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数列通项公式的求法及数列求和


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袁游老师

2013.7.25

高二暑假班

第九讲

数列通项公式求法及数列求和 (一)数列通项公式的求法
一、公式法 例 1 已知数列 {an } 满足 an?1 ? 2an ? 3? 2n , a1 ? 2 ,求数列 {an } 的通项公式。

a an ?1 an 3 a a 3 ? n ? ,则 n ?1 ? n ? ,故数列 { n } 是 n ?1 n ?1 n 2n 2 2 2 2 2 2 a 3 a 2 3 以 1 ? ? 1 为首项, 以 为公差的等差数列, 由等差数列的通项公式, n ? 1 ? ( n ? 1) , 得 n 1 2 2 2 2 2 3 1 n 所以数列 {an } 的通项公式为 an ? ( n ? )2 。 2 2
解:an?1 ? 2an ? 3? 2n 两边除以 2
n?1

,得

评注:本题解题的关键是把递推关系式 an?1 ? 2an ? 3? 2n 转化为

an ?1 an 3 ? ? ,说明数列 2n ?1 2n 2 a a 3 { n } 是等差数列,再直接利用等差数列的通项公式求出 n ? 1 ? (n ? 1) ,进而求出数列 n n 2 2 2

{an } 的通项公式。
二、累加法 例 2 已知数列 {an } 满足 an?1 ? an ? 2n ? 1 a1 ? 1 ,求数列 {an } 的通项公式。 , 解:由 an?1 ? an ? 2n ? 1 得 an?1 ? an ? 2n ? 1 则

an ? (an ? an ?1 ) ? (an ?1 ? an ?2 ) ? ? ? (a3 ? a2 ) ? (a2 ? a1 ) ? a1 ? [2(n ? 1) ? 1] ? [2( n ? 2) ? 1] ? ? ? (2 ? 2 ? 1) ? (2 ?1 ? 1) ? 1 ? 2[(n ? 1) ? (n ? 2) ? ? ? 2 ? 1] ? (n ? 1) ? 1 (n ? 1)n ? (n ? 1) ? 1 2 ? (n ? 1)(n ? 1) ? 1 ?2 ? n2
所以数列 {an } 的通项公式为 an ? n 。
2

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评注:本题解题的关键是把递推关系式 an?1 ? an ? 2n ? 1 转化为 an?1 ? an ? 2n ? 1 ,进而求 出 (an ? an?1 ) ? (an?1 ? an?2 ) ? ? ? (a3 ? a2 ) ? (a2 ? a1 ) ? a1 ,即得数列 {an } 的通项公式。 例 3 已知数列 {an } 满足 an?1 ? an ? 2 ? 3n ? 1 a1 ? 3 ,求数列 {an } 的通项公式。 , 解 : 由

an?1 ? an ? 2 ?

n

? 3



1

an?1 ? an ? 2 ? 3n ? 1



an ? (an ? an ?1 ) ? (an ?1 ? an ? 2 ) ? ? ? (a3 ? a2 ) ? (a2 ? a1 ) ? a1 ? (2 ? 3n ?1 ? 1) ? (2 ? 3n ? 2 ? 1) ? ? ? (2 ? 32 ? 1) ? (2 ? 31 ? 1) ? 3 ? 2(3n ?1 ? 3n ? 2 ? ? ? 32 ? 31 ) ? (n ? 1) ? 3 3(1 ? 3n ?1 ) ?2 ? (n ? 1) ? 3 1? 3 ? 3n ? 3 ? n ? 1 ? 3 ? 3n ? n ? 1
所以 an ? 3n ? n ? 1. 评注:本题解题的关键是把递推关系式 an?1 ? an ? 2 ? 3n ? 1 转化为 an?1 ? an ? 2 ? 3n ? 1 , 进而求出 an ? (an ? an?1 ) ? (an?1 ? an?2 ) ? ? ? (a3 ? a2 ) ? (a2 ? a1 ) ? a1 , 即得数列 {an } 的通 项公式。 例4 已知数列 {an } 满足 an?1 ? 3an ? 2 ? 3n ? 1 a1 ? 3 ,求数列 {an } 的通项公式。 ,
n?1

解: an?1 ? 3an ? 2 ? 3n ? 1 两边除以 3 则

,得

an ?1 an 2 1 ? n ? ? n ?1 , n ?1 3 3 3 3

an ?1 an 2 1 ? n ? ? n ?1 ,故 n ?1 3 3 3 3

an an a a an ? 2 an ? 2 a n ? 3 a2 a1 a ? ( n ? n ?1 ) ? ( n ?1 ? n ? 2 ) ? ( n ? 2 ? n ?3 ) ? ? ? ( 2 ? 1 ) ? 1 n 3 3 an ?1 an ?1 3 3 3 3 3 3 2 1 2 1 2 1 2 1 3 ? ( ? n ) ? ( ? n ?1 ) ? ( ? n ? 2 ) ? ? ? ( ? 2 ) ? 3 3 3 3 3 3 3 3 3 2(n ? 1) 1 1 1 1 1 ? ? ( n ? n ? n ?1 ? n ? 2 ? ? ? 2 ) ? 1 3 3 3 3 3 3

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1 (1 ? 3n?1 ) an 2(n ? 1) 3n 2n 1 1 因此 n ? , ? ?1 ? ? ? 3 3 1? 3 3 2 2 ? 3n
则 an ?

2 1 1 ? n ? 3n ? ? 3n ? . 3 2 2
an ?1 an 2 1 ? n ? ? n ?1 , n ?1 3 3 3 3

评注:本题解题的关键是把递推关系式 an?1 ? 3an ? 2 ? 3n ? 1 转化为 进而求出 (

an an ?1 an ?1 an ?2 an ?2 an ?3 a2 a1 a ? an ? ? n ?1 ) ? ( n ?1 ? n ?2 ) ? ( n ?2 ? n ?3 ) ? ? ? ( 2 ? 1 ) ? 1 ,即得数列 ? n ? n 3 3 3 3 3 3 3 3 3 ?3 ?

的通项公式,最后再求数列 {an } 的通项公式。 三、累乘法 例 5 已知数列 {an } 满足 an?1 ? 2(n ? 1)5n ? an,a1 ? 3 ,求数列 {an } 的通项公式。

解:因为 an?1 ? 2(n ? 1)5n ? an,a1 ? 3 ,所以 an ? 0 ,则

an ?1 ? 2(n ? 1)5n ,故 an

an ?

an an ?1 a a ? ?? ? 3 ? 2 ? a1 an ?1 an ? 2 a2 a1

? [2(n ? 1 ? 1)5n ?1 ][2(n ? 2 ? 1)5n ? 2 ] ?? ? [2(2 ? 1) ? 52 ][2(1 ? 1) ? 51 ] ? 3 ? 2n ?1[n(n ? 1) ?? ? 3 ? 2] ? 5( n ?1) ? ( n ? 2) ??? 2?1 ? 3 ? 3 ? 2n ?1 ? 5
n ( n ?1) 2

? n!
n ( n ?1) 2

所以数列 {an } 的通项公式为 an ? 3 ? 2n?1 ? 5

? n!.
an ?1 ? 2(n ? 1)5n , 进而求 an

评注: 本题解题的关键是把递推关系 an?1 ? 2(n ? 1)5n ? an 转化为



an an?1 a a ? ?? ? 3 ? 2 ? a1 ,即得数列 {an } 的通项公式。 an?1 an?2 a2 a1

例 6 (2004 年全国 I 第 15 题,原题是填空题)已知数列 {an } 满足

a1 ? 1 an ? a1 ? 2a2 ? 3a3 ? ? ? (n ?1)an?1 (n ? 2) ,求 {an } 的通项公式。 ,

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解:因为 an ? a1 ? 2a2 ? 3a3 ? ? ? (n ?1)an?1 (n ? 2) 所以 an?1 ? a1 ? 2a2 ? 3a3 ? ? ? (n ?1)an?1 ? nan 用②式-①式得 an?1 ? an ? nan . 则 an?1 ? (n ? 1)an (n ? 2) ②





an ?1 ? n ? 1(n ? 2) an

所以 an ?

an an?1 a n! ? ?? ? 3 ? a2 ? [n(n ? 1) ??? 4 ? 3]a2 ? a2 . an?1 an?2 a2 2



由 an ? a1 ? 2a2 ? 3a3 ? ? ? (n ?1)an?1 (n ? 2) ,取n ? 2得a2 ? a1 ? 2a2 ,则 a2 ? a1 ,又知

a1 ? 1 ,则 a2 ? 1,代入③得 an ? 1? 3 ? 4 ? 5 ?? ? n ?
所以, {an } 的通项公式为 an ?

n! 。 2

n! . 2

评注:本题解题的关键是把递推关系式 an?1 ? (n ? 1)an (n ? 2) 转化为

an ?1 ? n ? 1(n ? 2) , an

进而求出

an an?1 a ? ?? ? 3 ? a2 , 从而可得当 n ? 2时,an 的表达式, 最后再求出数列 {an } 的 an?1 an?2 a2

通项公式。 四、待定系数法 例 7 已知数列 {an } 满足 an?1 ? 2an ? 3? 5 ,a1 ? 6 ,求数列 ?an ? 的通项公式。
n

解:设 an?1 ? x ? 5

n?1

? 2(an ? x ? 5n )


n?1

将 an?1 ? 2an ? 3? 5 代入④式,得 2an ? 3? 5 ? x ? 5
n

n

? 2an ? 2x ? 5n ,等式两边消去

x n 代 , 2an , 得 3 ? 5n ? x ? 5n?1 ? 2 ? 5 , 两 边 除 以 5 n , 得 3 ? 5x ? 2x 则 x ? ? 1, 入 ④ 式 得
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an?1 ? 5n?1 ? 2(an ? 5n )



an?1 ? 5n?1 由 a1 ? 5 ? 6 ? 5 ? 1 ? 0 及⑤式得 an ? 5 ? 0 ,则 ? 2 ,则数列 {an ? 5n } 是以 n an ? 5
1 n

a1 ? 51 ? 1 为首项,以 2 为公比的等比数列,则 an ? 5n ? 2n?1 ,故 an ? 2n?1 ? 5n 。
评注:本题解题的关键是把递推关系式 an?1 ? 2an ? 3? 5n 转化为 an?1 ? 5n?1 ? 2(an ? 5n ) , 从而可知数列 {an ? 5n } 是等比数列,进而求出数列 {an ? 5n } 的通项公式,最后再求出数列

{an } 的通项公式。
例 8 已知数列 {an } 满足 an?1 ? 3an ? 5 ? 2n ? 4,a1 ? 1,求数列 {an } 的通项公式。 解:设 an?1 ? x ? 2n?1 ? y ? 3(an ? x ? 2n ? y) 将 an?1 ? 3an ? 5 ? 2n ? 4 代入⑥式,得 ⑥

3an ? 5 ? 2n ? 4 ? x ? 2n?1 ? y ? 3(an ? x ? 2n ? y)
整理得 (5 ? 2 x) ? 2n ? 4 ? y ? 3x ? 2n ? 3 y 。

令?

?x ? 5 ?5 ? 2 x ? 3x ,则 ? ,代入⑥式得 ?y ? 2 ?4 ? y ? 3 y


an?1 ? 5 ? 2n?1 ? 2 ? 3(an ? 5 ? 2n ? 2)
由 a1 ? 5 ? 2 ? 2 ? 1 ? 12 ? 13 ? 0 及⑦式,
1

得 an ? 5 ? 2 ? 2 ? 0 ,则
n

an?1 ? 5 ? 2n?1 ? 2 ?3, an ? 5 ? 2n ? 2
1

故数列 {an ? 5 ? 2 ? 2} 是以 a1 ? 5 ? 2 ? 2 ? 1 ? 12 ? 13 为首项,以 3 为公比的等比数列,
n

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因此 an ? 5 ? 2n ? 2 ? 13? 3n?1 ,则 an ? 13? 3n?1 ? 5 ? 2n ? 2 。 评注:本题解题的关键是把递推关系式 an?1 ? 3an ? 5 ? 2n ? 4 转化为

an?1 ? 5 ? 2n?1 ? 2 ? 3(an ? 5 ? 2n ? 2) ,从而可知数列 {an ? 5 ? 2n ? 2} 是等比数列,进而求
出数列 {an ? 5 ? 2n ? 2} 的通项公式,最后再求数列 {an } 的通项公式。 例 9 已知数列 {an } 满足 an?1 ? 2an ? 3n2 ? 4n ? 5,a1 ? 1,求数列 {an } 的通项公式。 解:设 an?1 ? x(n ?1)2 ? y(n ?1) ? z ? 2(an ? xn2 ? yn ? z) 将 an?1 ? 2an ? 3n2 ? 4n ? 5 代入⑧式,得 ⑧

2an ? 3n2 ? 4n ? 5 ? x(n ?1)2 ? y(n ? 1) ? z ? 2(an ? xn2 ? yn ? z) ,则 2an ? (3 ? x)n2 ? (2x ? y ? 4)n ? ( x ? y ? z ? 5) ? 2an ? 2xn2 ? 2 yn ? 2z
等式两边消去 2an ,得 (3 ? x)n ? (2 x ? y ? 4)n ? ( x ? y ? z ? 5) ? 2xn ? 2 yn ? 2z ,
2 2

?3 ? x ? 2 x ?x ? 3 ? ? 解方程组 ?2 x ? y ? 4 ? 2 y ,则 ? y ? 10 ,代入⑧式,得 ?x ? y ? z ? 5 ? 2z ? z ? 18 ? ?

an?1 ? 3(n ?1)2 ?10(n ? 1) ? 18 ? 2(an ? 3n2 ?10n ?18) ⑨
由 a1 ? 3?12 ? 10 ?1 ? 18 ? 1 ? 31 ? 32 ? 0 及⑨式,得 an ? 3n2 ? 10n ? 18 ? 0



an?1 ? 3(n ? 1)2 ? 10(n ? 1) ? 18 ? 2 ,故数列 {an ? 3n2 ? 10n ? 18} 为以 2 an ? 3n ? 10n ? 18

a1 ? 3?12 ? 10 ?1 ? 18 ? 1 ? 31 ? 32 为首项,以 2 为公比的等比数列,因此 an ? 3n2 ?10n ?18 ? 32 ? 2n?1 ,则 an ? 2n?4 ? 3n2 ?10n ?18 。

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评注:本题解题的关键是把递推关系式 an?1 ? 2an ? 3n2 ? 4n ? 5 转化为

an?1 ? 3(n ?1)2 ?10(n ? 1) ? 18 ? 2(an ? 3n2 ?10n ?18) ,从而可知数列
进而求出数列 {an ? 3n2 ? 10n ? 18} 的通项公式, 最后再 {an ? 3n2 ? 10n ? 18} 是等比数列, 求出数列 {an } 的通项公式。 五、数学归纳法 例 12 已知数列 {an } 满足 an ?1 ? an ?

8(n ? 1) 8 ,a1 ? , 求数列 {an } 的通项公式。 2 2 (2n ? 1) (2n ? 3) 9

解:由 an ?1 ? an ?

8 8(n ? 1) 及 a1 ? ,得 2 2 9 (2n ? 1) (2n ? 3)

8(1 ? 1) 8 8 ? 2 24 ? ? ? 2 2 (2 ?1 ? 1) (2 ?1 ? 3) 9 9 ? 25 25 8(2 ? 1) 24 8?3 48 a3 ? a2 ? ? ? ? 2 2 (2 ? 2 ? 1) (2 ? 2 ? 3) 25 25 ? 49 49 8(3 ? 1) 48 8 ? 4 80 a4 ? a3 ? ? ? ? 2 2 (2 ? 3 ? 1) (2 ? 3 ? 3) 49 49 ? 81 81 a2 ? a1 ?
由此可猜测 an ?

(2n ? 1)2 ? 1 ,往下用数学归纳法证明这个结论。 (2n ? 1)2 (2 ?1 ? 1)2 ? 1 8 ? ,所以等式成立。 (2 ?1 ? 1)2 9 (2k ? 1)2 ? 1 ,则当 n ? k ? 1 时, (2k ? 1)2

(1)当 n ? 1 时, a1 ?

(2)假设当 n ? k 时等式成立,即 ak ?

ak ?1 ? ak ?

8(k ? 1) (2k ? 1) 2 (2k ? 3) 2

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?

(2k ? 1) ? 1 8( k ? 1) ? 2 (2k ? 1) (2k ? 1) 2 (2k ? 3) 2
2

[(2k ? 1) 2 ? 1](2k ? 3) 2 ? 8(k ? 1) ? (2k ? 1) 2 (2k ? 3) 2 ? ? ? ? (2k ? 1) 2 (2k ? 3) 2 ? (2k ? 3) 2 ? 8( k ? 1) (2k ? 1) 2 (2k ? 3) 2 (2k ? 1) 2 (2k ? 3) 2 ? (2k ? 1) 2 (2k ? 1) 2 (2k ? 3) 2 (2k ? 3) 2 ? 1 (2k ? 3) 2 [2(k ? 1) ? 1]2 ? 1 [2(k ? 1) ? 1]2

由此可知,当 n ? k ? 1 时等式也成立。 根据(1)(2)可知,等式对任何 n ? N 都成立。 ,
*

评注: 本题解题的关键是通过首项和递推关系式先求出数列的前 n 项, 进而猜出数列的通项 公式,最后再用数学归纳法加以证明。 六、换元法 例 13 已知数列 {an } 满足 an ?1 ?

1 (1 ? 4an ? 1 ? 24an ),a1 ? 1 , 求数列 {an } 的通项公式。 16
1 2 (bn ? 1) 24

解:令 bn ? 1 ? 24an ,则 an ? 故 an ?1 ?

1 2 1 (bn ?1 ? 1) ,代入 an ?1 ? (1 ? 4an ? 1 ? 24an ) 得 24 16

1 2 1 1 2 (bn ?1 ? 1) ? [1 ? 4 (bn ? 1) ? bn ] 24 16 24
即 4bn?1 ? (bn ? 3)
2 2

因为 bn ? 1? 24an ? 0 ,故 bn?1 ? 1 ? 24an?1 ? 0 则 2bn?1 ? bn ? 3 ,即 bn ?1 ? 可化为 bn ?1 ? 3 ?

1 3 bn ? , 2 2

1 (bn ? 3) , 2
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所以 {bn ? 3} 是以 b1 ? 3 ? 1 ? 24a1 ? 3 ? 1 ? 24 ?1 ? 3 ? 2 为首项,以 列,因此 bn ? 3 ? 2( )

1 为公比的等比数 2

1 2

n ?1

1 1 1 ? ( ) n ?2 ,则 bn ? ( ) n ? 2 ? 3 ,即 1 ? 24an ? ( ) n ? 2 ? 3 ,得 2 2 2

an ?

2 1 n 1 n 1 ( ) ?( ) ? 。 3 4 2 3

评注:本题解题的关键是通过将 1 ? 24an 的换元为 bn ,使得所给递推关系式转化

bn ?1 ?

1 3 bn ? 形式, 从而可知数列 {bn ? 3} 为等比数列, 进而求出数列 {bn ? 3} 的通项公式, 2 2

最后再求出数列 {an } 的通项公式。

(二)数列求和方法
第一类:公式法
利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法。 1、等差数列的前 n 项和公式

Sn ?

n(a1 ? a n ) n(n ? 1)d ? na1 ? 2 2

2、等比数列的前 n 项和公式

?na1 (q ? 1) ? S n ? ? a1 (1 ? q n ) a1 ? a n q ? 1 ? q ? 1 ? q (q ? 1) ?
3、常用几个数列的求和公式 (1) S n ? 、
n

? k ? 1 ? 2 ? 3 ? ? ? n ? 2 n(n ? 1)
k ?1 n

1

(2) S n ? 、

?k
k ?1 n

2

? 12 ? 2 2 ? 32 ? ? ? n 2 ?

1 n(n ? 1)(2n ? 1) 6

(3) S n ? 、

?k
k ?1

3

1 ? 13 ? 2 3 ? 33 ? ? ? n 3 ? [ n(n ? 1)]2 2

第二类:乘公比错项相减(等差 ? 等比)
这种方法是在推导等比数列的前 n 项和公式时所用的方法,这种方法主要用于求数列

{an ? bn }的前 n 项和,其中 {an } , {bn } 分别是等差数列和等比数列。
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例 1:求数列 {nq n ?1 } ( q 为常数)的前 n 项和。 解:Ⅰ、若 q =0, 则 S n =0 Ⅱ、若 q =1,则 S n ? 1 ? 2 ? 3 ? ? ? n ? Ⅲ、若 q ≠0 且 q ≠1, 则 S n ? 1 ? 2q ? 3q 2 ? ?? nqn?1 ① ②

1 n(n ? 1) 2

qSn ? q ? 2q 2 ?3q 3 ? ?? nqn

①式—②式: (1 ? q)S n ? 1 ? q ?q 2 ?q 3 ? ?? q n?1 ? nqn

? Sn ?

1 (1 ? q ? q 2 ? q 3 ? ? ? q n ?1 ? nqn ) 1? q

? Sn ? ? Sn ?

1 1? qn ( ? nqn ) 1? q 1? q

1? qn nqn ? (1 ? q) 2 1 ? q

? ?0(q ? 0) ? ?1 综上所述: S n ? ? n(n ? 1)(q ? 1) ?2 ? 1? qn nqn ? (q ? 0且q ? 1) ? 2 1? q ? (1 ? q)
解析: 数列 {nq n ?1 } 是由数列 ?n?与 q 此类型的才适应错位相减, ? ?对应项的积构成的,
n ?1

(课本中的的等比数列前 n 项和公式就是用这种方法推导出来的) ,但要注意应按以上三种 情况进行分类讨论,最后再综合成三种情况。

第三类:裂项相消法
这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用。 裂项法的实质是将数列中的每项(通项)分解,然后重新组合,使之能消去一些项,最 终达到求和的目的通项分解(裂项)如: 1、乘积形式,如: (1) a n ? 、

1 1 1 ? ? n(n ? 1) n n ? 1

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(2) an ? 、

(2n) 2 1 1 1 ? 1? ( ? ) (2n ? 1)(2n ? 1) 2 2n ? 1 2n ? 1
1 1 1 1 ? [ ? ] n(n ? 1)(n ? 2) 2 n(n ? 1) (n ? 1)(n ? 2)
4 ) 、

(3) a n ? 、 (

an ?

n ? 2 1 2(n ? 1) ? n 1 1 1 1 ? n ? ? n ? ? , 则S n ? 1 ? n ?1 n n(n ? 1) 2 n(n ? 1) 2 n?2 (n ? 1)2 (n ? 1)2 n

2、根式形式,如:

an ?

1 n ?1 ? n

? n ?1 ? n

例 2:求数列

1 1 1 1 , , ,…, ,…的前 n 项和 S n 1? 2 2 ? 3 3 ? 4 n(n ? 1)

解:∵

1 1 1 = ? n(n ? 1) n n ? 1

1 1 1 1 1 1 ? ? ? ??? ? 2 2 3 3 n n ?1 1 ? Sn ? 1 ? n ?1 Sn ? 1 ?
例 3:求数列

1 1 1 1 , , ,…, ,…的前 n 项和 S n 1? 3 2 ? 4 3 ? 5 n ( n ? 2)

解:由于:

1 1 1 1 = ( ? ) n ( n ? 2) 2 n n ? 2

则: S n ?

1? 1 1 1 1 1 ? ?(1 ? 3 ) ? ( 2 ? 4 ) ? ? ? ? ? ( n ? n ? 2 )? 2? ?

1 1 1 1 ? ) ? S n ? (1 ? ? 2 2 n ?1 n ? 2 3 1 1 ? ? Sn ? ? 4 2n ? 2 2n ? 4
解析:要先观察通项类型,在裂项求和时候,尤其要注意:究竟是像例 2 一样剩下首尾 两项,还是像例 3 一样剩下四项。

第四类:倒序相加法
这是推导等差数列的前 n 项和公式时所用的方法, 就是将一个数列倒过来排列 (反序) ,

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再把它与原数列相加,就可以得到 n 个 (a1 ? a n ) 。 例 4:若函数 f (x) 对任意 x ? R 都有 f ( x) ? f (1 ? x) ? 2 。 (1) a n ? f (0) ? f ( ) ? f ( ) ? ? ? f ( 证明你的结论; (2)求数列 {

1 n

2 n

n ?1 ) ? f (1) ,数列 {an } 是等差数列吗?是 n

1 } 的的前 n 项和 Tn 。 a n ? a n ?1

解: 、 a n ? f (0) ? f ( ) ? f ( ) ? ? ? f ( (1)

1 2 n ?1 ) ? f (1) (倒序相加) n n n n ?1 n?2 1 )? f( ) ? ? ? f ( ) ? f (0) ? a n ? f (1) ? f ( n n n 1 n ?1 2 n ? 2 1? 0 ? ? ? ? ???1 n n n n

则,由条件:对任意 x ? R 都有 f ( x) ? f (1 ? x) ? 2 。

2 ) ? 2an ? 2 ? 2 ? 2 ? ? ? 2 ? (n ? 1

? an ? n ? 1 ? an?1 ? n ? 2 ? an?1 ? an ? 1
从而:数列 {an } 是 a1 ? 2, d ? 1 的等差数列。 (2) 、

1 1 1 1 ? ? ? a n ? a n?1 (n ? 1)(n ? 2) n ? 1 n ? 2
1 1 1 1 ? ? ??? 2 ? 3 3? 4 4 ? 5 (n ? 1 ? (n ? 2) )

? Tn =

1 1 1 1 1 1 1 1 n ? ? ? ? ? Tn = ? ? ? ? ? ? 2 3 3 4 n ? 1 n ? 2 2 n ? 2 2n ? 4
故: Tn =

n 2n ? 4

解析: 此类型关键是抓住数列中与首末两端等距离的两项之和相等这一特点来进行倒序 相加的。 此例题不仅利用了倒序相加法,还利用了裂项相消法。在数列问题中,要学会灵活应用 不同的方法加以求解。

第五类:分组求和法
有一类数列,既不是等差数列,也不是等比数列,若将这类数列适当拆开,可分为几个
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等差、等比或常见的数列,然后分别求和,再将其合并即可。 例 5:求数列{

1 n ?1 + n ? 2 }的前 n 项和 S n n(n ? 1)

解:令 a n ?

1 n(n ? 1)

bn ? n ? 2 n?1

S n ? (a1 ? b1 ) ? (a2 ? b2 ) ? (a3 ? b3 ) ? ? ? (an ? bn )

? S n ? (a1 ? a2 ? a3 ? ? ? an ) ? (b1 ? b2 ? b3 ? ? ? bn )
1 1 1 1 1 1 ? ? ? ??? ? ) ? (1 ? 2 ? 2 ? 3 ? 2 2 ? ? ? n ? 2 n ?1 ) 2 2 3 3 n n ?1 1 ) ? (1 ? 2 ? 2 ? 3 ? 2 2 ? ? ? n ? 2 n ?1 ) ? S n ? (1 ? n ?1

? S n ? (1 ?

令 Tn ? 1 ? 2 ? 2 ? 3 ? 2 2 ? ? ? n ? 2 n?1

① ②

2Tn ? 2 ? 2 ?22 ?3 ? 23 ? ?? n ? 2n

①式—②式: (1 ? 2)Tn ? 1 ? 2 ?22 ?23 ? ?? 2n?1 ? n ? 2n

? Tn ? ?(1 ? 2 ?22 ?23 ? ?? 2n?1 ? n ? 2n )
1 ? 2n ? n ? 2n ) ? Tn ? ?( 1? 2

? Tn ? (n ? 1) ? 2 n ? 1
1 1 ) ? (n ? 1) ? 2 n ? 1 ? 2 ? ? (n ? 1) ? 2 n n ?1 n ?1 1 2 n 例 6:求数列{ ( x ? n ) }的前 n 项和 S n x 1 2 n 分析: a n ? ( x ? n ) 用完全平方和公式展开, 将 再将其分为几个数列的和进行求解。 x 1 2 1 1 2n 1 1 2 2n n n 2 n 2n 解: a n ? ( x ? n ) = ( x ) ? 2 ? x ? n ? ( n ) = x ? 2 ? 2 n = x ? 2 ? ( ) x x x x x 1 2 1 4 1 2n S n ? [ x 2 ? 2 ? ( ) ] ? [ x 4 ? 2 ? ( ) ] ? ? ? [ x 2n ? 2 ? ( ) ] x x x 1 2 1 1 ? S n ? ( x 2 ? x 4 ? ? ? x 2 n ) ? (2 ? 2 ? ? ? 2) ? [( ) ? ( ) 4 ? ? ? ( ) 2 n ] x x x
故: S n ? (1 ?

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(首项 x ,公比 x 等比数列) (常数列) Ⅰ、令 Tn ? x 2 ? x 4 ? ? ? x 2n

2

2

(首项 ( ) ,公比 ( ) 等比数列)

1 x

2

1 x

2

① x ? 1 时, Tn ? x 2 ? x 4 ? ? ? x 2n = 1 ? 1 ? ? ? 1 ? n ② x ? 1 时, Tn ? x 2 ? x 4 ? ? ? x 2n

=

x 2 ? x 2n ? x 2 x 2n?2 ? x 2 ? 1? x2 x2 ?1

Ⅱ、令 M n ? 2 ? 2 ? ? ? 2 ? 2n Ⅲ、令 G n ? ( ) ? ( ) ? ? ? ( )
2 4

1 x

1 x

1 x

2n

1 1 1 x x x 1 2 1 4 1 2n ② x ? 1 时, G n ? ( ) ? ( ) ? ? ? ( ) x x x

2 4 2n ① x ? 1 时, Gn ? ( ) ? ( ) ? ? ? ( ) ? 1 ? 1 ? ? ? 1 ? n

x 2n?2 ? x 2 1 1 1 1 1 ? 2n?2 ( ) 2 ? ( ) 2n ? ( ) 2 2 2n?2 x x = x2 x = x = x ?x 2 1 x ?1 x2 ?1 1 ? ( )2 2 x x2 x
=

x 2n?2 ? x 2 x2 x 2 ? ( x 2 n ? 1) ? 2 = 2n 2 x 2 ? x 2 n ? 2 x ? 1 x ?x ? ( x 2 ? 1)

= 综上所述:

x 2n ? 1 x 2 n ( x 2 ? 1)

① x ? 1 时, S n ? Tn ? M n ? Gn ? n ? 2n ? n ? 4n ② x ? 1 时, S n ? Tn ? M n ? Gn ?

x 2n? 2 ? x 2 x 2n ? 1 ? 2n ? 2n 2 x2 ?1 x ( x ? 1)

这个题,除了注意分组求和外,还要注意分类讨论思想的应用。

第六类:拆项求和法
在这类方法中, 我们先研究通项, 通项可以分解成几个等差或等比数列的和或差的形式,
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再代入公式求和。 例 7:求数列 9,99,999,… 的前 n 项和 S n 分析:此数列也既不是等差数列也不是等比数列启发学生先归纳出通项公式

an ? 10n ? 1 可转化为一个等比数列与一个常数列。分别求和后再相加。
解:由于: an ? 10n ? 1 则: S n ? 9 ? 99 ? 99 ? ?

? S n ? (101 ? 1) ? (102 ? 1) ? (103 ? 1) ? ?? (10n ? 1) ? S n ? (101 ? 102 ? 103 ? ?? 10n ) ? (1 ? 1 ? 1 ? ?? 1)
10 ? 10n ? 10 ?n ? Sn ? 1 ? 10

? Sn ?

10n ?1 ? 10 ?n 9

1 1 1 1 ? 2 ? 3 ? ??? ? n n 2 4 8 2 1 1 解:由于: a n ? n n ? n ? n 2 2 1 1 1 1 则: S n = (1 ? 2 ? 3 ? ? ? n) ? ( ? ? ? ? ? ? ? n ) (等差+等比,利用公式求和) 2 4 8 2 1 1 (1 ? ( ) n ) 1 2 = n(n ? 1) ? 2 1 2 1? 2 1 1 n = n( n ? 1) ? 1 ? ( ) 2 2
例 8: S n = 1 解析:根据通项的特点,通项可以拆成两项或三项的常见数列,然后再分别求和。

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