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2014-2015学年江苏省常州市部分四星级高中高二(下)期中数学试卷(文科) (Word版含解析)


2014-2015 学年江苏省常州市部分四星级高中高二(下)期中数学试卷(文科) 一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分.请把答案填写在答题卡相应的位 置上. 2 2015 1. (5 分) (2015 春?常州期中)计算 i+i +…+i 的值为 ﹣1 . 考点: 专题: 分析: 解答:
2

虚数单位 i 及其性质. 数系的扩充和复数. 2015 4 503 3 由于 i =(i ) ?i =﹣i.再利用等比数列当前 n 项和公式即可得出. 2015 4 503 3 解:∵i =(i ) ?i =﹣i.
2015

∴i+i +…+i

=

=

=

=﹣1.

故答案为:﹣1. 点评: 本题考查了复数的运算法则、周期性、等比数列当前 n 项和公式,考查了计算能力, 属于中档题.

2. (5 分) (2015 春?常州期中)复数

在复平面内对应的点的坐标是 (0,﹣1) .

考点: 复数代数形式的乘除运算;复数的基本概念. 专题: 计算题. 分析: 首先进行复数的除法运算,分子和分母同乘以分母的共轭复数,分子和分母进行复 数的乘法运算,得到最简形式即复数的代数形式,写出复数对应的点的坐标. 解答: 解:∵ = ,

∴复数在复平面上对应的点的坐标是(0,﹣1) 故答案为(0,﹣1) 点评: 本题考查复数的代数形式的乘除运算,考查复数在复平面上对应的点的坐标,要写 点的坐标, 需要把复数写成代数形式的标准形式, 实部做横标, 虚部做纵标, 得到点的坐标. 3. (5 分) (2015 春?常州期中)设复数 z 满足:i(z+1)=3+2i,则 z 的虚部是 ﹣3 . 考点: 专题: 分析: 解答: ∴z= 复数代数形式的乘除运算. 数系的扩充和复数. 化简已知复数,由复数的基本概念可得虚部. 解:∵复数 z 满足:i(z+1)=3+2i, ﹣1= ﹣1

=

﹣1=2﹣3i﹣1=1﹣3i,

∴复数的虚部为:﹣3,
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故答案为:﹣3. 点评: 本题考查复数的代数形式的乘除运算,涉及复数的基本概念,属基础题. 4. (5 分) (2015 春?常州期中)设全集 U={1,3,5,7,9},A={1,|a﹣5|,9},?UA={5, 7},则 a 的值为 2 或 8 . 考点: 集合关系中的参数取值问题. 专题: 常规题型. 分析: 根据题意,结合补集的性质,可得两相等集合,即得|a﹣5|=3,解出 a 即可. 解答: 解:由于全集 U={1,3,5,7,9},CUA={5,7},依据补集的性质 CU(CUA)=A 则有{1,3,9}={1,|a﹣5|,9},即|a﹣5|=3,解得:a=2 或 8. 故答案为:2 或 8. 点评: 本题考查了集合的交、补运算和集合相等,属于基础题. 5. (5 分) (2015 春?常州期中)命题“?x∈R,x ﹣x+1>0”的否定是 .
2

考点: 命题的否定. 专题: 计算题. 分析: 根据命题的否定的规则进行求解,注意“任意”的“否定”为存在; 2 解答: 解:∵命题“?x∈R,x ﹣x+1>0” ∵“任意”的否定为“存在” ∴命题的否定为: 故答案为: 点评: 此题主要考查命题的否定规则,是一道基础题,注意常见的否定词; 6. (5 分) (2015 春?常州期中) 设 x 是纯虚数, y 是实数, 且 2x﹣1+i=y﹣ (3﹣y) i, 则|x+y|= . ,

考点: 复数代数形式的乘除运算. 专题: 数系的扩充和复数. 分析: 设 x=ai(a∈R,且 a≠0) .代入 2x﹣1+i=y﹣(3﹣y)i,可得 2ai﹣1+i=y﹣(3﹣y)i, 利用复数相等、模的计算公式即可得出. 解答: 解:设 x=ai(a∈R,且 a≠0) . ∵2x﹣1+i=y﹣(3﹣y)i, ∴2ai﹣1+i=y﹣(3﹣y)i, ∴﹣1=y,2a+1=﹣(3﹣y) , 解得 y=﹣1,a=﹣ .

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x+yi=

﹣i=﹣



则|x+y|= . 故答案为: . 点评: 本题考查了复数相等、模的计算公式,属于基础题. 7. (5 分) (2015 春?常州期中)已知关于实数 x 的两个命题:p: 命题 p 是 q 的必要不充分条件,则实数 a 的取值范围是 a≥1 . 考点: 复合命题的真假. 专题: 简易逻辑. 分析: 根据不等式的解法求出 p,q 的等价条件,然后利用充分条件和必要条件的定义即可 得到结论. 解答: 解:p: <0?(x+1) (x﹣2)>0,解得 x<﹣1,或 x>2, <0,q:x+a<0,且

q:x+a<0,解得 x<﹣a, ∵命题 p 是 q 的必要不充分条件, ∴﹣a≤﹣1, 即 a≥1 故答案为:a≥1. 点评: 本题主要考查充分条件和必要条件的应用,利用不等式的性质求出 p,q 的等价条件 是解决本题的关键 8. (5 分) (2015 春?常州期中) 若函数 为奇函数, 则 a= .

考点: 函数奇偶性的性质. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 根据函数奇偶性的定义建立条件关系即可得到结论. 解答: 解:∵函数 ∴f(﹣x)=﹣f(x) 即 =﹣ , 为奇函数,

即(3x﹣1) (x+a)=(3x+1) (x﹣a) 2 2 则 3x +(3a﹣1)x﹣a=3x +(1﹣3a)x﹣a, 则 3a﹣1=1﹣3a, 即 3a﹣1=0, 解得 a= ;

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故答案为: ; 点评: 本题主要考查函数奇偶性的性质的应用, 根据条件建立方程关系是解决本题的关键. 9. (5 分) (2015 春?常州期中)将正奇数按如图所示的规律排列:则第 n(n≥4)行从左向 2 右的第 3 个数为 n ﹣n+5 .

考点: 归纳推理. 专题: 推理和证明. 分析: 由三角形数阵,知第 n 行的前面共有 1+2+3+…+(n﹣1)个连续奇数,第 n 行从左 向右的第 3 个数应为 2[ +3]﹣1. 个

解答: 解:观察三角形数阵,知第 n 行(n≥3)前共有 1+2+3+…+(n﹣1)= 连续奇数, 第 n 行(n≥3)从左向右的第 3 个数为 2[
2

+3]﹣1=n ﹣n+5;

2

故答案为:n ﹣n+5. 点评: 本题从观察数阵的排列规律,考查了数列的求和应用问题;解题时,关键是发现规 律并应用所学知识,来解答问题 10. (5 分) (2015 春?常州期中)二维空间中,正方形的一维测度(周长)l=4a(其中 a 为 2 2 正方形的边长) ,二维测度(面积)S=a ;三维空间中,正方体的二维测度(表面积)S=6a 3 (其中 a 为正方形的边长) ,三维测度(体积)V=a ;应用合情推理,若四维空间中,“超立 方”的三维测度 V=4a ,则其四维测度 W=
3



考点: 类比推理. 专题: 推理和证明. 分析: 根据所给的示例及类比推理的规则得出高维的测度的导数是底一维的测度,从而得 到 W′=V,从而求出所求. 解答: 解:二维空间中,正方形的一维测度(周长)l=4a(其中 a 为正方形的边长) ,二维 2 测度(面积)S=a ; 2 三维空间中,正方体的二维测度(表面积)S=6a (其中 a 为正方形的边长) ,三维测度(体 3 积)V=a ; 应用合情推理,若四维空间中,“超立方”的三维测度 V=4a ,则其四维测度 W=
3



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故答案为:



点评: 本题考查类比推理,解题的关键是理解类比的规律,解题的关键主要是通过所给的 示例及类比推理的规则得出高维的测度的导数是低一维的测度,属于基础题. 11. (5 分) (2015 春?常州期中)若函数 f(x)是定义在 R 上的偶函数,在区间(﹣∞,0) 上是减函数,则使 f(lnx)<f(1)的 x 的取值范围为 ( ,e) .

考点: 函数单调性的性质. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 函数 f(x)是 R 上的偶函数,且在(﹣∞,0]上是减函数,可得函数 f(x)在[0,+∞) 上是增函数,由 f(lnx)<f(1) ,即 f(|lnx|)<f(1) ,利用单调性即可得出. 解答: 解:∵函数 f(x)是 R 上的偶函数,且在(﹣∞,0]上是减函数, ∴函数 f(x)在[0,+∞)上是增函数, ∵f(lnx)<f(1) ,即 f(|lnx|)<f(1) , ∴|lnx|<1,∴﹣1<lnx<1, 解得: <x<e ∴实数 a 的取值范围是( ,e) , 故答案为: .

点评: 本题考查了函数的奇偶性、单调性,得到 f(|lnx|)<f(1)是解题的关键,属于中 档题

12. (5 分) (2015 春?常州期中)直线 y=t 与函数 f(x)= 图象分别交于 A,B 两点,则线段 AB 的长度的最小值为 .



考点: 指数函数的图像与性质. 专题: 函数的性质及应用;导数的综合应用. 分析: 由题意得到 A( t ,t) ,B(lnt,t) ,其中 t >lnt,且 t>0,表示|AB|,构造函数, 确定函数的单调性,即可求出|AB|的最小值. 解答: 解:∵直线 y=t 与函数 f(x)= 两点, ∴A( t ,t) ,B(lnt,t) ,其中 t >lnt,且 t>0, ∴|AB|= t ﹣lnt
2 2 2 2 2

的图象分别交于 A,B

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设函数 f(t)= t ﹣lnt, f′(t)=t﹣ ,t>0, 令 f′(t)=0,解得 t=1, 当 f′(t)>0,即 t>1 时,函数在(1,+∞)单调递增, 当 f′(t)<0,即 0<t<1 时,函数在(0,1)单调递减, 故 t=1 时,函数有最小值,最小值为 f(1)= , 故线段 AB 的长度的最小值为 . 故答案为: . 点评: 本题考查最值问题,考查导数知识的运用,考查学生分析解决问题的能力,属于中 档题. 13. (5 分) (2015 春?常州期中)如果函数 y=a +2a ﹣1(a>0,a≠1)在区间[﹣1,1]上的 最大值是 14,则实数 a 的值为 3 或 .
2x x

2

考点: 指数型复合函数的性质及应用. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 令 t=a ,结合指数函数和一元二次函数的性质进行求解即可. x 2 2 解答: 解:设 t=a ,则函数等价为 y=f(t)=t +2t﹣1=(t+1) ﹣2, 对称轴为 t=﹣1, 若 a>1,则 0< ≤t≤a, 此时函数的最大值为 f(a)=(a+1) ﹣2=14,即(a+1) =16, 即 a+1=4 或 a+1=﹣4, 即 a=3 或 a=﹣5(舍) , 若 0<a<1,则 0<a≤t≤ , 此时函数的最大值为 f( )=( +1) ﹣2=14,即( +1) =16, 即 +1=4 或 +1=﹣4, 即 =3 或 =﹣5(舍) , 解得 a= , 综上 3 或 ; 故答案为:3 或 ;
2 2 2 2 x

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点评: 本题主要考查指数函数的性质和应用,利用换元法结合一元二次函数的性质是解决 本题的关键. 14. (5 分) (2015 春?常州期中)已知函数 y=f(x)是定义域为 R 偶函数,当 x≥0 时,f(x)

=

,若函数 f(x)在(t,t+2)上的值域是

,则实数 t 的值

的集合为 {﹣ 考点: 专题: 分析: 解答:



﹣2} .

分段函数的应用. 函数的性质及应用. 根据函数奇偶性的性质求出函数 f(x)的表达式,利用数形结合进行求解即可. 解:∵函数 y=f(x)是定义域为 R 偶函数, =f(x) ,

∴若﹣2≤x≤0,则 0≤﹣x≤2,则 f(﹣x)= 即当﹣2≤x≤0,f(x)= ,

若 x<﹣2,则﹣x>2,则 f(﹣x)= 即当 x<﹣2,f(x)= ,

=f(x) ,

作出函数 f(x)的图象如图: 当 x=0 时,f(x)=0, 当 x=2 时,f(2)=﹣2, 由 由 由 =﹣ 得 x =3,x=± =﹣ 得 x=3, =﹣ 得 x=﹣3, ,
2



若函数的值域为 则 t<0<t+2 即﹣2<t<0, 当 t=﹣ ∵0<2﹣

时,f(t)=﹣ ,此时 t+2=2﹣ < , ,



∴满足函数的值域为 若 t+2= ∵﹣ <

时,即 f(t+2)=﹣ ,此时 t= ﹣2<0,

﹣2,

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∴满足函数的值域为 综上 t=﹣ 或 故答案为:{﹣ ﹣2, , ﹣2}



点评: 本题主要考查分段函数的应用,利用函数奇偶性的性质求出函数的解析式,利用数 形结合是解决本题的关键.综合性较强. 二、解答题:本大题共 6 小题,共计 90 分,请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文 字说明、证明或演算步骤. 15. (14 分) (2015 春?常州期中)已知命题 p:关于实数 x 的方程 x +mx+1=0 有两个不等 2 的负根;命题 q:关于实数 x 的方程 4x +4(m﹣2)x+1=0 无实根.命题“p 或 q”真,“p 且 q” 假,求实数 m 的取值范围. 考点: 复合命题的真假. 专题: 简易逻辑. 分析: 根据条件分别求出命题 p,q 的等价条件,结合复合命题之间的关系进行求解即可. 解答: 解:若方程 x +mx+1=0 有两不等的负根, 则 ,
2 2

解得 m>2 即命题 p:m>2,…(4 分) 2 若方程 4x +4(m﹣2)x+1=0 无实根, 2 2 则△ =16(m﹣2) ﹣16=16(m ﹣4m+3)<0 解得:1<m<3.即命题 q:1<m<3.…(8 分) 由题意知,命题 p、q 应一真一假, 即命题 p 为真,命题 q 为假或命题 p 为假,命题 q 为真.…(10 分) ∴ 或 ,

解得:m≥3 或 1<m≤2.…(14 分) 点评: 本题主要考查复合命题真假之间的关系以及应用,根据条件求出命题 p,q 的等价条 件是解决本题的关键.
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16. (14 分) (2015 春?常州期中)已知 z 是复数,

均为实数,

(1)求复数 z 2 (2)若复数(z+ai) 在复平面上对应的点在第一象限,求实数 a 的取值范围. 考点: 复数代数形式的乘除运算. 专题: 数系的扩充和复数. 分析: (1)设 z=x+yi(x,y∈R) ,利用复数的运算法则、复数相等即可得出; (2)利用复数的运算法则、几何意义即可得出. 解答: 解: (1)设 z=x+yi(x,y∈R) , 则 z(1+2i)=(x+yi) (1+2i)=x﹣2y+(2x+y)i∈R,则 2x+y=0, ① 则 x+2y+2=0,② 由①②解得: ∴ (2) . , , ,

在复平面上对应的点在第一象限,当且仅当:



解得:

. .

∴实数 a 的取值范围是

点评: 本题考查了复数的运算法则、复数相等、几何意义,考查了计算能力,属于中档题. 17. (14 分) (2015 春?常州期中)已知集合 A= C={x∈R|x +bx+c≥0}. (1)求 A∪B; (2)若(A∪B)∩C 为空集, (A∪B)∪C=R,求 b,c 的值. 考点: 交集及其运算;并集及其运算. 专题: 集合. 分析: (1)求出 A 中 x 的范围确定出 A,求出 B 中 y 的范围确定出 B,找出两集合的并 集即可; 2 (2)由题意得到 x +bx+c=0 必有两个不等实根,记为 x1,x2(x1<x2) ,表示出 C,根据题 意确定出 x1,x2 的值,即可求出 b 与 c 的值.
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2



解答: 解: (1)∵A=(﹣2,1) ,B=[2 ﹣4,3) , ∵2 ﹣1<1, ∴A∪B=(﹣2,3) ; 2 (2) 由题意知, 方程 x +bx+c=0 必有两个不等实根, 记为 x1, x( , C= (﹣∞, x1]∪[x2, 2 x1<x2) +∞) , 由(A∪B)∩C 为空集,得到 x1≤﹣2,x2≥3, 由(A∪B)∪C=R,得到 x1≥﹣2,x2≤3, ∴x1=﹣2,x2=3, 解得:b=﹣1,c=﹣6. 点评: 此题考查了交集及其运算,并集及其运算,熟练掌握各自的定义是解本题的关键. 18. (16 分) (2015 春?常州期中)将一个长宽分别为 2 米和 2k 米(0<k<1)的铁皮的四角 切去相同的正方形,然后折成一个无盖的长方体的盒子,记切去的正方形边长为 x(0<x< k) , (1)若 ,求这个长方体盒子的容积的最大时的 x 的值;

(2)若该长方体的盒子的对角线长有最小值,求 k 的范围.

考点: 导数在最大值、最小值问题中的应用. 专题: 计算题;应用题;函数的性质及应用;导数的综合应用. 3 2 分析: (1)化简 V=4(1﹣x) (k﹣x)x=4[x ﹣(1+k)x +kx],x∈(0,k) ,从而求导 , 值即可; (2)记长方体的盒子的对角线长度为 l 米,从而可得 ;从而确定函数的最大

,从而可得



从而解得. 3 2 解答: 解: (1)V=4(1﹣x) (k﹣x)x=4[x ﹣(1+k)x +kx],x∈(0,k) , , 解得 (舍去) , ; ;

故函数 V 在(0, )上单调递增,在( , )上单调递减;

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故这个长方体盒子的容积的最大时的 x 的值为 . (2)记长方体的盒子的对角线长度为 l 米, 则

, ∵l 有最小值, ∴ 解得 . ,

故 k 的范围为( ,1) . 点评: 本题考查了函数在实际问题中的应用及导数的综合应用,属于中档题. 19. (16 分) (2015 春?常州期中)已知函数 f(x)=x +|x﹣a|+1,x∈R, (1)当 a=0 时,判断函数 f(x)的奇偶性; (2)当 (3)当 时,求函数 f(x)的单调区间; 时,求函数 f(x)的最小值.
2

考点: 分段函数的应用;函数的单调性及单调区间;函数奇偶性的判断. 专题: 分类讨论;函数的性质及应用. 分析: (1)求出 a=0 时,f(x)的解析式,由偶函数的定义,即可判断; (2)去绝对值,结合二次函数的对称轴和单调性,可得单调区间; (3)去绝对值,讨论 a 的范围,求得单调区间,即可得到最小值. 2 解答: 解: (1)当 a=0 时,f(x)=x +|x|+1,定义域为 R, 2 2 f(﹣x)=(﹣x) +|﹣x|+1=x +|x|+1=f(x) , 则 f(x)为偶函数;

(2)当 a= 时,f(x)=



当x

时,f(x)=(x+ ) + 递增;
2

2

当 x< 时,f(x)=(x﹣ ) + ,递减. 则 f(x)的单调减区间为 ,增区间为 ;

(3)f(x)=



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(ⅰ)当

时,f(x)在 ;

上递减,在

上递增,

(ⅱ) 当

时, ( f x) 在 (﹣∞, a) 上递减, 在 (a, +∞) 上递增,



点评: 本题考查含绝对值函数的奇偶性和单调性及最值求法,注意去绝对值化为二次函数 解决,运用分类讨论的思想方法是解题的关键.

20. (16 分) (2015 春?常州期中)已知函数 (1)若直线 y=g(x)是函数

,g(x)=ax.

的图象的一条切线,求实数 a 的值;

(2)若函数 h(x)=f(x)﹣g(x)在(0,+∞)上单调递增,求实数 a 的取值范围; 2 (3)若 f(x)与 g(x)的图象有两个交点 A(x1,y1) ,B(x2,y2) ,求证:x1x2>2e . (取 e 为 2.8,取 ln2 为 0.7,取 为 1.4) 考点: 利用导数研究曲线上某点切线方程;利用导数研究函数的单调性. 专题: 综合题;导数的概念及应用. 分析: (1)求导数,利用直线 y=g(x)是函数 的图象的一条切线,求实数

a 的值; (2)把 f(x)和 g(x)代入 h(x)=f(x)﹣g(x) ,求其导函数,结合 h(x)在(0,+∞) 上单调递增,可得对?x>0,都有 h′(x)≥0,得到 a≤ ,即可得到 a 的取值范围;

(3)先证明 lnx1x2﹣

=

,证明 ln



>1,令 G

(x) =lnx﹣ , 再由导数确定 G (x) 在 (0, +∞) 上单调递增, 然后结合 ln ﹣ ≈0.85<1 得到 > e,即 x1x2>2e .
2

e﹣

= ln2+1

解答: (1)解:设切点(x0,lnx0) ,则切线方程为 y﹣lnx0= ﹣1, ∴ =a,lnx0﹣1=0,

(x﹣x0) ,即 y=

+lnx0

∴a= ; (2)解:h(x)=f(x)﹣g(x)=lnx﹣ ﹣ax﹣b,则 h′(x)= ∵函数 h(x)=f(x)﹣g(x)在(0,+∞)上单调递增, ∴x>0 时,h′(x)≥0, ﹣a,

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∴a≤


2

设 =t(t≥1) ,则 u(t)=t+t ,在(1,+∞)上单调递增, ∴u(t)min=u(1)=2, ∴a≤2; (3)证明:由题意知 =ax1,lnx2﹣ =ax2,

两式相加得 lnx1x2﹣

=a(x1+x2) ,

两式相减得



=a(x2﹣x1) ,



=a,

∴lnx1x2﹣

=(

) (x1+x2) ,

即 lnx1x2﹣

=



不妨令 0<x1<x2,记 t=

>1,

令 F(t)=lnt﹣

(t>1) ,则 F′(t)=

>0,

∴F(t)=lnt﹣ 则 F(t)=lnt﹣

在(1,+∞)上单调递增, >F(1)=0,

∴lnt>

,则





∴lnx1x2﹣

=

>2,

又 lnx1x2﹣

<lnx1x2﹣

=2ln



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∴2ln



>2,即 ln



>1

令 G(x)=lnx﹣ ,则 x>0 时,G′(x)= + ∴G(x)在(0,+∞)上单调递增, 又 ln ∴G( e﹣ = ln2+1﹣ )=ln ﹣
2

>0,

≈0.85<1, >1>ln e﹣ ,





e,即 x1x2>2e .

点评: 本题考查了利用导数研究过曲线上某点处的切线方程,考查了利用导数求函数的最 值, 体现了数学转化思想方法和函数构造法, 本题综合考查了学生的逻辑思维能力和灵活应 变能力,难度较大.

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