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配方法(一)教学设计


第二章

一元二次方程

2.配方法(一) 石丽威
一、学生知识状况分析
学生的知识技能基础:学生在初二上学期已经学习过开平方,知道一个 正数有两个平方根,会利用开方求一个正数的两个平方根,并且也学习了完 全平方公式。在本章前面几节课中,又学习了一元二次方程的概念,并经历 了用估算法求一元二次方程的根的过程, 初步理解了

一元二次方程解的意义; 学生活动经验基础:在相关知识的学习过程中,学生已经经历了用计算 器估算一元二次方程解的过程,解决了一些简单的现实问题,感受到解一元 二次方程的必要性和作用,基于学生的学习心理规律,在学习了估算法求解 一元二次方程的基础上,学生自然会产生用简单方法求其解的欲望;同时在 以前的数学学习中学生已经经历了很多合作学习的过程,具有了一定的合作 学习的经验,具备了一定的合作与交流的能力。

二、教学任务分析
教科书基于学生用估算的方法求解一元二次方程的基础之上,提出了本 课的具体学习任务:用配方法解二次项系数为 1 且一次项系数为偶数的一元 二次方程。但这仅仅是这堂课具体的教学目标,或者说是一个近期目标。而 数学教学的远期目标, 应该与具体的课堂教学任务产生实质性联系。 《配 本课 方法》内容从属于“方程与不等式”这一数学学习领域,因而务必服务于方 程教学的远期目标: “让学生经历由具体问题抽象出方程的过程,体会方程是 刻画现实世界中数量关系的一个有效模型,并在解一元二次方程的过程中体 会转化的数学思想” 同时也应力图在学习中逐步达成学生的有关情感态度目 , 标。为此,本节课的教学目标是: 1、会用开方法解形如 ( x ? m) 2 ? n (n ? 0) 的方程,理解配方法,会用配 方法解二次项系数为 1,一次项系数为偶数的一元二次方程;

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2、经历列方程解决实际问题的过程,体会一元二次方程是刻画现实世 界中数量关系的一个有效模型,增强学生的数学应用意识和能力; 3、体会转化的数学思想方法; 4、能根据具体问题中的实际意义检验结果的合理性。

三、教学过程分析
本节课设计了五个教学环节:第一环节:复习回顾;第二环节:情境引 入;第三环节:讲授新课;第四环节:练习提高;第五环节:课堂小结;第 六环节:布置作业。

第一环节:复习回顾 活动内容:1、如果一个数的平方等于 4 ,则这个数是 的平方等于 7,则这个数是 怎样的关系? 2、用字母表示完全平方公式。 3、用估算法求方程 x 2 ? 4 x ? 2 ? 0 的解?你喜欢这种方法吗?为什么?你能 设法求出其精确解吗? 活动目的:以问题串的形式引导学生逐步深入地思考,通过前两个问题,引 导学生复习开平方和完全平方公式,通过后一个问题的回答让学生进一步体 会用估计法解一元二次方程较麻烦,激发学生的求知欲,为学生后面配方法 的学习作好铺垫。 实际效果:第 1 和第 2 问选两三个学生口答,由于问题较简单,学生很快回 答出来。第 3 问由学生独立练习,通过练习,学生既复习了估算法,同时又 进一步体会到了估算法较麻烦,达到了激发学生探索新解法的目的。 ,若一个数

。一个正数有几个平方根,它们具有

第二环节:情境引入 活动内容: (1)工人师傅想在一块足够大的长方形铁皮上裁出一个面积为 100CM2 正方形,请你帮他想一想,这个正方形的边长应为 面积为 75CM2,则其边长应为 。 (选 1 个同学口答)
2

;若它的

(2)如果一个正方形的边长增加 3cm 后,它的面积变为 64cm2 ,则原来的正 方形的边长为 。若变化后的面积为 48cm2 呢?(小组合作交流)

(3)你会解下列一元二次方程吗?(独立练习)
x2 ? 5 ;
( x ? 2) 2 ? 5 ;

x 2 ? 12 x ? 36 ? 0 。

(4) 上节课, 我们研究梯子底端滑动的距离 x(m) 满足方程 x 2 ? 12 x ? 15 ? 0 , 你能仿照上面几个方程的解题过程,求出 x 的精确解吗?你认为用这种方法解 这个方程的困难在哪里?(合作交流) 活动目的:利用实际问题,让学生初步体会开方法在解一元二次方程中的应 用,为后面学习配方法作好铺垫;培养学生善于观察分析、乐于探索研究的 学习品质及与他人合作交流的意识。 实际效果:在复习了开方的基础上,学生很快口答出了第 1 问,为解决第二 问做好了准备。第 2 问让学生合作解决,学生在交流如何求原来正方形的边 长时,产生了不同的方法,有的学生直接开方先求出了新正方形的边,再减 增加的边长,求出原来的正方形的边长;有的同学用了方程,设原正方形的 边长为 xcm ,根据题意列出了一元二次方程 ( x ? 3) 2 ? 64; ( x ? 3) 2 ? 48 然后两 边开方,根据实际情况求出了原来正方形的边长,这样,再一次经历了用一 元二次方程解决实际问题的过程,并初步了解了开方法在一元二次方程中的 简单应用。在第 2 问的基础上,学生很快解决了第 3 问。但学生在解决第 4 问时遇到了困难,他们发现等号的左端不是完全平方式,不能直接化成
( x ? m) 2 ? n (n ? 0) 的形式, 因此大部分同学认为这个方程不能用开方法解,

那么如何解决这样的方程问题呢?这就是我们本节课要来研究的问题(自然 引出课题) ,为后面探索配方法埋好了伏笔。

第三环节:讲授新课 活动内容 1:做一做: (填空配成完全平方式,体会如何配方) 填上适当的数,使下列等式成立。 (选 4 个学生口答)
x 2 ? 12 x ? _____ ? ( x ? 6) 2 x 2 ? 6 x ? ____ ? ( x ? 3) 2

3

x 2 ? 8 x ? ____ ? ( x ? ___)2

x 2 ? 4 x ? ____ ? ( x ? ___)2

问题:上面等式的左边常数项和一次项系数有什么关系?对于形如
x 2 ? ax 的式子如何配成完全平方式?(小组合作交流)

活动目的:配方法的关键是正确配方,而要正确配方就必须熟悉完全平方式 的特征,在此通过几个填空题,使学生能够用语言叙述并充分理解左边填的 是“一次项系数一半的平方” ,右边填的是“一次项系数的一半” ,进一步复 习巩固完全平方式中常数项与一次项系数的关系,为后面学习掌握配方法解 一元二次方程做好充分的准备。 实际效果:由于在复习回顾时已经复习过完全平方式,所以大部分学生很快 解决四个小填空题。通过小组的合作交流,学生发现要把形如 x 2 ? ax 的式子
a 如何配成完全平方式,只要加上一次项系数一半的平方即加上 ( ) 2 即可。而 2

且讲解中小组之间互相补充、互相竞争,气氛热烈,使如何配成完全平方式的 方法更加透彻。事实上,通过对配方的感知的过程,学生都能用自己的语言 归纳总结出配成完全平方式的方法,这就为下一环节“用配方法解一元二次 方程”打好基础。由此也反映出学生善于观察分析的良好品质,而这种品质是 在学生自觉行为中得到培养的,体现了学生良好的情感、态度、价值观。 活动内容 2:解决例题 (1)解方程:x2+8x-9=0.(师生共同解决) 解:可以把常数项移到方程的右边,得 x2+8x=9 两边都加上(一次项系数 8 的一半的平方) ,得 x2+8x+42=9+42. (x+4)2=25 开平方,得 x+4=±5,

即 x+4=5,或 x+4=-5. 所以 x1=1, x2=-9.

(2)解决梯子底部滑动问题: x 2 ? 12 x ? 15 ? 0 (仿照例 1,学生独立解决) 解:移项得 x2+12x=15,
4

两边同时加上 62 得,x2+12x+62=15+36,即(x+6)2=51 两边开平方,得 x+6=± 51 所以: x1 ? 51 ? 6 , x 2 ? ? 51 ? 6 ,但因为 x 表示梯子底部滑动的距离所以
x 2 ? ? 51 ? 6 不合题意舍去。

答:梯子底部滑动了 ( 51 ? 6) 米。 活动内容 3:及时小结、整理思路 用这种方法解一元二次方程的思路是什么?其关键又是什么?(小组合作交 流) 活动目的:通过对例 1 和例 2 的讲解,规范配方法解一元二次方程的过程, 让学生充分理解掌握用配方法解一元二次方程的基本思路及关键是将方程转 化成 ( x ? m) 2 ? n(n ? 0) 形式,同时通过例 2 提醒学生注意:有的方程虽然有 两个不同的解,但在处理实际问题时要根据实际意义检验结果的合理性,对 结果进行取舍。由于此问题在情境引入时出现过,因此也达到前后呼应的目 的。最后由问题“用这种方法解一元二次方程的思路是什么?”引出配方法 的定义。 实际效果:学生经过前一环节对配方法的特点有了初步的认识,通过两个例 题的处理,进一步完善对配方法基本思路的把握,是对配方法的学习由探求 迈向实际应用的第一步。最后利用两个问题,通过小组的合作交流得出配方 法的基本思路和解决问题的关键,结论的得出来源于学生在实例分析中的亲 身感受,体现学生学习的主动性。 活动内容 4、应用提高 例 3:如图,在一块长和宽分别是 16 米和 12 米的长方 形耕地上挖两条宽度相等的水渠,使剩余的耕地面积等于 原来长方形面积的一半,试求水渠的宽度。 (先独立思考, 再小组合作交流) 活动目的:在前两个例题的基础上,通过例 3 进一步提高学生分析问题解决 问题的能力,帮助学生熟练掌握配方法在实际问题中的应用,也为后续学习 做好铺垫。
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实际效果:大部分学生通过独立思考,结合图形很快列出了方程,在交流过 程中小组成员之间产生了分歧,有的同学认为,如果设水渠的宽为 x 米,则
1 ? 12 ? 16 ;有的同学认为如果设水渠的宽为 x 2 1 米,则方程应该是 16 ? 12 ? 12 x ? 16 x ? x 2 ? ? 12 ? 16 ,并且给出了合理的解 2

方程应该是 (16 ? x)(12 ? x) ?

释;有的同学则认为,如果剩余的耕地面积等于原来的一半则意味着水渠的 面积也等于原来长方形面积的一半,所以方程可以列为:
12 x ? 16 x ? x 2 ? 1 ? 12 ? 16 。面对这些问题,组织学生解他们 2

所列出的几个方程,然后再让小组成员合作交流讨论,通过 讨论,学生发现这三种方法都正确,并且指出第一种方法可 以利用平移水渠,把分割成的四部分拼在一起,构成了一个较大的矩形(如 下图) ,然后再利用矩形的面积公式列出方程,此种方法在解决此类问题时最 简单。这样通过学生之间的争论、辩论提高了课堂效率,激发了学生学习数 学的热情,达到了资源共享。

第四环节:练习与提高 活动内容:解下列方程
(1) x 2 ? 10 x ? 25 ? 7; (2) x 2 ? 6 x ? 1; (3) x( x ? 14) ? 0(4) x 2 ? 8x ? 9

活动目的:对本节知识进行巩固练习。 实际效果:此处留给学生充分的时间与空间进行独立练习,通过练习,学生 基本都能用配方法解解二次项系数为 1、一次项系数为偶数的一元二次方程, 取得了较好的教学效果,加深了学生对“用配方法解简单一元二次方程”的 理解。

第五环节:课堂小结 活动内容:师生互相交流、总结配方法解一元二次方程的基本思路和关键, 以及在应用配方法时应注意的问题。 活动目的:鼓励学生结合本节课的学习,谈自己的收获与感想(学生畅所欲 言,教师给予鼓励) 。
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实际效果:学生畅所欲言谈自己的切身感受与实际收获,掌握了配方法的基 本思路和过程。

第六环节:布置作业 课本 50 页习题 2.3 1 题、2 题

四、教学反思
1、 创造性地使用教材 教材只是为教师提供最基本的教学素材,教师完全可以根据学生的实际 情况进行适当调整。学生在初一、初二已经学过完全平方公式和如何对一个 正数进行开方运算,而且普遍掌握较好,所以本节课从这两个方面入手,利 用几个简单的实际问题逐步引入配方法。教学中将难点放在探索如何配方 上,重点放在配方法的应用上。本节课老师安排了三个例题,通过前两个例 题规范用配方法解一元二次方程的过程,帮助学生充分掌握用配方法解一元 二次方程的技巧,同时本节课创造性地使用教材,把配方法(3)中的一个 是设计方案问题改编成一个实际应用问题,让学生体会到了方程在实际问题 中的应用,感受到了数学的实际价值。培养了学生分析问题,解决问题的能 力。 2、 相信学生并为学生提供充分展示自己的机会 课堂上要把激发学生学习热情和获得学习能力放在教学首位,通过运用 各种启发、激励的语言,以及组织小组合作学习,帮助学生形成积极主动的 求知态度。本节课多次组织学生合作交流,通过小组合作,为学生提供展示 自己聪明才智的机会,并且在此过程中教师发现了学生在分析问题和解决问 题时出现的独到见解,以及思维的误区,这样使得老师可以更好地指导今后 的教学。 3、注意改进的方面 在小组讨论之前,应该留给学生充分的独立思考的时间,不要让一些思 维活跃的学生的回答代替了其他学生的思考,掩盖了其他学生的疑问。教师 应对小组讨论给予适当的指导,包括知识的启发引导、学生交流合作中注意

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的问题及对困难学生的帮助等,使小组合作学习更具实效性。

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