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2014-2015学年点拨高中数学必修3(R-A版)过关测试卷:第三章+概率+过关测试卷


第三章过关测试卷 (100 分,45 分钟) 一、选择题(每题 3 分,共 21 分) 1.下列结论正确的是( ) A.事件 A 的概率 P(A)必有 0<P(A)<1 B.事件 A 的概率 P(A)=0.999,则事件 A 是必然事件 C.用某种药物对患有胃溃疡的 500 名病人治疗,结果有 380 人有明显的疗效,现有胃溃疡的病人服用此药,则估 计其有明显的疗效的

可能性为 76% D.某奖券中奖率为 50%,则某人购买此券 10 张,一定有 5 张中奖 2.下列五种对某生活现象发生的表示:① “ 一定发生的 ”, ② “很可能发生的”,③ “可能发生的”,④ “不可能发生的”, ⑤ “ 不太可能发生的 ” ,其发生的概率由小到大的排列为 ( ) A.① ② ③ ④ ⑤ B.④ ⑤ ③ ② ① C.① ③ ② ⑤ ④ D.② ③ ④ ⑤ ① 3.某产品分为甲、乙、丙三级,其中乙、丙两级均属次品, 若生产中出现乙级品的概率为 0.03,出现丙级品的概率为 0.01,则对产品抽查一次抽得正品的概率是( ) A.0.09 B.0.98 C.0.97 D.0.96 4.把黑、红、白 3 张纸牌分给甲、乙、丙三人,则事件“甲 分得红牌”与“乙分得红牌”是( ) A.对立事件 B.互斥但不对立事 件 C.不可能事件 D.必然事件 5.先后抛掷两枚质地均匀的骰子各一次,设出现的点数之 和是 12,11,10 的概率依次是 P 1,P 2,P 3 ,则( A. P 1=P 2<P 3 C. P 1<P 2=P 3 B. P 1<P 2<P 3 D. P3 = P2 < P 1 )

图2 A.

ma n

B.

na m

C.

m a2 n

D.

na 2 m
二、填空题(每题 5 分,共 20 分) 8.〈义二模,文〉如图 3 所示的茎叶图记录了甲、乙两组 各四名工人 1 天加工的零件数,则甲组工人 1 天每人加工 零件的平均数为 ;若分别从甲、乙两组中随机选取一 名工人,则这两名工人加工零件的总数超过了 38 的概率 为 .

图3 图4 9.设 a 是从集合{1,2,3,4}中随机取出的一个数,b 是从 集合{1, 2, 3}中随机取出的一个数, 构成一个基本事件 ( a, b) .记“这些基本事件中,满足 logb a ≥1”为事件 E,则 E 发生的概率是 . 10.某汽车站每天均有 3 辆开往省城的分上、中、下等级的 客车.某天王先生准备在该汽车站乘车去省城办事,但他 不知道客车的车况,也不知道发车顺序.为了尽可能乘上 上等车,他采取如下策略:先放过第一辆,如果第二辆比 第一辆好则上第二辆,否则上第三辆,那么他乘上上等车 的概率为 . 11. 如图 4 ,利用随机模拟的方法可以估计图中由曲线

6.在边长为 2 的正方形 ABCD 中,E,F,G,H 分别是正 方形 ABCD 四边的中点,将均匀的粒子撒在正方形中,则 粒子落在如图 1 所示的四个图中阴影部分区域的概率依次 为P 1、P 2、P 4 ,则关于它们的大小比较,正确的是 3、P ( )

x2 y= 与两直线 x=2 及 y=0 所围成的阴影部分的面积 S:① 2
先产生两组 0~1 的均匀随机数, a=RAND ( ) , b=RAND ( ) ;② 做变换,令 x=2a,y=2b;③ 产生 N 个点(x,y) , ① ② 图1 ③ ④ 并统计落在阴影内的点(x,y)的个数 N1 ,已知某同学用 计算器做模拟试验结果,当 N= 1 000 时, N1 =332,则据此可估计 S 的值为 .

A.P 1<P 2=P 4 3<P C.P 1=P 4<P 2<P 3

B.P4 < P2 = P3 < P 1 D.P 1=P 4<P 2 3<P

7.〈海淀二模,文〉如图 2,在边长为 a 的正方形内有不规 则图形 Ω. 向正方形内随机撒豆子,若撒在图形 Ω 内和正 方形内的豆子数分别为 m,n,则图形 Ω 面积的估计值为 ( )

三、解答题(13 题 15 分,其余每题 22 分,共 59 分) 12.〈济宁高三第一次模拟,文〉 某校从参加高三年级期 中考试的学生中随机统计了 40 名学生的政治成绩,这 40 名学生的成绩全部在 40 分至 100 分之间, 据此绘制了如图 5 所示的样本频率分布直方图. (1)求成绩(单位:分)在[80,90)的学生人数; (2)从成绩大于或等于 80 分的学生中随机选 2 名学生,求

至少有 1 名学生成绩(单位:分)在

[90,100]内的概率.

(2) 若 a 是从集合 A={x|0≤x≤3}中任取一个元素,b 是从 集合 B={x|0≤x≤2}中任取一个元素, 求上述方程有实根的 概率. 图5

13.下面有两个关于“袋子中装有红、白两种颜色的相同小 球,从袋中无放回地取球”的游戏规则,这两个游戏规则公 平吗?为什么? 游戏 1 2 个红球和 2 个白球 任取 1 个球,再任取 1 个球 取出的两个球同色→甲胜 取出的两个球不同色→乙 胜 游戏 2 3 个红球和 1 个白球 任取 1 个球,再任取 1 个球 取出的两个球同色→甲胜 取出的两个球不同色→乙胜

14.设有关于 x 的一元二次方程 x ? 2ax ? b =0.
2 2

(1)若 a 是从集合 A={x∈ Z|0≤x≤3}中任取一个元素,b 是 从 集 合 B={x∈ Z|0 ≤ x ≤ 2} 中 任 取 一 个 元 素 , 求 方 程

x 2 ? 2ax ? b 2 =0 恰有两个不相等实根的概率;

参考答案及点拨 一、1.C 点拨:A 错误,应为 0≤P(A) ≤1;B 错误,必 然事件的概率为 1;C 中,380÷ 500=76%,正确;D 中, 购买此券 10 张,可能 1 张也不中奖. 2.B 3.D 4.B 点拨:根据题意,把黑、红、白 3 张纸牌分给甲、乙、 丙三人,事件“甲分得红牌”与“乙分得红牌”不会同时发生, 故两者是互斥事件,但除了“甲分得红牌”与“乙分得红牌” 之外,还有“丙分得红牌”,故两者不是对立事件,所以事 件“甲分得红牌”与“乙分得红牌”是互斥但不对立事件. 5.B 点拨: 我们列出先后抛掷两枚质地均匀的骰子各一次 出现的点数的所有的基本事件个数,再分别求出点数之和 是 12,11,10 的基本事件个数,进而求出点数之和是 12, 11,10 的概率 P 1 ,P 2 ,P 3 ,即可得到它们的大小关系.先 后抛掷两枚质地均匀的骰子各一次, 出现的点数有: (1, 1) , (1,2) , (1,3) , (1,4) , (1,5) , (1,6) , (2,1) , ( 2, 2) , (2,3) , (2,4) , (2,5) , (2,6) , (3,1) , (3,2) , (3,3) , (3,4) , (3,5) , (3,6) , (4,1) , (4,2) , ( 4, 3) , (4,4) , (4,5) , (4,6) , (5,1) , (5,2) , (5,3) , (5,4) , (5,5) , (5,6) , (6,1) , (6,2) , (6,3) , ( 6, 4) , (6,5) , (6,6) ,共 36 种,其中点数之和是 12 的有

的事件,当 b=2 时,a=2,3,4,当 b=3 时,a=3,4,共 有 3+2=5(种) ,所以根据古典概型的概率公式得到所求概

5 . 12 1 10. 点拨:共有 6 种发车顺序:① 上、中、 下 ;② 上、 2
率是 下、 中;③ 中、 上 、下;④ 中、下、 上 ;⑤ 下、中、上; ⑥ 下、 上 、中(其中画线的表示王先生所乘的车),所以他 乘上上等车的概率为

3 1 = . 6 2

11. 1.328 点拨:先由试验结果估计落入阴影内的点(x, y)的概率,再转化为几何的概型概率问题求解. 根据题意:落入阴影内的点(x,y)的概率是 矩形的面积为 4,所以

332 ,易知 1000

S 332 ≈ ,所以 S≈1.328. 4 1000

1 2 1 ; 点数之和是 11 的有 2 种, 故 P2 = = ; 36 36 18 3 1 点数之和是 10 的有 3 种, 故 P3 = = , 故P 1<P 2<P 3, 36 12
1 种, 故P 1= 故选 B. 6.D 点拨:正方形 ABCD 的面积为 2× 2=4,对于题图① , 阴影部分区域的面积为 4-4× , 所以概率为 P 1=

1 2

2 1 = ; 4 2

对于题图② ,阴影部分区域的面积为 π,所以概率为 P2 =

三、12.解:(1)因为各组的频率之和为 1,所以成绩(单位: 分 ) 在 区 间 [80 , 90) 的 频 率 为 : 1 - (0.005× 2+0.015+0.020+0.045)× 10=0.1,所以 40 名学生中成 绩(单位:分)在区间[80,90)的学生人数为 40× 0.1=4. (2)设 A 表示事件“在成绩大于或等于 80 分的学生中随机选 2 名学生,至少有 1 名学生成绩(单位:分)在区间[90, 100]内”,由已知和(1)的结果可知成绩(单位:分)在区间 [80,90)内的学生有 4 人,记这四个人分别为 a,b,c,d, 成绩(单位:分)在区间[90,100]内的学生有 2 人,记这 两个人分别为 e,f. 则选取学生的所有可能结果为:(a,b), (a,c),(a,d),(a,e),(a,f),(b,c),(b,d),(b,e), (b,f),(c,d),(c,e),(c,f),(d,e),(d,f),(e,f),基 本事件数为 15,事件 A 的可能结果为:(a,e),(a,f),(b, e),(b,f),(c,e),(c,f),(d,e),(d,f),(e,f), 基本 事件数为 9,所以 P ? A ? ?

? 1 ;对于题图③ ,阴影部分区域的面积为 4-2× =3,所 4 2 3 以概率为 P3 ? ;对于题图④,阴影部分区域的面积为 4 1 2 1 × 2× 2=2,所以概率为 P4 ? ? ,故选 D. 2 4 2 S m 7.C 点拨: 设图形 Ω 的面积为 S, 则由试验结果得 2 ≈ , a n

9 3 ? . 15 5

13. 解:游戏 1:给 2 个红球编号 A、B, 2 个白球编号 1、 2,事件“任取 1 个球,再任取 1 个球”,基本事件有:AB, A1,A2,BA,B1,B2,1A,1B,12,2A,2B,21,共 12 个.“取出的两个球同色”包含的基本事件有:AB, BA, 12,21,共 4 个.所以 P(甲胜)= =

4 1 1 = ,P(乙胜)=1- 12 3 3

ma 2 解得 S≈ ,所以选 C. n
二、8. 20; 数为

2 .因此规则是不公平的. 3

11 16

点拨:甲组工人 1 天每人加工零件的平均

1 × (18+19+21+22) =20.所有的基本事件共有 4× 4=16 4

游戏 2:给 3 个红球编号 1、2、3,1 个白球编号 m, 事件“任取 1 个球,再任取 1 个球” ,基本事件有:12,13, 1m,21,23,2m,31,32, 3m,m1, m2,m3, 共 12 个.“取 出的两个球同色”包含的基本事件有 12,13,21,23,31, 32,共 6 个. 所以 P (甲胜)=

(个) ,满足这两名工人加工零件的总数超过了 38 的基本 事件有 11 个,故这两名工人加工零件的总数超过了 38 的

1 1 1 ,P(乙胜)=1- = .因 2 2 2

11 概率为 . 16 5 9. 点拨:首先将已知的不等关系转化为 a,b 的关 12
系,再求基本事件的个数,最后求概率.试验发生包含的事 件是分别从两个集合中随机取两个数,共有 4× 3=12(种) 结果, 满足条件的事件是满足 logb a ≥1, 可以列举出所有

此规则是公平的. 14. 解: (1)由题意知 a 取集合{0,1,2,3}中任一个元素, b 取集合{0, 1, 2}中任一个元素, a, b 取值的所有情况是:(0, 0),(0,1),(0,2),(1,0),(1,1),(1,2),(2,0),(2, 1),(2,2),(3,0),(3,1),(3,2),其中第一个数表示 a 的取值, 第二个数表示 b 的取值, 即基本事件总数为 12. 记 “方程 x ? 2ax ? b ? 0 恰有两个不相等的实根”为事件
2 2

A, 其等价于 a>b. 而当 a>b 时,a,b 取值的情况有(1, 0), (2,0),(2,1), (3,0),(3,1),(3,2),即 A 包含 的基本事件数为 6,所以方程 x ? 2ax ? b ? 0 恰有两个
2 2

不相等实根的概率 P(A)=
2

6 1 = . 12 2
2

(2)设事件 B 为“方程 x ? 2ax ? b ? 0 有实根”.当 a≥0, b≥0 时,方程 x ? 2ax ? b ? 0 有实根需满足 a≥b.试验
2 2

的全部结束所构成的区域为{(a, b)|0≤a≤3, 0≤b≤2}. 构 成事件 B 的区域为{(a,b)|0≤a≤3,0≤b≤2,a≥b}(如 答图 1 所示的阴影部分) . 因此所求的概率为 P(B) =

1 3 ? 2 ? ? 22 2 2 ? . 3? 2 3

答图 1


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