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2015高中数学 2.1合情推理与演绎推理练习 新人教A版选修2-2


2015 高中数学 2.1 合情推理与演绎推理练习 新人教 A 版选修 2-2

一、选择题 1.观察图形规律,在其右下角的空格内画上合适的图形为( A. C.? [答案] A [解析] 观察可发现规律:①每行、每列中,方、圆、三角三种形状均各出现一次,② 每行、每列有两阴影一空白,即得结果. 2.在数列{an}中,a1=0,an+1=2an+2,则猜想 an

=( A.2 C.2
n-2

)

B.△ D.○

)

1 - 2 +1

B.2 -2 D.2
n+1

n

n-1

-4

[答案] B [解析] ∵a1=0=2 -2, ∴a2=2a1+2=2=2 -2,
2 1

a3=2a2+2=4+2=6=23-2, a4=2a3+2=12+2=14=24-2,
?? 猜想 an=2 -2.故应选 B. 3.数列{an}:2,5,11,20,x,47,?中的 x 等于( A.28 C.33 [答案] B [解析] 因为 5-2=3×1,11-5=6=3×2,20-11=9=3×3,猜测 x-20=3×4,47 -x=3×5,推知 x=32.故应选 B. 4.用火柴棒摆“金鱼”,如图所示, B.32 D.27 )
n

按照上面的规律,第 n 个“金鱼”图需要火柴棒的根数为( A.6n-2 C.6n+2 [答案] C B.8n-2 D.8n+2

)

1

[解析] 从①②③可以看出, 从第②个图开始每个图中的火柴棒都比前一个图中的火柴 棒多 6 根,故火柴棒数成等差数列,第一个图中火柴棒为 8 根,故可归纳出第 n 个“金鱼” 图需火柴棒的根数为 6n+2. 5.图(1)、图(2)、图(3)、图(4)分别包含 1、5、13 和 25 个互不重叠的单位正方形, 按同样的方式构造图形,则第 n 个图包含________个互不重叠的单位正方形.( )

A.n -2n+1 C.2n +2 [答案] B
2

2

B.2n -2n+1 D.2n -n+1
2

2

[解析] 观察题中给出的四个图形, 图(1)共有 1 个正方形, 图(2)共有 1 +2 个正方形; 图(3)共有 2 +3 个正方形;图(4)共有 3 +4 个正方形;则第 n 个图中共有(n-1) +n ,即 2n -2n+1 个正方形. 6.n 个连续自然数按规律排列下表: 01234567891011? 根据规律,从 2010 到 2012 箭头的方向依次为( A.↓→ C.↑→ [答案] C [解析] 观察特例的规律知: 位置相同的数字都是以 4 为公差的等差数列, 由 234 可知 从 2010 到 2012 为↑→,故应选 C. 二、填空题 7.观察下列等式: 1 =1, 1 -2 =-3, 1 -2 +3 =6, 1 -2 +3 -4 =-10, ?? 由以上等式推测到一个一般的结论:对于 n ? N 1 - 2 + 3 - 4 +?+ ( - 1) ________. [答案] (-1)
n+1
*, 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

2

2

2

)

B.→↑ D.→↓

n+1 2

n=

n2+n
2

2

[解析] 注意到第 n 个等式的左边有 n 项, 右边的结果的绝对值恰好等于左边的各项的 所有底数的和, 即右边的结果的绝对值等于 1+2+3+?+n=

n n+
2



n2+n
2

, 注意到右

边的结果的符号的规律是:当 n 为奇数时,符号为正;当 n 为偶数时,符号为负,因此所填 的结果是(-1)
n+1

n2+n
2

.

8.(2013·陕西文,13)观察下列等式: (1+1)=2×1; (2+1)(2+2)=2 ×1×3; (3+1)(3+2)(3+3)=2 ×1×3×5; ?? 照此规律,第 n 个等式可为__________________________________. [答案] (n+1)(n+2)?(n+n)=2 ×1×3×?×(2n-1) [解析] 观察规律,等号左侧第 n 个等式共有 n 项相乘,从 n+1 到 n+n,等式右端是 2 与 等 差 数 列 {2n - 1} 前 n 项 的 乘 积 , 故 第 n 个 等 式 为 (n + 1)(n + 2)?(n + n) = 2 ×1×3×?×(2n-1). 9. 观察下图中各正方形图案, 每条边上有 n(n≥2)个圆圈, 每个图案中圆圈的总数是 S, 按此规律推出 S 与 n 的关系式为________.
n n n
3 2

[答案] S=4(n-1)(n≥2) [解析] 每条边上有 2 个圆圈时共有 S=4 个;每条边上有 3 个圆圈时,共有 S=8 个; 每条边上有 4 个圆圈时,共有 S=12 个.可见每条边上增加一个点,则 S 增加 4,∴S 与 n 的关系为 S=4(n-1)(n≥2). 三、解答题 10.证明下列等式,并从中归纳出一个一般性的结论. π 2cos = 2, 4 π 2cos = 2+ 2, 8 π 2cos = 16 ?? 2+ 2+ 2,

3

π 2 [证明] 2cos =2· = 2 4 2 π 1+cos 4 =2· 2 π 1+cos 8 2 1+ 2 2 2

π 2cos =2 8

= 2+ 2

π 2cos =2 16

=2 ?

1 1+ 2+ 2 2 = 2

2+ 2+ 2

观察上述等式可以发现,第 n 个等式右端有 n 个根号,n 个 2,左端“角”的分母为 π 2, 3, 4 2 2 2 ,?,故第 n 个等式的左端应为 2cos n+1,由此可归纳出一般性的结论为: 2 π 2cos n+1= 2 2+ n2 + 2+? 个根号

一、选择题 11.已知数列{an}的前 n 项和 Sn=n an(n≥2),而 a1=1,通过计算 a2、a3、a4,猜想 an 等于( A. ) 2
2

n+

2

B.

2

n n+

2 C. n 2 -1 [答案] B [解析] 因为 Sn=n an,a1=1, 1 2 所以 S2=4a2=a1+a2? a2= = , 3 3×2
2

2 D. 2n-1

a1+a2 1 2 S3=9a3=a1+a2+a3? a3= = = ,
8 6 4×3

S4=16a4=a1+a2+a3+a4
? a4=

a1+a2+a3
15

1 2 = = . 10 5×4 2 n+ ,故应选 B.
4 3

所以猜想 an=
2

n

12.观察(x )′=2x,(x )′=4x ,(cosx)′=-sinx,由归纳推理可得:若定义在 R

4

上的函数 f(x)满足 f(-x)=f(x),记 g(x)为 f(x)的导函数,则 g(-x)=( A.f(x) C.g(x) [答案] D B.-f(x) D.-g(x)

)

[解析] 本题考查了推理证明及函数的奇偶性内容, 由例子可看出偶函数求导后都变成 了奇函数, ∴g(-x)=-g(x),选 D,体现了对学生观察能力,概括归纳推理能力的考查. 13.把 1、3、6、10、15、21、?这些数叫做三角形数,这是因为这些数目的点子可以 排成一个正三角形(如下图),

试求第七个三角形数是( A.27 C.29 [答案] B

) B.28 D.30

[解析] 观察归纳可知第 n 个三角形数共有点数:1+2+3+4+?+n= ∴第七个三角形数为 二、填空题 + 2 =28.

n n+
2

个,

14. 下面是一系列有机物的结构简图, 图中的“小黑点”表示原子, 两黑点间的“连线” 表示化学键,按图中结构第 n 个图有________个原子,有________个化学键.

[答案] 4n+2,5n+1 [解析] 第 1、2、3 个图形中分别有原子个数为 6,6+4,6+4×2,故第 n 个图形有原 子 6+4×(n-1)=4n+2 个. 第 1、2、3 个图形中,化学键个数依次为 6、6+5、6+5×2、? ∴第 n 个图形化学键个数为 6+5×(n-1)=5n+1. 15.(2014·三峡名校联盟联考)观察下列不等式: 1 3 1+ 2< , 2 2
5

1 1 5 1+ 2+ 2< , 2 3 3 1 1 1 7 1+ 2+ 2+ 2< , 2 3 4 4 ?? 照此规律,第五个 不等式为____________________________. ... 1 1 1 1 1 11 [答案] 1+ 2+ 2+ 2+ 2+ 2< 2 3 4 5 6 6 [解析] 本题考查了归纳的思想方法. 观察可以发现, 第 n(n≥2)个不等式左端有 n+1 项, 分子为 1, 分母依次为 1 、 2、 3、 ?、 1 1 1 2 (n+1) ; 右端分母为 n+1, 分子成等差数列, 因此第 n 个不等式为 1+ 2+ 2+?+ 2 3 n+ < 2n+1 , n+1 所以第五个不等式为: 1 1 1 1 1 11 1+ 2+ 2+ 2+ 2+ 2< . 2 3 4 5 6 6 1 1 1 9 16.(2013·新疆兵团二师华山中学高二期中)在△ABC 中,不等式 + + ≥ 成立, A B C π 1 1 1 1 16 在四边形 ABCD 中,不等式 + + + ≥ 成立, A B C D 2π 1 1 1 1 1 25 在五边形 ABCDE 中,不等式 + + + + ≥ 成立,猜想在 n 边形 A1A2?An 中,有不 A B C D E 3π 等式__________________________成立. [答案] 1
2 2 2 2

A1 A2

+ +?+ ≥

1

1

n2 n-
π

An

(n≥3)
2

9 16 25 n [解析] 根据已知特殊的数值: 、 、 , ?, 总结归纳出一般性的规律: π 2π 3π n- (n≥3). 1 1 1 ∴在 n 边形 A1A2?An 中: + +?+ ≥

π

n2 n-
π

A1 A2

An

(n≥3).

三、解答题 3 2 2 2 17.(2013·西宁质检)已知等式 sin 10°+cos 40°+sin10°cos40°= ,sin 6°+ 4 3 2 cos 36°+sin6°cos36°= .请写出一个具有一 般性的等式,使你写出的等式包含已知的 4 等式,并证明结论的正确性.

6

3 2 2 [解析] 等式为 sin α +cos (30°+α )+sinα cos(30°+α )= .证明 如下: 4 sin α +cos (30°+α )+sinα cos(30°+α ) = sin α + sin α +
2 2 2 2

1+ +2α 2

0°+2a 2 +

1 + sinα (cos30°·cosα - sin30°·sinα ) = + 2

3 1 1 1 1 3 2 2 sin2α - sin α = + sin α + ( cos2α - sin2α )+ 4 2 2 2 2 2

3 1 1 1 3 3 1 1 1 2 2 2 2 sin2α - sin α = +sin α + cos2α - sin2α + sin2α - sin α = + sin α 4 2 2 4 4 4 2 2 2 1 3 2 + (1-2sin α )= . 4 4 选修 2-2 第二章 2.1 2.1.1 第 2 课时

一、选择题 1.下面几种推理是合情推理的是( ①由圆的性质类比出球的有关性质 ②由直角三角形、等腰三角形、等边三角形的内角和是 180°,归纳出所有三角形的内 角和都是 180° ③教室内有一把椅子坏了,则猜想该教室内的所有椅子都坏了 ④三角形内角和是 180°,四边形内角和是 360°,五边形内角和是 540°,由此得出 凸 n 边形的内角和是(n-2)·180°(n?N ,且 n≥3) A.①② C.①②④ [答案] C [解析] ①是类比推理;②④是归纳推理,∴①②④都是合情推理. 2.(2013·华池一中期中)平面几何中,有边长为 a 的正三角形内任一点到三边距离之 和为定值 3 a,类比上述命题,棱长为 a 的正四面体内任一点到四个面的距离之和为( 2 B. D. 6 a 3 6 a 4 ) B.①③④ D.②④
*

)

A. C.

4 a 3 5 a 4

[答案] B [解析] 将正三角形一边上的高 3 6 a 类比到正四面体一个面上的高 a,由正三角形 2 3

“分割成以三条边为底的三个三角形面积的和等于正三角形的面积”, 方法类比为“将四面
7

体分割成以各面为底的三棱锥体积之和等于四面体的体积”证明. 3.类比平面内“垂直于同一条直线的两条直线互相平行”的性质,可推出下列空间结 论: ①垂直于同一条直线的两条直线互相平行;②垂直于同一个平面的两条直线互相平行; ③垂直于同一条直线的两个平面互相平行; ④垂直于同一平面的两个平面互相平行, 则其中 正确的结论是( A.①② C.③④ [答案] B [解析] 根据立体几何中线面之间的位置关系知,②③是正确的结论. 4.(2014·长安一中、高新一中、交大附中、师大附中、西安中学一模)设△ABC 的三 边长分别为 a、b、c,△ABC 的面积为 S,内切圆半径为 r,则 r= 2S ;类比这个结论 a+b+c ) B.②③ D.①④

可知:四面体 P-ABC 的四个面的面积分别为 S1、S2、S3、S4,内切球的半径为 r,四面体 P -ABC 的体积为 V,则 r=( A. C. ) B. D. 2V S1+S2+S3+S4 4V S1+S2+S3+S4

V

S1+S2+S3+S4

3V S1+S2+S3+S4

[答案] C [解析] 将△ABC 的三条边长 a、b、c 类比到四面体 P-ABC 的四个面面积 S1、S2、S3、

S4,将三角形面积公式中系数 ,类比到三棱锥体积公式中系数 ,从而可知选 C.
1 证明如下:以四面体各面为底,内切球心 O 为顶点的各三棱锥体积的和为 V,∴V= S1r 3 1 1 1 3V + S2r+ S3r+ S4r,∴r= . 3 3 3 S1+S2+S3+S4 5.给出下面类比推理命题(其中 Q 为有理数集,R 为实数集,C 为复数集): ①“若 a,b?R,则 a-b>0? a>b”类比推出“若 a,b?C,则 a-b>0? a>b”; ②“若 a,b,c,d?R,则复数 a+bi=c+di? a=c,b=d”类比推出“若 a,b,c,

1 2

1 3

d?Q,则 a+b 2=c+d 2? a=c,b=d”;
③若“a,b?R,则 a-b=0? a=b”类比推出“若 a,b?C,则 a-b=0? a=b”.其 中类比结论正确的个数是( A.0 C.2 [答案] C
8

) B.1 D.3

[解析] 在实数集中,a>b?a-b>0,但在复数集中,不全为实数的两个数不能比较大 小,如 a=2+i,b=1+i,有 a-b=1>0,但 a>b 不成立;∵a、b、c、d?Q,∴a-c,b -d?Q,∵a+b 2=c+d 2,∴(a-c)+(b-d) 2=0,∴?
?a-c=0 ? ? ?b-d=0

,∴?

?a=c ? ? ?b=d

,故

②正确;由复数相等的定义知,若 a=x1+y1i(x1、y1?R),b=x2+y2i(x2、y2?R),则由 a -b=(x1-x2)+(y1-y2)i=0? ?
? ?x1-x2=0 ?y1-y2=0 ?

,∴?

? ?x1=x2 ?y1=y2 ?

,∴a=b,故③正确.

6.由代数式的乘法法则类比得到向量的数量积的运算法则: ①“mn=nm”类比得到“a·b=b·a”; ②“(m+n)t=mt+nt”类比得到“(a+b)·c=a·c+b·c”; ③“(m·n)t=m(n·t)”类比得到“(a·b)·c=a·(b·c)”; ④“t≠0,mt=xt? m=x”类比得到“p≠0,a·p=x·p? a=x”; ⑤“|m·n|=|m|·|n|”类比得到“|a·b|=|a|·|b|”; ⑥“ = ”类比得到“

ac a bc b

a·c a = ”. b·c b
) B.2 D.4

其中类比结论正确的个数是( A.1 C.3 [答案] B

[解析] 由向量的有关运算法则知①②正确,③④⑤⑥都不正确,故应选 B. 二、填空题 1 7.设 f(x)= x ,利用课本中推导等差数列前 n 项和公式的方法,可求得 f(-5) 2+ 2 +f(-4)+?+f(0)+?+f(5)+f(6)的值为________. [答案] 3 2 [解析] 本题是“方法类比”. 因等比数列前 n 项和公式的推导方法是倒序相加, 亦即 首尾相加,那么经类比不难想到 f(-5)+f(-4)+?+f(0)+?+f(5)+f(6)=[f(-5)+

f(6)]+[f(-4)+f(5)]+?+[f(0)+f(1)],
1 1 而当 x1+x2=1 时,有 f(x1)+f(x2)= + 2x1+ 2 2x2+ 2 = 2 2+ 2 1

x1+2x2 2 2+ x1+2x2 = x1+2x2 +2x1+x2+2 2 x1+2x2+2 2



2 2 = ,故所求答案为 6× =3 2. 2 2 2

8.在等差数列{an}中,若 a10=0,则有等式 a1+a2+?+an=a1+a2+?+a19-n(n<19,n
9

?N )成立,类比上述性质,相应地:在等比数列{bn}中,若 b9=1,则有等式________成立. [答案] b1b2?bn=b1b2?b17-n(n<17,n?N ) [解析] 解法 1:从分析所提供的性质入手:由 a10=0,可得 ak+a20-k=0,因而当 n<19 -n 时,有 a1+a2+?+a19-n=a1+a2+?+an+an+1+an+2+?+a19-n, 而 an+1+an+2+?+a19-n= -n 时的情形. 由此可知:等差数列{an}之所以有等式成立的性质,关键在于在等差数列中有性质:an
+1 *

*

-2n 2

an+1+a19-n

=0,∴等式成立.同理可得 n>19

+a19-n=2a10=0,类似地,在等比数列{bn}中,也有性质:bn+1·b17-n=b9=1,因而得到答
*

2

案:b1b2?bn=b1b2?b17-n(n<17,n?N ). 解法 2:因为在等差数列中有“和”的性质 a1+a2+?+an=a1+a2+?+a19-n(n<19,

n?N*)成立,故在等比数列{bn}中,由 b9=1,可知应有“积”的性质 b1b2?bn=b1b2?b17-n(n
<17,n?N )成立. (1) 证明如下:当 n<8 时,等式(1)为 b1b2?bn=b1b2?bnbn+1?b17-n, 即:bn+1·bn+2?b17-n=1.(2) ∵b9=1,∴bk+1·b17-k=b9=1. ∴bn+1bn+2?b17-n=b9
17-2n 2 *

=1.

∴(2)式成立,即(1)式成立; 当 n=8 时,(1)式即:b9=1 显然成立; 当 8<n<17 时,(1)式即:

b1b2?b17-n·b18-n·?bn=b1b2?b17-n,
即:b18-n·b19-n?bn=1(3) ∵b9=1,∴b18-k·bk=b9=1, ∴b18-nb19-n·?·bn=b9
2n-17 2

=1,

∴(3)式成立,即(1)式成立. 综上可知,当等比数列{bn}满足 b9=1 时,有:

b1b2?bn=b1b2?b17-n(n<17,n?N*)成立.
9.已知等差数列{an}的公差为 d,前 n 项和为 Sn,等比数列{bn}的公比为 q,前 n 项积 为 Tn,类比等差数列的性质,填写等比数列的相应性质(m,n,k,w?N ). 等差数列 等比数列
*

an=a1+(n-1)d an=am+(n-m)d
若 m+n=k+w,则 am+an=ak+aw 若 m+n=2w,则 am+an=2aw

10

Sn,S2n-Sn,S3n-S2n 构成等差数列
[答案] an=a1q =aw Tn,
2

n-1

an=amqn-m 若 m+n=k+w, 则 aman=ak·aw 若 m+n=2w, 则 am·an

T2n T3n , 构成等比数列 Tn T2n

三、解答题 10.先解答(1),再根据结构类比解答(2). (1)已知 a、b 为实数,且|a|<1,|b|<1,求证:ab+1>a+b. (2)已知 a、b、c 均为实数,且|a|<1,|b|<1,|c|<1,求证:abc+2>a+b+c. [解析] (1)ab+1-(a+b)=(a-1)(b-1)>0. (2)∵|a|<1,|b|<1,|c|<1,据(1)得(ab)·c+1>ab+c, ∴abc+2=[(ab)·c+1]+1>(ab+c)+1=(ab+1)+c>a+b+c. [点评] (1)与(2)的条件与结论有着相同的结构,通过分析(1)的推证过程及结论的构 成进行类比推广得出:(ab)·c+1>ab+c 是关键. 用归纳推理可推出更一般的结论:ai 为实数,|ai|<1,i=1、2、?、n,则有:a1a2?an +(n-1)>a1+a2+?+an.

一、选择题 11.下列类比推理恰当的是( )

A.把 a(b+c)与 loga(x+y)类比,则有 loga(x+y)=logax+logay B.把 a(b+c)与 sin(x+y)类比,则有 sin(x+y)=sinx+siny C.把(ab) 与(a+b) 类比,则有(a+b) =a +b
n n n n n

D.把 a(b+c)与 a·(b+c)类比,则有 a·(b+c)=a·b+a·c [答案] D [解析] 选项 A,B,C 没有从本质属性上类比,是简单类比,从而出现错误. 5- 1 → → 12.如图所示,椭圆中心在坐标原点,F 为左焦点,当FB⊥AB时,其离心率为 , 2 此类椭圆被称为“黄金椭圆”.类比“黄金椭圆”,可推算出“黄金双曲线”的离心率 e 等于( )

A.

5+1 2

B.

5-1 2

C. 5-1

D. 5+1
11

[答案] A [解析] 如图所示,设双曲线方程为 2- 2=1(a>0,b>0), 则 F(-c,0),B(0,b),A(a,0), → → ∴FB=(c,b),AB=(-a,b), → → → → 2 又∵FB⊥AB,∴FB·AB=b -ac=0, ∴c -a -ac=0, ∴e -e-1=0, 1+ 5 1- 5 ∴e= 或 e= (舍去), 2 2 故应选 A. 13.(2013·辽师大附中期中)类比三角形中的性质: (1)两边之和大于第三边 (2)中位线长等于底边长的一半 (3)三内角平分线交于一点 可得四面体的对应性质: (1)任意三个面的面积之和大于第四个面的面积 1 (2)过四面体的交于同一顶点的三条棱的中点的平面面积等于该顶点所对的面面积的 4 (3)四面体的六个二面角的平分面交于一点 其中类比推理方法正确的有( A.(1) C.(1)(2)(3) [答案] C [解析] 以上类比推理方法都正确,需注意的是类比推理得到的结论是否正确与类比 ) B.(1)(2) D.都不对
2 2 2

x2 y2 a b

推理方法是否正确并不等价,方法正确结论也不一定正确. 二、填空题 14.(2014·阜阳一中模拟)若等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,则 S2n-1=(2n-1)an.由类 比推理可得:在等比数列{bn}中,若其前 n 项的积为 Pn,则 P2n-1=________. [答案] bn
2n-1

[解析] 将等差数列前 n 项和类比到等比数列前 n 项的积, 将等差中项的“倍数”类比 到等比中项的“乘方”.因为等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,则 S2n-1=(2n-1)an.所以类比 可得:在等比数列{bn}中,若其前 n 项的积为 Pn,则 P2n-1=bn
2n-1

.

15.(2014·湖南长沙实验中学、沙城一中联考)在平面几何里有射影定理:设△ABC 的

12

两边 AB⊥AC,D 是 A 点在 BC 上的射影,则 AB =BD·BC.拓展到空间,在四面体 A-BCD 中,

2

DA⊥平面 ABC,点 O 是 A 在平面 BCD 内的射影,类比平面三角形射影定理,△ABC、△BOC、
△BDC 三者面积之间关系为________. [答案] S△ABC=S△OBC·S△DBC [解析] 将直角三角形的一条直角边长类比到有一侧棱 AD 与一侧面 ABC 垂直的四棱锥 的侧面 ABC 的面积,将此直角边 AB 在斜边上的射影及斜边的长,类比到△ABC 在底面的射 影△OBC 及底面△BCD 的面积可得 S△ABC=S△OBC·S△DBC. 16.在以原点为圆心,半径为 r 的圆上有一点 P(x0,y0),则圆的面积 S 圆=π r ,过点
2 2 2

x2 y2 P 的圆的切线方程为 x0x+y0y=r2.在椭圆 2+ 2=1(a>b>0)中,当离心率 e 趋近于 0 时,短 a b
半轴 b 就趋近于长半轴 a,此时椭圆就趋近于圆.类比圆的面积公式得椭圆面积 S
椭圆



________.类比过圆上一点 P(x0 ,y0) 的圆的切线方程,则过椭圆 2 + 2 = 1(a>b>0)上一点

x a

2

y b

2

P(x1,y1)的椭圆的切线方程为________.
[答案] π ab

x1 y1 ·x+ 2·y=1 a2 b

[解析] 当椭圆的离心率 e 趋近于 0 时,椭圆趋近于圆,此时 a,b 都趋近于圆的半径

r,故由圆的面积 S=π r2=π ·r·r,猜想椭圆面积 S 椭=π ·a·b,其严格证明可用定积
分处理.而由切线方程 x0·x+y0·y=r 变形得 2·x+ 2·y=1,则过椭圆上一点 P(x1,y1) 的椭圆的切线方程为 2·x+ 2·y=1,其严格证明可用导数求切线处理. 三、解答题 17.点 P? 2 2 2? ? 2 2 2 , ?在圆 C:x +y =1 上,经过点 P 的圆的切线方程为 x+ y=1, 2 2 2 2 ? ?
2

x0 r

y0 r

x1 a

y1 b

?1 1? 又点 Q(2,1)在圆 C 外部,容易证明直线 2x+y=1 与圆相交,点 R? , ?在圆 C 的内部.直 ?2 2?
1 1 2 2 2 线 x+ y=1 与圆相离.类比上述结论,你能给出关于一点 P(a,b)与圆 x +y =r 的位置 2 2 关系与相应直线与圆的位置关系的结论吗? [解析] 点 P(a,b)在⊙C:x +y =r 上时,直线 ax+by=r 与⊙C 相切;点 P 在⊙C 内时,直线 ax+by=r 与⊙C 相离;点 P 在⊙C 外部时,直线 ax+by=r 与⊙C 相交.容易 证明此结论是正确的. 18.我们知道: 1=
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

1,

2 =(1+1) =1 +2×1+1,

13

3 =(2+1) =2 +2×2+1, 4 =(3+1) =3 +2×3+1, ??
2 2 2

2

2

2

n2=(n-1)2+2(n-1)+1,
左右两边分别相加,得

n2=2×[1+2+3+?+(n-1)]+n
∴1+2+3+?+n=

n n+
2
2

.
2 2 2

类比上述推理方法写出求 1 +2 +3 +?+n 的表达式的过程. [解析] 我们记 S1(n)=1+2+3+?+n,

S2(n)=12+22+32+?+n2,?Sk(n)=1k+2k+3k+?+nk (k?N*).
已知 1=
3 3 3 2 3

1,

2 =(1+1) =1 +3×1 +3×1+1, 3 =(2+1) =2 +3×2 +3×2+1, 4 =(3+1) =3 +3×3 +3×3+1, ??
3 3 3 2 3 3 3 2

n3=(n-1)3+3(n-1)2+3(n-1)+1.
将左右两边分 别相加,得

S3(n)=[S3(n)-n3]+3[S2(n)-n2]+3[S1(n)-n]+n.
由此知 S2(n)=

n3+3n2+2n-3S1 n
3

2n +3n +n n = = 6

3

2

n+
6

n+

.

选修 2-2

第二章

2.1 2.1.2

一、选择题 1.“∵四边形 ABCD 为矩形,∴四边形 AB CD 的对角线相等”,以上推理省略的大前提 为( ) A.正方形都是对角线相等的四边形 B.矩形都是对角线相等的四边形 C.等腰梯形都是对角线相等的四边形 D.矩形都是对边平行且相等的四边形 [答案] B

14

? π π? 2.(2013·华池一中高二期中)“三角函数是周期函数,y=tanx,x??- , ?是三 ? 2 2? ? π π? 角函数,所以 y=tanx,x??- , ?是周期函数”.在以上 演绎推理中,下列说法正确 ? 2 2?
的是( ) B.大前提不正确 D.推理形式不正确 A.推理完全正确 C.小前提不正确 [答案] D [解析] 大前提和小前提中的三角函数不是同一概念, 犯了偷换概念的错误, 即推理形 式不正确. 3.“凡是自然数都是整数,4 是自然数,所以 4 是整数.”以上三段论推理( A.完全正确 B.推理形式不正确 C.不正确,两个“自然数”概念不一致 D.不正确,两个“整数”概念不一致 [答案] A [解析] 大前提“凡是自然数都是整数”正确. 小前提“4 是自然数”也正确,推理形式符合演绎推理规则,所以结论正确. 4.《论语·学路》篇中说:“名不正,则言不顺;言不顺,则事不成;事不成,则礼 乐不兴;礼乐不兴,则刑罚不中;刑罚不中,则民无所措手足;所以,名不正,则民无所措 手足.”上述推理用的是( A.类比推理 C.演绎推理 [答案] C [解析] 这是一个复合三段论, 从“名不正”推出“民无所措手足”, 连续运用五次三 段论,属演绎推理形式. 5.(2014·洛阳市高二期中)观察下面的演绎推理过程,判断正确的是( 大前提:若直线 a⊥直线 l,且直线 b⊥直线 l,则 a∥b. 小前提:正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,A1B1⊥AA1,且 AD⊥AA1. 结论:A1B1∥AD. A.推理正确 C.小前提出错导致推理错误 [答案] B [解析] 由 l⊥a,l⊥b 得出 a∥b 只在平面内成立,在空间中不成立,故大前提错误. 6.有这样一段演绎推理:“有些有理数是真分数,整数是有理数,则整数是真分数”
15

)

) B.归纳推理 D.一次三段论

)

B.大前提出错导致推理错误 D.仅结论错误

结论显然是错误的,这是因为( A.大前提错误 C.推理形式错误 [答案] C

) B.小前提错误 D.非以上错误

[解析] 用小前提“S 是 M”,判断得到结论“S 是 P”时,大前提“M 是 P”必须是所 有的 M,而不是部分,因此此推理不符合演绎推理规则. 二、填空题 7.已知推理:“因为△ABC 的三边长依次为 3、4、 5,所以△ABC 是直角三角形”,若 将其恢复成完整的三段论,则大前提是__________________________________. [答案] 一条边的平方等于其它两边平方和的三角形是直角三角形. 8.函数 y=2x+5 的图象是一条直线,用三段论表示为: 大前提_______________________________________________________________. 小前提______________________________________________________________. 结论__________________ ___________________________________________. [答案] 所有一次函数的图象都是一条直线 函数 y=2x+5 是一次函数 函数 y=2x +5 的图象是一条直线 9.以下推理中,错误的序号为________. ①∵ab=ac,∴b=c; ②∵a≥b,b>c,∴a>c; ③∵75 不能被 2 整除,∴75 是奇数; ④∵a∥b,b⊥平面 α ,∴a⊥α . [答案] ① [解析] 当 a=0 时,ab=ac,但 b=c 未必成立.

三、解答题 10.将下列演绎推理写成三段论的形式. (1)菱形的对角线互相平分. (2)奇数不能被 2 整除,75 是奇数,所以 75 不能被 2 整除. [答案] (1)平行四边形的对角线互相平分大前提 菱形是平行四边形小前提 菱形的对角线互相平分结论 (2)一切奇数都不能被 2 整除大前提 75 是奇数小前提 75 不能被 2 整除结论
16

一、选择题 11.“在四边形 ABCD 中, ∵AB 綊 CD,∴四边形 ABCD 是平行四边形”.上述推理过程 ) A.省略了大前提 B.省略了小前提 C.是完整的三段论 [答案] A [解析] 上述推理基于大前提“一组对边平行且相等的四边形为平行四边形”. 12.(2014·淄博市临淄区学分认定考试)下面是一段演绎推理: 大前提:如果直线平行于平面,则这条直线平行于平面内的所有直线; 小前提:已知直线 b∥平面 α ,直线 a? 平面 α ; 结论:所以直线 b∥直线 a. 在这个推理中( ) D.推理形式错误

(

A.大前提正确,结论错误 B.小前提与结论都是错误的 C.大、小前提正确,只有结论错误 D.大前提错误,结论错误 [答案] D [解析] 如果直线平行于平面, 则这条直线只是与平面内的部分直线平行, 而不是所有 直线,所以大前提错误,当直线 b∥平面 α ,直线 a? 平面 α 时,直线 b 与直线 a 可能平 行,也可能异面,故结论错误,选 D. 13. (2014·淄博市临淄区学分认定考试)观察下列事实: |x|+|y|=1 的不同整数解(x,

y)的个数为 4, |x|+|y|=2 的不同整数解(x, y)的个数为 8, |x|+|y|=3 的不同整数解(x, y)的个数为 12,??,则|x|+|y|=20 的不同整数解(x,y)的个数为(
A.76 C.86 [答案] B [解析] 记|x|+|y|=n(n?N )的不同整数解(x,y)的个数为 f(n),则依题意有 f(1) =4=4×1,f(2)=8=4×2,f(3)=12=4×3,??,由此可得 f(n)=4n,所以|x|+|y| =20 的不同整数解(x,y)的个数为 f(20)=4×20=80,选 B. 14.下面几种推理过程是演绎推理的是( )
*

)

B.80 D.92

A.因为∠A 和∠B 是两条平行直线被第三条直线所截得的同旁内角,所以∠A+∠B= 180° B.我国地质学家李四光发现中国松辽地区和中亚细亚的地质结构类似,而中亚细亚有
17

丰富的石油,由此,他推断松辽平原也蕴藏着丰富的石油 C.由 6=3+3,8=3+5,10=3+7,12=5+7,14=7 +7,?,得出结论:一个偶数(大 于 4)可以写成两个素数的和 1 ? 1? D.在数列{an}中,a1=1,an= ?an-1+ (n≥2),通过计算 a2,a3,a4,a5 的值归纳 an-1? 2? ? 出{an}的通项公式 [答案] A [解析] 选项 A 中“两条直线平行,同旁内角互补”是大前提,是真命题,该推理为三 段论推理,选项 B 为类比推理,选项 C、D 都是归纳推理. 二、填空题 15.“∵α ∩β =l,AB? α ,AB⊥l,∴AB⊥β ”,在上述推理过程中,省略的命题为 ________. [答案] 如果两个平面相交,那么在一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面 三、解答题 16.判断下列推理是否正确?为什么? ①“因为过不共线的三点有且仅有一个平面(大前提), 而 A, B, C 为空间三点(小前提), 所以过 A,B,C 三点只能确定一个平面(结论).” ②∵奇数 3,5,7,11 是质数,9 是奇数,∴9 是质数. [解析] ①错误.小前提错误.因为若三点共线,则可确定无数平面,只有共线的三点 才能确定一个平面. ②错误.推理形式错误,演绎推理是由一般到特殊的推理,3,5,7,11 只是奇数的一部 分,是特殊事例. 17.下面给出判断函数 f(x)= 解:由于 x?R,且
2

1+x +x-1 的奇偶性的解题过程: 2 1+x +x+1

2

f x f -x
2



1+x +x-1 1+x -x+1 · 2 2 1+x +x+1 1+x -x-1 +x - 2 +x -
2



x- x+

2 2

2x = =-1. -2x

∴f(-x)=-f(x),故函数 f(x)为奇函数. 试用三段论加以分析. [解析] 判断奇偶性的大前提“若 x?R,且 f(-x)=-f(x),则函数 f(x)是奇函数; 若 x?R,且 f(-x)=f(x),则函数 f(x)是偶函数”.在解题过程中往往不用写出来,上述 证明过程就省略了大前提. 解答过程就是验证小前提成立, 即所给的具体函数 f(x)满足 f(-
18

x)=-f(x).

19


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