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八第三次课


角的平分线的性质

复习提问
1、角平分线的概念

P

我的长度

一条射线 把一个角分成两个相等的角, 这条射线叫做这个角的平分线。
2、点到直线距离的意义。 从直线外一点 到这条直线的垂线段 的长度, 叫做点到直线的距离。

A

O



B

A (1)工人师傅经常用角尺平分一个任 意角.做法如下: 如图, ∠AOB 是一个任意角,在边 O OA,OB上分别取OM=ON,移动角尺,使角 尺两边相同的刻度分别与M,N重合,过角 尺顶点C的射线OC便是∠AOB的平分线. 为什么?请用三角形全等的知识来说明 画法的道理. M C

N
B A

(2)如右图,是一个平分角的仪器,其中 AB=AD,BC=DC.将点A放在角的顶点,AB D 和AD沿着角的两边放下,沿AC画一条射 线AE,AE就是角平分线.你能说明它的道 理吗? (3)你能由上面的探究得出作已知角的平分线的 方法吗?

B C

E

已知:∠AOB 求作:∠AOB的平分线 做法: (1)以O为圆心,适当长为半径作弧,交 OA于M,交OB于N。 (2)分别以M、N为圆心,大于1/2MN 的长为半径作弧,两弧在∠AOB的内部交 于点C。 (3)作射线OC。射线OC即为所求。 M 0

A

C

仔 细 观 察 步 骤


A








O

折一折
A A D P O O C

E B 将∠AOB对折,在折出一个直角三角形(使第一条折痕为斜 边),然后展开,观察两次折叠形成的三条折痕,你能得出什么结论? 可以看一看,第一条折痕是∠AOB的平分线OC,第二次折叠 形成的两条折痕PD,PE是角的平分线上一点到∠AOB两边的距离, 这两个距离相等.

B

角平分线的性质定理:
定理 1 角的平分线上的点到角的两边的距离相等。
定理应用所具备的条件: (1)角的平分线; (2)点在该平分线上; D A

O E

P

C

(3)垂直距离。 定理的作用:
证明线段相等。
推理的理由有三个, 必须写完全,不能少 了任何一个。

B

应用定理的书写格式:



\ PD = PE

OP 是 ?AOB 的平分线 PD ? OA PE ? OB

(角的平分线上的点 到这个角的两边的距离相等。)

如图,由 PD ? OA 于点 D , PE ? OB 于点 E,PD= PE , 可以得到什么结论 ?

到一个角的两边的距离相等 的点, 在这个角的平分线上。
已知:如图, PD ? OA ,
PE ? OB ,垂足分别是

D

A

O E

P

A、B,PD=PE , 求证:点P在?AOB 的角平分线上。 B

定理 2 到角的两边的距离相等的点 在角 的平分线上。
已知:如图,PD ? OA, ? OB , PE 垂足分别是 D、E,PD=PE, 求证:点P在 ?AOB的角平分线上。

D

A

O E

P

证明: 作射线OP



PD ? OA

\

PE ? OB

B

?PDO ? ?PEO ? 90?
OP = OP (公共边) PD = PE ( 已 知 )

在 Rt△PDO 和Rt△PEO 中,

\ Rt?PDO≌ Rt?PEO ( HL) \ ?AOP ? ?BOP (全等三角形的对应角相等) \ 点P在 ?AOB 角的平分线上

定理 2的应用书写格式:
D

A



PD ? OA
PE ? OB

O

P

PD= PE

\OP 是 ?AOB的平分线(到一个角的

E

B 两边的距离相等的点, 在这个角的平分线上)

定理 1 在角的平分线上的点到这个角的 D 两边的距离相等。

A C

∵ \

OP 是 ?AOB 的平分线
PD ? OA
PE ? OB

O
E

P

PD = PE

用途:证线段相等

B

定理 2 到一个角的两边的距离相等的点, 在这个角的平分线上。

∵ \

PD ? OA

PE ? OB

PD = PE OP 是 ?AOB 的平分线

用途:判定一条射线是角平分线

∵ 如图,AD平分∠BAC(已知)



BD = CD ,( 在角的平分线上的点到这 )
个角的两边的距离相等。

(×)

B D C

A

∵ 如图, DC⊥AC,DB⊥AB (已知)



BD = CD ,( 在角的平分线上的点到这 )
个角的两边的距离相等。
A B C

(×)
D

不必再证全等
∵ AD平分∠BAC, DC⊥AC,DB⊥AB (已知)



DB = DC ,( 在角的平分线上的点到这个 )



角的两边的距离相等。
B

A D

C

4、△ABC中, ∠C=900,AD平分∠ CAB,且 BC=8,BD=5,求点D到AB的距离是多少?
C

D

A

E

B

例题讲解:
已知:如图,△ABC的角平分线BM、CN相交于点P. 求证:点P到三边AB、BC、CA的距离相等. 证明:过点P作PD 、PE、PF分别垂直于AB、BC、CA,垂足为D、E、F ∵BM是△ABC的角平分线,点P在BM上 ∴PD=PE (在角平分线上的点到角的两边的距离相等) 同理 PE=PF. ∴ PD=PE=PF. 即点P到边AB、BC、 CA的距离相等

A

N

P

M C

B

1 如图,DE⊥AB,DF⊥BC,垂足 分别是E,F, DE =DF, ∠EDB= 60°,则 ∠EBF= 60 度,

A E

C D

BE= BF 。

B F C

2 如图,在△ABC中,∠C=90°,DE⊥AB, ∠1=∠2,且AC=6cm,那么线段BE是△ABC 角的平分线 AC 的 ,AE+DE= 。

随堂练习3
已知:如图,△ABC 的∠B的外角的平分 线BD和∠C的外角平 分线CE相交于点P。 求证:点P在∠BAC的 平分线上。
A

B

C

E P

D

小结:
(1)角平分线的性质定理及其逆定理及作用;
(2)用这两个定理,一定要具备两个垂直距离 (即点到直线的距离),证明过程中要直接应 用这两个定理,而不要去寻找全等三角形(这 样做实际是重新证了一次定理)。

(3)怎样找三角形内到三角形三边距离相等的点。 A
P B C


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