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2.4高一数学平面向量的数量积例题精析


平面向量的数量积、平移·典型例题精析

公式,可求 a 与 b 的夹角α .

于是

例2 角θ .

已知 a+b=(2,-8),a-b=(-8,16),求 a·b 及 a 与 b 的夹

【分析】与例 1 不同的是,题目给出平面向量的坐标表示,可由已知条件求 出 a,b 的坐

标,再用向量的数量积定义求解.

【解】由 a+b=(2,-8), a-b=(-8,16), 二式相加,解得 a=(-3,4); 二式相减,解得 b=(5,-12). 于是 a·b=(-3)×5+4×(-12)=-63.

求 a,b 的夹角θ 也可用坐标表示式计算.

【说明】

如果知道两个向量的坐标,可直接求其夹角,不必利用定义去求模及数量积.例 3 已知两个向量 a=(3,4),b=(2,-1),当 a+xb 与 a-b 垂直时,求 x 的值. 【分析】 利用已知向量 a 与 b 表示 a+xb, a-b, 根据向量垂直的充要条件, 得到关于 x 的关系式. 【解法一】 ∵(a+xb)⊥(a-b), ∴(a+xb)·(a-b)=0.

a·b=3×2+4×(-1)=2, ∴25+(x-1)×2-5x=0.

【解法二】 ∵a=(3,4),b=(2,-1), ∴a+xb=(3,4)+x(2,-1)=(2x+3,4-x), a-b=(3,4)-(2,-1)=(1,5). 由于(a+xb)⊥(a-b), ∴(a+xb)·(a-b)=0, 从而(2x+3)×1+(4-x)×5=0, 2x+3+20-5x=0,

【说明】使用数量积的知识解决问题时,应注意有使用向量式或坐标两种形 式的思路. 例4 平面内三点 A,B,C 在一条直线上, ⊥ =(-2,m), =(n,1),

=(5,-1),且

,求实数 m,n 的值.

【分析】因为 A,B,C 三点共线,可由向量共线的充要条件得到关于 m,n 的一个关系式;又因为向量 ⊥ ,再由向量垂直的充要条件,得到关于 m,

n 的第二个关系式.对这两个关系式联立求解即可. 【解】∵A,B,C 三点在一条直线上,

∴向量



共线.

于是,存在实数λ ,使 =λ .



=(-2,m),

=(n,1),

=(5,-1),



=



=(7,-1-m),

=



=(n+2,1-m).

∴(7,-1-m)=λ (n+2,1-m).

故有

二式相除,消去λ ,得

∴mn-5m+n+9=0.① 又 ⊥ ,

∴ 即

·

=0,

(-2)×n+m×1=0,

m-2n=0.② 由②得 m=2n,代入①,得

相应的

m=6,m=3.

【说明】 上面解法中, 式①可由向量共线的坐标表达式求得, 因为 -1-m), =(n+2,1-m), 与

= (7,

共线,所以 7×(1-m)-(n+2)

(-1-m)=0,同样可以得到 mn-5m+n+9=0. 例5 平面内有向量 =(1,7), =(5,1), =(2,1),点 X

为直线 OP 上的一个动点. (1)当 · 取最小值时,求 的坐标;

(2)当点 X 满足(1)的条件和结论时,求 cos∠AXB 的值. 【分析】因为点 X 在直线 OP 上,向量 标的一个关系式;再根据 与 · 与 共线,可以得到关于 ,而 cos∠AXB 是向量 坐

的最小值,求得

夹角的余弦,利用数量积的知识容易解决.

【解】(1)设

=(x,y).

∵点 X 在直线 OP 上, ∴向量 与 共线.



=(2,1),

∴x×1-y×2=0, 即 x=2y.



=(2y,y).



=



,OA=(1,7),



=(1-2y,7-y).

同样

=



=(5-2y,1-y).

于是

·

=(1-2y)(5-2y)+(7-y)(1-y)

有最小值-8.此时 =(4,2).

(2)当

=(4,2),即 y=2 时,有

=(-3,5),

=(1,-1),

·

=(-3)×1+5×(-1)=-8.

【说明】由于 X 是 OP 上的动点,则向量 和方向均是变化的,于是它们的数量积 量积由 与 的模| |与| ·



均是不确定的,它们的模

也处在不确定的状态,这个数

|及它们的夹角三个要素同时决定,由解题过

程即可以看出它们都是变量 y 的函数. 另外,求出 弦值. 例6 如图 5-3-2,在平行四边形 ABCD 中,BC=2AB,∠ABC=60°,自 A 向对角线 BD 引垂线,并延长交 BC 于 E,求 BE∶EC. 与 的坐标后,可直接用坐标公式求这两个向量夹角的余

【分析】由于 BC=2AB,∠ABC=60°,可以 量,其中 ⊥ 是最可利用的条件.又 =

、 - ,

为基底表示图中的向

, 于 是可建立 m 与 n 的关系式. 【解】设 =a, =c,BE∶EC=m∶n,则



=

+

=c+a,









·

=0,

∴4m-n-(m+n)=0. ∴3m=2n. ∴m∶n=2∶3. 故 BE∶EC=2∶3. 例7 如图 5-3-3, 在△ABC 中,由 A 与 B 分别向对边 BC 与 CA 作垂线 AD 与 BE,且 AD 与 BE 交于 H,连结 CH,用向量法证明 CH⊥AB.

【证法一】 ∵AD⊥BC,H 在 AD 上, ∴ ⊥ .



=





∴(



)·

=0.



·



·

=0.①









·

=0,







)·

=0,

·



·

=0.②

注意到①,②式中

·

=

·

,故①-②,得

·(



)=0,



·(



)=0,

·

=0.

∴ 即





CH⊥AB.

【证法二】如图 5-3-4,在平面内任取一点 O.



=











·

=0,







)·(



)=0.



·(



)=

·(



).①

同理,由



,可得

·( ①+②,得 ·(



)=

·(



).②



)=

·



·





·(



)=

·(



),





)·(



)=0,

·

=0,

∴ 故





CH⊥AB. · =0 即可.因此证明中, , 分

【说明】用向量法证明 CH⊥AB,只要证得 都将已知条件中的 解成含 · =0, · ·

=0,运用减法的意义,将

的形式,再构造出

的形式,寻求结论.证法二中,在平面内

任取一点 O,使图中所用向量均用以 O 为起点的向量表示,将已知向量的关系相 对集中,这种方法应注意学习和使用.

例8 设平面内有两个向量 a=(cosα ,sinα ), b=(cosβ ,sinβ ), 且 0<α <β <π . (1)证明(a+b)⊥(a-b); (2)若两个向量 ka+b 与 a-kb 的模相等,求β -α 的值(k≠0,k∈R). 【分析】 题目的条件及所求结论均非常明确, 只要能得到 (a+b) (a-b) · =0,即可证得(1),再利用|ka+b|与|a-kb|相等,确定β -α 的值. 【解】(1)∵a=(cosα ,sinα ),b=(cosβ ,sinβ ), ∴a+b=(cosα +cosβ ,sinα +sinβ ),a-b=(cosα -cosβ ,sin α -sinβ ). ∴(a+b)·(a-b)=(cosα +cosβ )(cosα -cosβ )+(sinα +sin β )(sinα -sinβ )

=1-1=0. ∴(a+b)⊥(a-b).

证得结论.

于是(*)式化为

4kcos(α -β )=0.由于 k∈R,k≠0,

∴cos(α -β )=0,即 cos(β -α )=0. 而 0<α <β <π ,

【说明】由解题过程可知 a 与 b 均是单位向量,由向量加法的平行四边形法 则,可知 a+b,a-b 是以 a,b 为邻边的平行四边形两条对角线,从(1)中 a +b 与 a-b 垂直, 可知这个平行四边形是菱形, (2) 而由 知|ka+b|=|a-kb|时, a 与 b 的夹角为|α -β |=90°.因为 a·b=cos(α -β ),a·b=|a|·|b|cos θ .故 cos(α -β )=cosθ ,又 0<α <β <π ,有θ =|α -β |(θ 为 a 与 b 的夹角).这时 a⊥b. 此时由 a 及 b 为邻边组成的四边形是正方形. 例9 现有 7 个向量,其中任何 3 个向量之和的长度都与其余 4 个向量的 和的长度相等,求证这 7 个向量的和向量是零向量.

两边平方,得



|α |=0.

∴α =0. 例 10 (1)将点 A(2,4)按向量 a=(-5,-2)平移后,所得到的对 应点 A′的坐标是_______.

【解】(1)设 A′点的坐标为(x′,y′),由平移公式得

∴A′(-3,2). (2)设平移向量 a=(h,k).


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