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选修4-4 第2节 课时作业


一、选择题 ?x=1+3t, 1.若直线的参数方程为? (t 为参数),则直线的倾斜角为( ?y=2- 3t A.30° C.120° B.60° D.150° )

y-2 - 3t 3 解析:由直线的参数方程知,斜率 k= = =- =tan θ,θ 为直 3t 3 x-1 线的倾斜角,所以该直线的倾斜角为 150° . 答案:D 2.(2010 年高考湖

南卷)极坐标方程 ρ=cos θ 和参数方程 ?x=-1-t, ? (t 为参数)所表示的图形分别是( ?y=2+3t A.圆、直线 C.圆、圆 B.直线、圆 D.直线、直线 )

1 ? 1? 解析:由 ρ=cos θ 得 ρ2=ρcos θ,所以 x2+y2=x,即?x-2?2+y2=4,它表 ? ? 1 ?1 ? 示以?2,0?为圆心,以2为半径的圆.由 x=-1-t 得 t=-1-x,所以 y=2+3t ? ? =2+3(-1-x)=-3x-1,表示直线. 答案:A ?x=2cos θ, 3.椭圆? (θ 为参数)的离心率为( ?y=5sin θ 2 A.5 21 C. 5 4 B.25 21 D.25 )

解析:由椭圆的参数方程可知 a=5,b=2. 故 c= 52-22= 21, c 21 故椭圆的离心率 e=a= 5 ,故选 C.

答案:C ?x= 5cos θ, 4.若直线 2x-y-3+c=0 与曲线? (θ 为参数)相切,则实数 c ?y= 5sin θ 等于( ) B.6 或-4 D.4 或-6

A.2 或-8 C.-2 或 8

?x= 5cos θ 解析:将曲线? ,(θ 为参数)化为普通方程为 x2+y2=5,由直线 ?y= 5sin θ 2x-y-3+c=0 与圆 x2+y2=5 相切,可知 答案:C ?x=a+2cos θ, 5.如果曲线 C:? (θ 为参数)上有且仅有两个点到原点的距 ?y=a+2sin θ 离为 2,则实数 a 的取值范围是( A.(-2 2,0) C.(-2 2,0)∪(0,2 2) ) B.(0,2 2) D.(1,2 2) |-3+c| = 5,解得 c=-2 或 8. 5

?x=a+2cos θ, 解析:将曲线 C 的参数方程? (θ 为参数)转化为普通方程, ?y=a+2sin θ 即(x-a)2+(y-a)2=4,由题意可知,问题可转化为以原点为圆心,以 2 为半径 的圆与圆 C 总相交,根据两圆相交的充要条件得 0< 2a2<4, ∴0<a2<8,解得 0<a<2 2或-2 2<a<0. 答案:C 二、填空题 ?x=cos α, 6. 在直角坐标系 xOy 中, 已知曲线 C 的参数方程为? (α 为参数), ?y=1+sin α 若以 O 为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,则曲线 C 的极坐标方程为 ________. ?x=cos α, 解析:由曲线 C 的参数方程? (α 是参数)得普通方程为 x2+(y- y = 1 + sin α ? 1)2=1,即 x2+y2=2y.

?x=ρcos θ, 由? 可得曲线 C 的极坐标方程为 ρ=2sin θ. ?y=ρsin θ 答案:ρ=2sin θ ?x=cos θ ? 1 7.已知曲线 C:? ,(θ∈R)经过点(m,2),则 m=________. ? ?y=2sin θ ?x=cos θ, y2 2 解析:将曲线 C:? (θ∈R)化为普通方程为 x + 4 =1,将点(m, ?y=2sin θ 1 1 15 15 2 4 ) 代入椭圆方程,得 m +4=1,即 m2=16,所以 m=± 4 . 2 15 答案:± 4 8 . (2012 年湘潭模拟 )在平面直角坐标系 xOy 中,直线 l 的参数方程为 ?x=t, ?x=cos θ+1, ? (参数 t∈R),圆 C 的参数方程为? (参数 θ∈[0,2π)),则 ?y=t+1 ?y=sin θ 圆心 C 到直线 l 的距离是________. 解析:直线方程可化为 x-y+1=0,圆的方程可化为(x-1)2+y2=1.由点到 直线的距离公式可得,圆心 C(1,0)到直线 l 的距离为 答案: 2 ?x=cos α, 9.(2010 年高考陕西卷)已知圆 C 的参数方程为? (α 为参数), ?y=1+sin α 以原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,直线 l 的极坐标方程为 ρsin θ =1,则直线 l 与圆 C 的交点的直角坐标为________. 解析:∵y=ρsin θ, ∴直线 l 的直角坐标方程为 y=1. ?x=cos α, 由? 得 x2+(y-1)2=1. y = 1 + sin α ? ?y=1, ?x=-1, ?x=1, ? ? 由? 2 得 或 2 ?x +?y-1? =1 ?y=1 ?y=1. ∴直线 l 与圆 C 的交点的直角坐标为(-1,1)和(1,1). |2| = 2. 1 +?-1?2
2

答案:(-1,1),(1,1) 三、解答题 ?x=cos θ, ? 10. (2010 年高考辽宁卷)已知 P 为半圆 C: (θ 为参数,0≤θ≤π) ?y=sin θ 上的点,点 A 的坐标为(1,0),O 为坐标原点,点 M 在射线 OP 上,线段 OM 与 C π 的弧 AP 的长度均为3. (1)以 O 为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,求点 M 的极坐标; (2)求直线 AM 的参数方程. π π 解析:(1)由已知,点 M 的极角为3,且点 M 的极径等于3,故点 M 的极坐 ?π π? 标为?3,3?. ? ? ?π 3π? ?,A(1,0), (2)点 M 的直角坐标为? , 6 6 ? ? ?π ? -1?t, ? ?x=1+? ?6 ? 故直线 AM 的参数方程为? 3π ? ?y= 6 t

(t 为参数).

11. (2011 年高考福建卷)在直角坐标系 xOy 中, 直线 l 的方程为 x-y+4=0, ?x= 3cos α, 曲线 C 的参数方程为? (α 为参数). ?y=sin α (1)已知在极坐标系(与直角坐标系 xOy 取相同的长度单位, 且以原点 O 为极 π? ? 点,以 x 轴正半轴为极轴)中,点 P 的极坐标为?4,2?,判断点 P 与直线 l 的位置 ? ? 关系; (2)设点 Q 是曲线 C 上的一个动点,求它到直线 l 的距离的最小值. π? ? 解析:(1)把极坐标系下的点 P?4,2?化为直角坐标,得点(0,4).因为点 P 的 ? ? 直角坐标(0,4)满足直线 l 的方程 x-y+4=0,所以点 P 在直线 l 上. (2)因为点 Q 在曲线 C 上,故可设点 Q 的坐标为( 3cos α,sin α),从而点 Q 到直线 l 的距离为

π? ? α+6?+4 ? 2cos | 3cos α-sin α+4| ? ? d= = 2 2 π? ? = 2cos?α+6?+2 2, ? ? π? ? 由此得,当 cos?α+6?=-1 时,d 取得最小值,且最小值为 2. ? ? 12.(2011 年高考课标全国卷)在直角坐标系 xOy 中,曲线 C1 的参数方程为 ?x=2cos α, → =2OM → ,P 点的轨迹为 ? (α 为参数)M 是 C1 上的动点,P 点满足OP ?y=2+2sin α 曲线 C2. (1)求 C2 的方程; π (2)在以 O 为极点,x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中,射线 θ=3与 C1 的异 于极点的交点为 A,与 C2 的异于极点的交点为 B,求|AB|. ?x y ? 解析:(1)设 P(x,y),则由条件知 M?2,2?. ? ? x ? ?2=2cos α, 由于 M 点在 C1 上,所以? y ? ?2=2+2sin α, ?x=4cos α, 即? ?y=4+4sin α.

?x=4cos α, 从而 C2 的参数方程为? (α 为参数) ?y=4+4sin α (2)曲线 C1 的极坐标方程为 ρ=4sin θ,曲线 C2 的极坐标方程为 ρ=8sin θ. π π 射线 θ=3与 C1 的交点 A 的极径为 ρ1=4sin 3, π π 射线 θ=3与 C2 的交点 B 的极径为 ρ2=8sin 3. 所以|AB|=|ρ2-ρ1|=2 3.


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