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2014届高三数学寒假作业7(平面向量,李其龙)


2014 届高三数学寒假作业七(平面向量)
姓名____________学号___________ 一、填空题 1. 已知非零向量 a,b 满足 a = a + b ? 1 , a与b 夹角为 120° ,则向量 b 的模为 2. 已知向量 a与b 的夹角为 60? ,且|a|=1,|b|=2,那么 (a ? b)2 的值为 3. 设向量 a ? (1, x), b ?

(?3, 4) ,若 a // b ,则实数 x 的值为 4.已知 A (2, 3) , B (-1, 5) , 且 AC = . . . .

?

?

? ?

1 1 则 CD 中点的坐标是 AB ,AD =- AB , 3 4
. .

5. 设平面向量 a ? (1, 2) ,与向量 a ? (1, 2) 共线的单位向量坐标为 → → 6. 在四边形 ABCD 中,AC=(1,2),BD=(-4,2),则该四边形的面积为

?

?

7.如图, A, B, C 是直线上三点, P 是直线外一点, AB ? BC ? 1 , ?APB ? 90? , ?BPC ? 30? ,则 ??? ? ??? ? . PA ? PC = P 300 l A B C

8. 已知在 ?ABC 中, AB ? BC ? 3 , AC ? 4 ,设 O 是 ?ABC 的内心,若 AO ? m AB ? n AC , 则 m: n ? .

9.设 0 ? ? ? 2? ,已知两个向量 OP1 ? ?cos? , sin? ? , OP2 ? ?2 ? sin ? , 2 ? cos? ? ,则 向量 P1 P2 长度的最大值是 .

10. 在平面直角坐标系中, O 是坐标原点, A ? 2, 0 ? , B ?1,1? ,则点集

?P OP ? ?OA ? ?OB, ? ? ? ? 1, ?, ? ? R? 所表示的平面区域的面积是
??? ? ??? ? ??? ?
11. 如图, 在等腰三角形 ABC 中, 底边 BC ? 2 , AD ? DC , AE ? 若 BD ? AC ? ?

.

??? ?

? 1 ??? EB , 2

??? ? ????

1 , 则 CE ? AB = 2

.

12.在矩形 ABCD 中,AB= 2 ,点 F 是 CD 的中点,点 P 在边 AD 上,则| PB ? 3PF |的最小 值是 .

??? ?

??? ?

→ → 13. 已知直线 x+y=a 与圆 x2+y2=2 交于 A, B 两点, O 是原点, C 是圆上一点, 若OA+OB → =OC,则 a 的值为 14. 在平面上, AB1 ? 围是 二、解答题 15. 设 a ? ( x,1) , b ? (2, ?1) , c ? ( x ? m, m ? 1) ( x ? R, m ? R ). (Ⅰ)若 a 与 b 的夹角为钝角,求 x 的取值范围; (Ⅱ)解关于 x 的不等式 a ? c ? a ? c . .

???? ???? ? ????? ???? ??? ? 1 ??? ? ???? ???? ? ? ??? ? AB2 , QB1 ? QB2 ? 1 , AP ? AB1 ? AB2 .若 QP ? ,则 QA 的取值范 2
.

?

?

?

?

?

?

?

?

?

16. 已知在等边三角形 ABC 中,点 P 为线段 AB 上一点,且 AP ? ? AB(0 ? ? ? 1) . (1)若等边三角形边长为 6,且 ? ?

??? ?

??? ?

1 ,求 CP ; 3

??? ? ??? ? ??? ? ??? ? (2)若 CP ? AB ? PA ? PB ,求实数 ? 的取值范围.

17. 设平面向量 a ? ( 3 ,?1), b ? ( , 使向量 c ? a ? (tan
2

1 3 ? ? ) ,若存在实数 m(m ? 0) 和角 ? ,其中 ? ? (? , ) , 2 2 2 2

? ? 3)b, d ? ?ma ? b ? tan ? ,且 c ? d .

(Ⅰ)求 m ? f (? ) 的关系式; (Ⅱ)若 ? ? [?

? ?

, ] ,求 f (? ) 的最小值,并求出此时的 ? 值. 6 3

x2 y2 3 18.若椭圆 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 过点(-3,2) ,离心率为 ,⊙O 的圆心为原点,直径 3 a b
为椭圆的短轴, ⊙M 的方程为 ( x ? 8) ? ( y ? 6) ? 4 , 过⊙M 上任一点 P 作⊙O 的切线 PA、
2 2

PB,切点为 A、B. (1)求椭圆的方程; (2)若直线 PA 与⊙M 的另一交点为 Q,当弦 PQ 最大时,求直线 PA 的直线方程; (3)求 OA ? OB 的最大值与最小值.

2014 届高三数学寒假作业七 平面向量
参考答案
1. 1 5. ( 2. 7 3. ?

4 3
6.5

4. (

15 37 , ) 8 12 4 7

5 2 5 2 5 5 ,? ) , ) 或 (? 5 5 5 5
提示一:利用夹角相等,则有

7. ?

8. 4 : 3

AO ? AB | AB |

?

AO ? AC AC

.

提示二:利用角平分线定理,根据相似比求得 AO ? 9. 3 2 12. 10. 4 11. -

4 3 AB ? AC 10 10

4 3

5 2 ; 提 示 : 以 D 为 原 点 建 立 平 面 直 角 坐 标 系 设 DC=a,DP=x, 2 ??? ? ??? ? 2 | PB ? 3PF |= 25 ? ?3a ? 4 x ? .
7 , 2], 2

13. ± 1 14. (

法一:根据条件知 A,B1,P,B2 构成一个矩形 AB1PB2,以 AB1,AB2 所在直线为坐标轴建立直角坐标系,如图.设|AB1|=a,|AB2|=b, 点 O 的坐标为(x,y),则点 P 的坐标为(a,b),
2 2 ? ?(x-a) +y =1, → → 由|OB1|=|OB2|=1 得? 2 2 ? ?x +(y-b) =1,

?(x-a)2=1-y2, ? 则? 2 2 ? ?(y-b) =1-x .
1 1 7 → 1 又由|OP|< ,得(x-a)2+(y-b)2< ,则 1-x2+1-y2< ,即 x2+y2> ①. 2 4 4 4 又(x-a)2+y2=1,得 y2≤1; 由 x2+(y-b)2=1,得 x2≤1,即有 x2+y2≤2②. 7 7 由①②知 <x2+y2≤2,所以 < 4 2 → 而|OA|= x2+y2,所以 x2+y2≤ 2.

7 → <|OA|≤ 2. 2

法二:如图,以 O 为原点建立直角坐标系,不妨设 P 在 x 轴正半 轴上,取中点 B1B2 中点 M,易知 2MP= B1B2,所以 MO2+MP2=1

这样设 P(a,0) ,设 M (x 0 , y0 )
2 2 2 2

则有

a 2 2 ? a2 2 x0 ? y0 ? (x 0 ? a) ? y0 ? 1 的圆 M 的轨迹方程为: ( x0 ? ) ? y0 ? 即是以 OP 2 4

( ,0) 为圆心,以 中点

a 2

2-a 2 为半径的圆, 由于 M 是线段 AP 中点, 所以 A(x,y) 2

x?a ? x0 ? ? ? 2 2 2 2 满足关系 ? , 从而 x ? y ? 2 ? a ,所以 A 的轨迹应该是以 ( 0, 0) 为圆心, y ? 0 ?y ? 0 ? ? 2
以 2 - a 为半径的圆。
2

? 7 ? , 2? 。 ? 2 ? ? ? ? ? 1 15. (1)由题知: a ? b ? 2 x ? 1 ? 0 ,解得 x ? ;又当 x ? ?2 时, a 与 b 的夹角为 ? , 2 ? ? 1 所以当 a 与 b 的夹角为钝角时, x 的取值范围为 (??, ?2) ? (?2, ) 2 ? ? ? ? ? ? (2)由 a ? c ? a ? c 知, a ? c ? 0 ,即 ( x ? 1)[ x ? (m ? 1)] ? 0 ;
题目所求转化为 OA= 2 - a ,其中 a ? ?0, ? ,所以 OA ? ? ?
2

? 1? ? 2?

当 m ? 2 时,解集为 {x m ? 1 ? x ? 1} ; 当 m ? 2 时,解集为空集; 当 m ? 2 时,解集为 {x 1 ? x ? m ? 1} 16. (1)当 ? ?

??? ? 1 ??? ? 1 时, AP ? AB , 3 3

??? ? 2 ??? ? ??? ? ??? ?2 ??? ? ??? ? ??? ?2 1 CP ? (CA ? AP)2 ? CA ? 2CA ? AP ? AP ? 62 ? 2 ? 6 ? 2 ? ? 22 ? 28 . 2 ??? ? ∴ | CP |? 2 7
(2)设等边三角形的边长为 a ,则

??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? 1 CP ? AB ? (CA ? AP) ? AB ? (CA ? ? AB) ? AB ? ? a 2 ? ?a 2 , 2 ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? PA ? PB ? PA ? ( AB ? AP) ? ? AB ? ( AB ? ? AB) ? ??a 2 ? ? 2 a 2
2? 2 2? 2 1 2 1 . ??? a ? ?a 2 ? ??a 2 ? ? 2 a 2 ,∴ ? 2 ? 2? ? ? 0 ,∴ 2 2 2 2 2? 2 ? ? ? 1. 2

即?

又 0 ? ? ? 0 ,∴

17. (Ⅰ)∵ c ? d ,且 a ? b ? 0, a ? 2, b ? 1 , ∴ c ? d ? ? m a ? (tan 3 ? ? 3 tan ? )b ? 0 ∴ m ? f (? ) ?
2 2

1 ? ? (tan 3 ? ? 3 tan ? ),? ? (? , ) 4 2 2

(Ⅱ)设 t ? tan ? ,又∵ ? ? [?

? ?

3 1 , 3 ] ,则 m ? g (t ) ? (t 3 ? 3t ) , ] ,∴ t ? [ ? 3 6 3 4

m' ? g ' (t ) ?
∴ t ? (?

3 2 (t ? 1) 令 g ' (t ) ? 0 得 t ? ?1 (舍去) t ? 1 4

3 ? ,1) 时 g ' (t ) ? 0 , t ? (1, 3 ) 时 g ' (t ) ? 0 ,∴ t ? 1 时,即 ? ? 时, 3 4
1 2

g (1) 为极小值也是最小值, g (t ) 最小值为 ?
18. (1)

x2 y2 (2)由题可知当直线 PA 过圆 M 的圆心(8,6)时,弦 PQ 最大, ? ?1 ; 15 10
又因为 PA 与圆 O 相 可得 k ?

因为直线 PA 的斜率一定存在,设直线 PA 的方程为:y-6=k(x-8), 切, 所以圆心 (0, 0) 到直线 PA 的距离为 10 , 即

| 8k ? 6 | 1? k
2

? 10

1 13 或k ? , 3 9


所以直线 PA 的方程为: x ? 3 y ? 10 ? 0或13 x ? 9 y ? 50 ? 0 ; (3)设 ?AOP ? ?

?AOP ? ?BOP, ?AOB ? 2? ,

则 cos ?AOB ? 2 cos ? ? 1 ? 2(
2

OA 2 20 ) ?1 ? ?1 OP OP 2

?| OP | max ? 10 ? 2 ? 12, | OP | min ? 10 ? 2 ? 8

? OA ? OB ?| OA | ? | OB | cos ?AOB ? ? (OA ? OB) max ? ?

200 ? 10 OP 2

55 155 . , (OA ? OB) min ? ? 8 18


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