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江苏省范水高级中学2008-2009学年高三上学期数学综合试卷4


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江苏省范水高级中学 2008-2009 学年高三上学期综合试卷 4 数学试卷 一、填空题(每小题 5 分,共 70 分)http://www.mathedu.cn 1、函数 y = sin 2 x + 3 cos 2 x 的小正周期是 。 。

2、直线 l 经过点 (?2

,1) ,且与直线 2 x ? 3 y + 5 = 0 垂直,则 l 的方程是 3、复数 z 满足 ( z ? 2i )i = 3 + 7i ,则复数 z 的模等于 。

4、某校为了了解学生的课外阅读情况,随机调查了 50 名学生,得到他们在某一天各自课外 阅读所用的时间的数据如下表: 阅读时间(小时) 人数 0 0.5 1 1.5 2 5 小时。 。 5 20 10 10 由此可以估计该校学生在这一天平均每人的课外的阅读时间为
x 5、已知函数 f ( x) = a + b ( a > 0且a ≠ 1) 图象如图所示,则 a + b 的值是

6、如图,将一个棱长为 3 的正方体木块表面涂上蓝色,然后锯成棱长为 1 的小正方体,从 中任取一块,则这一块至少有两面涂有蓝色的概率是 。 7、已知一个空间几何体的三视图如图所示,其中主视图、左视图都是由半圆和矩形组成, 根据图中标出的尺寸(单位:cm),可得这个几何体的体积是

cm3 。

2 8、抛物线 y = 4 x 上一点 A 到焦点的距离为 5 ,则点 A 到 x 轴的距离是



9、 在直角 ?ABC 中, ∠C = 90 , ∠A = 30 , BC = 1 , D 为斜边 AB 的中点, AB ? CD = 。 则
2 A = { x | lg( x ? 2) < 1} B = x | x ? x ? 2 < 0} A ∩ ?U B , , 则 = 10、 已知全集 U = R ,集合

{

。 。

11、在 ?ABC 中,角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c, a cos B = 5, b sin A = 12 ,则 a = 12、执行如图所示的程序框图,则输出的 s = 13、下列四个命题:
a b ① “ a > b” 是 “ 2 > 2 ” 成立的充要条件;



② “ a = b” 是 "lg a = lg b " 成立的充分不必要条件;

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③函数 f ( x) = ax + bx( x ∈ R ) 为奇函数的充要条件是 “ a = 0”
2

f (? x) = 1” y = f (x) 是偶函数的必要条件是 f ( x) 。 ④定义在 R 上的函数 “
其中真命题的序号是 14、已知函数 件的整数数对 (a, b) 有
3

。(把真命题的序号都填上) 定义域是 [ a, b] (a, b ∈ z ) ,值域是 [?1,0] ,则满足条

f ( x) = log 1 (? | x | +3)
对。

二、解答题 http://www.mathedu.cn 15、(本题满分 14 分) 已知 α 为锐角,

sinα =

4 1 tan(α ? β ) = 5, 3 ,求 cos 2α 和 tan β 的值。

16、(本题满分 14 分) 如图,在棱长都相等的正三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中,
B1

D, E 分 别 为 AA1 ,
A1 C1

B1C 的中点。
(1)求证: DE / / 平面ABC ; (2)求证: B1C ⊥ 平面BDE
B A C E D

17、(本题满分 14 分)

x2 y2 + 2 = 1(a > b > 0) 2 b 已知点 M 在椭圆 a 上,以 M 为圆心的圆与 x 轴相切于椭圆的右焦
点F 。
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(1)若圆 M 与 y 轴相切,求椭圆的离心率; (2) 若圆 M 与 y 轴相交于 A, B 两点, ?ABM 是边长为 2 的正三角形, 且 求椭圆的方程。 18、(本题满分 16 分) 某隧道长 2150m,通过隧道的车速不能超过 20 m/s。一列有 55 辆车身长都为 10m 的 同一车型的车队(这种型号的车能行驶的最高速为 40m/s),匀速通过该隧道,设车队的速 度为 xm/s,根据安全和车流的需要,当 0 < x ≤ 10 时,相邻两车之间保持 20m 的距离;当

1 1 ( x 2 + x) 10 < x ≤ 20 时,相邻两车之间保持 6 3 m 的距离。自第 1 辆车车头进入隧道至第
55 辆车尾离开隧道所用的时间为 y (s ) 。 (1)将 y 表示为 x 的函数。 (2)求车队通过隧道时间 y 的最小值及此时车队的速度。 19、(本题满分 16 分) 设数列

(

3 ≈ 1.73

)

{a n }是公差不为 0 的等差数列, S n 为其前 n 项和,数列 {bn }为等比数列,且

a1 = b1 = 2 , S 2 = 5b2 , S 4 = 25b3 。
求数列

{a n }和 {bn }的通项公式 a n 及 bn ; {cn }满足 cn
= S n × bn ,问当 n 为何值时, c n 取得最大值?

(2)设数列

20、(本题满分 16 分)

已知函数

f ( x) =

1 2 x ? a ln x (a ∈ R) 2

(1)若函数 f (x) 在 x = 2 处的切线方程为 y = x + b ,求 a, b 的值; (2)若函数 f (x) 在 (1,+∞) 为增函数,求 a 的取值范围; (3)讨论方程 f ( x) = 0 解的个数,并说明理由。 范水高级中学 2008-2009 学年度第一学期综合试卷 4 参考答案 填空题 http://www.mathedu.cn
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20 5 π 1、 π ;2、 3 x + 2 y + 4 = 0 ;3、 5 2 ;4、 0.9 ;5、 ? 2 ;6、 27 ;7、 3 ;8、 4

{ x | 2 < x < 12} ;11、13;12、 8 ;13、①③;14、 5 . 9、 ? 1 ;10、
二、解答题

7

∵ sin α =
15、解:

4 5

4 7 ∴ cos 2α = 1 ? 2 sin 2 α = 1 ? 2 × ( ) 2 = ? 5 25 ∴ cos α = 1 ? sin 2 α = 3 5

∵ α 为锐角
tan α =

sin α 4 = cos α 3

tan β = tan[α ? (α ? β )] =

tan α ? tan(α ? β ) 9 = 1 + tan α tan(α ? β ) 13
B1 A1

16、(1)取 BC 中点 G ,连结 AG , EG ,

∵ G , E 分别为 CB, CB1 的中点,
C1

1 EG = AA1 ∴ EG || BB1 ,且 2
又∵ 正三棱柱 ABC ? A1 B1C1 ,∴ EG || AD, EG = AD
B

D E

A G C

∴ 四边形 ADEG 为平行四边形。 ∴ AG || DE
所以

∵ AG ? 平面ABC , DE ? 平面ABC

DE || 平面ABC

由可得,取 BC 中点 G

∵ 正三棱柱 ABC ? A1 B1C1 ,∴ BB1 ⊥ 平面ABC 。
∵ AG ? 平面 ABC ,∴ AG ⊥ BB1 , ∵ G 为 BC 的中点, AB = AC , ∴ AG ⊥ BC

∴ AG ⊥ 平面BB1C1C , ∵ B1C ? 平面BB1C1C , ∴ AG ⊥ B1C
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∵ AG || DE

∴ DE ⊥ B1C ∴ B1C ⊥ BE
BE ∩ DE = E

∵ BC = BB1 , B1 E = EC

∵ BE ? 平面BDE , DE ? 平面BDE ∴ B1C ⊥ 平面BDE
17、解:(1)设

M ( x0 , y 0 ) ,圆 M 的半径为 r 。

因为椭圆的右焦点的坐标为 (c,0) ,圆 M 与 x 轴相切于点 F ,

x = c, r =| y 0 | 所以 MF ⊥ x轴 ,所以 0
2 2



x0 y + 02 = 1 2 b 因为 点 M 在椭圆上,所以 a c2 r 2 r2 c2 a2 ? c2 + 2 =1 = 1? 2 = 2 a2 b a a2 ,b r= b2 a ② r =| x0 |


将上式代入上式得

因为

r 2 b2 = a 2 ? c 2 = b 2 所以 b 2 a 2

即:

又因为圆 M 与 y 轴相切,所以 M 到 y 轴的距离等于半径 r ,即:

由①,②,③得

b2 =c a

即: b = ac
2

从而得 c + ac ? a = 0
2 2

?c? ?c? c ? ? + ? ? ?1 = 0 e = 2 ?a? a , e2 + e ?1 = 0 两边同除以 a ,得:( ? a ? ,
e= ?1± 5 2
因为 e ∈ (0,1)

2

解得:

e=

5 ?1 2 。

(2)如图,因为 ?ABM 是边长为 2 的正三角形,所以圆 M 的半径 r = 2 ,

M 到圆 y 轴的距离 d =

3

b2 r= a ,d = c 又由(1)知:

b2 =2 所以, c = 3 , a
从而有

又因为 a ? b = c
2 2

2

a 2 ? 2a ? 3 = 0 解得: a = 3 或 a = ?1 (舍去)

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b 2 = 2a = 6

x2 y2 + =1 6 所求椭圆方程是: 9

18、(1)解:当 0 < x ≤ 10 时,

y=

2150 + 10 × 55 + 20 × (55 ? 1) 3780 = x x

1 1 2150 + 10 × 55 + ( x 2 + x) × (55 ? 1) 6 3 y= x 当 10 < x ≤ 20 时, = 2700 + 9 x + 18 x

3780 ? (0 < x ≤ 10) ? x y=? 2700 ? + 9 x + 18(10 < x ≤ 20) ? x 所以,
当 x ∈ (0,10] 时,在 x = 10 时,

y min =

3780 = 378( s ) 10

当 x ∈ (10,20] 时,

y=

2700 2700 + 9 x + 18 ≥ 18 + 2 × 9 x ? = 18 + 180 3 x x

≈ 329.4( s ) 9x = 2700 x ,即: x ≈ 17.3(m / s ) 时取等号。

当且仅当

因为 17.3 ∈ (10,20] ,所以 当 x = 17.3( m / s ) 时, y min = 329.4( s ) 因为

378 > 329.4

所以,当车队的速度为 17.3( m / s ) 时,车队通过隧道时间 y 有最小值 329.4( s ) 。 19、(1)解:设数列

{a n }的公差为 d ,数列 {bn }的公比为 q 。
4×3 d = 8 + 6d b = 2q 2 2 , b2 = 2q , 3



S 2 = 2a1 + d , S 4 = 4a1 +

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? 4 + d = 10q ? 2 S 2 = 5b2 , S 4 = 25b3 得: ?8 + 6q = 50q
q= 4 2 q= 5或 5。

从而由

2 消去 d 得, 25q ? 30q + 8 = 0 ,解得:

代入得

?d = 0 ? ?q = 2 5 舍去。 ? d = 4 或 d = 0 ,因为 d ≠ 0 ,所以 ?

所以

?d = 4 ? ?q = 4 ? 5 ?
4 bn = 2q n ?1 = 2( ) n ?1 5 ,

所以

a n = 2 + (n ? 1)4 = 4n ? 2

(2)

∵ S n = na1 +

n(n ? 1) d = 2n 2 2

4 ∴ C n = S n ? bn = 4n 2 ( ) n ?1 5

假设

cn

最大,因为

c1 = 4, c 2 =

64 5

所以

c1 < c 2

n≥2

所以由

cn

最大,得

?c n ≥ c n+1 ? ? c n ≥ c n ?1

4 n ? 2 4 n ?1 ? 4n ( 5 ) ≥ 4(n + 1)( 5 ) ? 4 4 ?4n 2 ( ) n?1 ≥ 4(n ? 1)( ) n ?2 5 5 即: ?

? n 2 ? 8n ? 4 ≥ 0 ? 2 n ? 10n + 5 ≤ 0 化简得, ?
∵ 4 < 20 < 5
∵n∈ N?

解得: 4 +

20 ≤ n ≤ 5 + 20

∴ 8 < n < 10

n=9

c 即:当 n = 9 时, n 最大。 f ′( x) = x ?
20、解:(1)因为:

a x

( x > 0) ,又 f (x) 在 x = 2 处的切线方程为

y = x+b
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?2 ? a ln 2 = 2 + b ? a ? 2? =1 ? 2 ?

所以

解得: a = 2, b = ?2 ln 2

(2)若函数 f (x ) 在 (1,+∞) 上恒成立。则
2

f ′( x) = x ?

a ≥0 x 在 (1,+∞) 上恒成立,

即: a ≤ x 在 (1,+∞) 上恒成立。所以有 a ≤ 1 (3)当 a = 0 时, f (x ) 在定义域 (0,+∞) 上恒大于 0 ,此时方程无解;

当 a < 0 时, 数。

f ′( x) = x ?

a >0 x 在 (0,+∞) 上恒成立,所以 f (x ) 在定义域 (0,+∞) 上为增函

1 1 ∵ f (1) = > 0 f (e 2 ) = e a ? 1 < 0 2 2 , ,所以方程有惟一解。

1

2

当 a > 0 时,

f ′( x) = x ?

a x 2 ? a ( x + a )( x ? a) = = x x x

′ 因为当 x ∈ (0, a ) 时, f ( x ) > 0 , f (x ) 在 (0, a ) 内为减函数;
当 x ∈ ( a ,+∞) 时, f (x ) 在 ( a ,+∞) 内为增函数。

所以当事人 x =

a 时,有极小值即为最小值 f ( a) =

f ( a) =

1 1 a ? a ln a = a (1 ? ln a ) 2 2 。

当 a ∈ (0, e) 时,

1 a (1 ? ln a ) > 0 2 ,此方程无解;

当 a = e 时,

f ( a) =

1 a (1 ? ln a ) = 0. 2 此方程有惟一解 x = a 。 1 a (1 ? ln a ) < 0 2

当 a ∈ (e,+∞) 时,

f ( a) =

1 1 f( )= >0 2 因为 2 且 1 < a ,所以方程 f ( x) = 0 在区间 (0, a ) 上有惟一解,

′ 因为当 x > 1 时, ( x ? ln x) > 0 ,所以 x > ln x, f ( x) =

x ? ln x > 1

所以

1 2 1 x ? a ln x > x 2 ? ax 2 2

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2a > a > 1 ,所以
f ( x) > 1 ( 2a ) 2 ? 2a 2 = 0 2

因为

所以 方程 f ( x ) = 0 在区间 ( a ,+∞) 上有惟一解。 所以方程 f ( x ) = 0 在区间 (e,+∞) 上有惟两解。 综上所述:当 a ∈ [0, e) 时,方程无解;当 a < 0或a = e 时,方程有惟一解; 当 a > e 时方程有两解。

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