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2012-2013(2)线代(理工)B卷及答案


重庆理工大学考试试卷
2012~ 2013 学年第一学期

一、单项选择(每小题 2 分,共 20 分)
1、下列各项中,为某六阶行列式中带正号的一项是( (A) a13a24a32a41a55a66 (C) a15a24a36 a41a53a62 2、设行列式 D1 ? (A) D2 ? D1 (B) a12a24a33a41a55a66

(D) a12a24a36a41a55a63 ) )

a b a ? 2c b ? 2d , D2 ? ,则 D1 与 D2 的关系为( c d 2c 2d (B) D2 ? 2 D1 (C) D2 ? 3D1 (D) D2 ? 4 D1


3、设 A 、 B 为三阶矩阵, A ? ?2, B ? 3 ,则 AT B ?1 ? ( (A)
?

1 2 3 (B) ? (C) ? (D) ?6 3 2 6 4、设 A 、 B 均为 n 阶方阵,若 AB ? O ,且 B ? O ,则必有( )

(A) ( A ? B) 2 ? A2 ? B 2 (C)
A 为不可逆阵

(B) B 为不可逆阵 (D) A ? O ) )成立.

5、设 A 为 4 阶方阵,当 R( A) ? 2 时,则 R( A* ) 为(

(A) 3 (B) 2 (C) 1 (D) 0 6、设 A 为 n 阶方阵,如果 A 经过有限次初等变换变成矩阵 B ,则( (A) A ? B (C)若 A ? 0 ,则必有 B ? 0 (B) A ? B (D)若 A ? 0 ,则必有 B ? 0

7、设 ?1 ? (1,1,1),?2 ? (1, 2,3), ?3 ? (1,3, t ) ,则当 t ? ( (A) 0 (B) 2 (C) 5 (D) 3

)时, ?1 , ? 2 , ?3 线性相关。

8、设 ?1 , ?2 , ?3 是齐次线性方程组 AX ? 0 的基础解系,则该方程组的基础解系还可以表示为 ( ) (A) ?1 ? ?3 , ?1 ? ?2 ? ?3 , ?2 ? 2?3 (C) ?1 ? ?2 , ?2 ? ?3 , ?3 ? ?1 (B) ?1 ? ?2 ? ?3 , ?2 , ?3 ? ?1 (D) ?1 ,3?3 , ?1 ? 2?2 )成立. 1 1 AT 的特征值为 1 , ? , 2 3

9、已知三阶方阵 A 的三个特征值为 1 , ?2 , 3 ,则( (A) A ?1 的特征值为 1 , ?2 , 3 (B)

-1-

(C) A ? 6

(D) A ? ?6 )

10、二次型 f ( x1, x2 , x3 ) ? x12 ? 2x22 ? 3x32 ? 2x1x2 ? 2x2 x3 的秩为( (A) 3 (B) 2 (C) 1 (D) 0

二、填空题(每小题 3 分,共 18 分)
a b 0

1、设 a , b 为实数,则当 a ?

,b ?

时, ?b a 0 ? 0 。 ?1 0 ?1

? 2? ?3? ? ? ? ? 2、设向量 ?1 ? ? 0 ? , ? 2 ? ? 1 ? ,则 2?1 ? ? 2 ? ?1? ? ?1? ? ? ? ?



3、设向量 ? ? (2,0,1), ? ? (0,1,1), ? ? (1,0, t ) ,且 ? 可由 ? , ? 线性表示,则 t ? _____ 。 4、若 4 阶矩阵 A 与 B 相似,矩阵 A 的特征值为 ?1,1, 2,3 ,则行列式 B 2 ? 2 B ? 5、设 ? ? (1, 2, 4, ?2)T , ? ? (2, ?4, ?1, k )T ,则 k ? _____ 时 ? 与 ? 正交。
? 1 ?2 0 ? 6、设 A ? ? ?2 2 1 ? ,则相应的二次型为 ? ? ?0 1 1? ? ?





三、计算题(第 1-6 小题每小题 6 分,第 7、8 小题每小题 8 分,共 52 分)
1 ?5 1 1 1、设行列式 D ? 1 1 2 2
的代数余子式。 分) (6

1 3 2 3

3 4 ,计算 A41 ? A42 ? A43 ? A44 的值,其中 Aij 表示行列式中元素 aij 3 4

? 3 ?5 0 0 ? ? ? ?1 2 0 0 ? 2、设 A= ? ,求 A ?1 。 分) (6 ?0 0 3 4? ? ? ? 0 0 ?2 ?3 ?

-2-

? 1 ?1 ? ?1 2 3、确定矩阵 A ? ? ?1 0 ? ? ?1 3

2? ? 1? 的秩,并给出一个最高阶非零子式。 分) (6 5? ? 4?

?5 ? x1 ? x2 ? 4、求非齐次线性方程组 ? 2 x1 ? x2 ? x3 ? 2 x4 ? 1 的通解。 分) (6 ?5 x ? 3x ? 2 x ? 2 x ? 3 2 3 4 ? 1 ? ?4 ?10 0 ? x 0 ? 的一个特征值为 1,求 x 。 分) 5、设 A ? ? 1 (6 ? ? ?x 6 2? ? ?

?1 ?1 ?1 1? 6、设 A ? ? (6 ? ,求一个 4 ? 2 矩阵 B ,使 AB ? 0 ,且 R( B) ? 2 。 分) ? 1 ?1 ?2 3 ?

4? ? 2? 的列向量组 ?1 , ? 2 , ?3 , ? 4 , ?5 的一个最大 2? ? 9? 线性无关组,并把不属于最大线性无关组的列向量用该最大线性无关组线性表示。 分) (8

? 1 1 ?2 1 ? 2 ?1 ?1 1 7、 求矩阵 A ? (?1 , ? 2 , ? 3 , ? 4 , ? 5 ) ? ? ? 2 ?3 1 ?1 ? ? 3 6 ?9 7

8、求一个正交变换 x ? Py ,把二次型 f ( x1, x2 , x3 ) ? 2x12 ? 2x22 ? 2x23 ? 2x2 x3 化为标准形。 (8 分)

四、证明题 (每小题 5 分,共 10 分)
1、设 A 、 B 均为 n 阶方阵,且 B ? B 2 , A ? E ? B ,证明 A 可逆,并求其逆。

2、设向量组 ?1 , ? 2 , ?3 线性无关,证明:向量组 ?1 ? 2?2 ,?2 ? ?3 ,?1 ? ?2 ? ?3 线性相关。

-3-

线性代数(理工)B 卷参考答案与评分标准 2012~ 2013 学年第一学期
一、单项选择(每小题 2 分,共 20 分)

1 B

2 B

3 A

4 C

5 D

6 C
?1? ? ? ? ?1 ? ?3? ? ?

7 C

8 D

9 D

10 A

二、填空题(每小题 3 分,共 18 分)
1、 a ?

0

,b ?

0

2、

3、

1 2

4、 0

5、 ?5

6、 f ( x1, x2 , x3 ) ? x12 ? 2x22 ? x23 ? 4x1x2 ? 2x2 x3

三、计算题(第 1-6 小题每小题 6 分,第 7、8 小题每小题 8 分,共 52 分)

1 ?5 1 1 1、设行列式 D ? 1 1 2 2
的代数余子式。 分) (6 解:

1 3 2 3

3 4 ,计算 A41 ? A42 ? A43 ? A44 的值,其中 Aij 表示行列式中元素 aij 3 4

1 ?5 1 1 A41 ? A42 ? A43 ? A44 ? 1 1 1 1 0 ?6 0 0 ? 0 0 1 1

1 3 2 1 0 2 1 1

3 4 3 1

…… 2 分

2 ?6 0 2 3 ?? 0 2 3 ?6 2 0 1 2 1

…… 6 分

-4-

? 3 ?5 0 0 ? ? ? ?1 2 0 0 ? 2、设 A= ? ,求 A ?1 。 分) (6 ?0 0 3 4? ? ? ? 0 0 ?2 ?3 ?
解: 令

?A A?? 1 ??

? 3 ?5 ? ?3 4? ? , A1 ? ? ? , A2 ? ? ? ,…… 2 分 A2 ? ? ?1 2 ? ? ?2 ?3 ?
…… 4 分

??



? 2 5 ? ?1 ? 3 4 ? A1 ? 1, A2 ? ?1,于是 A1?1 ? ? ? , A2 ? ? ?, 1 3? ?2 ?3 ? ? ?



? A ?1 A?1 ? ? 1 ? ?

?2 ? ? ? ?1 ?? A2 ?1 ? ? 0 ? ?0

5 0 0 ? ? 3 0 0 ? …… 6 分 ? 0 3 4 ? 0 ? 2 ? ? 3

? 1 ?1 ? ?1 2 3、确定矩阵 A ? ? ?1 0 ? ? ?1 3

2? ? 1? 的秩,并给出一个最高阶非零子式。 分) (6 5? ? 4?

解:由于

? 1 ?1 ? ?1 2 A?? ?1 0 ? ? ?1 3

2 ? ? ? ? 1 ? ?? ? 5 ? ? ? 4 ? ?

1? 0 0 0

1 1 1 2

?2? ? ? 3 ??? ?3? ? ? ?6?

? 1 0 0 0

1 2 ? ? 1? 3 ,……3 分 0? 0 ? 0? 0

于是矩阵的秩 R( A) ? 2 ,由于矩阵的 2 阶子式

1 ?1 ?1? 0 , ?1 2
…… 6 分

故一个最高阶非零子式为

1 ?1 。 ?1 2

?5 ? x1 ? x2 ? 4、求非齐次线性方程组 ? 2 x1 ? x2 ? x3 ? 2 x4 ? 1 的通解。 分) (6 ?5 x ? 3x ? 2 x ? 2 x ? 3 2 3 4 ? 1 ? 1 1 0 0 5 ? ?1 ? ? ? 解: B ? ? 2 1 1 2 1 ? ? ? 0 ?5 3 2 2 3 ? ?0 ? ? ? 0 1 0 1 -1 0 0 -8 ? ? 0 13 ? …… 3 分 1 2? ?

? x1 ? ? ?1? ? ?8 ? ? ? ? ? ? ? ? x2 ? ? C ? 1 ? ? ? 13 ? 于是通解为: 1 ? x3 ? ?1? ?0? ? ? ? ? ? ? ?0? ? 2? ? x4 ?

…… 6 分

-5-

? ?4 ?10 0 ? x 0 ? 的一个特征值为 1,求 x 。 分) 5、设 A ? ? 1 (6 ? ? ?x 6 2? ? ?

解:因为矩阵 A 的一个特征值为 1 ,则 A ? E ? 0 ,…… 2 分
于是

?5 1 x
故 x ? 3。

?10

0

x ? 1 0 ? ?5 x ? 15 ? 0 …… 5 分 6 1

…… 6 分

?1 ?1 ?1 1? 6、设 A ? ? (6 ? ,求一个 4 ? 2 矩阵 B ,使 AB ? 0 ,且 R( B) ? 2 。 分) ? 1 ?1 ?2 3 ?
解:根据题意,所求矩阵 B 的列向量为方程组 Ax ? 0 的解向量,由于

?1 ?1 ?1 1? ?1 ?1 0 1? A?? ??? ?, ? 1 ?1 ?2 3 ? ? 0 0 1 ?2 ?

…… 3 分

?1? ?1? ? ? ? ? ? 1 ? , ? ? ? 0 ? ,取 得方程组 Ax ? 0 的基础解系 ?1 ? ?0? 2 ? 2? ? ? ? ? ?0? ?1?

?1 ? 1 B?? ?0 ? ?0

1? ? 0? 。 2? ? 1?

…… 6 分

4? ? 2? 的列向量组 ?1 , ? 2 , ?3 , ? 4 , ?5 的一个最大 2? ? 9? 线性无关组,并把不属于最大线性无关组的列向量用该最大线性无关组线性表示。 分) (8 ? 1 1 ?2 1 ? 2 ?1 ?1 1 解: A ? (?1 , ? 2 , ? 3 , ? 4 , ? 5 ) ? ? ? 2 ?3 1 ?1 ? ? 3 6 ?9 7
则 ?1 , ?2 , ?4 为一个最大线性无关组, 且 ?3 ? ??1 ? ?2 , ?5 ? 4?1 ? 3?2 ? 3?4 。

? 1 1 ?2 1 ? 2 ?1 ?1 1 7、 求矩阵 A ? (?1 , ? 2 , ? 3 , ? 4 , ? 5 ) ? ? ? 2 ?3 1 ?1 ? ? 3 6 ?9 7

4 ? ?1 ? ? 2? ?0 ? 2? ?0 ? ? 9? ?0

0 -1 1 -1 0 0 0 0

0 4? ? 0 3? …… 3 分 1 -3 ? ? 0 0?

…… 5 分 ……8 分

-6-

8、求一个正交变换 x ? Py ,把二次型 f ( x1, x2 , x3 ) ? 2x12 ? 2x22 ? 2x23 ? 2x2 x3 化为标准形。 (8 分)
?2 ? 解:二次型的矩阵为 A ? ? 0 ?0 ? 2-?
由 A ? ?E ? 0

0 2 1

0? ? 1? 2? ?

0 2-? 1

0 1 ? (2-? )(? ? 1)(? ? 3) ? 0 得 2-?
…… 3 分

0

特征值有: ?1 ? 1, ?2 ? 2, ?3 ? 3

?1 ? 1时,解方程 ( A ? E ) x ? 0
? ? ? 0 ? ? ? ?1 0 0? ?1 0 0? ?0? ? 1 ? ? ? ? ? ? ? 由 A ? E ? ? 0 1 1 ? ? ? 0 1 1 ? 得基础解系 ?1 ? ? ?1? ,把 ?1 单位化得 p1 ? ? ? 2? ?0 1 1? ?0 0 0? ?1? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 1 ? ? ? ? 2 ?

?2 ? 2 时,解方程 ( A ? 2 E ) x ? 0
?0 0 0? ?0 1 0? ?1? ?1? ? ? ? ? ? ? ? ? 由 A ? 2 E ? ? 0 0 1 ? ? ? 0 0 1 ? 得基础解系 ? 2 ? ? 0 ? ,令 p2 ? ? 2 ? ? 0 ? ?0 1 0? ?0 0 0? ?0? ?0? ? ? ? ? ? ? ? ?

?3 ? 3 时,解方程 ( A ? 3E ) x ? 0
? ? ? ? ?1 0 0 ? ? 1 0 0 ? ?0? ? ? ? ? ? ? ? 由 A ? 5 E ? ? 0 ?1 1 ? ? ? 0 1 ?1? 得基础解系 ? 3 ? ? 1 ? ,把 ?3 单位化得 p3 ? ? ?1? ? 0 1 ?1? ? 0 0 0 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
……6 分

? 0 ? ? 1 ? 2? ? 1 ? ? 2?

? ? 0 ? ? 1 令 P ? ?? 2 ? ? 1 ? ? 2

1 0 0

? 0 ? ? 1 ? 于是有正交变换 x ? Py ,把二次型化为标准形 2? ? 1 ? ? 2?

-7-

f ? y12 ? 2 y22 ? 3 y23 。
四、证明题 (每小题 5 分,共 10 分)

……8 分

2 1、设 A 、 B 均为 n 阶方阵,且 B ? B , A ? E ? B ,证明 A 可逆,并求其逆。

证明:由于 ( B ? E)( B ? 2E) ? B2 ? B ? 2B ? 2E ,又 B ? B ,
2

故 ( B ? E)( B ? 2E) ? ?2E ,……3 分

B ? 2E ? E ,于是 A 可逆, ?2 B ? 2E 2E ? B ?1 ? 且A ? ……5 分 ?2 2
这样 ( B ? E )

2、设向量组 ?1 , ? 2 , ?3 线性无关,证明:向量组 ?1 ? 2?2 , ?2 ? ?3 ,?1 ? ?2 ? ?3 线性相关.

证明:设 k1 (?1 ? 2?2 ) ? k2 (?2 ? ?3 ) ? k3 (?1 ? ?2 ? ?3 ) ? 0 , 即 由于 ?1 ,

(k1 ? k3 )?1 ? (?2k1 ? k2 ? k3 )?2 ? (k2 ? k3 )?3 ? 0 , ……2 分

? 2 , ?3 线性无关,于是
1 0 1 1 0 1 ?k1 ? k3 ? 0 ? ??2k1 ? k2 ? k3 ? 0 ,由于 -2 1 -1 ? 0 1 1 ? 0 , ?k ? k ? 0 0 1 1 0 1 1 ? 2 3

则关于 k1 , k2 ,?, kr 的方程组有非零解, 故向量组 ?1 ? 2?2 , ?2 ? ?3 , ?1 ? ?2 ? ?3 线性相关. ……5 分

-8-


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