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(理数试题)六校2013届高三考前模拟考试


六校 2013 届高三考前模拟考试 数学(理科)
本试卷共 21 小题,满分 150 分。考试用时 120 分钟。 一、选择题(本大题共 8 小题,每题 5 分,满分 40 分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是 符合题目要求的) 1.复数 i ? z ? 1 ? 3i 的共轭复数是( ....
3

) C. 3 ? i D. 3 ?

i

A. ? 3 ? i 2.已知函数 f ( x ) ? 则M ? N ? ( A.{x |x>-1}

B. ? 3 ? i
1 1? x

的定义域为 M , g ( x ) ? ln (1 ? x ) 的定义域为,

) B.{x|x<1}
1 3 ? 1 5 ?? ?

C.{x|-1<x<1}
1 2013

D. ?

3.如图给出的是计算 1 ?

的值的一个程序框图,

图中空白执行框内应填入( A. i ? i ? 1 B. i ? i ? 1

) C. i ? i ? 2 D. i ? i ? 2

? 2 x ? y ≤ 4 0, ? ? ? x ? 2 y ≤ 3 0, 4.若变量 x, y 满足 ? 则 z ? ? x ? 3 y 的最大值是( x ≥ 0, ? ? y ≥ 0, ?



A.90

B.80

C.50

D.40
1 2

5.记等比数列 { a n } 的前 n 项和为 S n ,若 a 1 ? A.2 B.6 C.16

, S 2 ? 2 ,则 S 4 ? (



D.20
3 2

6. 已知直线 l 1 : y ? 4 x , l 2 : y ? -4 x ,过 M (

,2)的直

线 l 与 l 1 、 l 2 分别交于 A 、 B ,若 M 是线段 A B 的中点,则 A B 等于( A.12 ) B. 1 4 5 C. 1 4 6 D. 1 4 7 )

7.已知某四棱锥的三视图,如右图。则此四棱锥的体积为( A.3 B.4 C.5 D.6 8.设 x ? 0 ,y ? 0 ,定义 x ? y ?
x x ? y
2 2

,则 ? ? x ? y ? +2 ? x ? y ? ? y ? x ? ? ? m a x 等于( ?
2



1

A.

1? 2

5

B.

3? 2

2

C.

2? 2

3

D.

1? 2

3

二、填空题(本大题共 7 小题,分为必做题和选做题两部分.每小题 5 分,满分 30 分) (一)必做题(第 9 至 13 题为必做题,每道试题考生都必须作答) 9.某校共有学生 2000 名,各年级男、女生人数如下表.已知在全校 学生中随机抽取 1 名,抽到 二年级女生的概率是 0.19.现用分层抽样的方法在全校抽取 64 名学生,则应在三年级抽取的学 生人数为 .

?2e , ? 2, x ? 10.若 f ( x ) ? ? 则 f ( f ( 2 )) 的值为 2 x ? lo g 3 ( x ? 1) , ? 2 . ?
3

x ?1

.

11.曲线 y ? x ? a x ? 3 在点(1, m )处的切线方程为 y ? 2 x ? n ,则 a ? ( a , , 为常数) m n 12.已知 f ( x ) ? 2 sin ( 则 ? ?
?
3 x ? ? ) (| ? | ?



?
2

) ,若 x ? 1 是它一条对称轴,



13.如右图,等边△ A B C 中, A B ? 2 A D ? A C ? 4 A E ? 4 , 则 B E ?C D ?
??? ??? ? ?



(二)选做题(14~15 题,考生只能从中选做一题) 14. 坐标系与参数方程选做题) ( 曲线 ? 距离之和为 .
? x ? 4 co s ? ?

? y ? 2 3 sin ? ?

0 B 0 ( ? 为参数) 上一点 P 到点 A ? ? 2 , ? , ? 2 , ?

15. (几何证明选讲选做题)如图 2,在 R t ? A B C 中,斜边 A B ? 1 2 ,直 角边 A C ? 6 ,如果以 C 为圆心的圆与 AB 相切于 D ,则 ? C 的半径长为 .

三、解答题(本大题共6小题,满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤) 16. (本小题满分 12 分)已知函数 f ( x ) ? (1)求函数 f ( x ) 的最小值和最小正周期;
3 2 s in 2 x ? c o s x ?
2

1 2

, ? R . x

2

B C b c (2) 设△ A B C 的内角 A , , 的对边分别为 a , , 且 c ?

3 ,f (C ) ? 0 , s n 若i

B ?i 2s n

A,

求 a , 的值。 b 17. (本小题满分 12 分)PM2.5 是指大气中直径小于或等于 2.5 微米的颗粒物,也称为可入肺颗粒 物。我国 PM2.5 标准采用世卫组织设定的最宽限值,即 PM2.5 日均值在 35 微克/立方米以下空气质 量为一级;在 35 微克/立方米 ~ 75 微克/立方米之间空气质量为二级;在 75 微克/立方米以上空气质 量为超标. 某试点城市环保局从该市市区 2011 年全年每天的 PM2.5 监测数 据中随机的抽取 15 天的数据作为样本,监测值如茎叶图所示(十位 为茎,个位为叶) (1)从这 15 天的 PM2.5 日均监测数据中,随机抽出三天,求恰有 一天空气质量达到一级的概率; (2)从这 15 天的数据中任取三天数据,记 ? 表示抽到 PM2.5 监测 数据超标的天数,求 ? 的分布列; (3)以这 15 天的 PM2.5 日均值来估计一年的空气质量情况,则一 年(按 360 天计算)中平均有多少天的空气质量达到一级或二级。

A 18. (本小题满分 14 分)在如图所示的几何体中,? A B C 是边长为 2 的正三角形, A E ? 1 , E ?

平面 ABC,平面 B C D ? 平面 ABC,BD=CD,且 B D ? C D . (1)若 AE=2,求证:AC∥平面 BDE; (2)若二面角 A—DE—B 为 60° .求 AE 的长。

19. (本小题满分 14 分)数列{ an }的前 n 项和为 S n , S n ? an ? ? (1)设 bn ? an ? n ,证明:数列 ? b n ? 是等比数列; (2)求数列 ? n b n ? 的前 n 项和 Tn ;
?1? (3)若 c n ? ? ? ? a n , P ? ?2?
n

1 2

n ?
2

3 2

n ? 1(n ? N *) .

2013

?

ci ? ci ? 1
2

i ?1

ci ? ci
2

.求不超过 P 的最大整数的值。
2

20. (本小题满分 14 分)如图所示:已知过抛物线 x 两点。 (1)求证:以 AF 为直径的圆与 x 轴相切; (2)设抛物线 x 接圆方程;
2

? 4 y 的焦点 F 的直线 l 与抛物线相交于 A,B

? 4 y 在 A,B 两点处的切线的交点为 M,若点 M 的横坐标为 2,求△ABM 的外
3y 4
2

(3)设过抛物线 x

2

? 4 y 焦点 F 的直线 l 与椭圆

?

3x 2

2

? 1 的交点为 C、D,是否存在直线 l 使

得 A F ? C F ? B F ? D F ,若存在,求出直线 l 的方程,若不存在请说明理由。

3

21. (本小题满分14分)已知函数f (x)=lnx,g (x)=k ·

x ?1

x ?1



(1)求函数F(x)= f (x) ? g (x)的单调区间; (2)当x>1时, 函数f (x)> g (x)恒成立, 求实数k的取 值范围; (3)设正实数a1, 2, 3, a a …, n满足a1+a2+a3+…+an=1.求证: a ln(1+
1 a1
2

)+ln(1+

1 a2
2

)+…+ln(1+

1 an
2

)>

2n

2

n ? 2



4

参考答案

题号 答案
1 ? 3i i
3

1 D

2 C

3 D

4 C

5 D

6 B

7 B

8 A

1. 【解析】 z ?

? ? 1 ? 3i ? i = 3 + i .故选 D.

2. 【解析】 M ? ? x x ? 1? , N ? ? x x ? ? 1? .故选 C. 3. 【解析】因为分母为 1,3,5,7,9,?,2013,所以应填入 i ? i ? 2 .故选 D. 4. 【解析】画出可行域(如图) ,在 B (1 0, 2 0 ) 点取最大值 z m ax ? ? 1 0 ? 3 ? 2 0 ? 5 0 .答案: C.

1

(1 ? q )
2

1
? 2 ? 1? q ? 3 ? q ? 3

(1 ? q )
4

1 ? 2

(1 ? q )
2

5. 解析】 2 ? 2 【 S 选D .

1? q

,4 ? 2 S

1? q

1? q

? (1 ? q ) ? 2 ? 1 0 ? 2 0
2

. 故

? x1 ? x 2 3 ? , ? ? x 1 ? 2, ? 2 2 4 6. 解析】设 A( x1 , x1 ) 、 B ( x 2 , 4 x 2 ) ? ? 【 , 所 以 A ( 2 , 8 )、 ? ? ? ? x 2 ? 1, ? 4 x1 ? 4 x 2 ? 2, ? ? 2

B (1 ,? 4 ) .

所以 A B = ( 2 ? 1 ) ? [8 ? ( ? 4 )] ?
2 2

1 ? 144 ?

1 4 5 .故选 B.

7. 【解析】如图,四棱锥 A ? B C D E .

5

D

C

E A

B
V ? 1 3 ? 6 ? 2 ? 4 .故选 B.

8 . 【 解 析 】 设 终 边 过 点 ( x ,y ) 的 角 ?

0 ( 不 妨 设 ? ?( ,

?
2

) ) 则

c o s ? ? 2 s in? c o s? ?
2

1 ? c o s 2? 2

? s in 2?

? sin 2? ?

1 2

c o s 2? ?

1 2

?

1 2 1 1 1 ? ( ) sin ( 2 ? ? ? ) ? , 其 中 ? 是 终 边 过 (1 , ) 的 角 ( 不 妨 设 2 2 2

? ? ? (0 , ) ) .
2

当? ? ? ?

?
2

时,有 ? ? x ? y ? +2 ? x ? y ? ? y ? x ? ? ? m ax ?
2

1? 2

5

?

.故选 A.

二、填空题(本大题共 7 小题,分为必做题和选做题两部分.每小题 5 分,满分 30 分) 9.16,10.2,11. ? 1 ,12.
?
6

,13. ? 3 ,14. 8 ,15. 3 3 ,

9. 【解析】依题意我们知道二年级的女生有 380 人,那么三年级的学生的人数应该是 5 0 0 ,即总体 中各个年级的人数比例为 3 : 3 : 2 ,故在分层抽样中应在三年级抽取的学生人数为
64 ? 2 8 ? 16 .答案: 1 6 .

10. 【解析】 f ( f ( 2 )) ? f (1) ? 2 ? e
2

1?1

? 2 .答案: 2 .
2

11. 【解析】 y ? ? 3 x ? a ? 2 ? 3 ? 1 ? a ? a ? ? 1 .答案: ? 1 .
?
3 x ? ? ? k? ?

12. 【解析】由已知得

?
2

, ? Z ,由 x ? 1 代入得 ? ? k ? ? k

?
6

, ?Z , k

又 | ? |?

?
2

,所以 ? ?

?
6

.答案:

?
6



6

13. 【解析】 B E ? B A ? A E ? ? A B ?

??? ?

??? ?

????

??? ?

? ??? ? ???? ???? 1 ??? ? 1 ???? ??? AB AC ,CD ? CA ? AD ? ? AC ? 2 4

??? ??? ? ? ??? ? 1 ???? ???? 1 ??? ? B E ?C D ? ( ? A B ? A C ) ?( ? A C ? AB ) 4 2 ? ? 9 ??? ???? 1 ??? 2 1 ???? 2 9 1 1 2 2 A B ? A C ? A B ? A C ? ? 4 ? 4 c o s ? A ? ? 4 ? ? 4 ? 9 ? 8 ? 4 ? ? 3 .答案: 8 2 4 8 2 4

?

?3 .

(二)选做题(14~15 题,考生只能从中选做一题) 14. 【解析】 曲线 ?
? x ? 4 cos ? ? ? y ? 2 3 s in ? ?

表示的椭圆标准方程为

x

2

?

y

2

16

12

? 1, 可知点 A ? ? 2, 0 ? ,B ? 2 , 0 ? 为

椭圆的焦点,故 P A ? P B ? 2 a ? 8 .答案: 8 .
D 15. 【解析】连 C , 则 ? B ? ? D C A ? 3 0 ,在 R t ? A D C 中, C D ? A C sin ? D A C ,
0

CD ? 6 ?

3 2

? 3

3 .答案: 3

3 .

三、解答题(本大题共6小题,满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤) 16.【解析】(1) f ( x ) ?
3 2 sin 2 x ? 1 ? cos 2 x 2 ? 1 2 ? sin ( 2 x ?

?
6

) ? 1 ,????3 分

则 f ( x ) 的最小值是 ? 2 , 最小正周期是 T ? (2) f ( C ) ? s in ( 2 C ?
?
6
0 ? C ? ? , 0 ? 2 C ? 2 ? ,所以 ?

2? 2

? ? ;????6 分

) ? 1 ? 0 ,则 s in ( 2 C ?

?
6

) ? 1 ? 0 ,????7 分
? 1 1? 6

?
6

? 2C ?

?
6



所以 2 C ?

?

?

?

,C ?

?

,????9 分

6 2 3 因为 sin B ? 2 sin A ,所以由正弦定理得 b ? 2 a ,??①????10 分

由余弦定理得 c ? a ? b ? 2 a b c o s
2 2 2

?
3

,即 c ? a ? b ? a b ? 3 ??②????11 分
2 2 2

由①②解得: a ? 1 , b ? 2 .????12 分 17. 【解析】 (1)记“从 15 天的 PM2.5 日均监测数据中,随机抽出三天,恰有一天空气质量达到一 级”为事件 A ,
P ( A) ? C 5 ? C 10
1 2

C 15

3

?

45 91

. ????????4 分

(2)依据条件,? 服从超几何分布:其中 N ? 1 5, M ? 5, n ? 3 ,? 的可能值为 0,1, 2, 3 ,其分布列

7

为: P ? ? ? k ? ?

C 5 C 10 C 15
3

k

3? k

?k

? 0 ,1, 2 , 3 ? .????????7 分

?
P

0

1
45 91

2
20 91

3

24 91

2 91

????????9 分 (3)依题意可知,一年中每天空气质量达到一级或二级的概率为 P ? 一年中空气质量达到一级或二级的天数为? ,则? ~ B (3 6 0 , )
3 ? E? ? 3 6 0 ? 2 3 ? 2 4 0 ,? 一年中平均有 240 天的空气质量达到一级或二级。??12 分 2
10 15 ? 2 3

,????10 分

E

18. 【解析】 (1)分别取 B C , B A, B E 的中点 M , N , P ,连接
D M , M N , N P, D P ,则 M N ∥ A C , N P ∥ A E ,且 N P =
1 2 AE ? 1 ,

P D

因为 B D ? C D , B C ? 2 , M 为 B C 的中点, 所以 D M ? B C , D M ? 1 , 又因为平面 B C D ⊥平面 A B C , 所以 D M ? 平面 A B C .?????3 分 又 A E ? 平面 A B C , 所以 D M ∥ A E ,????????5 分 C M 所以 D M ∥ N P ,且 D M ? N P ,因此四边形 D M N P 为平行四边形, 所以 M N ∥ D P ,所以 A C ∥ D P ,又 A C ? 平面 B D E , D P ? 平面 B D E , 所以 A C ∥平面 B D E .????????7 分 (或者建立空间直角坐标系,求出平面 B D E 的法向量 n1 ,计算 n1 ? A C ? 0 即证) (2)解法一: 过 M 作 M H 垂直 E D 的延长线于 H ,连接 B H . 因为 B C ? A M , B C ? D M , 所以 B C ? 平面 D M A E , E D ? 平面 D M A E 则有 B C ? E D . 所以 E D ? 平面 B M H , B H ? 平面 B M H , 所以 E D ? B H . 所以 ? M H B 为二面角 A ? E D ? B 的平面角, 即 ? M H B = 6 0 . ???????10 分 在 R t ? B M H 中, B M =1 ,则 M H = 在 R t ? M H D 中, D H = 设 A E ? h ? 1 ,则 D E ?
2

A N B

????

E

D H
2 3

?

A M

1 3

, BH =

.

C

6 3

.
2

h ? 3 ,所以 H E ?
2

h ?3?
2

6 3

,又 B E ?
2 2

? h ? 1?

2

?2

2

在 R t ? B H E 中, B E ? B H ? N E ,即 ? h ? 1 ?
2 2

? ? 2 ? ? 2 =? ? ?? ? ? 3 ? ?
2

6 ? h ?3? ? , 3 ? ?

2

8

解得 h ? 6 ,所以 A E ? 6 ? 1 . ??????14 分 解法二: 由(1)知 D M ? 平面 A B C , A M ? M B , 建立如图所示的空间直角坐标系 M ? xyz .
0 0 0 0 设 A E ? h ,则 M ? 0 , , ? , B ? 1 , , ? ,

z
D

E

y

D ?0 , ,? A 0 , 3 , , E 0 , 3 , , 0 1 0 h ???? ??? ? A BD ? ? ?1, ,? , BE ? ?1, 3 , . 0 1 h ?? ? 设平面 B D E 的法向量 n1 ? ( x , y , z ) C ???? ?? ? M(o) ? B D ? n1 ? 0 , ?? x ? z ? 0 , ? ? 则 ? ??? ?? 错误!未找到引用源。所以 ? 错误!未找到引用源。 ? ? ? ? x ? 3 y ? zh ? 0. ? B E ? n1 ? 0 , ? ?

?

? ?

?

?

?

B

x

令 x ? 1 , 所以 n 1 ? (1 ,

?? ?

1? h 3

, 1) ,????????11 分

?? ?? ? ? ?? ?? ? ? n1 ? n 2 ? 所以 c o s ? n 1 , n 2 ? ? ??? ?? ? n1 ? n 2

又平面 A D E 的法向量 n 2 ? (1 , 0 , 0 ) ,
1 1 ?1 ?
2 2

?? ?

?1 ? h ?
3

?
2

1 2



解得 h ?

6 ? 1 , 即 AE ?
1

6 ? 1 .????????14 分
3

19. 【解析】(1) 因为 an ? S n ? ? n 2 ? n ? 1 ,
2 2

所以

① 当 n ? 1 时, 2a1 ? ?1 ,则 a1 ? ? ,????????????1 分
2

1

② 当 n ≥ 2 时, an ?1 ? S n ?1 ? ? (n ? 1) 2 ? (n ? 1) ? 1 ,????????2 分
2 2

1

3

所以 2an ? an ?1 ? ? n ? 1 ,即 2(an ? n) ? an ?1 ? n ? 1 , 所以 bn ?
1 2 bn ?1 ( n ≥ 2) ,而 b1 ? a1 ? 1 ? 1 2 1 2

,????????4 分
?1? ? .?????5 分 ?2?
n

所以数列 ?bn ? 是首项为 (2)由 (1)得 nbn ? 所以 ① Tn ? ② 2Tn ? 1 ?
1 ?
?
n 2
n

,公比为

1 2

的等比数列,所以 b n ? ?


?
?

2 2 3
2

3 2 4
3

?

4 2
4

? .......... ?
n ?1
n?2

n ?1 2
n ?1

?

n 2
n



2 2

2 2 2 2 1 1 1 n ②-①得: Tn ? 1 ? ? 2 ? ...... ? n ?1 ? n ,?????8 分 2 2 2 2

2

2

3

? .......... ?

?

n
n ?1

,?????7 分

?1? 1? ? ? ?2? Tn ? 1 1? 2

n

?

n 2
n

? 2?

n?2 2
n

.??????10 分

9

(3)由(1)知 a n ? ?
? cn ? cn ? 1
2

?1? ? ?n ?2?
n( n ? 1) ? 1 n( n ? 1)

n

? c n ? n ??????11 分
?1? 1 n( n ? 1) ?1? 1 n ? 1 n ?1

cn ? cn
2

?

, ???13 分

所以
2013

P ?

?

ci ? ci ? 1
2

i ?1

ci ? ci
2

1 1 1 1 1 1 , ? ) ? (1 ? ? ) ? ? ? (1 ? ? ) ? 2014 ? 1 2 2 3 3 4 2013 2014 2014 故不超过 P 的最大整数为 2013 .?????????????????14 分 ? (1 ? ? ) ? (1 ?

1

1

1

20. 【解析】 (1)解法一(几何法)设线段 AF 中点为 O 1 ,过 O 1 作 O 1 O 2 垂直于 x 轴,垂足为 O 2 , 则
r ? | AF | 2 | AA 1 | ? ? 2
| AA 1 | ? | OF | 2

P 2 ? | AA 1 | ? 1 2 ? | AA 1 | ? | OF | 2

y
,????? 2 分

A
, ????? 3 分

又∵ | O 1 O 2 | ?

D
∴ r ? | O 1 O 2 | ∴以线段 AF 为直径的圆与 x 轴相切。?????4 分 解法二(代数法)设 A ( x 1 , y 1 ) ,线段 AF 中点为 O 1 ,过 O 1 作 O 1 O 2 垂直于 x 轴, 垂足为 O 2 ,则 | AF |? ∴r ?
y1 ? 1 2
yA ? yF 2 y1 ? 1 2

B

F

O1 C

B1 O

O2

A1

x

M

x 1 ? ( y 1 ? 1)

2

2

?

4 y 1 ? ( y 1 ? 1)

2

? y1 ? 1 ,

. ?????2 分

又∵点 O 1 为线段 AF 的中点,∴ | O 1 O 2 | ? ∴ r ?| O 1O 2 | ,

?

,?????3 分

∴以线段 AF 为直径的圆与 x 轴相切。?????4 分 (2)设直线 AB 的方程为 y ? kx ? 1 , A ( x 1 , y 1 ), B ( x 2 , y 2 ) , 由?
? y ? kx ? 1 ?x ? 4y
2

? x1 ? x 2 ? 4 k 2 ? x ? 4 kx ? 4 ? 0 , ∴ ? .?????5 分 ? x1 x 2 ? ? 4

由x ? 4y ? y ?
2

x

2

? y? ?

x 2



4

10

? K

MA

?K

MB

?

x1 2

?

x2 2

?

x1 x 2 4

?

?4 4

? ? 1 , ? M A ? M B ?????6 分

? ? MAB 为 Rt ? ,故 ? M A B 的外接圆圆心为线段 A B 的中点。

设线段 AB 中点为点 P,易证⊙P 与抛物线的准线相切,切点为点 M ,
? x P ? x M ? 2, ? x1 ? x 2 2 ( k x1 ? 1) ? ( k x 2 ? 1) 2 x1 ? x 2 ? 2 2 4k ? 2 2 ? 2 ? 2 k ? 2, k ? 1 .?????7 分 ?

? yP ?

y1 ? y 2 2

?

?

?

? 3 ? 圆 心 P ( 2 , 3) ?????8 分

又? r ? | MP |? | 3 ? ( ? 1) |? 4 ,
? 所求 ? MAB 的外接圆的方程为 : ( x ? 2 ) ? ( y ? 3)
2 2

? 16

.?????9 分
| AF | | BF | | DF | | CF |

? (3)?| A F | ? | C F | ? | B F | ? | D F | ,

| AF | | BF |

?

| DF | | CF |

,设

?

? ? ,?????10 分

则 AF ? ? FB   且 DF ? ? FC
? ( ? x 1 ,1 ? y 1 ) ? ? ( x 2 , y 2 ? 1 ) ? ? ( ? x 4 ,1 ? y 4 ) ? ? ( x 3 , y 3 ? 1 )

,设 C ( x 3 , y 3 ),D ( x 4 , y 4 ) ,则
? ? x1 ? ? x 2 ? x1 ? ? ? x 2 ?? 即? ?? x4 ? ?x3 ? x4 ? ??x3

?????11 分

将 x 1 ? ? ? x 2 代入 ?

? x1 ? x 2 ? 4 k ? x1 x 2 ? ? 4

可得:

?
( ? ? 1)
2

?

1 4k
2

. ①?????12 分

2k ? ? y ? kx ? 1 x ? x4 ? ? 2 ? 3 ? ? k ?2 2 2 由? 4 y2 2x2 , ? (3 k ? 6 ) x ? 6 kx ? 1 ? 0 ? ? ?1 ? ?1 ? ?x x ? 3 ? 3 2 ? 3 4 3k ? 6 ?

联立 x 4 ? ? ? x 3 可得

?
( ? ? 1)
3k
2

2

?

3k

2

?6
2

,②?????13 分

36 k

联立①②可得

1 4k
2

?

?6
2

,解得 k

2

? 1    ? k ? ? 1 .

36 k

? 存在符合题意的直线且

所求直线方程为

: y ? ? x ? 1 。 ?????14 分

21. 【解析】 (1) F ( x ) ? ln x ? k ?

x ?1 x ?1

11

F (x) ?
2

1 x

?k?

2 ( x ? 1)
2

?

x ? 2 (1 ? k ) x ? 1
2

x ( x ? 1)

2

,?? 1分
2 2

由 x ? 2 (1 ? k ) x ? 1 ? 0 的判别式 ? ? 4 (1 ? k ) ? 4 ? 4 ( k ? 2 k ) , ①当 ? ? 0 即 k ? ? 0, 2 ? 时, F ? ( x ) ? 0 恒成立,则 F ( x ) 在 (0, ? ? ) 单调递增; ②当 k ? 0 时, F ? ( x ) ? 0 在 (0, ? ? ) 恒成立, 则 F ( x ) 在 (0, ? ? ) 单调递增; ③当 k ? 2 时,方程 x ? 2 (1 ? k ) x ? 1 ? 0 的两正根为 k ? 1 ?
2

??2 分 ??3 分
k ? 2k
2

k ? 2k , k ? 1 ?
2
2

则 F ( x ) 在 (0 , k ? 1 ?
(k ? 1 ?
2

k ? 2k ) 单 调 递 增 , (k ? 1 ?
2

k ? 2k , k ? 1 ?
2

k ? 2k ) 单 调 递 减 ,

k ? 2 k , ? ? ) 单调递增. k ? 2k ) , (k ? 1 ?
2 2

综上,当 k ? 2 时,只有单调递增区间 ; 当 k ? 2 时,单调递增区间为 (0 , k ? 1 ? 单调递减区间为 ( k ? 1 ?
k ? 2k , k ? 1 ?
2

k ? 2k , ?? ) ;
2

k ? 2 k ) . ?? 5 分

(2)即 x ? 1 时, F ( x ) ? 0 恒成立. 当 k ? 2 时, F ( x ) 在 (0, ? ? ) 单调递增, ∴当 x ? 1 时, F ( x ) ? F (1) ? 0 满足条件. ?7 分 当 k ? 2 时, F ( x ) 在 ( k ? 1 ? 则 F ( x ) 在 (1, k ? 1 ?
2

k ? 2k , k ? 1 ?
2

k ? 2 k ) 单调递减,
2

k ? 2 k ) 单调递减,

此时 F ( x ) ? F (1) ? 0 不满足条件,
2 故实数 k 的取值范围为 ? ? ? , ? .

?? 9 分 在 (1, ? ? ) 恒成立,
1

(3)由(2)知, ln x ? 2 ?

x ?1 x ?1

令x ?1?

1 an
2

,则

ln (1 ?

1 an
2

) ? 2?

an 2?

2

1 an
2

?

2 2an ? 1
2

?

2 2an ? 1



?? 10 分

[来源:学*科*网 Z*X*X*K]

∴ ? ln (1 ?
i ?1

n

1 ai
2

) ? 2(
1

1 2 a1 ? 1

?

1 2a2 ? 1
1

?? ?

1 2an ? 1

).

?? 11 分
2

又(

1 2 a1 ? 1

?

2a2 ? 1

?? ?

2an ? 1

) ? ( 2 a 1 ? 1) ? ( 2 a 2 ? 1) ? ? ? ( 2 a n ? 1) ? ? n ,

∴ 2(
n

1 2 a1 ? 1

?

1 2a2 ? 1

?? ?

1 2an ? 1

)?

2n

2

n?2



??13 分

∴ ? ln (1 ?
i ?1

1 ai
2

)?

2n

2

n?2



??14 分

12


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