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一模理科0315


丰台区 2013 年高三年级第二学期统一练习(一) 数学(理科)
一、选择题 1.复数 z=

i ?1 在复平面内对应的点位于 i
(B) 第二象限 (C) 第三象限 (D) 第四象限

(A) 第一象限

2. 设 Sn 为等比数列 ?an ? 的前 n 项和, 2a3 ? a4 ? 0 ,则 (

A) 2 (B) 3 (C) 4 (D) 5

S3 a1

开始
b ? 0, k ? 1

3. 执行右边的程序框图,输出 k 的值是 (A) 3 (B) 4 (C) 5 (D) 6
2 a ? k ? ( )k 3

b?a k ? k ?1

?x ? y ? 1 ? 2 x? y 4.已知变量 x, y 满足约束条件 ? x ? 1 ? 0 ,则 e 的最大值是 ?x ? y ? 1 ?
(A) e
3

b ? 1? a
是 输出 k 结束



(B) e

2

(C) 1

(D) e

?4

5.已知命题 p: ?x ? (0, ??),3x ? 2x ; 命题 q: ?x ? (??,0),3 x ? 2 x ,则下列命题为真命题的是 (A) p ? q (C) (?p) ? q (B) p ? (?q) (D) (?p) ? (?q)

6. 已知 a ? Z , 关于 x 的一元二次不等式 x 2 ? 6 x ? a ? 0 的解集中有且仅有 3 个整数,则所有符合条件 的 a 的值之和是 (A) 13 (B) 18 (C) 21 (D) 26

7. 如果函数 y=f(x)图像上任意一点的坐标(x,y)都满足方程 lg( x ? y) ? lg x ? lg y ,那么正确的 选项是 (A) (B) (C) y=f(x)是区间(0, ?? )上的减函数,且 x+y ? 4 y=f(x)是区间(1, ?? )上的增函数,且 x+y ? 4 y=f(x)是区间(1, ?? )上的减函数,且 x+y ? 4
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(D)

y=f(x)是区间(1, ?? )上的减函数,且 x+y ? 4

8.动圆 C 经过点 F(1,0),并且与直线 x=-1 相切,若动圆 C 与直线 y ? x ? 2 2 ? 1 总有公共点,则圆 C 的面积 (A) 有最大值 8 ? (C) 有最小值 3 ? 二 填空题 9.在平面直角坐标系中,已知直线 C 1 : ? 弦长为 ; (B) 有最小值 2 ? (D) 有最小值 4 ?

?x ? t ? x ? cos ? ( t 是参数)被圆 C 2 : ? 截得的 (? 是参数) ? y ? 1? t ? y ? sin ?

10. 某校从高一年级学生中随机抽取 100 名学生,将他们期 中 考 试 的 数 学 成 绩 ( 均 为 整 数 ) 分 成 六 段 : [40,50) , [50,60), [90,100]后得到频率分布直方图 ?, (如图所示)则 . 分数在[70,80)内的人数是________。

11.如图,已知直线 PD 切⊙O 于点 D,直线 PO 交⊙O 于点 E,F.若
PF ? 2 ? 3, PD ? 1 ,则⊙O 的半径为

; ?EFD ?

.

F

E O D

P

12.在直角梯形 ABCD 中,AD∥BC,∠A=90°,AB=AD=1,BC=2,E 是 CD 的
??? ??? ? ? 中点, 则 CD ? BE ?

.

13.某四面体的三视图如图所示,则该四面体的四个面中,直角三 角形的面积和是_______. 14. 已知 M 是集合 ?1,2,3,?,2k ? 1? (k ? N*, k ? 2) 的非空子集, 且当 x ? M 时,有 2k ? x ? M .记满足条件的集合 M 的个数为

f (k ) ,则 f (2) ?
三、解答题

; f (k ) ?



15. 已知函数 f ( x) ? (sin x ? cos x) ? 2cos x.
2 2

(Ⅰ)求函数 f ( x ) 的最小正周期和单调递增区间;
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? 3? (Ⅱ)求函数 f ( x ) 在 [ , ] 上的值域. 4 4

16.如图,四边形 ABCD 是边长为 2 的正方形,MD⊥平面 ABCD,NB∥MD,且 NB=1,MD=2; (Ⅰ)求证:AM∥平面 BCN;
M

(Ⅱ)求 AN 与平面 MNC 所成角的正弦值; (Ⅲ) 为直线 MN 上一点, E 且平面 ADE⊥平面 MNC, 求 .
D

ME 的值. MN
E N C

A

B

17.在一次抽奖活动中,有甲、乙等 6 人获得抽奖的机会。抽奖规则如下:主办方先从 6 人中随机抽 取两人均获奖 1000 元,再从余下的 4 人中随机抽取 1 人获奖 600 元,最后还从这 4 人中随机抽取 1 人获奖 400 元。 (Ⅰ)求甲和乙都不获奖的概率; (Ⅱ)设 X 是甲获奖的金额,求 X 的分布列和均值 EX 。

18.已知函数 f ( x) ?

1 , g ( x) ? bx2 ? 3x . x?a

(Ⅰ)若曲线 h( x) ? f ( x) ? g ( x) 在点(1,0)处的切线斜率为 0,求 a,b 的值; (Ⅱ)当 a ? [3, ??) ,且 ab=8 时,求函数 ? ( x ) ? 值。

g ( x) 的单调区间,并求函数在区间[-2,-1]上的最小 f ( x)

19. 已知以原点为对称中心、F(2,0)为右焦点的椭圆 C 过 P(2, 2 ),直线 l :y=kx+m(k≠0)交椭 圆 C 于不同的两点 A,B。 (Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)是否存在实数 k,使线段 AB 的垂直平分线经过点 Q(0,3)?若存在求出 k 的取值范围;若不 存在,请说明理由。

20. 设满足以下两个条件的有穷数列 a1 , a2 , ???, an 为 n(n=2,3,4,?,)阶“期待数列” :
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① a1 ? a2 ? a3 ? ? ? an ? 0 ; ② a1 ? a2 ? a3 ? ?? an ? 1. (Ⅰ)分别写出一个单调递增的 3 阶和 4 阶“期待数列” ; (Ⅱ)若某 2k+1( k ? N * )阶“期待数列”是等差数列,求该数列的通项公式; (Ⅲ)记 n 阶“期待数列”的前 k 项和为 Sk (k ? 1, 2,3,?, n) , 试证: (1) S k ? 1 ;
2
n (2) ? ai ? 1 ? 1 . 2 2n i ?1 i

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