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浙江省台州市书生中学2014-2015学年高一上学期期中数学试卷 Word版含解析


2014-2015 学年浙江省台州市书生中学高一(上)期中数学试卷
一、选择题(每小题 3 分,共 39 分.) 1. (3 分)集合 A={x∈Z|﹣1<x<3}的元素个数是() A.1 B. 2 C. 3 2. (3 分)函数 A.(0,+∞) 在[1,2]上的值域为() B.(0, ] C.(0, ]
2

D.4

/>D.[

]

3. (3 分)已知全集 U={﹣1,1,3},集合 A={a+2,a +2},且 CUA={﹣1},则 a 的值是() A.﹣1 B. 1 C. 3 D.±1

4. (3 分)设 f(x)= A.2 B. 3
x

,则 f[f(2)]=() C. 9 D.18

5. (3 分)已知 f(x)=a ,g(x)=logax(a>0,a≠1) ,若 f(3)?g(3)<0,那么 f(x)与 g(x)在同一坐标系内的图象可能是下图中的()

A.

B.

C.

D.

6. (3 分)设 a=3 A.c<b<a

,b=3

,c=log3 则它们的大小关系() C.a<b<c D.a<c<b

B.c<a<b
x
﹣x

7. (3 分)函数 f(x)=2 +2 的图象关于()对称. A.坐标原点 B.直线 y=x C. x 轴
5 3

D.y 轴

8. (3 分)已知 f(x)=x ﹣ax +bx+2 且 f(﹣5)=17,则 f(5)的值为() A.﹣13 B.13 C.﹣19 D.19 9. (3 分)若函数 y=a +b﹣1(a>0 且 a≠1)的图象经过第二、三、四象限,则一定有() A.0<a<1,且 b>0 B.a>1,且 b>0 C.0<a<1,且 b<0 D.a>1,且 b<0
x

10. (3 分)已知 f(x)是奇函数,且 f(x+2)=f(x) ,当 0≤x≤1 时,f(x)=2x(1﹣x) ,则 f(﹣ )=() A. B. ﹣ C. D.﹣

11. (3 分)函数

的单调递减区间为()

A.

B.

C.

D.

12. (3 分)已知 f(x)是奇函数,且当 x>0 时,f(x)=x|x﹣2|,则 x<0 时,f(x)的表达 式为() A.f(x)=x|x+2| B.f(x)=x|x﹣2| C.f(x)=﹣x|x+2| D.f(x)=﹣x|x﹣2|

13. (3 分)已知

是 R 上的减函数,则 a 的取值范围是()

A.(0,1)

B.

C.

D.

二、填空题(每小题 3 分,共 21 分.) 14. (3 分)函数 的定义域为.

15. (3 分)幂函数 f(x)=x (α∈R) 过点
2x﹣1

α

,则 f(4)=.

16. (3 分)函数 f(x)=a

+3(a>0 且 a≠1)恒过定点.

17. (3 分)已知函数 f(x)=|2x﹣1|﹣|2x+1|,若 f(a)=2,则 f(﹣a)=. 18. (3 分)已知 =.

19. (3 分)已知定义在 R 上的偶函数 f(x)满足 f(﹣1)=0,并且 f(x)在(﹣∞,0)上 为增函数.若 af(a)<0,则实数 a 的取值范围是. 20. (3 分)若函数 y=f(x)对定义域的每一个值 x1,都存在唯一的 x2 使 f(x1)f(x2)=1 成 立,则称此函数为“梦想函数”.下列说法正确的是. (把你认为正确的序号填上)

①y=

是“梦想函数”;②y=2 是“梦想函数”;③y=lnx 是“梦想函数”;

x

④若 y=f(x) ,y=g(x)都是“梦想函数”,且定义域相同,则 y=f(x)g(x)是“梦想函数”.

三、解答题(本大题共 5 小题,共 40 分.解答应写出必要的文字说明,证明过程或演算步骤.) 21. (6 分)已知集合 U=R,A={x|x ﹣4x+3≤0}, (Ⅰ)集合 A 与 B; (Ⅱ)A∪B.
2

.求:

22. (6 分) (1)化简:0.027
2

﹣(﹣ ) +256

﹣2

﹣3 +(

﹣1



0

(2)化简:log3(9×27 )+log26﹣log23+log43×log316. 23. (8 分)已知函数 f(x)=loga(2﹣x)﹣loga(2+x) (a>0,且 a≠1) (1)判断函数 f(x)的奇偶性,并说明理由. (2)若 ,求使 f(x)>0 成立 x 的集合.

24. (10 分)已知函数 f(x)=

,x∈(﹣1,1)

(Ⅰ)若 x∈(0,1)试判断此时函数 f(x)的单调性并利用定义证明; (Ⅱ)若设 g(x)=f(x)+f(﹣x) ,求函数 g(x)的值域. 25. (10 分)已知函数 f(x)=3x ﹣6x﹣5. (1)求不等式 f(x)>4 的解集; 2 (2)设 g(x)=f(x)﹣2x +mx,其中 m∈R,求 g(x)在区间[l,3]上的最小值; 2 (3)若对于任意的 a∈[1,2],关于 x 的不等式 f(x)≤x ﹣(2a+6)x+a+b 在区间[1,3]上恒 成立,求实数 b 的取值范围.
2

2014-2015 学年浙江省台州市书生中学高一(上)期中数 学试卷
参考答案与试题解析

一、选择题(每小题 3 分,共 39 分.) 1. (3 分)集合 A={x∈Z|﹣1<x<3}的元素个数是() A.1 B. 2 C. 3

D.4

考点: 集合中元素个数的最值. 专题: 计算题. 分析: 判断集合 A 中,整数的个数,即可得到结果. 解答: 解:∵集合 A={x∈Z|﹣1<x<3}={0,1,2}, ∴集合 A 中元素的个数是 3. 故选:C. 点评: 本题考查集合的求法,元素个数问题,基本知识的考查. 在[1,2]上的值域为() B.(0, ] C.(0, ] D.[ ]

2. (3 分)函数 A.(0,+∞)

考点: 指数函数单调性的应用;函数的值域. 专题: 计算题;函数的性质及应用. 分析: 判断指数函数的单调性,然后求出值域即可. 解答: 解:函数 ∴ . 在[1,2]上是减函数,

故选:D. 点评: 本题考查指数函数的单调性的应用,函数的值域的求法,考查基本知识的应用. 3. (3 分)已知全集 U={﹣1,1,3},集合 A={a+2,a +2},且 CUA={﹣1},则 a 的值是() A.﹣1 B. 1 C. 3 D.±1 考点: 补集及其运算. 专题: 计算题. 分析: 通过 CUA={﹣1},说明 1,3 是集合 A 的元素,求出 a 的值即可. 2 解答: 解:因为全集 U={﹣1,1,3},集合 A={a+2,a +2},且 CUA={﹣1}, 所以 1,3 是集合 A 的元素, 所以 或 ,
2



得 a=﹣1,

解:

无解.

所以 a=﹣1. 故选 A. 点评: 本题考查集合的基本运算,元素与集合的基本关系,考查计算能力.

4. (3 分)设 f(x)= A.2 B. 3 C. 9

,则 f[f(2)]=() D.18

考点: 函数的值. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 由已知得 f(2)= ,由此能求出 f[f(2)]=f(1)=2e
1﹣1

=2.

解答: 解:∵f(x)= ∴f(2)=
1﹣1





f[f(2)]=f(1)=2e =2. 故选:A. 点评: 本题考查函数值的求法,是基础题,解题时要认真审题,注意分段函数的性质的合 理运用. 5. (3 分)已知 f(x)=a ,g(x)=logax(a>0,a≠1) ,若 f(3)?g(3)<0,那么 f(x)与 g(x)在同一坐标系内的图象可能是下图中的()
x

A.

B.

C.

D.

考点: 对数函数的图像与性质;函数的图象. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 根据条件 f(3)?g(3)<0,确定 a 的取值范围,然后利用指数函数和对数函数的 单调性进行判断. 3 解答: 解:∵f(3)=a >0, ∴由 f(3)?g(3)<0,得 g(3)<0, 即 g(3)=loga3<0, ∴0<a<1, x ∴f(x)=a ,g(x)=logax(a>0,a≠1) ,都为单调递减函数, 故选:C. 点评: 本题主要考查函数图象的识别和判断,利用指数函数的性质先判断 f(3)>0 是解决 本题的关键.

6. (3 分)设 a=3 A.c<b<a

,b=3

,c=log3 则它们的大小关系() C.a<b<c D.a<c<b

B.c<a<b

考点: 不等关系与不等式;有理数指数幂的化简求值. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 考查指数函数与对数函数的性质,并与 0、1 比较,容易得出 a、b、c 的大小. 解答: 解:考查指数函数 y=3 ,是定义域上的增函数,且 < ,∴0< 考查对数函数 y=log3x,是定义域上的增函数,且 <1,∴log3 <0;
x





∴log3 <





即 c<a<b; 故选:B. 点评: 本题考查了利用指数函数与对数函数的性质与应用,是基础题. 7. (3 分)函数 f(x)=2 +2 的图象关于()对称. A.坐标原点 B.直线 y=x C. x 轴
x
﹣x

D.y 轴

考点: 奇偶函数图象的对称性. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 根据已知函数的解析式,求出函数的奇偶性,进而根据偶函数的图象关于 y 轴对称 得到答案. 解答: 解:函数 f(x)=2 +2 的定义域为 R ﹣x x ∵f(﹣x)=2 +2 =f(x) ∴函数 f(x)为偶函数, 故函数的图象关于 y 轴对称 故选 D 点评: 本题考查的知识点是奇偶函数的图象的对称性质,其中分析出函数的奇偶性是解答 的关键. 8. (3 分)已知 f(x)=x ﹣ax +bx+2 且 f(﹣5)=17,则 f(5)的值为() A.﹣13 B.13 C.﹣19 D.19 考点: 函数奇偶性的性质;函数的值. 专题: 计算题. 分析: 函数 f(x)可看成是有一个奇函数与一常数的和,根据这一奇函数的性质进行求解 即可. 5 3 解答: 解:∵g(x)=x ﹣ax +bx 是奇函数 ∴g(﹣x)=﹣g(x)
5 3 x
﹣x

∵f(﹣5)=17=g(﹣5)+2 ∴g(5)=﹣15 ∴f(5)=g(5)+2=﹣15+2=﹣13 故选 A. 点评: 本题主要考查了函数奇偶性的应用,以及函数值的求解等有关知识,属于基础题. 9. (3 分)若函数 y=a +b﹣1(a>0 且 a≠1)的图象经过第二、三、四象限,则一定有() A.0<a<1,且 b>0 B.a>1,且 b>0 C.0<a<1,且 b<0 D.a>1,且 b<0 考点: 指数函数的图像与性质. 专题: 数形结合. 分析: 观察到函数是一个指数型的函数,不妨作出其图象,从图象上看出其是一个减函数, 并且是由某个指数函数向下平移而得到的,故可得出结论. 0 解答: 解:如图所示,图象与 y 轴的交点在 y 轴的负半轴上(纵截距小于零) ,即 a +b﹣1 <0,且 0<a<1, ∴0<a<1,且 b<0.故选 C. 故应选 C.
x

点评: 考查指数型函数的图象与性质,本题由函数的图象可以看出其变化趋势,由图象特 征推测出参数的范围. 10. (3 分)已知 f(x)是奇函数,且 f(x+2)=f(x) ,当 0≤x≤1 时,f(x)=2x(1﹣x) ,则 f(﹣ )=() A. B. ﹣ C. D.﹣

考点: 函数奇偶性的性质. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 当 0≤x≤1 时,f(x)=2x(1﹣x) ,可得 = .由于 f(x)是奇函数,可得 .由于 f(x+2)=f(x) ,可得 f(﹣ ) =﹣ .

解答: 解:∵当 0≤x≤1 时,f(x)=2x(1﹣x) , ∴ = = . .

∵f(x+2)=f(x) ,∴f(﹣ )= ∵f(x)是奇函数,



=﹣

=﹣ .

∴f(﹣ )=﹣ . 故选:D. 点评: 本题考查了函数的奇偶性、周期性,考查了推理能力与计算能力,属于基础题.

11. (3 分)函数

的单调递减区间为()

A.

B.

C.

D.

考点: 复合函数的单调性. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 先求出函数的定义域,令 t=﹣x +3x﹣2,则 y= y=
2

,判断 t=﹣x +3x﹣2 及

2

的单调性,根据复合函数单调性的判断方法可求 f(x)的单调减区间.
2

解答: 解:由﹣x +3x﹣2>0 解得 1<x<2, 所以函数 f(x)的定义域为(1,2) , 令 t=﹣x +3x﹣2,则 y= 上递减, 所以 f(x)在(1, )上递减, 故选 B. 点评: 本题考查复合函数的单调性、二次函数及对数函数的单调性,复合函数单调性的判 断方法是:“同增异减”,应准确把握. 12. (3 分)已知 f(x)是奇函数,且当 x>0 时,f(x)=x|x﹣2|,则 x<0 时,f(x)的表达 式为() A.f(x)=x|x+2| B.f(x)=x|x﹣2| C.f(x)=﹣x|x+2| D.f(x)=﹣x|x﹣2| 考点: 函数解析式的求解及常用方法. 专题: 计算题;函数的性质及应用. 分析: 设 x<0, 则﹣x>0, 又当 x>0 时, f (x) =x|x﹣2|, 故f (﹣x) =﹣x|﹣x﹣2|=﹣x|x+2|, 由奇函数的性质化简即得. 解答: 解:设 x<0,则﹣x>0,又当 x>0 时,f(x)=x|x﹣2|, 故 f(﹣x)=﹣x|﹣x﹣2|=﹣x|x+2|,又函数为奇函数, 故﹣f(x)=f(﹣x)=﹣x|x+2|, 即 f(x)=x|x+2|, 故选 A
2

单调递减,且 t=﹣x +3x﹣2 在(1, )上递增,在( ,2)

2

点评: 本题考查函数解析式的求解,整体代入即函数奇偶性的应用是解决问题的关键,属 基础题.

13. (3 分)已知

是 R 上的减函数,则 a 的取值范围是()

A.(0,1)

B.

C.

D.

考点: 函数单调性的性质. 专题: 计算题. 分析: 由题意可得 0<a<1,且 3a﹣1<0, (3a﹣1)×1+4a>a,于是可求得 a 的取值范围. 解答: 解:∵f(x)= 是 R 上的减函数,

∴0<a<1,①且 3a﹣1<0,②(3a﹣1)×1+4a≥a,③ 由①②③得: ≤a< . 故选 B. 点评: 本题考查函数单调性的性质,难点在于对“f(x)= 是R上

的减函数”的理解与应用,易错点在于忽视“(3a﹣1)×1+4a≥a”导致解的范围扩大,考查思维 的缜密性,属于中档题. 二、填空题(每小题 3 分,共 21 分.) 14. (3 分)函数 的定义域为{x|x≥﹣2 且 x≠﹣1}.

考点: 函数的定义域及其求法. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 根据根式函数的取值意义求函数的定义域. 解答: 解:要使函数有意义,则 ,即 ,

∴x≥﹣2 且 x≠﹣1. 即函数的定义域为{x|x≥﹣2 且 x≠﹣1}. 故答案为:{x|x≥﹣2 且 x≠﹣1}. 点评: 本题主要考查函数定义域的求法,要求熟练掌握常见函数的定义域求法.

15. (3 分)幂函数 f(x)=x (α∈R) 过点

α

,则 f(4)=2.

考点: 幂函数的性质.

专题: 函数的性质及应用. 分析: 把幂函数 y=x 的图象经过的点(2, ) 代入函数的解析式,求得 α 的值,即可得 到函数解析式,从而求得 f(4)的值. α α 解答: 解:∵已知幂函数 y=x 的图象过点(2, ) ,则 2 = , ∴α= ,故函数的解析式为 f(x)=x ,
α

∴f(4)=4

=2,

故答案为:2. 点评: 本题主要考查用待定系数法求函数的解析式,根据函数的解析式求函数的值,属于 基础题.
2x﹣1

16. (3 分)函数 f(x)=a

+3(a>0 且 a≠1)恒过定点



考点: 指数函数的单调性与特殊点. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 令 2x﹣1=0,此时 y=1+3,可得所给的函数的图象恒过定点 解答: 解:指数数函数的定义,令 2x﹣1=0,此时 y=a +3=4, 故函数 f(x)=a 故答案为:
2x﹣1 0



+3(a>0 且 a≠1)恒过定点 .



点评: 本题考点是指数函数的单调性与特殊点,考查指数函数恒过定点的问题,由指数函 数定义可直接得到幂指数为 0 时,指数式的值一定为 0,利用此规律即可求得函数图象恒过定 点的坐标,属于基础题. 17. (3 分)已知函数 f(x)=|2x﹣1|﹣|2x+1|,若 f(a)=2,则 f(﹣a)=﹣2. 考点: 函数的值. 专题: 计算题. 分析: 表示出 f(a)与 f(﹣a) ,由其表达式可知其为相反数. 解答: 解:∵f(a)=2, ∴|2a﹣1|﹣|2a+1|=2, ∴f(﹣a)=|﹣2a﹣1|﹣|﹣2a+1|=|2a+1|﹣|2a﹣1|=﹣2, 故答案为:﹣2. 点评: 本题考查函数值的计算,属基础题.

18. (3 分)已知

=1.

考点: 对数的运算性质.

专题: 计算题. 分析: 首先分析题目已知 2 =5 =10,求 来代入
x y

的值,故考虑到把 x 和 y 用对数的形式表达出

,再根据对数的性质以及同底对数和的求法解得,即可得到答案.
x y

解答: 解:因为 2 =5 =10, 10 10 故 x=log2 ,y=log5 =1 故答案为:1. 点评: 此题主要考查对数的运算性质的问题,对数函数属于三级考点的内容,一般在高考 中以选择填空的形式出现,属于基础性试题同学们需要掌握. 19. (3 分)已知定义在 R 上的偶函数 f(x)满足 f(﹣1)=0,并且 f(x)在(﹣∞,0)上 为增函数.若 af(a)<0,则实数 a 的取值范围是(﹣1,0)∪(1,+∞) . 考点: 函数奇偶性的性质. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 当 a<0 时,由 af(a)<0 可化为 f(a)>0,利用 f(﹣1)=0,并且 f(x)在(﹣ ∞,0)上为增函数, 可得﹣1<a<0.同理可得:当 a>0 时,由 af(a)<0 可化为 f(a)<0,由于偶函数 f(﹣1) =0,并且 f(x)在(﹣∞,0)上为增函数,可得 f(1)=0,并且 f(x)在(0,+∞)上为减 函数,即可得出. 解答: 解:①当 a<0 时,由 af(a)<0 可化为 f(a)>0, ∵f(﹣1)=0,并且 f(x)在(﹣∞,0)上为增函数,∴﹣1<a<0. ②当 a>0 时,由 af(a)<0 可化为 f(a)<0, ∵偶函数 f(﹣1)=0,并且 f(x)在(﹣∞,0)上为增函数, ∴f(1)=0,并且 f(x)在(0,+∞)上为减函数, ∴a>1. 综上可得:实数 a 的取值范围是(﹣1,0)∪(1,+∞) . 故答案为: (﹣1,0)∪(1,+∞) . 点评: 本题考查了函数的奇偶性和单调性,考查了推理能力,属于中档题. 20. (3 分)若函数 y=f(x)对定义域的每一个值 x1,都存在唯一的 x2 使 f(x1)f(x2)=1 成 立,则称此函数为“梦想函数”.下列说法正确的是②. (把你认为正确的序号填上) ①y= 是“梦想函数”;②y=2 是“梦想函数”;③y=lnx 是“梦想函数”;
x

④若 y=f(x) ,y=g(x)都是“梦想函数”,且定义域相同,则 y=f(x)g(x)是“梦想函数”. 考点: 命题的真假判断与应用. 专题: 新定义. 分析: ①假设 y=f(x)= 是“梦想函数”,其定义域为 A={x|x≠0}.

对于?x1∈A,
x

成立,取 x1=1,则 x2=±1,不满足新定义;

②假设 y=f(x)=2 是“梦想函数”,其定义域是 R. 对于?x1∈R, 成立,解得 x2=﹣x1,满足条件;

③假设 y=f(x)是 lnx 是“梦想函数”,其定义域是 A=(0,+∞) . 对于?x1∈A,lnx1lnx2=1 成立,当取 x1=1 时,lnx1=0,上式不成立,即可判断出; ④假设 y=f(x)?g(x)是“梦想函数”,对于定义域中每一个 x1,都存在唯一的 x2, 使 y=f(x1)f(x2)=1 和 y=g(x1)g(x2)=1 成立,e 而两个 x2 不一定相等,不满足定义. 解答: 解:①假设 y=f(x)= 是“梦想函数”,其定义域为 A={x|x≠0}. ,化为|x1x2|=1.

对于?x1∈A,则?唯一的 x2∈A,使得 f(x1)f(x2)=1 成立,即

若取 x1=1,则 x2=±1,与假设矛盾,因此假设错误,即 y=f(x)= ②假设 y=f(x)=2 是“梦想函数”,其定义域是 R. ?x1∈R,则?唯一的 x2∈R,使得 f(x1)f(x2)=1 成立,即
x x

不是“梦想函数”;

成立,∴



解得 x1+x2=0,即 x2=﹣x1,满足条件,因此 y=f(x)=2 是“梦想函数”; ③假设 y=f(x)是 lnx 是“梦想函数”,其定义域是 A=(0,+∞) . ?x1∈A,则?唯一的 x2∈A,使得 f(x1)f(x2)=1 成立,即 lnx1lnx2=1 成立,当取 x1=1 时, lnx1=0,上式不成立, 因此假设错误,故 y=f(x)=lnx 不是“梦想函数”; ④∵y=f(x) ,y=g(x)都是“梦想函数”,且定义域相同, ∴对于定义域中每一个 x1,都存在唯一的 x2,使 y=f(x1)f(x2)=1 和 y=g(x1)g(x2)=1 成立, ∵两个 x2 不一定相等, ∴y=f(x1)g(x1)?f(x2)g(x2)=1 不一定成立, ∴⑤不是“梦想函数”. 综上可知:只有②是“梦想函数”. 故答案为:②. 点评: 本题考查了新定义、指数函数和对数函数等函数的性质,考查了推理能力和解决新 问题的能力,属于难题. 三、解答题(本大题共 5 小题,共 40 分.解答应写出必要的文字说明,证明过程或演算步骤.) 21. (6 分)已知集合 U=R,A={x|x ﹣4x+3≤0}, (Ⅰ)集合 A 与 B; (Ⅱ)A∪B. 考点: 其他不等式的解法;并集及其运算. 专题: 高考数学专题;不等式的解法及应用.
2

.求:

分析: (Ⅰ)根据 x ﹣4x+3≤0,因式分解即可求出不等式的解集,从而得到集合 A,根据 B 中是 x 的取值范围,即为函数 y= 的定义域,求解即可得到集合 B;

2

(Ⅱ)根据(Ⅰ)中的集合 A 和 B,结合结合并集的定义,从而求得 A∪B. 2 解答: 解: (Ⅰ)A={x|x ﹣4x+3≤0}={x|(x﹣1) (x﹣3)≤0}={x|1≤x≤3}, ={x|x﹣2>0}={x|x>2}, 故 A={x|1≤x≤3},B={x|x>2}; (Ⅱ)由(Ⅰ)可知,A={x|1≤x≤3},B={x|x>2}, ∴A∪B={x|x≥1}.

点评: 本题考查了不等式的解法以及集合的运算.考查了一元二次不等式的解法,要求解 一元二次不等式时,要注意与一元二次方程的联系,以及与二次函数之间的关系.求解不步骤 是:判断最高次系数的正负,将负值转化为正值,确定一元二次方程的根的情况,利用二次函 数的图象,写出不等式的解集.属于基础题.

22. (6 分) (1)化简:0.027
2

﹣(﹣ ) +256

﹣2

﹣3 +(

﹣1



0

(2)化简:log3(9×27 )+log26﹣log23+log43×log316. 考点: 对数的运算性质;有理数指数幂的化简求值. 专题: 计算题. 分析: (1)根据指数幂的运算性质进行计算即可; (2)根据对数的运算性质进行计算即可. 解答: 解: (1)原式=(0.3) ﹣(﹣7) +4 ﹣ +1 = ﹣49+48﹣ +1
﹣1

2

3

=3; (2)原式= + +1+ ﹣ + ?

=2+6+1+

?

=9+2 =11. 点评: 本题考查了指数幂的运算性质,考查了对数的运算性质,是一道基础题. 23. (8 分)已知函数 f(x)=loga(2﹣x)﹣loga(2+x) (a>0,且 a≠1) (1)判断函数 f(x)的奇偶性,并说明理由.

(2)若

,求使 f(x)>0 成立 x 的集合.

考点: 对数函数图象与性质的综合应用. 专题: 函数的性质及应用. 分析: (1)先定义域关于原点对称,専判断 f(﹣x)与 f(x)的关系,进而根据函数奇偶 性的定义,得到结论; (2)将 x= 代入,可构造关于 a 的方程,解方程得 a 值,进而根据对数函数的单调性,可将 f(x)>0 转化为整式不等式,进而得到答案. 解答: 解: (1)函数 f(x)定义域为(﹣2,2)关于原点对称, ∵f(﹣x)=loga(2+x)﹣loga(2﹣x)=﹣f(x) ∴函数 f(x)是奇函数 (2)∵f( )=2 ∴loga(2﹣ )﹣loga(2+ )=loga( )﹣loga( ∴ 即 ∴f(x)=log (2﹣x)﹣log (2+x) 则 f(x)>0 可化为 即 0<2﹣x<2+x 解得:x∈(0,2) 点评: 本题考查的知识点是对数函数的图象和性质,函数的定义域,函数的奇偶性,是函 数图象和性质的综合应用,难度中档. , )=loga( )=2

24. (10 分)已知函数 f(x)=

,x∈(﹣1,1)

(Ⅰ)若 x∈(0,1)试判断此时函数 f(x)的单调性并利用定义证明; (Ⅱ)若设 g(x)=f(x)+f(﹣x) ,求函数 g(x)的值域. 考点: 函数单调性的判断与证明;函数的值域. 专题: 函数的性质及应用. 分析: (Ⅰ)首先,得到 f(x)为(﹣1,1)上的减函数,然后,结合单调性的定义进行 证明; (Ⅱ)首先,落实函数 g(x)的表达式,然后,结合基本不等式求解其值域即可. 解答: 解: (Ⅰ)f(x)为(﹣1,1)上的减函数,证明如下: 任意设 x1,x2∈(﹣1,1)x1<x2,

∴f(x1)﹣f(x2)=

= ∵x1<x2, ∴ ,



∴f(x1)﹣f(x2)>0, ∴f(x1)>f(x2) , ∴f(x)为(﹣1,1)上的减函数. (Ⅱ)∵g(x)=f(x)+f(﹣x) , ∴g(x)= + ,

=2



=







∴0<f(x)≤1, ∴值域为(0,1]. 点评: 本题重点考查了指数函数的单调性和基本性质、函数的单调性的定义的证明过程等 知识,属于中档题. 25. (10 分)已知函数 f(x)=3x ﹣6x﹣5. (1)求不等式 f(x)>4 的解集; 2 (2)设 g(x)=f(x)﹣2x +mx,其中 m∈R,求 g(x)在区间[l,3]上的最小值; 2 (3)若对于任意的 a∈[1,2],关于 x 的不等式 f(x)≤x ﹣(2a+6)x+a+b 在区间[1,3]上恒 成立,求实数 b 的取值范围. 考点: 二次函数在闭区间上的最值;函数恒成立问题;一元二次不等式的解法. 专题: 函数的性质及应用. 分析: (1)根据已知中函数解析式,化简不等式 f(x)>4,进而根据二次不等式的解法, 可得不等式 f(x)>4 的解集; 2 (2)根据已知求出函数 g(x)=f(x)﹣2x +mx 的解析式,根据二次函数的图象及性质,可 得函数在区间[1,3]上的最小值; 2 (3)根据已知中函数解析式,化简不等式 f(x)<x ﹣(2a+6)x+a+b,根据二次函数的图 象及性质,可得函数在区间[1,3]上恒成立,即函数在区间两端点的函数值均为负,构造不等 式组,可得实数 b 的取值范围;
2

解答: 解: (1)不等式 f(x)>4 即 3x ﹣6x﹣9>0 解得 x>3,或 x<﹣1 ∴不等式 f(x)>4 的解集为(﹣∞,﹣1)∪(3,+∞) 2 2 (2)g(x)=f(x)﹣2x +mx=x +(m﹣6)x﹣5 其图象是开口朝上,且以 x= 当 为对称轴的抛物线
2

>3,即 m<0 时,g(x)的最小值为 g(3)=3m﹣14

当 1≤ 当

≤3,即 0≤m≤4 时,g(x)的最小值为 g(

)=

<1,即 m>4 时,g(x)的最小值为 g(1)=m﹣10
2

(3)若不等式 f(x)<x ﹣(2a+6)x+a+b 在 x∈[1,3]上恒成立, 2 即不等式 2x +2ax﹣5﹣a﹣b<0 在 x∈[1,3]上恒成立, 2 令 h(x)=2x +2ax﹣5﹣a﹣b ∵a∈[1,2],故 h(x)图象的对称轴 x=﹣ ∈[﹣1,﹣ ] ∴当 x=3 时,函数 h(x)取最大值 5a﹣b+13 故只须 a∈[1,2]时,5a﹣b+13≤0 恒成立即可; 即当 a∈[1,2]时,b≥5a+13 恒成立, ∴实数 b 的取值范围是[23,+∞) 点评: 本题考查的知识点是函数的恒成立问题,一元二次不等式的解法,函数的交集运算, 其中熟练掌握二次函数的图象和性质并能用之解答一元二次不等式问题是解答的关键.


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