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高中数学辅导徐州市2013届高三考前模拟数学试题含答案


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徐州市 2013 年高考考前信息卷
试卷由京翰教育一对一家教辅导(http://www.zgjhjy.com)整理

数学Ⅰ卷
注 意 事 项 考生在答题前认真阅读本注意事项及各题答题要求 1.本试卷共 4 页,均为非选择题(第 1 题~第 20 题,共 20 题)

。本试卷满分 160 分, 考试时间为 120 分钟。考试结束后,请将本试卷和答题纸一并交回。 2.答题前,请您务必将自己的姓名、考试号用的 0.5 毫米黑色墨水的签字笔填写在试 卷及答题纸上的规定位置。 3.作答试题,必须用 0.5 毫米黑色墨水的签字笔在答题纸上的指定位置作答,在其它 位置作答一律无效。 4.如需作图,须用 2B 铅笔绘、写清楚,线条、符号等须加黑、加粗。

参考公式:
样本数据 x1 , x2 ,?, xn 的标准差 s ?

1 n 1 n ( xi ? x)2 ,其中 x ? ? xi . ? n i ?1 n i ?1

一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共计 70 分.请把答案填写在答题卡相应位置 ....... 上. . 1.若集合 A ? ??1, 0 , 1? , B ? x x ? m2 ? 1, m ?R ,则 A ? B = 2.设 i 是虚数单位,复数

?

?





1 ? ai 为纯虚数,则实数 a 的值为 ▲ . 3?i 3.已知样本 7,8,9, x, y 的平均数是 8 ,且 xy ? 60 ,则此样本的标准差是
4.在集合 M ? {x | x ?





Read x n? , n ? 1,2,?,10} 中任取一个元素, If x ≤ ?1 Then 6 1 f(x)←x+2 所取元素恰好满足方程 cos x ? 的概率是 ▲ . 2 Else x2 2 If ?1<x ≤ 1 Then ? y ? 1有相同的焦点,且它们的 5.已知双曲线与椭圆

2

离心率互为倒数,则该双曲线的方程为





6.已知某算法的伪代码如右,根据伪代码,若函数 7. g ( x) ? f ( x) ? m 在 R 上有且只有两个零点,则实数

f(x)←x 2 Else f(x)← ?x +2 End If End If Print f(x) (第 6 题图)

m 的取值范围是
7.已知 cos(



. ▲ .

3? ? ? 2 ) ? ? ,则 cos 2? ? 2 3

8.有一个正四面体的棱长为 3 ,现用一张圆形的包装纸将其完全包住(不能裁剪纸,但可 以折叠) ,那么包装纸的最小半径为 ▲ .

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9.过点 P (1,1) 的直线将圆 x 2 ? y 2 ? 4 分成两段圆弧,要使这两段弧长之差最大,则该直线 的方程为 ▲ .

10.已知数列 ?an ? 的前 n 项和 Sn ? ? n2 ? kn(k ?N? ) ,且 S n 的最大值为 8,则 a 2 ?

1 2





11.已知中心为 O 的正方形 ABCD 的边长为 2,点 M , N 分别为线段 BC , CD 上的两个不同

???? ? ???? ???? ? 点,且 MN ? 1,则 OM ? 的取值范围是 ON





12.在数列 {an } 中,已知 a1 ? 3 , a2 ? 2 ,当 n ≥ 2 时, an ?1 是 an ? an ?1 的个位数, 则 a2013 ? ▲ .

( 13 . 已 知 f ( x)? l o2g x?
▲ .

? , 1) 若 实 数 m, n 满 足 f ( m)? f ( n) 2 则 mn 的 最 小 值 是 ,

14.设曲线 y ? ? ax ? 1? e x 在点 A ? x0 , y1 ? 处的切线为 l1 ,曲线 y ? ?1 ? x ? e? x 在点 A ? x0 , y2 ? 处

? 3? 的切线为 l2 .若存在 x0 ? ?0, ? ,使得 l1 ? l2 ,则实数 a 的取值范围是 ? 2?





二、解答题: 本大题共 6 小题,共计 90 分.请在答题卡指定的区域内作答,解答时应写出 ........ 文字说明、求证过程或演算步骤. 15. (本小题满分 14 分) 设 △ ABC 的内角 A, B, C 所对的边分别为 a , b, c .已知 a ? 1 , b ? 2 , CA? ? CB ⑴求边 c 的长; ⑵求 cos? A ? C ? 的值.

??? ??? ? ?

1 . 2

16. (本小题满分 14 分) 如图,在四棱锥 P ? ABCD 中, PA ? 平面 ABCD ,四边形 ABCD 是平行四边形,且

AC ? CD , PA ? AD , M , Q 分别是 PD , BC 的中点.
(1)求证: MQ ? 平面 PAB ; (2)若 AN ? PC ,垂足为 N ,求证: MN ? PD .

P

N

M

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D

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17. (本小题满分 14 分) 某人 2002 年底花 100 万元买了一套住房,其中首付 30 万元, 70 万元采用商业贷款.贷 款的月利率为 5 ?,按复利计算,每月等额还贷一次,10 年还清,并从贷款后的次月开 始还贷. ⑴这个人每月应还贷多少元? ⑵为了抑制高房价,国家出台“国五条” ,要求卖房时按照差额的 20%缴税.如果这个人 现在将住房 150 万元卖出,并且差额税由卖房人承担,问:卖房人将获利约多少元? (参考数据: (1 + 0.005)120 ? 1.8 )

18. (本小题满分 16 分) x2 y 2 1 已知椭圆 E : 2 + 2 ? 1? a ? b ? 0 ? 的离心率为 ,右焦点为 F ,且椭圆 E 上的点到 a b 2 点 F 距离的最小值为 2. ⑴求椭圆 E 的方程; ⑵设椭圆 E 的左、右顶点分别为 A, B ,过点 A 的直线 l 与椭圆 E 及直线 x ? 8 分别相交 于点 M , N . (ⅰ)当过 A, F , N 三点的圆半径最小时,求这个圆的方程; (ⅱ)若 cos ?AMB ? ?

65 ,求 △ ABM 的面积. 65

19. (本小题满分 16 分) 已知数列 {an } ,其前 n 项和为 S n . 京翰教育高考网——专业对高中学生开设高三数学辅导补习班

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⑴若对任意的 n ? N? , a2 n -1 ,a2 n +1 ,a2 n 组成公差为 4 的等差数列,且 a1 =1 , 求 n 的值; ⑵若数列 {

S2 n ? 2013 , 2n

Sn +a} 是公比为 q (q ? ?1) 的等比数列, a 为常数,求证:数列 {an } 为等比数 an

1 列的充要条件为 q =1+ . a

20. (本小题满分 16 分) 已知函数 f ( x) ?

a 1 + ln x , g ( x) ? bx2 ? 2 x + 2 , a, b ? R . x 2

⑴求函数 f ( x) 的单调区间; ⑵记函数 h( x) ? f ( x) ? g ( x) ,当 a ? 0 时, h( x) 在 (0,1) 上有且只有一个极值点,求实 数 b 的取值范围; ⑶记函数 F ( x) ? f ( x) , 证明: 存在一条过原点的直线 l 与 y ? F ( x) 的图象有两个切点.

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数学Ⅱ(附加题)
注 意 事 项 考生在答题前认真阅读本注意事项及各题答题要求 1.本试卷共 2 页,均为非选择题(第 21 题~第 23 题)。本试卷满分 40 分,考试时间为 30 分钟。考试结束后,请将本试卷和答题纸一并交回。 2.答题前,请您务必将自己的姓名、考试号用的 0.5 毫米黑色墨水的签字笔填写在试 卷及答题纸上的规定位置。 3.作答试题,必须用 0.5 毫米黑色墨水的签字笔在答题纸上的指定位置作答,在其它 位置作答一律无效。 4.如需作图,须用 2B 铅笔绘、写清楚,线条、符号等须加黑、加粗。

21.【选做题】本题包括 A、B、C、D 四小题,请选定其中两题,并在答题卡指定区域内作答. .................... 若多做,则按作答的前两题评分. 解答时应写出文字说明、证明过程或演算步 骤. A.[选修 4-1:几何证明选讲](本小题满分 10 分) 如图,? O 的半径 OB 垂直于直径 AC ,M 为 AO 上一点,BM 的延长线交 ? O 于点 N , B 京翰教育高考网——专业对高中学生开设高三数学辅导补习班 C M O A P

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过 N 点的切线交 CA 的延长线于点 P . (1)求证: PM 2 ? PA ? PC ; (2)若 ? O 的半径为 2 3 , OA ? 3OM , 求 MN 长.

B.[选修 4-2:矩阵与变换](本小题满分 10 分)

?1 ? ?1 0 ? ? 2 0? ,试求曲线 y ? sin x 在矩阵 MN 变换下的曲线方程. 设M ?? ?,N ?? ? ?0 2? ? 0 1?

C.[选修 4-4:坐标系与参数方程](本小题满分 10 分) 在 极 坐 标 系 中 , 已 知 点 P 为 圆 ? 2 ? 2 ? s i n? ? 7? 0 任 一 点 . 求 点 P 到 直 线 上

? cos? ? ? sin ? ? 7 ? 0 的距离的最小值与最大值.

D.[选修 4-5:不等式选讲](本小题满分 10 分) 已知 a , b, c 为正数,且满足 a cos 2 ? ? b sin 2 ? ? c ,求证: a cos2 ? ? b sin 2 ? ? c .

【必做题】第 22 题、第 23 题,每题 10 分,共计 20 分.请在答题卡指定区域内作答,解答 ....... 时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 22.过直线 y = - 1 上的动点 A(a, - 1) 作抛物线 y = x2 的两切线 AP , AQ , P, Q 为切点. (1)若切线 AP , AQ 的斜率分别为 k1 , k2 ,求证: k1 ? k2 为定值; (2)求证:直线 PQ 过定点.

23.已知 ( x + 1)n ? a0 + a1 ( x ? 1) + a2 ( x ? 1)2 + ? + an ( x ? 1)n (n ? N* ) . ⑴求 a0 及 Sn ? ? ai ;
i ?1 n

⑵试比较 S n 与 (n ? 2)2n + 2n2 的大小,并说明理由. 京翰教育高考网——专业对高中学生开设高三数学辅导补习班

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数学Ⅰ参考答案与评分标准
一、填空题:1. {1} 2.3 3. 2 4. 0.2 5. 2 x 2 ? 2 y 2 ? 1 6. (??,0) ? {1} 7. ? 8. 2 3 9. x ? y ? 2 ? 0 10.

79 81

5 2

11. [2 ? 2,1]

12. 6

13.9

? 3? 14. ?1, ? ? 2?

二、解答题:

1 1 ,得 ab cos C ? .??????????????????2 分 2 2 1 因为 a ? 1 , b ? 2 ,所以 cos C ? ,???????????????????4 分 4 2 2 2 所以 c ? a + b ? 2ab cos C ? 1 + 4 ? 1 ? 4 ,
15.⑴由 CA? ? CB 所以 c ? 2 .????????????????????????????? 7 分

??? ??? ? ?

1 , C ? (0, ? ) , 4 15 所以 sin C ? 1 ? cos 2 C ? ,?????????????9 分 4 15 a sin C 15 所以 sin A ? ,????????????????????11 分 ? 4 ? c 2 8 7 因为 a ? c ,所以 A ? C ,故 A 为锐角,所以 cos A ? 1 ? sin 2 A ? , 8 7 1 15 15 11 ? ? . ????14 分 所以 cos( A ? C ) ? cos A cos C + sin A sin C ? ? + 8 4 8 4 16 16. (1)取 PA 的中点 E ,连结 ME , BE , 1 因为 M 是 PD 的中点,所以 ME ? AD , ME ? AD , 2 P 1 又因为 Q 是 BC 中点,所以 BQ ? BC , 2
⑵因为 cos C ? 因为四边形 ABCD 是平行四边形; 所以 BC ∥AD ,所以 BQ ∥ ME , 所以四边形 MQBE 是平行四边形,????4 分 所以 MQ ? BE .因为 BE ? 平面 PAB , MQ ? 平面 PAB , 所以 MQ ? 平面 PAB .????????6 分 (2)因为 PA ? 平面 ABCD , CD ? 平面 ABCD ,

E N A

M

D

B

京翰教育高考网——专业对高中学生开设高三数学辅导补习班 (第 16 题图)

Q

C

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所以 PA ? CD ,又因为 AC ? CD , PA ? AC ? A , PA ? 平面 PAC , AC ? 平面 PAC , 所以 CD ? 平面 PAC ,又 AN ? 平面 PAC , 所以 AN ? CD . ???????????9 分 又 AN ? PC , PC ? CD ? C , PC ? 平面 PCD , CD ? 平面 PCD , 所以 AN ? 平面 PCD ,又 PD ? 平面 PCD ,所以 AN ? PD ,????????12 分 又 PA ? AD , M 是 PD 中点,所以 AM ? PD ,??????????????13 分 又 AM ? AN ? A , AM ? 平面 AMN , AN ? 平面 AMN ,所以 PD ? 平面 AMN , 又 MN ? 平面 AMN ,所以 MN ? PD .????????????????????14 分 17.⑴设每月应还贷 x 元,共付款 12 ? 10 ? 120 次,则有 x[1 + (1 + 0.005) + (1 + 0.005)2 + ? + (1 + 0.005)119 ] ? 700000(1 + 0.005)120 ,????4 分

700000 ? 0.005 ? (1 + 0.005)120 .????????????6 分 ? 7875 (元) (1 + 0.005)120 ? 1 答:每月应还贷 7875 元.????????????????????????7 分 ⑵卖房人共付给银行 7875 ? 120 ? 945000 元, 利息 945000 ? 700000 ? 245000 (元) ,??????????????????10 分 缴纳差额税 (1500000 ? 1000000) ? 0.2 ? 100000 (元) ,????????????12 分 500000 ? (245000 + 100000) ? 155000 (元) . 答:卖房人将获利约 155000 元.?????????????????????14 分 c 1 18.⑴由已知, ? ,且 a ? c ? 2 ,所以 a ? 4 , c ? 2 ,所以 b2 ? a 2 ? c 2 ? 12 , a 2 x2 y2 + ? 1 .?????????????????????3 分 所以椭圆 E 的方程为 16 12
所以 x ? ⑵(ⅰ)由⑴, A(?4,0) , F (2,0) ,设 N (8, t ) . 设圆的方程为 x2 + y 2 + dx + ey + f ? 0 ,将点 A, F , N 的坐标代入,得

? d ? 2, ?16 ? 4d + f ? 0, ? 72 ? ? 解得 ?e ? ?t ? , ?????????????????6 分 ?4 + 2d + f ? 0, t ? ? 2 ?64 + t + 8d + et + f ? 0, ? f ? ?8, ?

72 )y ?8 ? 0, t 1 72 1 72 即 ( x + 1)2 + [ y ? (t + )]2 ? 9 + (t + )2 , 2 t 4 t 72 72 因为 (t + )2 ≥ (2 72)2 ,当且仅当 t + ? ?12 2 时,圆的半径最小, t t
所以圆的方程为 x2 + y 2 + 2 x ? (t + 故所求圆的方程为 x2 + y 2 + 2x ? 12 2 y ? 8 ? 0 .???????????????9 分 (ⅱ)由对称性不妨设直线 l 的方程为 y ? k ( x + 4)(k ? 0) .

? y ? k ( x + 4), 12 ? 16k 2 24k ? , ) ,?????????????????11 分 由 ? x2 y 2 得M( 3 + 4k 2 3 + 4k 2 ? 1, ? + ?16 12

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???? 32k 2 ?24k ?24 ?24k , ), , ) , MB ? ( 2 2 3 + 4k 2 3 + 4k 2 3 + 4k 3 + 4k ???? ???? MA?MB ?8 ? 24k 65 ?? 所以 cos ?AMB ? ???? ???? ? , 65 MA MB 24 1 + k 2 ? (32k ) 2 + 242
所以 MA ? ( 化简,得 16k 4 ? 40k 2 ? 9 ? 0 ,??????????????????????14 分

????

1 9 1 3 ,或 k 2 ? ,即 k ? ,或 k ? , 4 4 2 2 1 此时总有 yM ? 3 ,所以 △ ABM 的面积为 ? 8 ? 3 ? 12 .??????????16 分 2 19.⑴因为 a2n?1 , a2n?1 , a2 n 成公差为 4 的等差数列, 所以 a2n?1 ? a2n?1 ? 4, a2n ? a2n?1 ? (n ?N? ) ,?????????????????2 分 8 所以 a1 , a3 , a5 ,?, a2 n?1 , a2 n?1 是公差为 4 的等差数列,且 a2 ? a4 ? a6 ? ? ? a2 n ? a1 ? a3 ? a5 ? ? ? a2 n?1 ? 8n , ???????????4 分
解得 k 2 ? 又因为 a1 ? 1 ,所以 S2n ? 2 ? a1 ? a3 ? a5 ? ? ? a2n?1 ? ? 8n

? 2[n +
所以

n(n ? 1) ? 4] + 8n ? 4n2 + 6n ? 2n(2n + 3) , 2

S2n ? 2n + 3 ? 2013 ,所以 n ? 1005 .?????????????????6 分 2n S ⑵因为 n ? a ? (a ? 1)q n ?1 ,所以 Sn ? (a ? 1)q n?1an ? aan , ① an
所以 Sn?1 ? (a ? 1)qn an?1 ? aan?1 ,
n



②-①,得 (a ? 1)(1 ? q )an?1 ? [a ? (a ? 1)qn?1 ]an , ③ ???????????8 分

1 ,所以 a ? 0, q ? 1, a ? 1 ? aq ,代入③式,得 a q(1 ? qn )an?1 ? (1 ? qn )an ,因为 q ? ?1 ,又 q ? 1 , a 1 所以 n ?1 ? , n ? N* ,所以 ?an ? 为等比数列,??????????????12 分 an q
(ⅰ)充分性:因为 q ? 1 ? (ⅱ)必要性:设 ?an ? 的公比为 q0 ,则由③得 (a ? 1)(1 ? qn )q0 ? a ? (a ? 1)q n?1 ,

1 整理得 ? a ? 1? q0 ? a ? ? a ? 1? (q0 ? )q n ,?????????????????14 分 q
此式为关于 n 的恒等式,若 q ? 1 ,则左边 ? 0 ,右边 ? ?1 ,矛盾;

) ?(a ? 1 q0 ? a, 1 ? 若q ? ?1 ,当且仅当 ? 1 时成立,所以 q ? 1 ? . (a ? 1 q0 ? (a ? 1) ) a ? q ? 1 由(ⅰ)(ⅱ)可知,数列 {an } 为等比数列的充要条件为 q =1+ .???????16 分 、 a a 1 x?a 20. (1)因为 f ?( x) ? ? 2 ? ? 2 , x x x ①若 a ≤ 0 ,则 f ?( x) ≥ 0 , f ( x) 在 (0, ??) 上为增函数,??????????2 分 ②若 a ? 0 ,令 f ?( x) ? 0 ,得 x ? a , 当 0 ? x ? a 时, f ?( x) ? 0 ;当 x ? a 时, f ?( x) ? 0 . 所以 (0, a ) 为单调减区间, ( a, ??) 为单调增区间. 综上可得,当 a ≤ 0 时, (0, ??) 为单调增区间,
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当 a ? 0 时, (0, a ) 为单调减区间, ( a, ??) 为单调增区间. ?????4 分

1 (2) a ? 0 时, h( x) ? f ( x) ? g ( x) ? bx2 ? 2x ? 2 ? ln x , 2 2 1 bx ? 2 x ? 1 h?( x) ? bx ? 2 ? ? , ????????????????????5 分 x x h( x) 在 (0,1) 上有且只有一个极值点,即 h?( x) ? 0 在 (0,1) 上有且只有一个根且不为重根,
由 h?( x) ? 0 得 bx 2 ? 2 x ? 1 ? 0 , ?????????????????????6 分

1 ,满足题意;??????????????????????7 分 2 (ii) b ? 0 时, b ?12 ? 2 ?1 ? 1 ? 0 ,即 0 ? b ? 1 ;???????????????8 分 (iii) b ? 0 时, b ?12 ? 2 ?1 ? 1 ? 0 ,得 b ? 1 ,故 b ? 0 ; 综上得: h( x) 在 (0,1) 上有且只有一个极值点时, b ? 1 . ???????????9 分 注:本题也可分离变量求得. (3)证明:由(1)可知: (i)若 a ≤ 0 ,则 f ?( x) ≥ 0 , f ( x) 在 (0, ??) 上为单调增函数, 所以直线 l 与 y ? F ( x) 的图象不可能有两个切点,不合题意.????????10 分 (ⅱ)若 a ? 0 , f ( x) 在 x ? a 处取得极值 f (a) ? 1 ? ln a .
(i) b ? 0 , x ? 若 1 ? ln a ≥ 0 , a≥ 时,由图象知不可能有两个切点.??????????11 分

1 e

1 ,设 f ( x) 图象与 x 轴的两个交点的横坐标为 s , t (不妨设 s ? t ) , e a 则 直 线 l 与 y ? F ( x) 的 图 象 有 两 个 切 点 即 为 直 线 l 与 y1 ? ? ? ln x, x ? ( s, t ) 和 x a y2 ? ? ln x, x ? (t , ??) 的切点. x a 1 a?x a 1 x?a ? ? y1 ? 2 ? ? 2 , y2 ? ? 2 ? ? 2 , x x x x x x
故0 ? a ? 设切点分别为 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) ,则 0 ? x1 ? x2 ,且

a ? x1 x2 ? a a ? x1 y1 x ?a y a ln x1 a ln x2 ? , 2 2 ? 2 ? 2? , , ? ?? 2 ? 2 x12 x2 2 x1 x1 x1 x1 x2 x2 x2 x2


2a ? 1 ? ln x1 , ① x1

2a ? 1 ? ln x2 , ② x2 x x (x ? x ) a ? 1 2 2 1 2 2 ,③ x1 ? x2
①-②得:

x 2a 2a ? ? ? ln x1 ? ln x2 ? ? ln 1 , x1 x2 x2

由③中的 a 代入上式可得: ( 即 令

x 2 2 x1 x2 ( x1 ? x2 ) ? ) ? ? ln 1 , 2 2 x1 x2 x1 ? x2 x2

2( x12 ? x2 2 ) x ? ln 1 , ???????????????????????14 分 2 2 x1 ? x2 x2

x1 ? k (0 ? k ? 1) ,则 (k 2 ? 1)ln k ? 2k 2 ? 2 ,令 G(k ) ? (k 2 ? 1)ln k ? 2k 2 ? 2(0 ? k ? 1) , x2
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1 3 1 4 ? 0 , G( 2 ) ? ? 4 ? 0 , 2 e e e e 故存在 k0 ? (0,1) ,使得 G ? k0 ? ? 0 , 即存在一条过原点的直线 l 与 y ? F ( x) 的图象有两个切点.????????16 分
因为 G( ) ? 1 ?

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数学Ⅱ(附加题)参考答案与评分标准
21. A. (1)连结 ON.因为 PN 切⊙O 于 N,所以 ?ONP ? 90? , 所以 ?ONB ? ?BNP ? 90? . 因为 OB ? ON ,所以 ?OBN ? ?ONB . C 因为 BO ? AC 于O,所以 ?OBN ? ?BMO ? 90? , 所以 ?BNP ? ?BMO ? ?PMN ,所以 PM ? PN . 所以 PM 2 ? PN 2 ? PA ? PC .????????5分 (2) OM ? 2 , BO ? 2 3 , BM ? 4 . 因为 BM ? MN ? CM ? MA ? (2 3 ? 2)(2 3 ? 2) ? 8 , 所以 MN ? 2 .????????????????????????????10分 ?1 ? ?1 ? 0? ? 0? ?1 0 ? ? ? 2 B. MN ? ? ,???????????????????4 分 ? 2 ?0 2 ? ? 0 1 ? ? 0 2 ? ? ? ? ? 设 ? x, y ? 是曲线 y ? sin x 上的任意一点,在矩阵 MN 变换下对应的点为 ? x?, y?? . B M O A N P

1 ? ?1 ? ? x ? 2 x?, ? 2 0 ? ? x ? ? ? x? ? ,所以 ? x ? ? 2 x, 即 ? 则 ? ? 1 ??????????????8 分 ? ? ? y ? ? y ?? ? ? ? ? ? y ? ? 2 y , ? y ? y ?, ? 2 ? 0 2? ? 1 代入 y ? sin x ,得 y? ? sin 2 x? ,即 y? ? 2sin 2 x? . 2 即曲线 y ? sin x 在矩阵 MN 变换下的曲线方程为 y ? 2sin 2 x .????????10 分 C.圆 ? 2 ? 2? sin ? ? 7 ? 0 的普通方程为 x 2 ? y 2 ? 2 y ? 7 ? 0 ,????????? 2 分 直线 ? cos? ? ? sin ? ? 7 ? 0 的普通方程为 x ? y ? 7 ? 0 ,??????????? 4 分
设点 P(2 2 cos? ,2 2 sin ? ? 1) , 则点 P 到直线 x ? y ? 7 ? 0 的距离 d ?

2 2 cos? ? 2 2 sin ? ? 8 2

? 4sin(? ? ) ? 8 4 , ? 2

??????????????????????????????????8 分 4 12 ? 2 2 ; d max ? ? 6 2 .??????????????????10 分 所以 d min ? 2 2 D.由柯西不等式,得

a cos2 ? ? b sin 2 ?
1 1

≤[( a cos? )2 ? ( b sin ? )2 ]2 (cos2 ? ? sin 2 ? ) 2 ? (a cos2 ? ? b sin 2 ? ) 2 ? c .??????????????????????10 分
22. (1)设过 A 作抛物线 y ? x 的切线的斜率为 k ,则切线的方程为 y ? 1 ? k ( x ? a) ,
2
2 2 与方程 y ? x 联立,消去 y ,得 x ? kx ? ak ? 1 ? 0 .
1

因为直线与抛物线相切,所以 ? ? k ? 4(ak ? 1) ? 0 ,
2

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即 k 2 ? 4ak ? 4 ? 0 . 由题意知,此方程两根为 k1 , k 2 , 所以 k1k2 ? ?4 (定值). ??????????????????????????4 分 (2)设 P( x1 , y1 ), Q( x2 , y2 ) ,由 y ? x2 ,得 y ' ? 2x . 所以在 P 点处的切线斜率为: y | x ? x1 ? 2 x1 ,因此,切线方程为: y ? y1 ? 2 x1 ( x ? x1 ) .
'

由 y1 ? x12 ,化简可得, 2 x1 x ? y ? y1 ? 0 . 同理,得在点 Q 处的切线方程为 2 x2 x ? y ? y2 ? 0 . 因为两切线的交点为 A(a, ?1) ,故 2 x1a ? y1 ? 1 ? 0 , 2 x2 a ? y2 ? 1 ? 0 . 所以 P, Q 两点在直线 2ax ? y ? 1 ? 0 上,即直线 PQ 的方程为: 2ax ? y ? 1 ? 0 . 当 x ? 0 时, y ? 1 ,所以直线 PQ 经过定点 (0,1) .??????????????10 分 23.⑴令 x ? 1 ,则 a0 ? 2n ,令 x ? 2 ,则 ? ai ? 3n ,所以 S n ? ? ai ? 3n ? 2n .??2 分
i ?0 i ?1 n n

⑵要比较 S n 与 (n ? 2)2 + 2n 的大小,只要比较 3 与 (n ? 1)2 + 2n2 的大小.
n 2
n

n

当 n ? 1 时, 3n ? (n ? 1)2n + 2n2 ;当 n ? 2 或 3 时, 3n ? (n ? 1)2n + 2n2 , 当 n ? 4 或 5 时, 3n ? (n ? 1)2n + 2n2 , 猜想:当 n ≥ 4 时, 3n ? (n ? 1)2n + 2n2 .下面用数学归纳法证明:???????4 分 ①由上述过程可知,当 n ? 4 时,结论成立.????????????????5 分 ②假设当 n ? k (k ≥ 4, k ?N* ) 时结论成立,即 3k ? (k ? 1)2k + 2k 2 , 两边同乘以 3 ,得 3k +1 ? 3[(k ? 1)2k + 2k 2 ] ? k 2k +1 + 2(k + 1)2 + [(k ? 3)2k + 4k 2 ? 4k ? 2] , 而 (k ? 3)2k + 4k 2 ? 4k ? 2 ? (k ? 3)2k + 4(k 2 ? k ? 2) + 6

? (k ? 3)2k + 4(k ? 2)(k + 1) + 6 ? 0 ,
所以 3k +1 ? [(k + 1) ? 1]2k +1 + 2(k + 1)2 , 即 n ? k + 1 时结论也成立. 由①②可知,当 n ≥ 4 时, 3n ? (n ? 1)2n + 2n2 成立.??????????????9 分 综上所述,当 n ? 1 时, 3n ? (n ? 1)2n + 2n2 ;当 n ? 2 或 3 时, 3n ? (n ? 1)2n + 2n2 ; 当 n ≥ 4 时, 3n ? (n ? 1)2n + 2n2 .?????????????????????10 分

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