AB ?

x ? x 1 y 2? y 1 y2 ? y1 1 , ) ? ?1, 而y2 ? y1 ? 2( x2 2 ? x12 ), 得x2 ? x1 ? ? ,且( 2 2 2 x2 ? x1 2

在直线 y ? x? m 上,即

y2 ? y 1 x 2? x 1 ? ? m, y2 ? y 1 ? x 2? x ? 1 2m 2 2
2 x ] x x m ? 2 x 1 ? 2? 1? 2m , 2 3 3m ,? 2

2 2 (x2 2 ? x12 )? x2 ? x1 ? 2 m, 2 [ x (2 ? x 1 )?

二、填空题 1. (?

3 5 3 5 2 2 , ) 可以证明 PF1 ? a ? ex, PF2 ? a ? ex, 且 P F 1 ? PF 2 ? 5 5 5e ,? 5 2 ,则 (a ? e x ) ? ( a? e 2 x ) ? ( 22 c) , 2 2 a? 3
2

2 F 1 F 2

而 a ? 3 , b ? 2 ,c ?

2 e 2x ?

2 2 20 e , x ?

1

x2 ?

1 1 1 3 5 3 5 ,? ? x ? ,即? ?e? 2 e e e 5 5

2.

5 2

渐近线为 y ? ? t x ,其中一条与与直线 2 x ? y ? 1? 0 垂直,得 t ?

1 1 ,t ? 2 4

x2 ? y 2 ? 1 ,a ? 2c, ? 4

5 e? ,

5 2

18

3. 2 15

? y 2 ? 8x 4k ? 8 , k 2 x 2 ? (4k ? 8) x ? 4 ? 0, x1 ? x2 ? ?4 ? k2 ? y ? kx ? 2
2 得 k ? ?1, 或2 ,当 k ? ?1 时, x ? 4 x ? 4 ? 0 有两个相等的实数根,不合题意

当 k ? 2 时, AB ? 1 ? k 4. ?1, ?

2

x1 ? x2 ? 5 ( x1 ? x2 ) 2 ? 4 x1 x2 ? 5 16 ? 4 ? 2 15

5 2

? x2 ? y 2 ? 4 2 , x ? (kx ? 1)2 ? 4,(1 ? k 2 ) x ? 2kx ? 5 ? 0 ? ? y ? kx ? 1

当 1 ? k 2 ? 0, k ? ?1 时,显然符合条件;
2 当 1 ? k ? 0 时,则 ? ? 20 ? 16k ? 0, k ? ?
2

5 2

5.

3 5 5

直线 AB 为 2 x ? y ? 4 ? 0 ,设抛物线 y 2 ? 8x 上的点 P(t , t 2 )

d?
三、解答题

2t ? t 2 ? 4 5
0

?

t 2 ? 2t ? 4 (t ? 1)2 ? 3 3 3 5 ? ? ? 5 5 5 5

1.解:当 ? ? 0 时, cos 0 ? 1 ,曲线 x 2 ? y 2 ? 1为一个单位圆;
0 0 0 当 0 ? ? ? 90 时, 0 ? cos ? ? 1,曲线

y2 x2 ? ? 1 为焦点在 y 轴上的椭圆; 1 1 cos ?

当 ? ? 90 时, cos90 ? 0 ,曲线 x ? 1 为两条平行的垂直于 x 轴的直线;
0
0 2

当 90 ? ? ? 180 时, ?1 ? cos ? ? 0 ,曲线
0 0

x2 y2 ? ? 1 为焦点在 x 轴上的双曲线; 1 ? 1 cos ?

2 2 当 ? ? 180 时, cos180 ? ?1 ,曲线 x ? y ? 1为焦点在 x 轴上的等轴双曲线。
0 0

2.解:双曲线

x2 y2 ? ? 1 的 a ? 3, c ? 5, 不妨设 PF1 ? PF2 ,则 PF1 ? PF2 ? 2a ? 6 9 16

F1F22 ? PF12 ? PF22 ? 2PF1 ? PF2 cos600 ,而 F1F2 ? 2c ? 10
得 PF 1 ? PF 2 ? PF 1 ? PF 2 ? ( PF 1 ? PF 2 ) ? PF 1 ? PF 2 ? 100
2 2 2

19

PF1 ? PF2 ? 64, S ?

1 PF1 ? PF2 sin 600 ? 16 3 2
x1 ? x2 y1 ? y2 y ?y , ) ,得 k AB ? 2 1 , 2 2 x2 ? x1

3.证明:设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) ,则中点 M (

b2 x12 ? a2 y12 ? a2b2 , b2 x22 ? a2 y22 ? a2b2 , 得 b2 ( x22 ? x12 ) ? a2 ( y22 ? y12 ) ? 0,


x ? x1 y2 2 ? y12 b2 , AB 的垂直平分线的斜率 k ? ? 2 , ? ? 2 2 2 y2 ? y1 x2 ? x1 a y1 ? y2 x ?x x ?x ? ? 2 1 ( x ? 1 2 ), 2 y2 ? y1 2

AB 的垂直平分线方程为 y ?

当 y ? 0 时, x0 ?

y22 ? y12 ? x22 ? x12 b2 x ? x ? (1 ? 2 ) 2 1 2( x2 ? x1 ) a 2
a 2 ? b2 a 2 ? b2 ? x0 ? . a a

而 ?2a ? x2 ? x1 ? 2a ,??

4.解:设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) , AB 的中点 M ( x0 , y0 ) , k AB ?

y2 ? y1 1 ?? , x2 ? x1 4

而 3x12 ? 4 y12 ? 12, 3x22 ? 4 y22 ? 12, 相减得 3( x22 ? x12 ) ? 4( y22 ? y12 ) ? 0, 即 y1 ? y2 ? 3( x1 ? x2 ),? y0 ? 3x0 , 3x0 ? 4x0 ? m, x0 ? ?m, y0 ? ?3m 而 M ( x0 , y0 ) 在椭圆内部,则

m 2 9m 2 2 3 2 3 ? ? 1, 即 ? 。 ?m? 4 3 13 13

20


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