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2016-2017学年高中数学第二章函数2.4.2二次函数的性质高效测评北师大版必修1资料


2016-2017 学年高中数学 第二章 函数 2.4.2 二次函数的性质高效 测评 北师大版必修 1
(本栏目内容,在学生用书中以独立形式分册装订!) 一、选择题(每小题 5 分,共 20 分) 1.设二次函数 f(x)=ax2+bx+c,如果 f(x1)=f(x2)(x1≠x2),则 f(x1+x2)=( )

b
A.-2a C.c

b
B.-a 4ac-b2 D. 4a

b
解析: 由题意得:a≠0,x1,x2 关于 x=-2a对称,

x1+x2 b b 所以 2 =-2a,x1+x2=-a. b b ? b? ? - 得 f(x1+x2)=f? = a · a2- a +c=c. ? a?
2 2

答案: C 2.函数 f(x)=2x2-mx+3,当 x∈[-2,+∞)时,f(x)为增函数,当 x∈(-∞,-2] 时,函数 f(x)为减函数,则 m=( A.-4 C.8 ) B.-8 D.无法确定

解析: 二次函数在对称轴的两侧的单调性相反,由题意得函数的对称轴为 x=-2,

m
则4=-2. ∴m=-8. 答案: B 3.已知函数 f(x)=x2+bx+c 且 f(1+x)=f(-x),则下列不等式中成立的是( A.f(-2)<f(0)<f(2) C.f(0)<f(2)<f(-2) 解析: ∵f(1+x)=f(-x), ∴(x+1)2+b(x+1)+c=x2-bx+c, ∴x2+(2+b)x+1+b+c=x2-bx+c, ∴2+b=-b,即 b=-1. ∴f(x)=x2-x+c, 1 其图像的对称轴为 x=2.
1

)

B.f(0)<f(-2)<f(2) D.f(2)<f(0)<f(-2)

∴f(0)<f(2)<f(-2). 答案: C 4.若函数 f(x)=x2+2(2a-1)x+2 在区间(-∞,7]上单调递减,则实数 a 的取值范 围是( ) B.(-3,+∞) D.[-3,+∞]

A.{-3} C.(-∞,-3] 解析: 由 f(x)在(-∞,7]上递减, 结合图像知-(2a-1)≥7, 所以 a≤-3. 答案: C 二、填空题(每小题 5 分,共 10 分)

5.已知二次函数 y=-x2+2x+m 的部分图像如图所示,则关于 x 的一元二次方程-x2+2x+m=0 的根为________. 解析: 由图知抛物线的对称轴为直线 x=1,与 x 轴的一个交点坐 标是(3,0), 所以抛物线与 x 轴的另一个交点坐标是(-1,0). 所以关于 x 的一元二次方程-x2+2x+m=0 的根为 x1=-1,x2=3. 答案: -1,3 6.已知函数 f(x)=-x +2ax+1-a 在 x∈[0,1]时有最大值 2,则 a 的值为________. 解析: f(x)=-(x-a)2+a2-a+1, 当 a>1 时,f(x)max=f(1)=a; 当 0≤a≤1 时,f(x)max=f(a)=a -a+1; 当 a<0 时,f(x)max=f(0)=1-a.
? ?a>1, 根据已知条件:? ? ?a=2 ? ?0≤a≤1, 2 或? ? ?a -a+1=2 ? ?a<0, 或? ? ?1-a=2,
2 2

解得 a=2 或 a=-1. 答案: 2 或-1 三、解答题(每小题 10 分,共 20 分) 7.(1)若 f(x)=-x +2ax 在(-∞,2)上是增函数,求实数 a 的取值范围; (2)已知函数 f(x)=-x2+2ax 的增区间为(-∞,2),求实数 a 的值. 解析: ∵f(x)=-(x-a)2+a2,其函数图像开口向下,对称轴为 x=a. (1)∵f(x)的增区间为(-∞,a], 由题意(-∞,a]? (-∞,2), ∴a≥2.即实数 a 的取值范围是:[2,+∞).
2
2

(2)由题意,f(x)的对称轴为 x=a=2, 即 a=2. 8.已知二次函数 f(x)=ax2+bx(a,b 为常数,且 a≠0),满足条件 f(1+x)=f(1-x), 且方程 f(x)=x 有等根. (1)求 f(x)的解析式; (2)当 x∈[1,2]时,求 f(x)的值域.

b
解析: (1)∵f(1-x)=f(1+x),∴-2a=1, 又方程 f(x)=x 有等根?ax2+(b-1)x=0 有等根, 1 2 ∴Δ =(b-1) =0? b=1? a=-2, 1 ∴f(x)=-2x2+x. 1 1 (2)由(1)知 f(x)=-2(x-1)2+2. 显然函数 f(x)在[1,2]上是减函数, 1 ∴x=1 时,ymax=2,x=2 时,ymin=0,

? 1? ? ∴x∈[1,2]时,函数的值域是? ?0,2?.
? 尖子生题库 ?☆☆☆ 9.(10 分)某租赁公司拥有汽车 100 辆,当每辆车的月租金为 3 000 元时,可全部租出; 当每辆车的月租金每增加 50 元时,未租出的车将会增加一辆.租出的车每辆每月需要维护 费 150 元,未租出的车每辆每月需要维护费 50 元. (1)当每辆车的月租金为 3 600 元时,能租出多少辆车? (2)当每辆车的月租金为多少元时,租赁公司的月收益最大?最大月收益是多少? 3 600-3 000 解析: (1)当每辆车的月租金为 3 600 元时,未租出的车辆数为 =12, 50 所以这时租出了 88 辆车. (2)设每辆车的月租金为 x(x≥3 000)元,则租赁公司的月收益为

x-3 000? x-3 000 ? ? 100 - f(x)=? ( x - 150) - 50 ? 50 ×50, ? x2
整理得 f(x)=-50+162x-21 000 1 =-50(x-4 050)2+307 050.

3

所以,当 x=4 050 时,f(x)最大,最大值为 f(4 050)=307 050.即当每辆车的月租金 为 4 050 元时,租赁公司的月收益最大,最大月收益为 307 050 元.

4


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