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3[1].1.2用二分法求方程的近似解


3.1.2 用二分法 求方程的近似解

1

复习思考:
1.函数的零点
? 使f(x)=0的实数x叫做函数y=f(x)的零点

2.零点存在的判定的图象与x轴有交点 ? 函数y ? f ( x )
? 函数如果函数y=f ( x)在区间 a, b]上的图象是 y ? f ( x )有零点

[

方程f ( x ) ? 0有实数根

3.方程实数根个数的求法 连续不断的一条曲线,并且有f(a)f(b)<0,
方程f ( x ) ? 0有实数根 那么,函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点, ? 函数y ? f ( x )的图象与x轴有交点 ? 函数y ? f ( x )有零点

即存在c ?(a,b),使得f(c)=0,这个c也就是 方程f(x)=0的根.

思考问题:
判断所给方程的实数根个数并求出实数根

(1) x ? 2 x ? 6 ? 0
2

(2) 2x

? 3x ? 7

借助计算器或计算机求方程2x+3x=7的近似解(精确度 0.1)

解:原方程即2x+3x=7,令f(x)= 2x+3x-7,用计算 器作出函数f(x)= 2x+3x-7的对应值表如下:
x f(x) 0 -6 1 2 3 4 5 -2 3 10 21 40 6 75 7 142 8 273

因为f(1)· f(2)<0所以 f(x)= 2x+3x-7在(1,2)内有零点

因为f(1)· f(2)<0所以 f(x)= 2x+3x-7在(1,2)内有零点x0,

取(1,2)的中点x1=1.5, f(1.5)= 0.33, 因为f(1)· f(1.5)<0所以x0 ∈(1,1.5)
取(1,1.5)的中点x2=1.25 ,f(1.25)= -0.87, 因为f(1.25)· f(1.5)<0,所以x0∈(1.25,1.5) 同理可得, x0∈(1.375,1.5), x0∈ (1.375,1.4375), 由于|1.375-1.4375|=0.0625〈 0.1 所以,原方程的近似解可取为1.4375

借助计算器或计算机求方程2x+3x=7的近似解(精确度 0.1)
解:令f(x)= 2x+3x-7, 因为f(1)= -2,f(2)= 3,f(1) · <0 f(2 所以函数f(x)在区间(1,2)内有零点。 零点所在区间 中点的值 中点函数近似值

(1,2)
(1,1.5) (1.25,1.5)

1.5
1.25 1.375

0.33
-0.87

(1.375,1.4375)
因为 |1.375-1.4375|=0.0625〈 0.1,所以原方程的近似解可 取为1.4375

y

二分法概念
数y ?

a

0

b

x

对于在区间[a,b] 上连续不断且 f ? a ? ? f ? b ? ? 0 的函

f ? x ?,通过不断地把函数f ? x ?的零点所在的区

间一分为二,使区间的两个端点逐步逼近零点,进而得到
零点近似值的方法叫做二分法(bisection).

用二分法求函数f(x)零点近似值的步骤如下:
1、 确定区间[a,b],验证f(a).f(b)<0,给定精确度ε ; 2、求区间(a,b)的中点x1, 3、计算f(x1) (1)若f(x1)=0,则x1就是函数的零点;

(2)若f(a).f(x1)<0,则令b= x1(此时零点x0∈(a, x1) );
(3)若f(x1).f(b)<0,则令a= x1(此时零点x0∈( x1,,b));

4、判断是否达到精确度ε ,即若|a-b|<ε,则得到零点近似值 a(或b),否则重复2~4

口 诀 定区间,找中点, 中值计算两边看. 同号去,异号算, 周而复始怎么办? 零点落在异号间. 精确度上来判断.

当堂训练 借助计算器,用二分法求方程 的近似解(精确度0.1)

log3 x ? x ? 3

小结
方程
用二分法求 方程的近似解
数学 源于生活

函数

1.寻找解所在的区间 2.不断二分解所在的区间 3.根据精确度得出近似解 二分法 数形结合

数学 用于生活

逼近思想

转化思想

拓展提高: 1、现有16枚金币,其中1枚较轻。给你一个 天平,问至少需要称几次,才能一定找出这枚 较轻的金币? 2、用二分法求 3 2 的近似值(精确到0.1)
16枚金币中有 一枚略轻,是假 币

16枚金币中有 一枚略轻,是假 币

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哦,找到 了啊!

通过这个小实验,你对用二分法缩 小零点所在的范围并求出零点的这一 方法及步骤是不是有更进一步的理解 呢?

3.1.2 用二分法 求方程的近似解

作业:练习册第106页

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3.1.2 用二分法 求方程的近似解

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