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《几何画板》在高中数学教学中的应用


《几何画板》在高中数学教学中的应用
对于数学科学来说主要是抽象思维和理论思维,这是事实;但从人类数学思维系 统的发展来说,形象思维是最早出现的,并在数学研究和教学中都起着重要的作用。 不难想象,一个没有得到形象思维培养的人会有很高的抽象思维、理论思维的能力。 同样,一个学生如果根本不具备数学想象力,要把数学学好那也是不可能的。正如 前苏联著名数学家 A.H.柯尔莫戈洛夫所指出的: “只要有可能,数学家总是尽力把他 们正在研究的问题从几何上视觉化。 ”因此,随着计算机多媒体的出现和飞速发展, 在网络技术广泛应用于各个领域的同时,也给学校教育带来了一场深刻的变革—— 用计算机辅助教学,改善人们的认知环境——越来越受到重视。从国外引进的教育 软件《几何画板》以其学习入门容易和操作简单的优点及其强大的图形和图象功能、 方便的动画功能被国内许多数学教师看好,并已成为制作中学数学课件的主要创作 平台之一。那么, 《几何画板》在高中数学教学中有哪些应用呢?作为一名高中数学 教师笔者就此谈几点体会: 一、 《几何画板》在高中代数教学中的应用 “函数”是中学数学中最基本、最重要的概念,它的概念和思维方法渗透在高 中数学的各个部分;同时,函数是以运动变化的观点对现实世界数量关系的一种刻 划,这又决定了它是对学生进行素质教育的重要材料。就如华罗庚所说: “数缺形少 直观,形缺数难入微。 ”函数的两种表达方式——解析式和图象——之间常常需要对 照(如研究函数的单调性、讨论方程或不等式的解的情况、比较指数函数和对数函 数图象之间的关系等) 。为了解决数形结合的问题,在有关函数的传统教学中多以教 师手工绘图,但手工绘图有不精确、速度慢的弊端;应用几何画板快速直观的显示 及变化功能则可以克服上述弊端,大大提高课堂效率,进而起到事倍功半的效果。 具体说来,可以用《几何画板》根据函数的解析式快速作出函数的图象,并可 y 以在同一个坐标系中作出多个函数的图象, 如 b 在 2 3 T A 同一个直角坐标系中作出函数 y=x 、y=x 和 1/2 y=x 的图象,比较各图象的形状和位置,归 纳 O 幂函数的性质; 还可以作出含有若干参数的函 数 x 图象,当参数变化时函数图象也相应地变化, 如 在讲函数 y=Asin(ωx+φ)的图象时,传统教 学 ? ?1 只能将 A、ω、φ代入有限个值,观察各种情 况 时的函数图象之间的关系;利用《几何画板》则可以以线段 b、T 的长度和 A 点到 x 轴的距离为参数作图(如图 1) ,当拖动两条线段的某一端点(即改变两条线段的长 度)时分别改变三角函数的首相和周期,拖动点 A 则改变其振幅 ,这样在教学时既 快速灵活,又不失一般性。 《几何画板》在高中代数的其他方面也有很多用途。例如,借助于图形对不等 式的一些性质、 定理和解法进行直观分析——由 “半径不小于半弦” 证明不等式 “a+b ≥2 ab (a、b∈R+)等;再比如,讲解数列的极限的概念时,作出数列 an=10-n 的图 形(即作出一个由离散点组成的函数图象) ,观察曲线的变化趋势,并利用《几何画 板》的制表功能以“项数、这一项的值、这一项与 0 的绝对值”列表,帮助学生直 观地理解这一较难的概念。 二、 《几何画板》在立体几何教学中的应用 立体几何是在学生已有的平面图形知识的基础上讨论空间图形的性质; 它所用的 研究方法是以公理为基础,直接依据图形的点、线、面的关系来研究图形的性质。 从平面图形到空间图形,从平面观念过渡到立体观念,无疑是认识上的一次飞跃。

初学立体几何时,大多数学生不具备丰富的空间想象的能力及较强的平面与空间图 形的转化能力,主要原因在于人们是依靠对二维平面图形的直观来感知和想象三维 空间图形的,而二维平面图形不可能成为三维空间图形的真实写照,平面上绘出的 立体图形受其视角的影响,难于综观全局,其空间形式具有很大的抽象性。如两条 互相垂直的直线不一定画成交角为直角的两条直线;正方体的各面不能都画成正方 形等。这样一来,学生不得不根据歪曲真象的图形去想象真实情况,这便给学生认 识立体几何图形增加了困难。而应用《几何画板》将图形动起来,就可以使图形中 各元素之间的位置关系和度量关系惟妙惟肖,使学生从各个不同的角度去观察图形。 这样,不仅可以帮助学生理解和接受立体几何知识,还可以让学生的想象力和创造 力得到充分发挥。 像在讲二面角的定义时(如图 2) ,当拖 动 A A 点 A 时, 点 A 所在的半平面也随之转动, 即改 变 二面角的大小, 图形的直观地变动有利于帮助 学 生 建 图2 立 空 间 观 念 和 ? ?4 ? ?3 空 间想象力;在讲棱台的概念时,可以演示由棱锥分割成棱台的过程(如图 3) ,更可 以让棱锥和棱台都转动起来,使学生在直观掌握棱台的定义,并通过棱台与棱锥的 关系由棱锥的性质得出棱台的性质的同时,让学生欣赏到数学的美,激发学生学习 数学的兴趣;在讲锥体的体积时,可以演示将三棱柱分割成三个体积相等的三棱锥 的过程(如图 4) ,既避免了学生空洞的想象而难以理解,又锻炼了学生用分割几何 体的方法解决问题的能力;在用祖恒原理推导球的体积时,运用动画和轨迹功能作图 5,当拖动点 O 时,平行于桌面的平面截球和柱锥所得截面也相应地变动,直观美丽 的画面在学生学得知识的同时,给人以美的感受,创建一个轻松、乐学的氛围。 三、 《几何画板》在平面解析几何教学中的应用 平面解析几何是用代数方法来研究几何问题的一门数学学科,它研究的主要问

O

? ?5

题,即它的基本思想和基本方法是:根据已知条件,选择适当的坐标系,借助形和 数的对应关系,求出表示平面曲线的方程,把形的问题转化为数来研究;再通过方 程,研究平面曲线的性质,把数的研究转化为形来讨论。而曲线中各几何量受各种

因素的影响而变化,导致点、线按不同的方式作运动,曲线和方程的对应关系比较 抽象,学生不易理解,显而易见,展示几何图形变形与运动的整体过程在解析几何 教学中是非常重要的。这样, 《几何画板》又以其极强的运算功能和图形图象功能在 解析几何的教与学中大显身手。如它能作出各种形式的方程(普通方程、参数方程、 极坐标方程)的曲线;能对动态的对象进行“追踪” ,并显示该对象的“轨迹” ;能 通过拖动某一对象(如点、线)观察整个图形的变化来研究两个或两个以上曲线的 位置关系。 具体地说,比如在讲平行直线系 y=x+b 或中心直线系 y=kx+2 时,如图 6 所示, 分别拖动图(1)中的点 A 和图(2) 中 y y 的点 B 时, 可以相应的看到一组斜率 为1 B A 的平行直线和过定点(0,2)的一组 直 2 线(不包括 y 轴) 。再比如在讲椭圆 的 O O x x 定义时,可以由“到两定点 F1、F2 的 距 离之和为定值的点的轨迹” 入手—— 如 (2) (1) 图 7,令线段 AB 的长为“定值” ,在 线 图6 段 AB 上取一点 E,分别以 F1 为圆心、 AE 的长为半径和以 F2 为圆心、AE 的长为半径作圆,则两圆的交点轨迹即满足要求。先 让学生猜测这样的点的轨迹是什么图形,学生各抒己见之后,老师演示图 7(1) ,学 生豁然开朗: “原来是椭圆” 。这时老师用鼠标拖动点 B(即改变线段 AB 的长) ,使得 |AB|=|F1F2|,如图 7(2) ,满足条件的点的轨迹变成了一条线段 F1F2,学生开始谨慎 起来并认真思索,不难得出图 7(3) (|AB|<|F1F2|时)的情形。经过这个过程,学生 不仅能很深刻地掌握椭圆的概念,也锻炼了其思维的严密性。 综上所述,使用《几何画板》进行数学教学,通过具体的感性的信息呈现,能给 学生留下更为深刻的印象,使学生不是把数学作为单纯的知识去理解它,而是能够 更有实感的去把握它。这样,既能激发学生的情感、培养学生的兴趣,又能大大提 高课堂效率。

A

E

B

A

E

B

A

E

B

F1

F2

F1

F2

F1

F2

(1)

(2) 图7

(3)


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