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乌鲁木齐地区2012年高三年级第二次诊断性测验文理科数学试题参考答案及评分标准


乌鲁木齐地区 2012 年高三年级第二次诊断性测验文理科数学

试题参考答案及评分标准
一、选择题(共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分)
题号 选项 1 文B理D 2 A 3 B 4 文C理B 5 C 6 C 7 文A理B 8 D 9 B 10 文B理C 11 D 12 A

1. (文科)选 B.【解析】

r />
3 ? i ? 3 ? i ??1 ? i ? 2 ? 4i ? ? ? 1 ? 2i . 1 ? i ?1 ? i ??1 ? i ? 2

(理科)选 D .【解析】 z ?

?1 ? 2i ?
4 ? 3i

2

?

? ?3 ? 4i ?? 4 ? 3i ? ?25i ? ? ?i . 25 ? 4 ? 3i ?? 4 ? 3i ?
?1

2.选 A .【解析】运行此程序后输出的值 y ? 3

1 ? . 3

3.选 B. 【解析】若 l ∥ ? ,则 l 与 ? 内的直线平行或异面,排除 A、C;若 l ∥ m , l 不 在平面 ? 内,则 l ∥ ? ,故排除 D. 4. (文科)选 C.【解析】由已知易得 a ? b ? ?
3 3

1 1 2? ,∴ cos?a, b? ? ? , ? a, b? ? . 2 2 3
2 2

(理科)选 B.【解析】由题知: C8 a ? 2C8 a ,解得 a ? 1 . 5.选 C. 【解析】不妨设正方形的边长为 2 ,则 2c ? 2 , 2a ?

5 ? 1 ,∴离心率 e ?

2c 2a

?

5 ?1 . 2

6.选 C. 【解析】直线 3x ? 4 y ? 24 ? 0 与坐标轴的两个交点为 A ? 8, 0 ? , B ? 0, 6 ? ,由题 知 AB 为圆的直径,且 AB ? 10 ,∴圆的半径是 5 . 7. (文科)选 A.【解析】原式 ? sin ?

?? ? ?? ? 1 ?? ? 1 ? ? ? cos ? ? ? ? ? sin ? ? 2? ? ? cos 2? ? ?4 ? ?4 ? 2 ?2 ? 2

1 ?1 ? 2sin 2 ? ? ? 1 . 2 4
(理科)选 B .【解析】 f ? x ? 的最小正周期为 6 ,由题意知:

? 2 A?

2

?6? ? ? ? ? 5 ,解得 A ? 2 . ?2?

2

8.选 D.【解析】作出可行区域,如图,由题可知点 2, a

?

2

? 应在点 ? 2, 4 ? 的上方或与其重
第 1 页(共 8 页)

2012 年高三年级第二次诊断性测验文理科数学试题答案

合,故 a ≥ 4 ,∴ a ≥ 2 或 a ≤ -2 ,又 a ? 0 且 a ? 1 ,∴ a ≥ 2 .
2
2 9.选 B.【解析】可知 x2 =? ? x1 , x3 =2? ? x1 ,∵ x2 =x3 x1 ,∴ ? ? ? x1 ? =x1 ? ? 2? ? x1 ? ,
2

解得 x1 =

?
4

,∴ b ? sin

?
4

?

2 . 2

10. (文科) B. 选 【解析】 设切点 ? a, ?

? ?

1 1 1 1 1 1 ? ∴ ,a ? 1 , a ? ln a ? ,y ? ? ? ? , ? ? ? 2 2 x 2 a 2 ?

故切点 ? 1, ?

? ?

1? 1 1 1 ? 在直线 y ? x ? b 上,有 ? ? ? b ,∴ b ? ?1 . 2? 2 2 2

(理科)选 C.【解析】设切点 ? a, 2 ? ln a ? , y ? ?

1 1 2 ? ln a ?1 ,∴ k ? ? ,∴ a ? e , x a a

k ? e.
11. D. 选 【解析】 方程可化为 x ? 2 x ? 1 ? x ? 1 或 x ? 2 x ? 1 ? ? x ? 1 , x ? 3x ?2 ? 即 0
2 2 2

或 x ? x ? 0 ,所有解之和为 4 .
2

12.选 A. 【解析】 F ?

? y2 ? ? y2 ? ?p ? , 0 ? ,设 P ? 1 , y1 ? , Q ? 2 , y2 ? ( y1 ? y2 ) .由抛物线定义及 ?2 ? ? 2p ? ? 2p ?

| PF |?| QF | ,得

2 y12 p y2 p 2 ? ? ? ? y12 ? y2 ? y1 ? ? y2 ,∴ | PQ |? 2 | y1 |? 2 ? 2p 2 2p 2

| y1 |? 1 ,又 | PF |?

1 p ? ? 2? p ? 2? 3 . 2p 2

二、填空题(共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分)

1 13.(文科)填 .【解析】由正弦定理得 sin B ? 3

5 2 ? sin 3 4 ? 1. 5 3

5 2 ? sin 7 4 ? 1 , cos 2B ? 1 ? 2sin 2 B (理科)填 .【解析】由正弦定理得 sin B ? 3 5 3 9
7 ?1? ? 1? 2? ? ? ? . 9 ?3?
2 2 14. (文科) 4n ? 1 . 填 【解析】 由题 n ≥2 时,an ? S n ? S n?1 ? 2n ? n ? 2(n ? 1) ?(n ? 1)
2

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? 4n ? 1 ,又 a1 ? 3 ? 4 ? 1 ? 1 ,∴ an ? 4n ? 1 .
(理科)填 6 .【解析】∵ S9 ?

9 ? a1 ? a9 ? 2

? 9a5 ? 18 ,∴ a5 ? 2 .设等差数列 ?an ? 的

公差为 d ,则 a1 ? a3 ? a11 ? a1 ? ? a1 ? 2d ? ? ? a1 ? 10d ? ? 3 ? a1 ? 4d ? ? 3a5 ? 6 . 15.填 3? .【解析】底面正三角形内切圆半径就是球 O 的半径 R ? 的表面积 S ? 4? R ? 3? .
2

1 3 3 3 ,∴球 O ? ? 3 2 2

16. (文科)填 500 .【解析】设这个学校高一年级的学生人数为 x ,有

x ? 500 .
(理科)填

100 12 ,解得 ? x 60

??? ??? ???? ? ? ??? ??? ? ? 1 .【解析】记 AC、BD 的交点为 O ,由于 PQ ? PO ? OQ ,∴ AP ? PQ ? 2 ??? ??? ???? ? ? ??? ??? ? ? ??? ??? ? ? AP ? PO ? OQ ? AP ? PO ,而当 P 在线段 OC (不含端点 O )上时, AP ? PO ? 0 ,

?

?

??? ??? 2 ? ? ? AP ? PO ? ??? ? ??? ? ??? ??? ??? ??? ? ? ? ? ? ∴考虑 P 在线段 AO 上有 AP ? PO ? 2 , AP ? PO = AP ? PO ≤ ? ? ? 2 ? ?

?

??? ? ??? ? 2 1 ,当且仅当 AP ? PO ? 时等号成立. 2 2

三、解答题(共 70 分) 17. (本小题满分 12 分) (文科) (1) f ? x ? ? sin x ? sin x ? cos x ? sin x ? 1, ∴ f ? x ? 的最小正周期为 2? ;?5 分
2 2

(2) f ? x ? 在 ? ?

? ? ?? ? ? 2? ? , ? 上为增函数,在 ? , ? 上为减函数,又 ? 6 2? ?2 3 ?

? ?? ? 2? ? f ?? ? ? f ? ?, ? 6? ? 3 ?

∴x ? ?

?
6

时, f ? x ? 有最小值 f ? ?

1 ? ?? ? ?? ? ? sin ? ? ? ? 1 ? ; 2 ? 6? ? 6?
?12 分

x?
(理科)

?
2

时,f ? x ? 有最大值 f ?

? ?? ? ? ? sin ? 1 ? 2 . 2 ?2?

(1)请参照(文科) (2)的解答;
2012 年高三年级第二次诊断性测验文理科数学试题答案 第 3 页(共 8 页)

?6 分

(2)由题知 A 、 B 为锐角,∴ sin A ?

24 4 , sin B ? , 25 5 24 3 7 4 4 sin C ? sin ? A ? B ? ? sin A cos B ? cos A sin B ? ? ? ? ? , 25 5 25 5 5 9 ∴ f ? C ? ? sin C ? 1 ? . ?12 分 5

18. (本小题满分 12 分) (1)过 E 作 EF ? AB ,垂足为 F ,连结 CF ,

BF ?

1 BE ? 1 ? BC ,∴ ?BCF ? 45? ? ?ABD ,∴ BD ? CF . 2

∵ AD ? 平面PAB ,∴ EF ? AD ,∴ EF ? 面ABCD , ∴ EF ? BD ,∴ BD ? 面CEF ,∴ BD ? CE ; (2) (文科) 取 AB 的中点 G ,连结 PG ,则 PG ⊥ AB ,又 PG ? AD , ∴ PG ⊥平面 ABCD ,四棱锥 P ? ABCD 的体积 ?6 分

1 ( AD ? BC ) ? AB 1 (4 ? 1)4 20 3 V? ? ? PG ? ? ?2 3 ? . 3 2 3 2 3
(理科)

?12 分

如图所示,建立空间直角坐标系 A ? xyz ,可取 m ? (1, 0, 0) 为平面 ABCD 的一个法 向量.设平面 EAC 的一个法向量为 n ? (l , m, n) .则 AC ? n ? 0 , AE ? n ? 0 ,其中

??? ?

??? ?

???? ??? ? AC ? (0, 4,1) , AE ? ( 3,3, 0) ,
∴?

? 4m ? n ? 0, ?l ? ? 3m, ? ? ∴? 不妨取 m ? ?1 ,则 n ? ( 3, ?1, 4) . ? 3l ? 3m ? 0. ? n ? ?4m. ? ?

cos? m, n? ?

m?n 1? 3 ? 0 ? (?1) ? 0 ? 4 15 . ? ? 2 2 2 2 2 2 m?n 10 1 ? 0 ? 0 ? ( 3) ? (?1) ? 4
15 . 10
?12 分

∴二面角 E ? AC ? B 的余弦值的大小是 19. (本小题满分 12 分)

(1)6 名男应征者的平均身高是 181cm ,9 名女应征者身高的中位数为 168cm ;?4 分 (2) (文科)能进入下一环节的男生有 3 人,女生有 4 人.

2012 年高三年级第二次诊断性测验文理科数学试题答案

第 4 页(共 8 页)

记满足条件的 3 名男生分别为 a1 , a2 , a3 , 名女生分别为 b1 , b2 , b3 , b4 , 4 则从中任取 2 人可以表示为:

? a1 , a2 ? , ? a1 , a3 ? , ? a1 , b1 ? , ? a1 , b2 ? , ? a1 , b3 ? , ? a1 , b4 ? , ? a2 , a3 ? , ? a2 , b1 ? , ? a2 , b2 ? , ? a2 , b3 ? , ? a2 , b4 ? , ? a3 , b1 ? , ? a3 , b2 ? , ? a3 , b3 ? , ? a3 , b4 ? , ? b1 , b2 ? ,

? b1 , b3 ? , ? b1 , b4 ? , ? b2 , b3 ? , ? b2 , b4 ? , ? b3 , b4 ? ,即基本事件共 21 个.
∴至多有一位男生的概率 P ? (理科) 能进入下一环节的男生 3 人,女生 4 人. X 的可能取值是 0 , 1 , 2 .
1 1 2 C4 C3 4 C32 1 C4 2 ? ; P ? X ? 2? ? 2 ? . 则 P ? X ? 0 ? ? 2 ? ; P ? X ? 1? ? 7 C7 7 C72 C7 7

18 6 ? . 21 7

?12 分

∴ X 的分布列为

X
P

0
2 7

1
4 7

2
1 7

2 4 1 6 EX =0 ? +1 ? +2 ? = . 7 7 7 7
20.(本小题满分 12 分) (文科) (1)由题知 c ? 6 ,由椭圆的定义可知

?12 分

2a ?

?2 ? 6 ?

2

? ?1 ? 0 ? ?
2

?2 ? 6 ?

2

? ?1 ? 0 ? ? 4 2 ,∴ a ? 2 2 ,
2

b2 ? a2 ? c2 ? 8 ? 6 ? 2 ,∴椭圆 C 的方程为

x2 y2 ? ? 1; 8 2

?6 分

? y ? 1 ? k ? x ? 2? , ? (2)过点 P(2,1) 的直线 l1 或 l 2 的方程可设为 y ? 1 ? k ? x ? 2 ? ,由 ? x 2 y2 ? 1. ? ? 2 ?8
消去 y 得: 1 ? 4k

?

2

?x

2

? 8 ? k ? 2k 2 ? x ? 16k 2 ? 16k ? 4 ? 0

(*)
2

其判别式△ ? ?8 k ? 2k

?

?

2

?? ?

2

? 4 ?1 ? 4k 2 ??16k 2 ? 16k ? 4? ? 16 ? 2k ? 1? .

①当点 A 、 B 中有一点与 P 重合,不妨设 B 与 P 重合,则直线 l 2 与椭圆 C 只有一

2012 年高三年级第二次诊断性测验文理科数学试题答案

第 5 页(共 8 页)

个交点,∴ 由△ ? 16 ? 2 k ? 1? ? 0 ,解得 k ? ?
2

由于直线 l1 、 l 2 倾斜角互补,∴ k AB ? k AP

1 为 l 2 的斜率. 2 1 ? ?k ? . 2

②当点 A 、 B 中没有点与 P 重合,不妨设直线 l1 的方程为 y ? 1 ? k ? x ? 2 ? ,

l1 与椭圆 C 相交于不同两点 P ? 2 , 1? 、 A ? x1 , y1 ? ,则由(*)式得

16k 2 ? 16k ? 4 8k 2 ? 8k ? 2 ,∴ x1 ? . 2 x1 ? 1 ? 4k 2 1 ? 4k 2
同理 l 2 与椭圆 C 相交于不同两点 P ? 2 , 1? 、 B ? x2 , y2 ? ,得 x2 ? 于是 x1 ? x2 ?

8k 2 ? 8k ? 2 , 1 ? 4k 2

?16k ?8k , y1 ? y2 ? k ? x1 ? x2 ? ? 4k ? , 2 1 ? 4k 1 ? 4k 2 ?8k y ? y2 1 ? 4 k 2 1 ∴ k AB ? 1 ? ? . ?16k x1 ? x2 2 2 1 ? 4k 1 综合①②,都有 k AB ? . 2
(理科) (1)请参照文科(2)的解答;

?12 分

?6 分

(2)当点 A 、 B 中有一点与 P 重合,不妨设 B 与 P 重合, 由(1)知 l1 的方程为

y ?1 ?

1 1 ? x ? 2 ? ,即 y ? x ,此时椭圆与直线都是关于原点对称的图形,由对 2 2

称性知 A ? ?2, ?1? ,∴ AB ? 2 5 . 当点 A 、 B 中没有点与 P 重合,

AB ?

8 5k ?16k ? ? ?8k ? 2 2 ?? ? ? x1 ? x2 ? ? ? y1 ? y2 ? ? ? ? 2 ? 2 ? 1 ? 4k 2 ? 1 ? 4k ? ? 1 ? 4k ?
2 2

?

8 5 1 ?4 k k



8 5 1 1 ? 2 5 (当且仅当 ? 4 k ,即 k ? 时取等号) k 2 1 2 ?4 k k

等号取得就是点 A 、 B 中有一点与 P 重合的情况,∴ AB ? 2 5 . 综上, AB 取最大值为 2 5 ,此时 AB 的方程为 y ?

1 x ,由对称性知此时焦 2
?12 分

点到直线 AB 的距离为

30 . 5
第 6 页(共 8 页)

2012 年高三年级第二次诊断性测验文理科数学试题答案

21.(本小题满分 12 分)
x?m (1)显然 f ? x ? 在 R 上连续,且 f ?( x) ? e ? 1 ,令 f ?( x) ? 0 ,得 x ? m .

当 x ? ? ??, m ? 时, e 当 x ? ? m, +? ? 时, e

x ?m

? 1, f ?( x) ? 0 ;
? 1 , f ?( x) ? 0 .

x?m

所以,当 x ? m 时, f ? m ? 为极小值,也是最小值. 令 f ? m ? ? 1 ? m ≥ 0 ,得 m ≤ 1 时,有 f ? x ? ≥ 0 ; ?6 分

(2)当 m ? 1时, f ? m ? ? 1 ? m ? 0 ,由(1)知 f ( x) 在 ? 0, 2m? 上至多有两个零点. 因为 f (0) ? e
?m

? 0 , f ? 0 ? ? f ? m ? ? 0 ,所以 f ( x) 在 ? 0, m ? 上有一个零点;
m m

m 又 f (2m) ? e ? 2m ,令 g ? m ? ? e ? 2m ,因为 g ? ? m ? ? e ? 2 ? 0 在 m ? 1 时

成 立 , 所 以 g (m) 在 (1, ??) 上 单 调 递 增 , g ( m) ? g ( 1 ? e? 2 , 即 ) ? 0

f ( 2 )? .∴ f ? m ? ? f (2m) ? 0 ,所以 f ( x) 在 ? m, 2m ? 上也有一个零点; m 0
故 f ( x) 在 ? 0, 2m? 上有两个零点. ?12 分

22.(本小题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲 (1)连结 AC ,由 OD 是半径, AD ? DC ? OD ? AC , 又∵ ?BCA=90 ? BC ? AC ,于是有 OD ∥ BC . ?5 分
?

(2)由(1)及 EA ? AO , ED ? 2 ,知

OD ED EO 2 ? ? ? , BC EC EB 3
2 2

∴ EC ? 3 .∵ ED ? EC ? EA ? EB ? 3EA ,∴ 3EA ? 2 ? 3 ,即 EA ?

2,

CD ? EC ? ED ? 1 , BC ?

3 3 3 2 OD ? EA ? . 2 2 2 7 2 . 2
?10 分

∴周长= AD ? CD ? BC ? BA ? 2 ?

23.(本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程
? (1) l 表示过点 ? 3, 0 ? 倾斜角为 120 的直线,曲线 C 表示以 C ? ? a , 0 ? 为圆心, a 为半

径的圆.∵ l 与 C 相切,∴ a ?

1 ? 3 ? a ? , ? a ? 1. 2
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2012 年高三年级第二次诊断性测验文理科数学试题答案

于是曲线 C 的方程为 ? ? 2cos ? ,∴ ? ? 2 ? cos ? ,于是 x ? y ? 2 x
2

2

2

故所求 C 的直角坐标方程为 x ? y ? 2 x ? 0 ;
2 2

?5 分

(2)∵ ?POC ? ? ?OPC ? ? 30? ,∴ OP ? ∴切点 P 的极坐标为 ? 3 ,

3.
?10 分

? ?

??

?. 6?

24.(本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 (1)不等式可化为: x ? 1 ≤ 2 ,解得: ?3 ≤ x ≤ 1 . 故不等式 f ? x ? ≤ 2 的解集为 ? x | ?3 ≤ x ≤ 1? ; ?5 分

? 2 x, ? (2) f ? x ? ? f ? ? x ? ? ? 2, ??2 x, ?

x ≥1, ? 1 ? x ? 1, x ≤ -1.

当 x≥1 时, f ? x ? ? f ? ? x ? ? 2x≥ 2 , 当 ?1 ? x ? 1 时, f ? x ? ? f ? ? x ? ? 2 , 当 x ≤ ?1 时, f ? x ? ? f ? ? x ? ? ?2 x ≥ 2 , 故 f ? x ? ? f ? ? x ? ≥ 2 (“ ? ”在 ?1≤ x ≤1 时成立). ∴ a ≤2 ,即 a 的最大值为 2 . 以上各题的其它解法,限于篇幅,从略.请相应评分. ?10 分

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