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三角函数研究


专题 2 三角函数和直角三角形边角关系研究及其应用
研究 1 研究 2 研究 3 什么是三角函数? 直角三角形的边角关系的本质是什么? 直角三角形在现实生活中的应用有哪些?

1、 (2008 年山东省淄博市中考题)
如图,在 RT△ABC 中,tanB= (A) 3 (B) 4 (C) 4 3 (D)6

3 ,BC=

2 3 ,则 AC 等于 2

A

B

C

2、 (2008 年湖北省贵阳市中考题)
如图,某拦河坝截面的原设计方案为:AH∥BC,坡角 ?ABC ? 74 ,坝顶到坝脚的 距离 AB ? 6m .为了提高拦河坝的安全性,现将坡角改为 55o,由此,点 A 需向右平移至 D 点 D ,请你计算 AD 的长(精确到 0.1m) . H A

3、2008 年吉林省中考题

B

55o

C

如图所示是一辆自行车的侧面示意图.已知车轮直径 为 .. 65cm,车架中 AC 的长为 42cm,座杆 AE 的长为 18cm,点 E、A、C 在同一条直线上, 后轴轴心 B 与中轴轴心 C 所在直线 BC 与地面平行,∠C=73°.求车座 E 到地面的距 离 EF(精确到 1cm).(参考数据:sin73°≈0.96,cos73°≈0.29,tan73°≈3.27.)
E A

B D

C F

(第 24 题图)

4、2008 年安徽省中考题
小明站在 A 处放风筝, 风筝飞到 C 处时的线长为 20 米, 这时测得∠CBD=60°, 若牵引底端 B 离地面 1.5 米, 求此时 风筝离地面高度。(计算结果精确到 0.1 米, 3 ? 1.732 )

第 16 题图

5、2008 年广东省东莞市中考题
如图,梯形 ABCD 是拦水坝的横断面图, (图中 i ? 1 : 3 是指坡面的铅直高度 DE 与水平 宽度 CE 的比) ,∠B=60°,AB=6,AD=4,求拦水坝的横断面 ABCD 的面积. (结果保留三位有 效数字.参考数据: 3 ≈1.732, 2 A D i=1: 3 B E C

6、2008 年济南市中考题
某大草原上有一条笔直的公路,在紧靠公路相距 40 千米的 A、B 两地,分别有甲、乙 两个医疗站,如图,在 A 地北偏东 45° 、B 地北偏西 60° 方向上有一牧民区 C.一天,甲医 疗队接到牧民区的求救电话,立刻设计了两种救助方案,方案 I:从 A 地开车沿公路到离牧 民区 C 最近的 D 处,再开车穿越草地沿 DC 方向到牧民区 C.方案 II:从 A 地开车穿越草 地沿 AC 方向到牧民区 C. 已知汽车在公路上行驶的速度是在草地上行驶速度的 3 倍. (1)求牧民区到公路的最短距离 CD. (2)你认为甲医疗队设计的两种救助方案,哪一种方案比较合理?并说明理由. (结果精确到 0.1.参考数据: 3 取 1.73, 2 取 1.41) 北 东 C

45° A D 第 22 题图

60°



7、2008 年乌鲁木齐市中考题
如图,河流两岸 a, b 互相平行, C,D 是河岸 a 上间隔 50m 的两个电线杆.某人在河岸 b 上的 A 处测得 ?DAB ? 30 ,然后沿河岸走了 100m 到达 B 处,测得 ?CBF ? 60 ,求河 流的宽度 CF 的值(结果精确到个位) . a D C

b A E B F

19. 如图 7,过点 A 作 AE⊥BC 于点 E,过点 D 作 DF⊥BC 于点 F. ………2 分 AE , 在 Rt△ABE 中, sin ?ABE ? D H A AB o o ? AE ? AB sin ? ABE ? 6 sin 74 ? 5 . 77 ? AE ? AB sin ?ABE ? 6 sin 74 ? 5.77

.......... .............. ............ .......... .......... .......... ...4分
BE AB ? BE ? AB cos ?ABE ? 6 cos 74o ? 1.65 cos ?ABE ? .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... ....... 6分

B

55o (图 7)

C

∵AH∥BC ∴DF = AE ≈ 5.77 …………………………………………………7 分
在Rt?BDF中, tan ?DBF ? ? BF ? DF , BF

DF 5.77 ? ? 4.04 .......... .............. .......... .......... ..............9分 tan ?DBF tan 55o ? AD ? EF ? BF - BE ? 4.04- 1.65 ? 2.4?米?.......... .......... .......... .......... .......... ...10 分

.............................................................................. ......... 22.解:(1)设 CD 为 x 千米, 由题意得,∠CBD=30° ,∠CAD=45° ∴ AD=CD=x ...................................... 1 分 在 Rt△BCD 中,tan30° = ∴ BD= 3x

x BD
45°

C

...................................... 2 分

60° D

AD+DB=AB=40 ∴ x ? 3x ? 40 ................................3 分
A



第 22 题图 解得 x ≈14.7 ∴ 牧民区到公路的最短距离 CD 为 14.7 千米. ................................................. 4 分 (若用分母有理化得到 CD=14.6 千米,可得 4 分) (2)设汽车在草地上行驶的速度为 v ,则在公路上行驶的速度为 3 v , 在 Rt△ADC 中,∠CAD=45° ,∴ AC= 2 CD 方案 I 用的时间 t1 ?

AD CD AD ? 3CD 4CD ............................................... . 5 分 ? ? ? 3v v 3v 3v
AC ? v 2CD .......................................................................... . 6 分 v

方案 II 用的时间 t2 ? ∴ t2 ? t1 ? =

2CD 4CD ? v 3v

(3 2 ? 4)CD ....................................................................................................... . 7 分 3v

∵ 3 2 ? 4 >0 ∴ t2 ? t1 >0 .......................................................................................................... . 8 分 ............................................................. . 9 分

∴方案 I 用的时间少,方案 I 比较合理

解:过点 C 作 CE ∥ AD ,交 AB 于 E CD ∥ AE , CE ∥ AD · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 2分 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 4分 ? 四边形 AECD 是平行四边形·

? AE ? CD ? 50 m, EB ? AB ? AE ? 50 m, ?CEB ? ?DAB ? 30 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 6分
又 ?CBF ? 60 ,故 ?ECB ? 30 ,? CB ? EB ? 50 m · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 8分 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 11 分 ? 在 Rt△CFB 中, CF ? CB sin ?CBF ? 50 sin 60 ? 43 m · 答:河流的宽度 CF 的值为 43m.


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