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对数函数与指数函数的导数1fteddd


3.5 对数函数与指数函数的 导数
教学要求 1掌握对数与指数的求导公式; 掌握对数与指数的求导公式; 2并能熟练运用求导公式; 并能熟练运用求导公式; 3因为这是本章最后一节,所以要复习 一下前面的内容 4培养学生用所学的新知识解决实际问 题的能力

一:对数函数的导数

1 (1) (loga x)′ = (a > 0, a ≠1). x ln a 1 (2) (ln x)′ = . x

二:指数函数的导数

(1)

( a )′ = a ln a ( a > 0, a ≠ 1).
x x

(2) (e )′ = e .
x x

例5.求下列函数的导数 求下列函数的导数

(1 )

y = 4

x

(2 ) y
x
(2)解:y ' = 1 log3 e x

=

log

3

x

(1)解: y ' = 4 ln 4
1 ( 2 )解: y ' = log 3 e x

复习
? 大家想一想我们前面所学的常用求导公式 ? 大家看一下下面几个题怎样做,边做边回 忆

1、求下列函数的导数: 求下列函数的导数:

(4)u = cos v (5) y = x + 3 x (2) y = 2 1 (3) y = log 0.2 x (6) y = ? 2 x
(1) x = sin t
a

(7 ) y = 5 x (8) y = ?2 (9) y = e
x

5

(10) y = ln x

2、已知f ( x) = x , 且f ′(1) = ?4, 求实数a.

复习 一
1.导数的几何意义: 1.导数的几何意义: 导数的几何意义 曲线在某点处的切线的斜率; 曲线在某点处的切线的斜率;
物理意义: 物理意义: 意义 物体在某一时刻的瞬时度。 物体在某一时刻的瞬时度。 (瞬时速度或瞬时加速度) 瞬时速度或瞬时加速度)

2、由定义求导数(三步法) 由定义求导数(三步法) 步骤: 步骤:

(1) 求增量 ?y = f ( x + ?x ) ? f ( x );
( 2) 算比值 ?y f ( x + ? x ) ? f ( x ) ; = ?x ?x

?y (3) 当?x → 0, → f ′( x) ?x

复习二 常见函数 的导数

几种常见函数的导数 公式一: C′ = 0 (C为常数 (kx+b)’=k 公式一: 为常数) 为常数 ’

(1)(?2 x + 3)′ =-2 (4) x′ = 1 (2)(?2 x)′ = -2 (5)( x + 5)′ = 1 (3)3′ = 0 (6)(?4)′ = 0

公式二: 公式二:

x = αx

α

α ?1

(α是常数)
3

(1) x′ = 1
(2)( x )′ = 2 x
2

(3)( x )′ = 3 x 2 1 1 (4)( )′ = ? 2 x x

通过以上公式我们能得到什么结论? 通过以上公式我们能得到什么结论?

练习: 练习:求下列函数的导数

(1) y = x

?5

(2) y = x x x

作业: 作业:(1)已知y = x , 求f ′(2).
3

解: y′ = (x3)′ = 3x3?1 = 3x2 Q

′(2) = 3×(2)2 =12 ∴f

′ = ( x?2 )′ = ?2x?2?1 = ?2x?3 Q 解: y
1 2 ∴ f ′(3) = ?2 × (3) = ?2 × = ? 27 27
?3

1 (2)已知y = 2 , 求f ′(3). x

1 作业:若直线 y = ? x + b为函数 y = 图象的切线 , x 求 b的值和切点的坐标 .
思考:变式 1 : 求曲线 y = x 在点 (1,1)处的切线方程 .
2

变式2 :已知直线y = x ? 1, 点P为y = x 上任意一点,
2

求P在什么位置时到直线的距离最短 ?

公式三: 公式三:

(sin x)′ = cos x

公式四: 公式四:

(cos x)′ = ? sin x

练习.求下列函数的导数 练习 求下列函数的导数
(1) y = sin( + x) 2 (3) y = cos(2π ? x)

π

(2) y = sin

π
3

小结: 小结:

C ′ = 0(C为常数)

x = αx (α为常数) (sin x)′ = cos x
(cos x)′ = ? sin x

α

α ?1

今天的作业,书上习题1单数2双数3 今天的作业,书上习题1单数2双数3 单双各一题。
? 并思考生活中哪些地方能用到今天所学的 知识。 ? 注意不要死记公式 ? 下节课再见!


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