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焦半径


焦半径公式应用
椭圆焦半径
y
P B2 ?
A1

y
y

F?
O

x

F2

?

A2

?P
O
B2

l2

?
F1

O
B1

?
F2

A2

x
l2

B1

x

F1 ?
A1

l1
焦半径

l1

P ? x0 , y0 ? ? C

r1 ? PF1 ? a ? ex0 ,
r2 ? PF2 ? a ? ex0
y P
O

r1 ? PF1 ? a ? ey0 ,
r2 ? PF2 ? a ? ey0
y
F2
O

双曲线焦半径

x
P

F1

F2

x

F1

焦半径

PF1 ? ? ? ex0 ? a ? , PF2 ? ? ? ex0 ? a ?
, P 在左支上用“ ? ” P 在右支上用“ ? ”

PF1 ? ? ? ey0 ? a ? , PF2 ? ? ? ey0 ? a ?
, P 在下支上用“ ? ” P 在上支上用“ ? ”

P ? x0 , y0 ? ? C

抛物线焦半径 y y

O

F

?

x

p PF ? x0 ? 2

F?
O

x

PF ? y0 ?

p 2

焦半径定义:
圆锥曲线的焦半径为:二次曲线上任意一点 P 到焦点的距离. 椭圆焦半径:

R 左 = a + x e, R 右 = a- x e,


右支双曲线焦半径:R 左支双曲线焦半径:R 抛物线焦半径:R


= x e + a,R 右 = x e- a ( x > 0) , = - (x e + a),R 右 = - (x e- a) ( x < 0) ,
2



=x+P.
1

一. 计算焦半径

例 1.椭圆

x2 y2 ? ? 1 的焦点为 F1 、 F2 ,点 P 在椭圆上,如果线段 PF1 的中点在 y 轴 12 3

上,那么 PF1 是 PF2 的( A. 7 倍 二. 求值 B. 5 倍



C. 4 倍

D. 3 倍

例 2.(1)在椭圆

x2 y 2 ? ? 1 上求一点 P,使它与两个焦点 F1 、 F2 的连线互相垂直。 45 20

( 2) 双曲线 x ? y ? 1 的两个焦点为 F 1 、 F2 , 点 P 在双曲线上, 若 P F 1 ⊥P F 2 , 则点 P 到 x 轴的距离为_______.
9 16

2

2

三. 求变量范围

例 3. 椭圆

x2 y2 ? ? 1 的焦点为 F1 、 F2 ,点 P 为其上动点,当 9 4

为钝角时,点 P 横坐标的取值范围

是__________。

四. 求最值 例 4. F1 、 F2 是椭圆 x ? y 2 ? 1的两个焦点,P 是椭圆上的动点,求 PF1 · PF2 的最大值和最小值。
4
2

2

五. 求弦长

例 5. 求过椭圆

x2 y 2 ? ? 1 的左焦点 25 9

,倾斜角为

的弦 AB 的长度。

六. 用于证明

例 6.在双曲线

x2 y2 - =1 的上支上有三点 A(x 1 ,y 1 ),B( 26 ,6),C(x 3 ,y 3 )与 F(0,5)的距离成等差数列。 12 13

求证:AC 的垂直平分线经过某一定点。 分析;利用焦半径及等差数列概念,列出等式,可解此题。 证明:|AF| =ey 1 -a,|BF|=6e-a,|CF|= ey 3 -a,由已知得:2|BF|=|AF|+|CF|,得:y 1 + y 3 =2×6 = 12。
2 2 ? x1 ? x3 ?13 y1 ? 12 x1 ? 12 ? 13 设 AC 的中点 M(x 0 ,6),其中 x 0 = ,又 A,C 在双曲线上,于是 ? ,两式相减 2 2 2 ? ?13 y 3 ? 12 x3 ? 12 ? 13

得:13(y 3 -y 1 )(y 3 +y 1 )-12(x 3 -x 1 )(x 3 +x 1 )= 0,得:13(y 3 +y 1 )· y 3 ? y1 -12(x 3 +x 1 )=0,
x 3 ? x1

得: k AC = (0,

2 x0 13 ,所以 AC 的垂直平分线方程为:y-6=- (x-x 0 ),即 13x+x 0 (2y-25)=0,故经过定点 2 x0 13

25 )。评注:点差法是求解双曲线问题的一种常用方法。 2

优化训练
1、已知 F1,F2 是椭圆 E 的左、右焦点,抛物线 C 以 F1 为顶点,F2 为焦点,设 P 为椭圆与抛物线的一个交点, 如果椭圆 E 的离心率 e 满足 |PF1| = e | PF2 |,则 e 的值为 ( )
( A) 2 2 ( B) 2 ? 3
2

(C )

3 3

( D) 2 ? 2

x2 y ? ? 1, 2、 已知椭圆 问能否在椭圆上找一点 M , 使 M 到左准线 l 的距离 MN 是 MF1 F1 、 F2 为两焦点, 4 3
与 MF2 的等比中项?若存在,则求出点 M 的坐标;若不存在,请说明理由.

3

x2 y2 3、设 P( x0 , y0 ) 是离心率为 e 的椭圆 2 ? 2 ? 1 (a ? b ? 0) 上的一点, P 到左焦点 F1 和右焦点 F2 的距离 a b
分别为 r1 和 r2 ,求证: r1 ? a ? ex0 , r2 ? a ? ex0 .

练习答案
1、解法 1 设 F1(- c, 0 ),F2(c , 0),P(x0 , y0),于是,抛物线的方程为 3 c,椭圆的准线 m: x ? ?

y2 = 2 (4 c)(x + c) , 抛物线的准线 l:x =-

a2 , c

设点 P 到两条准线的距离分别为 d1 , d2.于是,由抛物线定义,得 d1 = | PF2 | , ………① 又由椭圆的定义得|PF1| = ed2,而 |PF1| = e | PF2 |,………………………………② 由①②得 d2 = | PF2 |, 故 d1 = d2,从而两条准线重合. ∴

? 3c ? ?

a2 1 3 .故选 (C). ? e2 ? ? e ? c 3 3
|PF1| + | PF2 | = 2a,又 |PF1| = e | PF2 |,∴ | PF2 | (1+ e) = 2a,……………………① | PF2 | = x0 + 3c, 即 x0 = | PF2 | - 3c,……………………………………………………②

解法 2 由椭圆定义得 又由抛物线定义得 由椭圆定义得

| PF2 | = a- ex0 , ………………………………………………………………………………③

由②③ 得 | PF2 | = a- e | PF2 | + 3ec,即 | PF2 | (1+ e ) = a + 3ec, ………………………………………… ④ 由①④得 2a = a + 3ec,解得 e ?

3 ,故选 (C). 3

点评 结合椭圆、抛物线的定义,并充分运用焦半径是解答本题的基本思想. 2、解:假设 M 存在,设 M

?x1,y1 ? ,由已知条件得
1 . 2

a ? 2 , b ? 3 ,∴ c ? 1 , e ?
∵左准线 l 的方程是 x ? ?4 , ∴

MN ? 4 ? x1 .

又由焦半径公式知:

MF1 ? a ? ex1 ? 2 ?

2

1 1 x1 , MF2 ? a ? ex1 ? 2 ? x1 . 2 2


MN ? MF1 ? MF2



1 ?? 1 ? ?x1 ? 4?2 ? ? ? 2 ? x1 ?? 2 ? x1 ? . ? 2 ?? 2 ?
2

整理得 5 x1 解之得 x1

? 32 x1 ? 48 ? 0 .

? ?4 或 x1 ? ?

12 . 5
4



另一方面 ? 2 ?

x1 ? 2 .



则①与②矛盾,所以满足条件的点 M 不存在. 说明: (1)利用焦半径公式解常可简化解题过程. 3、分析:本题考查椭圆的两个定义,利用椭圆第二定义,可将椭圆上点到焦点的距离转化为点到相应准线距离.

解: P 点到椭圆的左准线 l:x ? ?

a2 c

的距离,

a2 PQ ? x0 ? c



由椭圆第二定义,

PF1 PQ

? e,

∴ r1

? e PQ ? a ? ex0 ,由椭圆第一定义, r2 ? 2a ? r1 ? a ? ex0 .

说明:本题求证的是椭圆的焦半径公式,在解决与椭圆的焦半径(或焦点弦)的有关问题时,有着广泛的应用.请写出 椭圆焦点在

y 轴上的焦半径公式.

5


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