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河南省南阳市第一中学2015-2016学年高二下学期期末考前模拟数学(理)试题Word版含答案.doc


南阳一中 2016 年春高二期终考前模拟/周练 3 理数试题
命题、审核人:宋起克 一.选择题(每题 5 分,共计 60 分) 1 . 已知 z1 ? m2 ? 3m ? m2i,z2 ? 4 ? (5m ? 6)i , 其 中 m 为 实数 , i 为虚 数单 位 ,若 2016.6.27

z1 ? z2 ? 0 ,则 m 的值为 (
A.4
2 3

) B. ? 1
4

C.6D.0 )

2015 2.观察下列各式:则 7 ? 49,7 ? 343,7 ? 2401, …,则 7 的末两位数字为(

A.01

B.43

C.07

D.49

3.投掷一枚均匀硬币和一枚均匀骰子各一次,记“硬币正面向上”为事件 A,“骰子向上的点 数是 3”为事件 B,则事件 A、B 中至少有一件发生的概率是( A. ) D. ) C.4D.5 ) D.10

7 12

B.

1 2

C.

5 12

3 4

4.若 z ? C 且 z ? 2 ? 2i ? 1 ,则 z ?1 ? 2i 的最小值是( A.2 B .3

5.在(1-x)5-(1-x)6 的展开式中,含 x3 的项的系数是( A.-5 B.5 C.-10

1 7 6.已知 f(x)=ln x,g(x)= x2+mx+ (m<0) ,直线 l 与函数 f(x) ,g(x)的 2 2 图象都相切,且与 f(x)图象的切点为(1,f(1) ) ,则 m 的值为( A.-1 B.-3 C.-4 D.-2 ) )

7.下列随机事件中的随机变量 X 的分布服从超几何分布的是( A. 将一枚硬币连抛 3 次,正面向上的次数为 X

B.从 7 男 3 女的 10 名学生干部中选出 5 个优秀学生干部,女生的人数为 X C.某射手的命中率为 0.8,现对目标射击 1 次,记命中的次数为 X D.盒中有 4 个白球和 3 个黑球,每次从中摸出 1 球且不放回,X 是第一次摸出黑球的次数 8. 某地区空气质量监测资料表明,一天的空气质量为优良的概率是 0.75,连续两天为优良的概 率是 0.6,已知某天的空气质量为优良,则随后一天的空气质量为优良的概率是( A.0.8 B.0.75 C.0.6 D.0.45 )

9.某学校开展研究性学习活动,某同学获得一组实验数据如下表: x y 1.99 1.5 3 4.04 4 7.5 5.1 12 6.12 18.01 )

对于表中数据,现给出下列拟合曲线,其中拟合程度最好的是 ( A.y=2x-2 1 B.y=( )x 2 C.y=log2x

1 D.y= (x2-1) 2 )

10. 已知函数 f (x) =ax3-3x2+1,若 f (x) 存在唯一的零点 x0,且 x0>0,则 a 的取值范围是 ( A. (2,+∞) B. (-∞,-2) C. (1,+∞) D. (-∞,-1)

11.九张卡片分别写着数字 0,1,2,…,8,从中取出三张排成一排组成一个三位数,如果 6 可以当 作 9 使用,则可以组成的三位数的个数为( A.448 B.588 ) C.602 D.672 ) D.0<a<2

12.函数 f(x)=x3-3ax-a 在(0,1)内有最小值,则 a 的取值范围是( A.0≤a<1 B.0<a<1 C.-1<a<1

二.填空题(每题 5 分,共计 20 分) 13. 车间有 11 名工人,其中 5 名男工是钳工,4 名女工是车工,另外 2 名老师傅既能当车工又能 当钳工.现在这 11 名工人里选派 4 名钳工,4 名车工修理一台机床,有 选派方法

14.在某次数学考试中,考生的成绩 X 服从正态分布,即 X~N(100,100),已知满分为 150 分. 若这次考试共有 2000 名考生参加 , 试估计这次考试及格(不小于 90 分)的人数 为 。

15.在平面上,若两个正三角形的边长的比为 1∶2,则它们的面积比为 1∶4.类似地,在 空间中,若两个正四面体的棱长的比为 1∶2,则它们的体积比为 。

16. 甲罐中有 5 个红球,2 个白球和 3 个黑球,乙罐中有 4 个红球,3 个白球和 3 个黑球.先 从甲罐中随机取出一球放入乙罐,分别以

A1,A2



A3

表示由甲罐取出的球是红球,白

球和黑球的事件;再从乙罐中随机取出一球,以 B 表示由乙罐取出的球是红球的事件, 则下列结论中正确的是________(写出所有正确结论的编号) .

① ④

P ? B? ?

2 5;



P ? B | A1 ? ?

5 11 ; ③事件 B 与事件 A1 相互独立;

A1,A2,A3 是两两互斥的事件;

三.解答题

17(10 分)用数学归纳法证明不等式 1 ?

1 2

?

1 3

???

1 n

? 2 n (n ? N *) .

1 18(12 分) (1)求由曲线 y= x,y=2-x,y=- x 所围成图形的面积. 3 (2)若复数 z1 ? a ? 2i(a ? R) , z2 ? 3 ? 4i ,且

z1 为纯虚数,求 z1 z2

19(12 分)有两个分类变量 x 与 y,其一组观测值如下面的 2× 2 列联表所示 y1 x1 x2 a 15-a y2 20-a 30+a

其中 a,15-a 均为大于 5 的整数,则 a 取何值时,在犯错误的概率不超过 0.1 的前提下 认为 x 与 y 之间有关系? 参考数据:P ( K ≥3. 841) ≈0.05, P ( K ≥2.706) ≈0.1
2 2

20. (12 分)设 f(x)=x3-x2-2x+5. (1)求函数 f(x)的单调区间; (2)当 x∈[-1,2]时,f(x)<m 恒成立,求实数 m 的取值范围.

21. (12 分).某银行柜台设有一个服务窗口,假设顾客办理业务所需的时间互相独立,且都是 整数分钟,对以往顾客办理业务所需的时间统计结果如下: 办理业务所需的时间(分) 频率 1 0.1 2 0.4 3 0.3 4 0.1 5 0.1

从第一个顾客开始办理业务时计时. (1)估计第三个顾客恰好等待 4 分钟开始办理业务的概率; (2)X 表示至第 2 分钟末已办理完业务的顾客人数,求 X 的分布列及数学期望.

22. (12 分)已知函数 f ( x) ? ae ? x (其中 a ? R, e 是自然对数的底数) 。
x 2

(1)若 a ? ?2 ,试判断函数 f ( x) 在区间 (0,??) 上的单调性 (2) 如 f ( x) 有两个极值点 x1, x2 ( x1 ? x2 ) ,求 a 的取值范围 (3)在(2)的条件下,试证明 0 ? f ( x1 ) ? 1

理数参考答案
一.选择题(每题 5 分,共计 60 分) 1-5BBAAD 6-10DBADB 11-12CB 二.填空题(每题 5 分,共计 20 分) 13.185 三.解答题 17.证明:①当 n=1 时,左边=1,右边=2,∴n=1 不等式成立. ②假设当 n=k(k≥2)时成立,即 1 ? 14. 1683 15. 1:8 16. ②、④

1 2

?

1 3

??? 1 k

1 k 1

? 2 k (k ? N *) 1 k ?1

那么当 n=k+1 时,左边= 1 ?

1 2

?

1 3

???

?

k ?1

?2 k ?

2 ∵4k2+4k<4k2+4k+1,可得 2 k ? k ? 2k ? 1 ,

即: 2 k ?

1 k ?1

?

2 k ?1 k ?1 k ?1

?

2 k 2 ? k ?1 k ?1

?

2k ? 2 k ?1

? 2 k ?1

.这就是说 n=k+1 时不等式也成立.综上①②可知不等式对所有的 n∈N*

10 13 18.(1) .(2) 6 3

2 65× [a? 30 +a?-? 20 -a? ? 15 -a? ] 60× ? 65a -300?2 13× ? 13a -60?2 19 解 k= = = . 20× 45× 15× 50 20× 45× 15× 50 60× 90

由 k≥2.706 得 a≥7.19 或 a≤2.04. 又 a>5 且 15-a>5,a∈Z,即 a=8,9. 故 a 为 8 或 9 时,在犯错误的概率不超过 0.1 的前提下认为 x 与 y 之间有关系. 21.设 Y 表示顾客办理业务所需的时间,用频率估计概率,得 Y 的分布列如下: Y 1 2 0.4 3 0.3 4 0.1 5 0.1

P 0.1

(1)A 表示事件“第三个顾客恰好等待 4 分钟开始办理业务”,则事件 A 对应三种情形: ①第一个顾客办理业务所需的时间为 1 分钟,且第二个顾客办理业务所需的时间为 3 分 钟; ②第一个顾客办理业务所需的时间为 3 分钟,且第二个顾客办理业务所需的时间为 1 分

钟; ③ 第 一 个 、 第 二 个顾 客 办 理 业 务 所 需的 时 间 均 为 2 分钟 . 所 以 P(A)=P(Y=1)P(Y=3)+P(Y=3)P(Y=1)+P(Y=2)P(Y=2)=0.1× 0.3+0.3× 0.1+0.4× 0.4=0.22. (2)X 所有可能的取值为 0,1,2.X=0 对应第一个顾客办理业务所需的时间超过 2 分钟,所以 P(X=0)=P(Y>2)=0.5; X=1 对应第一个顾客办理业务所需的时间为 1 分钟且第二个顾客办理业务所需的时间 超过 1 分钟,或第一个顾客办理业务所需的时间为 2 分钟, 所以 P(X=1)=P(Y=1)P(Y>1)+P(Y=2)=0.1× 0.9+0.4=0.49; X=2 对应两个顾客办理业务所需的时间均为 1 分钟, 所以 P(X=2)=P(Y=1)P(Y=1)=0.1× 0.1=0.01. 所以 X 的分布列为: X P 0 1 2

0.5 0.49 0.01

EX=0× 0.5+1× 0.49+2× 0.01=0.51.

? ? 22 解: (1)若 a ? ?2 ,则 f ( x) ? ?2e ? x , f ( x) ? ?2e ? 2 x, 当 x ? (0,??) 时 f ( x) ? 0
x 2 x

故函数 f ( x) 在区间 (0,??) 上是单调递减的

。 。 。 。 。 。 。3 分
x

? (2)函数 f ( x) 有两个极值点 x1, x2 ,则 x1, x2 是 f ( x) ? ae ? 2 x ? 0 的两个根
a?
即方程 x

2x 2x 2 ? 2x h( x) ? x h?( x) ? x e 有两个根,设 e 则 ex

(??,1)
+ 增

1 0

(1,??)
减且 h(x)>0

h?( x)
h(x)

a?
要使

2x 2 2 0 ? a ? h(1) ? (0, ) x e 有两个根,只需 e 故实数 a 的取值范围是 e

。 。8 分

(3)证明有(2)可知,函数 f ( x) 的两个极值点 x1, x2 满足 0 ? x1 ? 1 ? x2

? 由 f ( x1 ) ? ae ? 2x1 ? 0 得
x1

a?

2 x1 x1 2 2 e x1 所以 f ( x1 ) ? ae ? x1 ? ? x1 ? 2x1

由 于

f ( x1 ) ? ?x12 ? 2x1 在 区 间 (0,1) 上 是 增 函 数 , 由 0 ? x ? 1 1 知

0 ? f (0) ? f ( x1 ) ? f (1) ? 1 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。12 分


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