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高中数学竞赛系列讲座


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高中数学竞赛系列讲座

第四讲 指数函数与对数函数
指数、对数以及指数函数与对数函数,是高中代数非常重要的内容。无论在高考及数学竞赛 中,都具有重要地位。熟练掌握指数对数概念及其运算性质,熟练掌握指数函数与对数函数这一 对反函数的性质、图象及其相互关系,对学习好高中函数知识,意义重大。 一、 指数概念与对数概念: 指数的概念是由乘方概念推广而来的。相同因数相乘 a·a……a(n 个)=a 导出乘方,这里的 n 为正整数。从初中开始,首先将 n 推广为全体整数;然后把乘方、开方统一起来,推广为有理 指数;最后,在实数范围内建立起指数概念。 欧拉指出:“对数源出于指数”。一般地,如果 a(a>0,a≠1)的 b 次幂等于 N,就是 a =N, 那么数 b 叫做以 a 为底 N 的对数,记作:logaN=b 其中 a 叫做对数的底数,N 叫做真数。 a =N 与 b=logaN 是一对等价的式子,这里 a 是给定的不等于 1 的正常数。当给出 b 求 N 时, 是指数运算,当给出 N 求 b 时,是对数运算。指数运算与对数运算互逆的运算。 二、指数运算与对数运算的性质 1.指数运算性质主要有 3 条: a ·a =a ,(a ) =a ,(ab) =a ·b (a>0,a≠1,b>0,b≠1) 2.对数运算法则(性质)也有 3 条: (1)loga(MN)=logaM+logaN (2)logaM/N=logaM-logaN (3)logaM =nlogaM(n∈R) (a>0,a≠1,M>0,N>0) 3.指数运算与对数运算的关系: X=a
logax n x y x+y x y xy x x x b b n

;m

logan

=n

logam

4.负数和零没有对数;1 的对数是零,即 loga1=0;底的对数是 1,即 logaa=1 5.对数换底公式及其推论:

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换底公式:logaN=logbN/logba 推论 1:loga N =(n/m)logaN
m

n

推论 2: 三、指数函数与对数函数 函数 y=a (a>0,且 a≠1)叫做指数函数。它的基本情况是: (1)定义域为全体实数(-∞,+∞) (2)值域为正实数(0,+∞),从而函数没有最大值与最小值,有下界,y>0 (3)对应关系为一一映射,从而存在反函数--对数函数。 (4)单调性是:当 a>1 时为增函数;当 0<a<1 时,为减函数。 (5)无奇偶性,是非奇非偶函数,但 y=a 与 y=a 的图象关于 y 轴对称,y=a 与 y= a 的图 象关于 x 轴对称;y=a 与 y=logax 的图象关于直线 y=x 对称。 (6)有两个特殊点:零点(0,1),不变点(1,a) (7)抽象性质:f(x)=a (a>0,a≠1), f(x+y)=f(x)·f(y),f(x-y)=f(x)/f(y) 函数 y=logax(a>0,且 a≠1)叫做对数函数,它的基本情况是: (1)定义域为正实数(0,+∞) (2)值域为全体实数(-∞,+∞) (3)对应关系为一一映射,因而有反函数——指数函数。 (4)单调性是:当 a>1 时是增函数,当 0<a<1 时是减函数。 (5)无奇偶性。但 y=logax 与 y=log(1/a)x 关于 x 轴对称,y=logax 与 y=loga(-x)图象关于 y 轴对称,y=logax 与 y=a 图象关于直线 y=x 对称。 (6)有特殊点(1,0),(a,1) (7)抽象运算性质 f(x)=logax(a>0,a≠1), f(x·y)=f(x)+f(y), f(x/y)=f(x)-f(y) 例 1.若 f(x)=(a /(a +√a)),求 f(1/1001)+f(2/1001)+f(3/1001)+…+f(1000/1001) 分析:和式中共有 1000 项,显然逐项相加是不可取的。需找出 f(x)的结构特征,发现规律, 注意到 1/1001+1000/1001=2/1001+999/1001=3/1001+998/1001=…=1, 而 f(x)+f(1-x)=(a /(a +√a))+(a /(a +√a))=(a /(a +√a))+(a/(a+a ·√a))=(a /(a +√a))+( (√a)/(a +√a))=((a +√a)/(a +√a))=1 规律找到了,这启示我们将和式配对结合后再相加: 原式 =[f(1/1001)+f(1000/1001)]+[f(2/1001)+f(999/1001)]+…+[f(500/1001)+f(501/1001)]=(1+1 +…+1)5000 个=500
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x x x x x 1-x 1-x x x x x x x x x x x x -x x x x

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说明:观察比较,发现规律 f(x)+f(1-x)=1 是本例突破口。 (1)取 a=4 就是 1986 年的高中数学联赛填空题:设 f(x)=(4 /(4 +2)),那么和式 f(1/1001)+f(2/1001)+f(3/1001)+…+f(1000/1001)的值=
x x x x



(2)上题中取 a=9,则 f(x)=(9 /(9 +3)),和式值不变也可改变和式为求 f(1/n)+f(2/n)+f(3/n)+…+f((n-1)/n). (3)设 f(x)=(1/(2 +√2)),利用课本中推导等差数列前 n 项和的方法,可求得 f(-5)+f(-4)+…+f(0)+…+f(5)+f(6)的值为 题。 例 2.5
log25 x

。这就是 2003 年春季上海高考数学第 12

等于:( )
log25

(A)1/2 (B)(1/5)10 解:∵5
log25

(C)10 )/(2

log45

(D)10

log52

=(10/2)

log25

=(10

log25

log25

)=(1/5)×10

log25

∴选(B) 说明:这里用到了对数恒等式:a
logaN

=N(a>0,a≠1,N>0)

这是北京市 1997 年高中一年级数学竞赛试题。 例 3.计算 解法 1:先运用复合二次根式化简的配方法对真数作变形。

解法 2:利用算术根基本性质对真数作变形,有

说明:乘法公式的恰当运用化难为易,化繁为简。 例 4.试比较(12
2002

+1)/(12

2003

+1)与(12

2003

+1)/(12 +1)的大小。
2003

2004

解:对于两个正数的大小,作商与 1 比较是常用的方法,记 12
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=a>0,则有

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((12

2002

+1)/(12

2003

+1))÷((12
2 2

2003

+1)/(12

2004

+1))=((a/12)+1)/(a+1)·((12a+1)/(a+1))=((a+12)(
2

12a+1))/(12(a+1) )=((12a +145a+12)/(12a +24a+12))>1 故得:((12
2002

+1)/(12

2003

+1))>((12

2003

+1)/(12

2004

+1))

例 5. 已知

(a,b 为实数)且 f(lglog310)=5, f(lglg3)的值是 ) 则 (

(A)-5 (B)-3 (C)3 (D)随 a,b 的取值而定 解:设 lglog310=t,则 lglg3=lg(1/log310)=-lglog310=-t 而 f(t)+f(-t)=

∴f(-t)=8-f(t)=8-5=3 说明: 由对数换底公式可推出 logab·logba=(lgb/lga)·(lga/lgb)=1, logab=(1/logba), 即 因而 lglog310 与 lglg3 是一对相反数。设 中的部分

,则 g(x)为奇函数,g(t)+g(-t)=0。这种整体处理的思想巧用了奇函数 性质使问题得解,关键在于细致观察函数式结构特征及对数的恒等变形。 例 6.已知函数 y=((10 -10 )/2)(X∈R) (1)求反函数 y=f (x) (2)判断函数 y=f (x)是奇函数还是偶函数 分析:1) y=(10 -10 /2 的反函数首先用 y 把 x 表示出来, ( 求 然后再对调 x,y 即得到 y=f (x); (2)判断函数 y=f (x)的奇偶性要依据奇函数或偶函数的定义,看当 X∈R 时是否有 f(-x)=-f(x)或(f(-x)+f(x)=0) 或 f(-x)=f(x) 恒成立。 解:(1)由 y=((10 -10 /2)(X∈R)可得 2y=10 -10 ,设 10 =t,上式化为:2y=t-t 两边乘 t,得 2yt=t -1 整理得:t -2yt-1=0,解得:
2 2 x -x) x -x x -1 -1 x -x) -1 -1 -1 x -x

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由于 t=10 >0,故将

x

舍去,得到:

将 t=10 代入上式,即

x

得:

所以函数 y=((10 -10 )/2)的反函数是

x

-x

(2)由

得:

∴f-1(-x)=-f(x)

所以,函数

是奇函数。
x -x)

说明:①从本题求解及判断过程可以得到更一般的结论:函数 y=((a -a /2)(X∈R,a> 0,a≠1)的反函数是 ,它们都是奇函数。当 a=2,3,10 或 e 时就构造了新的特
x -x

殊的题目。进一步还可以研究它们的单调性,如 1992 年高考数学试题:函数 y=((e -e )/2)的反 函数 (A)是奇函数,它在(0,+∞)上是减函数; (B)是偶函数,它在(0,+∞)上是减函数; (C)是奇函数,它在(0,+∞)上是增函数; (D)是偶函数,它在(0,+∞)上是增函数。 ②函数 y=((a -a /2)是由 y=f(x)=a 构造而得,全日制普通高级中学教科书(试验修订本。 必修)《数学》第一册(上)(人民教育出版社中学数学室编著)P107 复习参考题二 B 组第 6 题:设 y=f(x)是定义在 R 上的任一函数, 求证:(1)F1(x)=f(x)+f(-x)是偶函数; (2)F2(x)=f(x)-f(-x)是奇函数。 而 f(x)=F1(X)+F2(x),它说明,定义在 R 上的任一函数都可以表示成一个奇函数(F2(x))与 一个偶函数(F1(x))的代数和。从这个命题出发,由 f(x)=a 就可以构造出诸多奇函数,比如, y=((a -a /(a +a ))=((a -1)/(a +1))等等用自然对数的底 e≈2.71828… (无理 y=((a -a /2);
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x -x) x -x) x -x 2x 2x x x -x) x

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数)作底,作函数 sh(x)=((e -e )/2),ch(x)=((e +e /2),th(x)=((e -e /(e +e 双曲正弦函数,双曲余弦函数,双曲正切函数,它们具有如下性质: (1)ch (x)-sh (x)=1; (2)sh(x+y)=sh(x)·ch(y)+ch(x)·sh(y); (3)ch(x+y)=ch(x)·ch(y)+sh(x)·sh(y); (4)th(x+y)=((th(x)+th(y))/(1+th(x)·th(y))); (5)ch(-x)=ch(x); (6)sh(-x)=-sh(x); (7)th(-x)=-th(x). 令 x=y,则有 (8)sh(2x)=2sh(x)·ch(x); (9)ch(2x)=ch (x)+sh (x) 其中①⑧⑨合起来,就是课本 P107 的第 8 题。 例 7.已知函数 f(x)=loga((1+x)/(1-x))(a>0,a≠1) (1)求 f(x)的定义域 (2)判断 f(x)的奇偶性并给以证明; (3)当 a>1 时,求使 f(x)>0 的 x 取值范围; (4)求它的反函数 f (x) 解:(1)由对数的定义域知((1+x)/(1-x))>0 解这个分式不定式,得:(x+1)(x-1)<0,-1<x<1 故函数 f(x)的定义域为(-1,1)
-1 2 2 2 2

x

-x

x

-x)

x

-x)

x

-x))

它们分别叫做

(2)f(-x)=loga((1-x)/(1+x))=log((1+x)/(1-x)) =-loga((1+x)/(1-x))=-f(x) 由奇函数的定义知,函数 f(x)是奇函数。 (3)由 loga((1+x)/(1-x))>0<=>loga((1+x)/(1-x))>loga1, 因为 a>1,所以由对数函数的单调性知((1+x)/(1-x))>1,考虑由(1)知 x<1,1-x>0, 去分母,得:1+x>1-x,x>0 故:0<x<1 所以对于 a>1,当 x∈(0,1)时函数 f(x)>0 (4)由 y=loga((1+x)/(1-x))得:((1+x)/(1-x))=a 应用会比分比定理得: ((1+x)+(1-x))/((1+x)-(1-x))=((a +1)/(a -1))即:(2/2x)=((a +1)/(a -1)) ∴x=((a -1)/(a +1))交换 x,y 得: y=((a -1)/(a +1)),它就是函数 f(x)=loga((1+x)/(1-x))的反函数 f (x)即 f (x)=((a -1)/(a +1)) 说明:(1)函数 y=loga((1+x)/(1-x))与 y=((a -1)/(a +1))是一对反函数。取 a=e,函数 y=((e -1)/(e +1))的反函数的定义域是
x x x x -1 x x x x -1 y y y y y y y

-1

。这就是 89 年的高考题目。

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(2)已知 f(x)=lg((1-x)/(1+x)),a,b∈(-1,1)求证:f(a)+f(b)=f((a+b)/(1+ab))(P89 习题 2.8 第 4 题)可以看作该类函数的性质。

(3)y=a 与 y=logax;y=((a -a )/2)与 y=loga((1+x)/(1-x))这三对互反函数及其性质需要理解记忆。 例 8.2
2003

x

x

-x

;y=((a -1)/(a +1))与

x

x

的十进制表示是个 P 位数,5 是个 P 位数,
2003

2003

的十进位表示是个 q 位数,则 p+q=



解:∵2 ∵5 ①×②得:10

2003

∴10 <2
2003

p-1

<10 ① <10 ②
2003 p+q 2003 p+q q

p

是个 q 位数,
2003

∴10 <5
p+q-2

q-1

<(2×5) <10
p+q-2

即 10

<10 <10



∴2003=p+q-1 ∴p+q=2004 例 9.已知 x -2x+loga(a -a)=0 有一正根和一负根,求实数 a 的范围。 解:方程有一正根一负根的充分必要条件是: loga(a -a)<0(由韦达定理而来)① 由 a>0,a≠1,a -a=a(a-1)>0,可得 a>1 ②, 从而由 loga(a -a)<0=loga1 得:a -a<1,a -a-1
2 2 2 2 2 2 2

<0,解得:
2x

③,由②③得:
x 2x

例 10.设 y=log(1/2)[a +2(ab) -b +1](a>0,b>0),求使 y 为负值的 x 的取值范围 解:∵(1/2)<1,要使 y<0,只要 a +2(ab) -b +1>1, 即 a +2(ab) -b >0 →b [(a/b) +2(a/b) -1]>0 →[(a/b) ] +2(a/b) -1>0 → →∵ → .
x 2 x 2x 2x x 2x x 2x 2x x 2x

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1°当 a>b>0 时,a/b>1, 2°当 b>a>0 时,0<a/b<1, 3°当 a=b>0 时,x∈R。 练习四



1.设 a,b,c 都是正数,且 3 =4 =6 ,那么( ) (A)(1/c)=(1/a)+(1/b), (B)(2/c)=(2/a)+(1/b), (C)(1/c)=(2/a)+(2/b), (D)(2/c)=(1/a)+(2/b) 2.F(x)=(1+((2/(2 -1)))·f(x)(x≠0)是偶函数,且 f(x)不恒等于零,则 f(x)( ) (A)是奇函数 (B)是偶函数 (C)可能是奇函数也可能是偶函数 (D)不是奇函数也不是偶函数 3.若 f(x)=3 +5,则 f (x)的定义域是( ) (A)(0,+∞) (B) (5,+∞) (C) (8,+∞) (D) (-∞,+∞) 4.求值:6
lg40 x -1 x

a

b

c

×5

lg36

5.已知 m,n 为正整数,a>0,a≠1,且 logam+loga(1+(1/m))+loga(1+(1/(m+1))+…+loga(1+(1/(m+n-1)))=lgam+logan。求 m,n 6.X=((1/(log(1/2)(1/3))+(1/(log(1/5)(1/3))的值属于区间( ) (A)(-2,-1) (B)(1,2) (C)(-3,-2) (D)(2,3) 7.计算: (1)lg20+log10025 (2)lg5·lg20+(lg2)
2

8.若集合{x,xy,lg(xy)}={0,∣x∣,y},则 log8(x +y )= 9.若 x∈(1,10),则 lg x,lgx ,lglgx 的大小顺序是: (A)lg x<lgx <lglgx (B)lg2 <lglgx<lgx
2 2 2 2 2 x 2 2 2 2

2

2



(C)lgx <lg x<lglgx (D)lglgx<lg x<lgx

10.计算:

11.集合{x∣-1≤log(1/x)10<-(1/2),x∈N}的真子集的个数是 。 12.求函数 y=(1/4)
x2-2x-3

的单调区间。
x 2 2

13.已知指数函数 f(x)=a (a>0,且 a≠1),求满足 f(3x -4x-5)>f(2x -3x+1)的 x 的取值。
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14.解方程 8

log6(x2-7x+15)

=5

log68

15.设有关于 x 的不等式 lg (∣x+3∣+∣x-7∣)>a (1)当 a=1 时,解这个不等式; (2)当 a 为何值时,这个不等式的解集为 R? 参考答案 1.(B);2.(A);3.(B);4.216;5.m=2,n=2; 6.(D);7.(1)2,(2)1;8.1/3;9.(D); 10.1/2;11.2 -1;12.单调增区间(-∞,1],单调减区间[1,+∞) 13.当 a>1 时,x<-2 或 x>3,当 0<a<1 时,-2<x<3; 14.x1=2,x2=5; 15.(1)x<-3 或 x>7,(2)a<1
90

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