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高中数学【配套课件】二轮专题突破 专题五~专题八5.2


高考真题感悟

第2讲

第2讲
【高考真题感悟】

椭圆、双曲线、抛物线

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x2 2 (2012· 陕西)已知椭圆 C1: +y =1,椭圆 C2 以 C1 的长轴 4 为短轴,且与 C1 有相同的离心率. (1)求椭圆 C2 的方程; → (

2)设 O 为坐标原点,点 A,B 分别在椭圆 C1 和 C2 上,OB → =2OA,求直线 AB 的方程.

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y2 x2 解 (1)由已知可设椭圆 C2 的方程为 2+ =1(a>2), a 4 a2-4 3 3 其离心率为 ,故 a = ,解得 a=4. 2 2
y2 x2 故椭圆 C2 的方程为16+ 4 =1.

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(2)方法一 A,B 两点的坐标分别记为(xA,yA),(xB,yB), → → 由OB=2OA及(1)知,O,A,B 三点共线且点 A,B 不在 y 轴上, 因此可设直线 AB 的方程为 y=kx. x2 2 将 y=kx 代入 4 +y =1 中,得(1+4k2)x2=4, 4 2 所以 xA= . 1+4k2 y2 x2 将 y=kx 代入 + =1 中,得(4+k2)x2=16, 16 4 16 2 所以 xB= 2. 4+k 16 16 → → 2 2 又由OB=2OA,得 xB=4xA,即 = , 4+k2 1+4k2 解得 k=± 1.故直线 AB 的方程为 y=x 或 y=-x.

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第2讲

方法二 A,B 两点的坐标分别记为(xA,yA),(xB,yB), → → 由OB=2OA及(1)知,O,A,B 三点共线且点 A,B 不在 y 轴上,因此可设直线 AB 的方程为 y=kx. x2 2 将 y=kx 代入 4 +y =1 中,得(1+4k2)x2=4, 4 2 所以 xA= . 1+4k2 16 16k2 → → 2 由OB=2OA,得 x2 = . 2,yB= B 1+4k 1+4k2 4+k2 y2 x2 2 2 将 xB,yB代入16+ 4 =1 中,得 =1, 1+4k2

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即 4+k2=1+4k2, 解得 k=± 1.故直线 AB 的方程为 y=x 或 y=-x.

高考真题感悟

第2讲

考题分析

本题主要考查椭圆的方程, 直线与椭圆相交等问

题. 目的在于考查对圆锥曲线方程的求解和直线与圆锥曲线 相交问题的处理,以及对向量坐标运算的处理能力.

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(1)忽略条件 a2=b2+c2,易与双曲线中 a,b,c → 关系相混淆, 导致出错. (2)对向量共线不理解, 无法从OB= → 2OA中得到 A,B 两点的坐标关系.(3)易忽略斜率不存在的 易错提醒 情况.(4)计算缺乏技巧、不准确.

主干知识梳理

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圆锥曲线的定义、标准方程与几何性质 名称 椭圆 双曲线 抛物线

|PF1|+|PF2| ||PF1|-|PF2|| |PF|=|PM| 定义 =2a(2a> =2a(2a< |F1F2|) x2 y2 - =1 a 2 b2 (a>0,b>0) 点 F 不在直线 l 上, PM⊥l 于 M y2=2px (p>0) |F1F2|) x2 y2 + =1 a 2 b2 标准方程 (a>b>0)

主干知识梳理

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图形

主干知识梳理 范围 顶点 几 何 性 质 对称性 焦点 轴

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离心率

准线 渐近线

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题型一

圆锥曲线的定义与标准方程 x2 2 y2 【例 1】 已知 P 为椭圆 +y =1 和双曲线 x2- =1 的 4 2 一个交点,F1,F2 为椭圆的两个焦点,那么∠F1PF2 的余弦值为________.

双曲线的焦点与椭圆焦点相同→用椭圆、双 曲线的定义→标出|PF1|、|PF2|→用余弦定理.

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解析

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由椭圆和双曲线的方程可知,F1,F2 为它们的公共 ?|PF |+|PF |=4 ? 1 2 ? 焦点,不妨设|PF1|>|PF2|,则 , ?|PF1|-|PF2|=2 ?
?|PF |=3 ? 1 ? 所以 ?|PF2|=1 ?

.又|F1F2|=2 3,

1 由余弦定理可知 cos∠F1PF2=- . 3

答案

1 -3

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圆锥曲线的定义反映了它们的基本特征,理解 定义是掌握其性质的基础.因此,对于圆锥曲线的定义不 仅要熟记,还要深入理解细节部分:比如椭圆的定义中要 求 |PF1| + |PF2|>|F1F2| , 双 曲 线 的 定 义 中 要 求 ||PF1| - |PF2||<|F1F2|.

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x2 y2 (1)已知点 P 为双曲线 - =1 右支上一点, 16 9 F1、 2 分别为双曲线的左、 F 右焦点, 为△PF1F2 的内心, S△IPF I 若 =S△IPF +λS△IF1F 成立,则 λ 的值为
2 2 1

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( B ) 5 A. 8 4 B. 5 4 C. 3
1 2

3 D. 4
1

解析

根据三角形面积公式把S△IPF =S△IPF +λS△IF
1 2

F

2

转化为
1 2

焦点三角形边之间的关系.根据S△IPF =S△IPF +λS△IF F ,得 a 4 |PF1|=|PF2|+λ|F1F2|,即2a=2λc,则λ= c = 5 .注意内心是三 角形内切圆的圆心,到三角形各边的距离相等.

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(2)在平面直角坐标系 xOy 中,椭圆 C 的中心为原点,焦 2 点 F1, 2 在 x 轴上, F 离心率为 .过 F1 的直线 l 交 C 于 A, 2 B 两 点 , 且 △ABF2 的 周 长 为 16 , 那 么 C 的 方 程 为 ______________.
解析 x2 y2 设椭圆方程为a2+b2=1

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(a>b>0).

2 因为离心率为 , 2 2 b2 所以 2 = 1-a2, b2 1 解得a2=2,即 a2=2b2.

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又△ABF2 的周长为|AB|+|AF2|+|BF2| =|AF1|+|BF1|+|BF2|+|AF2| =(|AF1|+|AF2|)+(|BF1|+|BF2|)=2a+2a=4a, 所以 4a=16,a=4,所以 b=2 2, x2 y2 所以椭圆方程为 + =1. 16 8

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x2 y2 答案 16+ 8 =1

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题型二 圆锥曲线的几何性质

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x2 y2 【例 2】 (1)(2012· 山东)已知椭圆 C: 2+ 2=1(a>b>0) a b 3 的离心率为 .双曲线 x2-y2=1 的渐近线与椭圆 C 有 2 四个交点,以这四个交点为顶点的四边形的面积为 16,则椭圆 C 的方程为
x2 y2 A. + =1 8 2 x2 y2 C. + =1 16 4 x2 y2 B. + =1 12 6 x2 y2 D. + =1 20 5

(

)

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x2 y2 (2)(2011· 浙江)已知椭圆 C1: 2+ 2=1 (a>b>0)与双曲线 a b y2 C2:x2- =1 有公共的焦点,C2 的一条渐近线与以 C1 的 4 长轴为直径的圆相交于 A,B 两点,若 C1 恰好将线段 AB 三等分,则 13 2 A.a = 2 1 2 C.b = 2 ( B.a2=13 D.b2=2 )

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c 3 (1)由 e=a= 及 a2=b2+c2 消元得出 a2=4b2; 2 求出渐近线与椭圆的交点坐标. (2)根据椭圆与双曲线共焦点,可得 a2=b2+5,渐近线截 1 椭圆的弦长为椭圆长轴的 ,即可求 b2. 3

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解析

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(1)利用椭圆离心率的概念和双曲线渐近线求法求解. a2-b2 3 c 3 ∵椭圆的离心率为 ,∴ = = , 2 a a 2
∴a=2b.∴椭圆方程为 x2+4y2=4b2.
∵双曲线 x2-y2=1 的渐近线方程为 x± y=0, ∴渐近线 x± y=0 与椭圆 x2+4y2=4b2 在第一象限的交点为 ?2 5 2 5 ? ? ? b, b? , ? 5 5 ? ? ∴由圆锥曲线的对称性得四边形在第一象限部分的面积为 2 5 2 5 5 b× 5 b=4, ∴b2=5,∴a2=4b2=20. x2 y2 ∴椭圆 C 的方程为20+ 5 =1.

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(2)由题意知,a2=b2+5,因此椭圆方程为(a2-5)x2+a2y2 +5a2-a4=0, 双曲线的一条渐近线方程为 y=2x, 联立方 程消去 y,得(5a2-5)x2+5a2-a4=0,∴直线截椭圆的弦 长 d= 5×2 a4-5a2 2 11 1 2 2 = a,解得 a = ,b = . 2 2 2 5a -5 3

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答案

(1) D (2)C
椭圆的方程、双曲线的方程、渐近线方程以及

抛物线的方程、准线都是高考的热点.在解题时,要充分 利用条件,构造方程,运用待定系数法求解.

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x2 y2 已知双曲线 2- 2=1 (a>0, b>0)的左顶点与抛 a b 物线 y2=2px (p>0)的焦点的距离为 4,且双曲线的一条渐 近线与抛物线的准线的交点坐标为 (-2, -1), 则双曲线的焦距为 A.2 3 B.2 5 C.4 3 ( D.4 5 )

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? b ?y=ax 由? ?x=-p 2 ? bp ? ?y=-2a ,解得? ?x=-p 2 ?

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解析



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? bp ?b 1 ?-2a=-1 ? = 由题意得? ,得?a 2 , ?p=4 ?-p=-2 ? ? 2 p 又知 +a=4,故 a=2,b=1, 2 c= a2+b2= 5,∴焦距 2c=2 5.

答案

B

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题型三 圆锥曲线的综合问题

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x2 y2 【例 3】 (2012· 天津)已知椭圆 2 + 2 = 1(a>b>0),点 a b ? 5 2 ? ? P? a, a ?在椭圆上. 2 ? ?5 ? (1)求椭圆的离心率; (2)设 A 为椭圆的左顶点,O 为坐标原点,若点 Q 在椭 圆上且满足|AQ|=|AO|,求直线 OQ 的斜率的值.
(1)将椭圆上的点代入得到基本量关系,再求出 椭圆的离心率.(2)设出直线方程,通过解方程组求得交点 的坐标,再根据线段的长度相等求出直线的斜率.

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解 5 = . 8 (1)因为点
? P? ? ?

第2讲

a2 a2 b2 5 2 ? ? a, a?在椭圆上,故5a2+2b2=1,可得a2 5 2 ?

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a2-b2 b2 3 6 2 于是 e = a2 =1-a2=8,所以椭圆的离心率 e= 4 .
(2)设直线 OQ 的斜率为 k,则其方程为 y=kx. 设点 Q 的坐标为(x0,y0).

?y0=kx0, ? 2 由条件得?x0 y2 0 +b2=1. ?a2 ?

a2b2 消去 y0 并整理得 x2= 2 2 . 0 k a +b2



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由|AQ|=|AO|,A(-a,0)及 y0=kx0 得,(x0+a)2+k2x2=a2, 0
整理得(1+k2)x2+2ax0=0. 0
-2a 而 x0≠0,故 x0= 2. 1+k a2 代入①,整理得(1+k2)2=4k2·2+4. b a2 8 由(1)知b2=5, 32 2 故(1+k ) = 5 k +4,
2 2

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即 5k4-22k2-15=0,可得 k2=5. 所以直线 OQ 的斜率 k=± 5.

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本题主要考查椭圆的标准方程和几何性质、 直线 的方程、平面内两点间的距离公式等基础知识.考查用代 数方法研究圆锥曲线的性质,以及数形结合的数学思想方 法.考查运算求解能力、综合分析和解决问题的能力.

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(2012· 广东)在平面直角坐标系 xOy 中,已知 x2 y2 椭圆 C1:2+ 2=1(a>b>0)的左焦点为 F1(-1,0), 且点 P(0,1) a b 在 C1 上. (1)求椭圆 C1 的方程; (2)设直线 l 同时与椭圆 C1 和抛物线 C2:y2=4x 相切,求 直线 l 的方程.
(1)因为椭圆 C1 的左焦点为 F1(-1,0),所以 c=1. x2 y2 1 将点 P(0,1)代入椭圆方程a2+b2=1,得b2=1,即 b=1,
所以 a2=b2+c2=2.

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x2 2 所以椭圆 C1 的方程为 2 +y =1.

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(2)由题意可知,直线 l 的斜率显然存在且不等于 0,设直 2 ?x ? +y2=1, 线 l 的方程为 y=kx+m,由? 2 ?y=kx+m, ? 消去 y 并整理得(1+2k2)x2+4kmx+2m2-2=0.
因为直线 l 与椭圆 C1 相切, 所以 Δ1=16k2m2-4(1+2k2)(2m2-2)=0.

整理得 2k2-m2+1=0.
?y2=4x, ? 由? ?y=kx+m, ?



消去 y 并整理得 k2x2+(2km-4)x+m2=0.

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因为直线 l 与抛物线 C2 相切, 所以 Δ2=(2km-4)2-4k2m2=0,整理得 km=1. ②

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? 2 ?k= , 2 综合①②,解得? ?m= 2 ?

? 2 ?k=- , 2 或? ?m=- 2. ?

2 2 所以直线 l 的方程为 y= x+ 2或 y=- x- 2. 2 2

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1.求圆锥曲线标准方程常用的方法 (1)定义法 (2)待定系数法 ①顶点在原点,对称轴为坐标轴的抛物线,可设为 y2 =2ax 或 x2=2ay(a≠0),避开对焦点在哪个半轴上的 分类讨论,此时 a 不具有 p 的几何意义.

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②中心在坐标原点,焦点在坐标轴上, x2 y2 椭圆方程可设为m+ n =1(m>0,n>0). x2 y2 双曲线方程可设为m- n =1(mn>0). 这样可以避免讨论和繁琐的计算.

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2. 解离心率的范围问题的关键在于确立一个关于 a, b, c 的不等式,再根据 a,b,c 的关系消掉 b 得到关于 a,c 的不等式,由这个不等式确定 a,c 的关系. 3.解决直线与圆锥曲线相交问题时,通常采用设而不 求,根据根与系数的关系,进行整体代入的思想方法求解.

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x2 y2 1.点 P 在双曲线 2- 2=1 (a>0,b>0)上,F1,F2 是这条 a b 双曲线的两个焦点,∠F1PF2=90° ,且△F1PF2 的三条 边长成等差数列,则此双曲线的离心率是 A.2
押题依据

( D.5

)

B.3

C.4

对于圆锥曲线,定义是非常重要的,高考中

常以小题的形式灵活考查圆锥曲线的定义以及由定义 所涉及的几何性质.本题突出定义,同时又考查了勾股 定理等,方法也比较灵活,故押此题. 押题级别 ★★★★

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解析

设双曲线的焦距为 2c, 根据对称性不妨设点 P 在双

曲线的左支上, 因为∠F1PF2=90° 则 4c2=|PF1|2+|PF2|2. , 设|PF1|,|PF2|,|F1F2|成等差数列,则 2|PF2|=2c+|PF1| 且|PF2|-|PF1|=2a,解得|PF1|=2c-4a,|PF2|=2c-2a, 代入 4c2=|PF1|2+|PF2|2,得 4c2=(2c-4a)2+(2c-2a)2, 化简整理,得 c2-6ac+5a2=0,解得 c=a(舍去)或者 c= c 5a,故 e=a=5.故选 D.

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答案

D

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x2 y2 2 2 2.已知椭圆 M: 2+ 2=1 (a>b>0)的离心率为 ,且以 a b 3 椭圆上一点与椭圆的两个焦点为顶点的三角形周长为 6+4 2. (1)求椭圆 M 的方程; (2)设直线 l 与椭圆 M 交于 A,B 两点,且以 AB 为直 径的圆过椭圆的右顶点 C,求△ABC 面积的最大值.

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押题依据

椭圆的方程、几何性质是解析几何的重要

内容,是高考的热点问题.通常的考查方式为椭圆与 直线综合、椭圆与向量综合等.本题突出考查了椭圆 的几何性质、直线方程、圆等重要知识点,故押此题. 押题级别 ★★★★★

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(1)因为以椭圆 M 上一点和它的两个焦点为顶点的三

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角形周长为 6+4 2,

2 2 所以 2a+2c=6+4 2,又椭圆的离心率为 , 3 c 2 2 2 2 即a= 3 ,所以 c= 3 a,所以 a=3,c=2 2.

x2 2 所以 b=1,椭圆 M 的方程为 +y =1. 9

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(2)方法一 不妨设 BC 的方程为 y=n(x-3),n>0, 1 则 AC 的方程为 y=-n(x-3).
?y=n?x-3?, ? 2 ?1 ? 2 2 由?x 得?9+n ?x -6n2x+9n2-1=0, ? ? +y2=1 ?9 ? 81n2-9 设 A(x1,y1),B(x2,y2),则 3x2= 2 , 9n +1 27n2-3 27-3n2 所以 x2= 2 ,同理可得 x1= 2 , 9n +1 9+n

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1+n2 6n2 6 所以|BC|= 1+n2 2 ,|AC|= n , 9n +1 9+n2

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? 1? 2?n+n? 1 ? ? S△ABC= |BC||AC|=? , 2 1 ?2 64 ?n+ ? + n? 9 ?

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1 2t 2 3 设 t=n+ ≥2,则 S△ABC= = ≤ , n 64 64 8 t2+ 9 t+ 9t 8 当且仅当 t=3时取等号,

3 所以△ABC 面积的最大值为8.

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方法二 不妨设直线 AB 的方程为 x=ky+m.

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?x=ky+m, ? 2 由?x 消去 x 得(k2+9)y2+2kmy+m2-9=0, +y2=1, ?9 ? 设 A(x1,y1),B(x2,y2), m2-9 2km 则有 y1+y2=- 2 ,y y = . k +9 1 2 k2+9 → → 因为以 AB 为直径的圆过点 C,所以CA· =0. CB
→ → 由CA=(x1-3,y1),CB=(x2-3,y2), 得(x1-3)(x2-3)+y1y2=0.



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将 x1=ky1+m,x2=ky2+m 代入上式,

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得(k2+1)y1y2+k(m-3)(y1+y2)+(m-3)2=0. 12 将①代入上式,解得 m= 或 m=3(舍去). 5 ?12 ? 12 所以 m= (此时直线 AB 经过定点 D? 5 ,0?,与椭圆有 5 ? ?
两个交点), 1 所以 S△ABC= |DC||y1-y2| 2 1 3 9 2 =2×5 ?y1+y2? -4y1y2=5

25?k2+9?-144 . 25?k2+9?2
144 2 - · +t. t 25

1 1 9 设 t= 2 ,0<t≤ ,则 S△ABC= 9 5 k +9

1? 25 ? 3 ?0, ?时,S△ABC 取得最大值 . 所以当 t=288∈ 9? 8 ?


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