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必修一综合能力测试题一


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必修 5 综合能力测试题一 一.选择题(本大题共 12 小题,第小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项符是合题目要求的.) 1.函数

y ? 2x ?1 的定义域是( )
1 B. [ , ??) 2 1 C. (??, ) 2 1

D. (??, ] 2


1 A. ( , ??) 2

2.全集 U={0,1,3,5,6,8},集合 A={ 1,5, 8 }, B ={2},则集合 (CU A) ? B ? ( A.{0,2,3,6} B.{ 0,3,6} C. {2,1,5,8} D. ? )

3.已知集合 A ? x ?1 ? x ? 3 , B ? x 2 ? x ? 5 ,则A ? B ? ( A. ( 2, 3 ) B. [-1,5] C. (-1,5) 4.下列函数是奇函数的是( ) A. y ? x B. y ? 2 x 2 ? 3 ) C. 2? - 4 或 4 D. (-1,5]
1

?

?

?

?

C. y ? x 2

D. y ? x 2 , x ? [0,1]

2 5.化简: (? ? 4) +? =(

A. 4

B . 2? - 4

D.

4 - 2?

6.设集合 M ? x ? 2 ? x ? 2 , N ? y 0 ? y ? 2 ,给出下列四个图形,其中能表示以 集合 M 为定义域, N 为值域的函数关系的是( )

?

?

?

?

7.下列说法正确的是(


2 1

A.对于任何实数 a , a 4 ?| a | 2 都成立 B.对于任何实数 a , n a n ?| a | 都成立 C.对于任何实数 a , b ,总有 ln(a ? b) ? ln a ? ln b D.对于任何正数 a , b ,总有 ln(a ? b) ? ln a ? ln b 8.如图所示的曲线是幂函数 y ? x 在第一象限内的图象.已知 n 分别取 ?1 ,l,
n

1 ,2 四个 2

值,则与曲线 C1 、 C2 、 C3 、 C4 相应的 n 依次为(



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A.2,1, C.

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1 , ?1 2

1 ,1,2, ?1 2

1 2 1 D. ?1 ,1,2, 2
B.2, ?1 ,1, ) C. [ , ]

9.函数 f ( x) ? ? x ? log 2 x 的零点所在区间为( A. [0, ]

1 8

B. [ , ]

1 1 8 4

1 1 4 2

D. [ ,1] )

1 2

10.函数 y ? ax2 ? bx ? 3 在 ?? ?,?1?上是增函数,在 ?? 1,??? 上是减函数,则( A. b ? 0且a ? 0 B. b ? 2a ? 0 C. b ? 2a ? 0

D. a, b的符号不确定

11.奇函数 f ( x) 在区间 ?? b,?a? 上单调递减,且 f ( x) ? 0 (0 ? a ? b) ,那么 f ( x) 在区 间 ?a, b? 上( A.单调递减 增 12 .设 f ( x ) 是定义在 R 上的奇函数,当 x ? 0 时, f ( x) ? 2x ? 2x ? b ( b 为常数) ,则 ) B.单调递增 C.先增后减 D.先减后

f (?1) ? (



A. 3 B. ?3 C.1 D. ? 1 二.填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.把答案填在题中横线上. ) 13.已知 f ( x) ? ?

? x ? 5( x ? 1) ,则 f [ f (1)] ? 2 ?2 x ? 1( x ? 1)
. .

.

14.已知 f ( x ? 1) ? x 2 ,则 f ( x) ? 15. 方程 49 ? 6 ? 7 ? 7 ? 0 的解是
x x

16.关于下列命题: ①若函数 y ? 2 x 的定义域是{ x | x ? 0} ,则它的值域是 { y | y ? 1} ; ② 若函数 y ?

1 1 的定义域是 {x | x ? 2} ,则它的值域是 { y | y ? } ; 2 x

2 ③若函数 y ? x 的值域是 { y | 0 ? y ? 4},则它的定义域一定是 {x | ?2 ? x ? 2} ;

④若函数 y ? log2 x 的值域是 { y | y ? 3} ,则它的定义域是 {x | 0 ? x ? 8} . 其中不正确的命题的序号是_____________( 注:把你认为不正确的命题的序号都填上). 三.解答题(本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. ) 17. (1) ( 3 2 ? 3) ? ( 2 2 ) 3 ? 4(
6 4

16 ? 1 ) 2 ? 4 2 ? 80.25 ? (?2009)? ; 49

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(2) log2.5 6.25 ? lg0.01 ? ln e ? 21?log2 3 .

18. 已知全集 U ? {1, 2,3, 4,5,6,7,8} ,A ? {x | x2 ? 3x ? 2 ? 0} ,B ? {x |1 ? x ? 5, x ? Z} , (1)求 A ? ( B ? C ) ; C ? {x | 2 ? x ? 9, x ? Z} . (2)求 (CU B) ? (CU C) .

19. 已知函数 f ( x ) 是定义在 R 上的偶函数, 且当 x ≤0 时,

f ( x) ? x2 ? 2 x . (1)现已画出函数 f ( x) 在 y 轴左侧的图
像,如图所示,请补出完整函数 f ( x ) 的图像,并根据图像 写出函数 f ( x ) 的增区间; (2)写出函数 f ( x ) 的解析式和值 域.

x?2 x 20.已知 ?1 ? x ? 0 ,求函数 y ? 2 ? 3 ? 4 的最大值和最小值.

21.已知函数 f ( x) ? log 2 (1 ? x) ? log 2 (1 ? x) . (1)求函数 f ( x ) 的定义域; (2)判断 f ( x ) 的奇偶性.

22.设 f ( x) ? lg

1 ? 2x ? 4x a ( a ? R ) ,若当 x ? (??, 1] 时, f ( x) 有意义,求 a 的取值范围. 3

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备选题 一.选择题 1. 函数 y ? log x ?1 (8 ? 2 x ) 的定义域是( A. (?1, 3) 2.设集合 B. (0, 3) ) D. (?1, 0) ? (0, 3) )

C. (?3, 1)

A ? {x |1 ? x ? 2}, B ? {x | x ? a}. 若 A ? B, 则 a 的范围是(
B. a ? 1 C. a ? 1 D. a ? 2

A. a ? 2

二.填空题 3. 设函数 f(x)=loga(x+b)(a>0,a≠1)的图象过点(2,1),其反函数的图像过点(2,8),则 a+b 等于__. 4.如果函数 y=x2+2x+m+3 至多有一个零点,则 m 的取值范围是_________________. 三.解答题 5.设 a>0,f(x)= 增函数.

ex a + 是 R 上的偶函数.(1)求 a 的值; (2)证明 f(x)在(0,+∞)上是 a ex

6.已知函数 y=x2-2ax+1(a 为常数)在 ?2 ? x ? 1 上的最小值为 h(a) ,试将 h(a) 用 a 表示 出来,并求出 h(a) 的最大值.

必修 5 综合能力测试题一答案以及提示 一.选择题(本大题共 12 小题,第小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项符是合题目要求的.) 1.B.提示: 2 x ? 1 ? 0 . 2.A. 3.B.提示:运用数轴. 4.A.提示:B 为偶函数,C、D 为非奇非偶函数.
2 5.B.提示: (? ? 4) +? = ? ? 4 +? ? ? ? 4 ? ? = 2? - 4 .

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6.C.提示:A 定义域不对;D 值域不对;C 不是函数关系. 7.A.提示: a 为负数,n 为奇数时 B 不成立; a ,b 为负数,C 不成立; D 显然不对. 8.A. 9.C.提示:由

?1? f? ? ?4?

?1? f ? ? ? 0. ?2?

10.B.提示:开口向下,对称轴为-1. 11.B.提示: f ( x) 为偶函数.
1 1 ? b ? ? ? 4 ? b ? , 又 f (0) ? 0 , 所 以 b =-1, 故 12 . B . 提 示: f (?1) ? ? f (1) ? ? 2 ? 2?

?

?

f (?1) ? -3.
二.填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.把答案填在题中横线上. ) 13.8.提示: f (1) =3, f (3) =8. 14. f ( x) ? ? x ? 1? .提示:∵ f ( x ? 1) ? x ? ? ?? x ? 1? ? 1? ? ,∴ f ( x) ? ? x ? 1? .
2

2

2

2

15.x=1.提示:设 7 =t,则 t ? 6t ? 7 ? 0 ,∴ ? t ? 7?? t ? 1? ? 0 ,∴t=7, ∴x=1.
x
2

16.①②.提示:若函数 y ? 2 x 的定义域是{ x | x ? 0} ,则它的值域是 { y | 0 ? y ? 1} ;若 函数 y ?

1 1 的定义域是 {x | x ? 2} ,则它的值域是 { y | 0 ? y ? } . 2 x
1 1 3 4

三.解答题(本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. ) 17.解:(1)原式= (2 3 ? 32 )6 ? ( 2 2 ) 3 ? 4 ? [( ) 2 ]
3 4 ? 4 3

4 7

?

1 2

? 24 ? 2

1

3?

1 4

?1

= 2 ?3 ? 2
2 3

4 ? 4 ? ( )?1 ? 2 ? 1 =108+2-7-3=100 . 7
1 11 ? 2?3 = ? . 2 2

(2)原式= 2 ? 2 ?

18.解:(1)依题意有: A ? {1, 2}, B ? {1, 2,3, 4,5}, C ? {3, 4,5,6,7,8} ∴ B ? C ? {3, 4,5} ,故有 A ? ( B ? C ) ? {1, 2} ? {3, 4,5} ? {1, 2,3, 4,5} . ( 2
U





CU B ? { )? {
. 6

6 CU C ? , , 7

7 ,

; ,

故 8

}有 } (

, 1 ,

{

(痧 UB ?

)C ?

(

?

8

19.(1)函数图像如右图所示:

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f ( x) 的递增区间是 (?1, 0) , (1, ??) .
( 2 ) 解 析 式 为 : f ( x) ? ?

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? x 2 ? 2 x, x ? 0
2 ? x ? 2 x, x ? 0

,值域为:

? y | y ? ?1? .
20.解: y ? 2 x?2 ? 3 ? 4 x ? ?3 ? (2 x ) 2 ? 4 ? 2 x ,

2 2 4 3 3 1 1 2 1 ? ?1 ? x ? 0 ,? ? 2 x ? 1即t ? [ ,1] ,又∵对称轴 t ? ? [ ,1] , 2 2 3 2 2 2 4 ∴当 t ? ,即 x ? log 2 时y max ? ;当 t ? 1 即 x=0 时, y min ? 1 . 3 3 3
令 t ? 2 x , 则y ? ?3t 2 ? 4t ? ?3(t ? ) ? 21.解: (1)要使函数有意义,则 ?

?1 ? x ? 0 ,∴ ?1 ? x ? 1 ,故函数的定义域为 (?1,1) ?1 ? x ? 0

(2)∵ f (? x) ? log2 (1 ? x) ? log2 (1 ? x) ? ? f ( x) ,∴ f ( x ) 为奇函数. 22. 解:根据题意,有

1 ? 2x ? 4x a ? 0 , x ? (??, 1] , 3

1 ? ? 1 即 a ? ? ?( ) x ? ( ) x ? , x ? (??, 1] , 2 ? ? 4


1 1 ?( ) x 与 ? ( ) x 在 ( ??, 1] 上都是增函数, 4 2



1 1 ?[( ) x ? ( ) x ] 在 ( ??, 1] 上也是 4 2
1 ? 3 ? 1 即 ? ?( ) x ? ( ) x ? ? ? , ∴ 4 2 4 ? ?

增函数, ∴ 它 在 x ? 1 时 取 最 大 值 为 ?( ? ) ? ?

1 4

1 2

3 , 4

3 a?? . 4
备选题 一.选择题

? x ?1 ? 0 ? 1. D.提示:由 ? x ? 1 ? 0 ,得 ?1 ? x ? 0 ,或 0 ? x ? 3 . ?8 ? 2 x ? 0 ?
2.A. 二.填空题 3.4.提示:函数 f(x)=loga(x+b)(a>0,a≠1)的图象过点(2,1),其反函数的图象过点(2,8), 则?

? log a (2 ? b) ? 1 ? 2?b ? a ,∴ ? , a ? 3 或 a ? ?2 (舍),b=1,∴a+b=4. 2 ?log a (8 ? b) ? 2 ?8 ? b ? a

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4. [-2,+∞) .提示:Δ =4-4(m+3)≤0,解得 m≥-2. 三.解答题 5.解: (1)依题意,对一切 x∈R,有

ex a 1 + x = x +aex, a e ae

所以(a-

1 1 )(ex- x )=0, a e 1 =0,即 a2=1. a

对一切 x∈R 成立. 由此得到 a-

又因为 a>0,所以 a=1. (2)证明:设 0<x1<x2, f(x1)-f(x2)= e 1 - e 2 +
x x

1 1 1 ? e x2 ? x1 1 x2 ? x1 x1 x1 x2 e e e e =( )( -1)= ( -1) · , e x1 e x2 e x1 ? x2 e x2 ? x1
x2 ? x1

由 x1>0,x2>0,x2-x1>0,得 x1+x2>0, e

-1>0,1- e

x2 ? x1

<0,

∴f(x1)-f(x2)<0,即 f(x)在(0,+∞)上是增函数. 6.解:∵y=(x-a)2+1-a2, ∴抛物线 y=x2-2ax+1 的对称轴方程是 x ? a . (1)当 ?2 ? a ? 1 时,由图①可知,当 x ? a 时,该函数取最小值

h(a) ? 1 ? a 2 ; (2) 当 a ? ?2 时, 由图②可知, 当 x ? ?2 时,该函数取最小值 h(a) ? 4a ? 5 ; (3) 当 a>1 时, 由图③可知, 当 x ? 1 时,该函数取最小值 h(a) ? ?2a ? 2
综上,函数的最小值为

?4a ? 5, a ? ?2, ? h(a) ? ?1 ? a 2 , ? 2 ? a ? 1, ??2a ? 2, a ? 1. ?
y x=a x=a y y x=a

-2

O 1

x

-2 -2 O1 x

O

1

x

① (1)当 a ? ?2 时, h(a) ? ?3





(2) 当 ?2 ? a ? 1 时, ?3 ? h(a) ? 1 (3) 当 a>1 时, h(a) ? 0 ,
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综上所述, h(a)max ? 1.

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