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几类不同增长的函数模型说课稿


几类不同增长的函数模型(第一课时)的教学设计
内容和内容分析 本节是高中数学必修 1(人教 A 版)第三章《函数的应用》的起始课.该课将经历运用 和选择函数模型解决实际问题的过程, 从而认识在同为增函数的函数模型中, 各种函数存在 增长的差异;理解直线上升、指数爆炸、对数增长的含义;认识研究函数增长(衰减)差异 的方法;感受数学建模的思想. 对不同函数模型在增长差异上的研究, 教材围绕函数模型的应用这一核心, 结合具体实 例展开讨论,让学生在应用函数模型的过程中,体验到指数函数、对数函数、幂函数等函数 模型在描述客观世界变化规律时各自的特点. 教材运用自选投资方案和制定奖励方案这两个问题,引出函数模型增长情况比较的问 题,接着运用信息技术从数值和图象两个角度比较了指数函数、对数函数、幂函数的增长情 况的差异,说明不同函数类型增长的含义. 在必修 1 前两章, 教材安排了函数的性质以及基本初等函数. 本节内容是几类不同增长 的函数模型,在此之后是研究函数模型的应用,因此,从内容上看,本节课是对前面所学习 的几种基本初等函数以及函数的性质的综合应用, 从思想方法上讲, 是对研究函数的方法的 进一步巩固和深化,同时,也在为后面继续学习各种不同的函数模型的应用举例奠定基 础, .因此本节内容,既是第二章基本初等函数知识的延续,又是函数模型应用学习的基础, 起着承前启后的作用. 本节内容所涉及的数学思想方法主要包括: 由实际问题抽象为函数模型这一过程中蕴涵 的符号化、模型化的思想;在解决问题过程中函数与方程的思想. 目标和目标分析 本节课的教学任务为: (1)创设一个投资方案的问题情境,让学生通过函数建模、列数据表、研究函数图象 和性质,体会直线上升和指数爆炸; (2)创设一个选择奖励模型的问题情境,让学生在观察和探究的过程中,体会对数增 长模型的特点; (3)通过建立和运用函数基本模型,让学生初步体验数学建模的基本思想,发展学生 的创新意识和数学应用意识. 根据内容解析和教学任务,本节课的教学目标确定为: (1)通过实例的解决,运用函数表格、图象,比较一次函数、指数型函数以及对数函 数模型等的增长,认识它们的增长差异,体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同增长的 函数模型的意义; (2)通过恰当地运用函数的三种表示方法(解析法、列表法、图象法) ,表达实际问题 中的函数关系的操作,认识函数问题的研究方法:观察—归纳—猜想—证明; (3)经历建立和运用函数基本模型的过程,初步体验数学建模的基本思想,体会数学 的作用与价值,培养分析问题、解决问题的能力. 这部分内容教科书在处理上,以函数模型的应用这一内容为主线,以几个重要的函数 模型为对象, 将前面已经学习过的内容以及处理问题的思想方法紧密结合起来, 使之成为一

个整体.因此教学中应当注意贯彻教材的设计意图,让学生经历函数模型应用的全过程,能 在这一过程中认识不同增长的差异, 认识知晓函数增长差异的作用, 认识研究差异的思想方 法. 结合以上分析本节课的教学重点为:将实际问题转化为数学模型,在比较常数函数、一 次函数、指数函数、对数函数模型增长差异的过程中,体会直线上升、指数爆炸、对数增长 等不同类型函数增长的含义. 本节课教学难点确定为: 如何结合实际问题让学生体会不同函 数模型的增长差异,以及如何利用这种增长差异来解决一些实际问题. 教学过程设计 一、创设情境,引入课题 1.介绍第三章章头图,提出问题. 问题 1:澳大利亚的兔子为什么能在短短的几十年中由 5 只发展到 5 亿只? 澳大利亚兔子的急剧增长反映了自然界中一种增长现象:指数增长. 问题 2:在生活中,你还能举出其它增长的例子吗? 2.在学生回答问题的基础上引出各种不同类型的函数增长模型. 3.揭示课题:几类不同增长的函数模型. 【设计意图】运用章头图,形成问题情境,产生应用函数的需要,激发学生的学习愿望. 二、分析问题,建立模型 (一)提出问题 例 1.假如你有一笔资金用于投资,现有三种投资方案供你选择,这三种方案的 回报如下: 方案一:每天回报 40 元; 方案二:第一天回报 10 元,以后每天比前一天多回报 10 元; 方案三:第一天回报 0 .4 元,以后每天的回报比前一天翻一番. 请问:你会选择哪种投资方式? (二)分析问题 1.引导审题,抓住关键词“回报” 问题 3:你选择的是什么样的回报?怎样比较回报资金的大小? 从解决问题的角度看: (1)比较三种方案的每日回报; (2)比较三种方案在若干天内的累计回报. 2.引导分析数量关系,建立函数模型 仅从日回报的角度引导学生根据数量关系, 归纳概括出相应的函数模型, 写出每个方案 的函数解析式. 【设计意图】引发学生思考,经历建立函数基本模型的过程. 【备注】累计回报的本质是数列求和问题,由于学生目前的知识储备还不够,现在仅限 于通过对函数模型通过列表计算、图象观察来作出判断和选择. 三、组织探究,感性体验 1.教师提出问题

问题 4:你会选择哪种投资方案?请用数学语言呈现你的理由. 2.学生分组操作,比较不同增长 从解决问题的方式上: (1)用列表方法来比较; (2)画出函数图象来分析. 【设计意图】保成学生合作探究、动手实践,能借助计算器,利用数据表格、函数图象 对三种模型进行比较、分析,初步感受直线上升和指数爆炸的意义,初步体验研究函数增 长差异的方法. 四、成果交流,阶段小结 (一)学生交流 让学生交流小组探究的成果(表格、图象、结论) (二)师生互动 1.阅读教材上例题解答中的数据表格与图象(突出散点图) ,引导学生关注增长量,感 受增长差异. 2.通过教师多媒体动态演示,让学生进一步体会增长差异. 在不同的函数模型下, 虽然都有增长, 但增长态势各具特点. 他们的增长不在同一个 “档 次”上,当自变量变得很大时,指数型函数比一次函数增长的速度要快得多. (三)归纳小结 1.通过教师的小结,增强学生对增长差异的认识. 常数函数(没有增长) ,直线上升(匀速增长) ,指数爆炸(急剧增长) . 2.上述问题的解决,是通过考虑其中的数量关系,把它抽象概括成一个函数问题,用解 析式、数据表格、图象这三种函数的表达形式来研究的. 【设计意图】分享学生成果,达到生生互动、师生互动;借助多媒体展示,帮助学生理 解不同增长的函数模型的增长差异,并且初步体验数学建模的基本思想,认识函数问题的 研究方法. 五、深入探究,理性分析 (一)提出问题 例 2.某公司为了实现 1000 万元利润的目标,准备制定一个激励销售人员的奖励方案: 在销售利润达到 10 万元时, 按销售利润进行奖励, 且奖金 y(单位: 万元) 随销售利润 x(单 位:万元)的增加而增加,但奖金总数不超过 5 万元,同时奖金不超过利润的 25%.现有三 个奖励模型: y ? 0.25x 求? (二)引导分析 问题 5:你能立刻做出选择吗?选择的依据是什么? 问题 6:公司的要求到底意味着怎样的数学关系? 问题 7:我们提供的三个增长型函数哪一个符合限制条件? (三)解决问题 1.通过多媒体演示,发现增长差异;

y ? log7 x ? 1

y ? 1.002x .其中哪个模型能符合公司的要

2.结合限制条件,初步作出选择; 3.通过计算,进一步确认,验证所得结论; 4.体会对数增长模型的增长特征:当自变量变得很大时平缓增长; 5.揭示函数问题的研究方法(观察—归纳—猜想—证明) . 【设计意图】让学生在观察和探究的过程中,学会理性分析,体会对数增长模型的特点. 【备注】对判断模型二 y ? log7 x ? 1 是否满足限制条件“ log 7 x ?1 ? 0.25 x ” ,考虑到 学生现在知识储备和接受水平,只能采用了直观教学,通过构造新函数,观察新函数的图象 来解决(因为该函数单调性的判定,必须运用高二数学中的导数知识与方法才能解决) . 六、拓展延伸,创新设计 这个奖励方案实施以后,立刻调动了员工的积极性,企业发展蒸蒸日上,但随着时间 的推移,又出现了新的问题,员工缺乏创造高销售额的积极性. 问题 8:我们的奖励方案有什么弊端? 问题 9:你能否设计出更合理的奖励模型? 【创新设计】为了实现 1000 万元利润的目标,在销售利润达到 10 万元时,按销售利润 进行奖励,且奖金 y(单位:万元)随着销售利润 x (单位:万元)的增加而增加,要求如下: 10 万~ 50 万,奖金不超过 2 万;50 万~ 200 万,奖金不超过 4 万;200 万~ 1000 万,奖金不超过 20 万.请选择适当的函数模型,用图象表达你的设计方案. (四人一组,合 作完成) 【设计意图】 设计开放性问题对例 2 拓展延伸, 既检测了学生对几类不同模型增长差异 的掌握情况,又鼓励学生学以致用,用以致优,使学生的学习过程成为在教师引导下的“再 创造”过程. 七、归纳总结,提炼升华 问题 10:通过本节课的学习,你有哪些收获?请你从知识、方法、思想方面作一个小结. 1.知识:对函数的性质有了进一步的了解,我们体会到同是增长型函数,但其增长差 异却很大:常数函数(没有增长) ;一次函数(直线上升) ;指数函数(爆炸增长) ;对数函 数(平缓增长) . 2.方法:函数有三种表示方法(解析法、列表法、图象法) ;函数问题的一般研究方法 (观察—归纳—猜想—证明) 3.思想:两个例题都体现了数学建模的思想,即把实际问题数学化:面对实际问题, 我们要读懂问题,运用所学知识,将其转化成数学模型,最终得到实际问题的解. 【设计意图】理解几类不同增长的函数模型的增长差异,提炼数学思想方法,认识数学 的应用价值. 八、布置作业,巩固提高 1.课本 98 页课后练习 1,2;课本 107 页习题 3.2(A 组)第 1 题; 2.收集一些社会生活中递增的一次函数、指数函数、对数函数的实例,对它们的增长 速度进行比较,了解函数模型的广泛应用. 【设计意图】进一步体验函数是描述客观世界变化规律的基本数学模型,不同的变化规 律需要用不同的函数模型来描述;培养学生对数学学科的深刻认识,体会数学的应用价值.


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